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Full text of "Euklid's Elemente funfzehn Bücher"

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m, unb (lo, 29* ?e^nf» aO 
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bcren ®umme*CD f eirte 6ua^ 
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FBt fofinbAB^ AF, bic gefucbteft jRdtionalfirtien^ tittl 
ift bie bee a6 in ¥ange incommenfurabele Sinie; urn) 
puabiat bie AB , &bci: AF potaiijitt 

2)ertn mdrt bctt)eifet/ toie im t>t)ti^ert @<i|e/ bd§AB, 
rational blo§ m^otcrtj commenfurabel-finb. 2>a nun 

r?f^te:.DAB:n AF; dlfo (5, 19. ©. (inb t, 47. @0 
riklrt^:-^il& CD:Dfc=aAB:DBF; obft cd, 
ftine &uifti:ntjd^1en (Inb t ft ift (i 6, 9. @0 Afeu BF. 5 
jwcb Ift/ toeil DBFi=;:D AB^DAF, Wf« @efU(^ 
fmibem . 

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?Se>rt jn^e^ detaben Sinien / AB, BC, beri^Sff fid 
^xh^cxt jUi: Heinetn> ft)ie ba« SRrttangel Unter it 
jum Cluabtate bet Ketrtettt* 

, $>enn m^cbt man t)on BC 
tgt^ Duabrat BE, unb t)a!Iert* 
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fbift (6, i:@.) ABi^BCn: 
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XI>I> = ABXBC; tDeil 
BD=Ba SoIgKcb ijt ABtBCrr:AB><BC:aB( 

' 3^^9 mebiaf^ bfog iit ^^otenj commenfutaSete i 
' jtl ftnberi/ bit eyt Slatiohaled ent^attert/ unb t)on 
bic gro^cre am boa Cluabrat etner ifyt in Hitge tor 
fura&efcn 2i«le liber bie fleinere potenjirt. - / 



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&lo§ in fjptenj (otvmen^ 

furo^te Sinien^ iM>n'lx« 

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(a^ £iua^rat etnev il^i! 

in thn^e comntenfura» 

Mm tim, U^t bie Jfletnere B l^^tenjItK Wat 

12. ©.)A:C==:CiB> un^C:B=:B:D> ia% 

B— QC^ «nt> CXD£=aB: fo fin^ C^ D, 

ten Jinien. 

*^ ^eixnM (io> ?ii.@.) AX^ n«^l »f^/, fo if* 
«lfo C mebiai. 2>a CXD=:D IJ/«nt>,a B u 
ijlauc6CxDratienaf. 

2)a fetrtec (r*^ Jk Sei^ftf.) AiB=iAXB: £ 
AXBi=:aC, unb QBrrCXD: fo itt A:! 
:CXD; abee dtt<^, (lo, Jt. Je^nf.) C:D = C 
D, fblgltct* A:B=rC5D, bag affo G, D, fo » 
Uofi in $oteti) ^ommenfura6eI fin^ , folgtic^/ toeif 
«tt(^ Ci9^!24»(S^.) I>.tnet)ia( i% Z>entAd(i fiinb C;D 

«ii4A:B=CtD> folgt 4u(fe (t6, 1$; ®0^ 
hai Ouabcat einec i^c in ^ange coittmenfutabeln ^ini 
D potenitrt, loeii tiaffd^e itoifct^en ^f B, ®tm fint 

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$(uf Al^nli((e Sfet jintet man auc^ biefe SinUit ; 
8C6gere utn iai CtmAvat eiper i^r in ianqe tncomir 
len £im^ &6et Me f lemcre ^^ti^njice* fed ; inbem mc 
fo ntmmt^ bag bie A tim bci £hiahtat einet t^r in 
commenfurabelen 2inU tti^et; tie U potenjitr* 

iJ e "^ n f a |. 

ffioit bte9 detabettXInien, AB, BC, CD/ b<t 
bte er jie jur trttteti / tpie bai SHectaitjiel untei: b 



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3ot)fl«n Sriebcii^ Socenj; 



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J^ a I i «, 1809. 



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BIBLIOTECA BICCARDl , 

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3ol)ann ^riebric^ Sorens; 

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.^ a 1 1 e, 1809. 

3m ffirrlagt ^tr ^ai.fen^au<Vf5pi^^{iittImig. 



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gate S^utung ber SiteWdiiette* 

ArStippus pkilbfophus Sbcraticut, naufraugio cum 
^^etus ad Rkodieoilaxn littus animadrertilTet geometrica 
filheaaata defcripta, exclamayilfe ad comites ita ^icitur : 
Bene fpcremus^ homitmrn tmtn yeftigia Tideo. ^ 

VitTttY. de Archit. Lib. VL Praef. 



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auj fret etj^en StuSgafre Dom ^af)t f 7gx« 



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^uftibei, 



»i)n teflfeit ^aterloMibt unb dSti^en £e^ 
feeitfum^n&crt mtmni^pbet tttc^ts »iffen/ «&ffrtetejtt 
'illixMhtun f lintet bet 9tegietun0 bed .^'6iit^e« ^Jtole^ - 
ttiSud @Dter, 300 ^a^te teor bet gemeinert "^^itttiiinmQ^ 
tint (Bd)\xk bet SRat^ematif , in tt>elc^et faft |$e gti>$« ^ 
!0lat^ematifet be* 3ittetffeume« fiejogeit ttoctben ftiib» 
83on feinett ©d)riftett finb bte Srerttettte dfleiit gan| 
itntoet^dmmeft mtf bte 9)ac^n)eft gef ommett ; getobe bad^ 
Jenige SOBetf , tt)el(^ed feirtem SSerfoffet ble Unf erbfic^feiC 
txYonbtn mugte ^ uttb mldjtti bon bett ^t&|tett ® ei^etii 
ditet unb neuet ^etteit ate ein unbitbefferrtc^ea SWeijler* 
fliirf etfannt unb bewunbett tbarb* ©ie entl^alten bfe .» 
etjlen ^e^ten bet gefammteit URdt^emari^ 
itt einet fok^en ^oiifommett^eit bet ^tutli^Uit un]> 
SBetbinbung, ba^^xtifittt <it^d)muHf tai tfl/ fe{( 
a 000 ^ofyctn, in Dtdcfficht ««f SWet^obe utib ®t)Hm^ 
nic^ta ^ottfomhineted ^eftefett n>ptbett ij). lDa0 ^tu$ 
bium be6 SuHtbed toith ftic^ uut bott SUl&nttern erne 
vMUn, toddle fclbfl tie 0t&^e^en Unb dU6debreitefeflett 

a a Stennt^ 



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S^entttniffie to Ut Wtatf^tmatit 6ef(|ih ; fonbettt an^ in 
htn (S^tAtn bet ^^i^^l^l^^^n ^^b/ fo oft boit S^etl^ebe 
tie SKebe tfi; bet Otame btfjentden dettannt; melc^et 
tigce !Botf(^tiften t^on ber bt^m ie^tavt aHe beo6ac^re( 
imb attg^cjiSt ^t; Db#t btefme^t/ aud beffett fDtuflerrt 
biefe 93arfc^ttfcett a(k fittQtMtnmtn finb« ^g cin. tna^ 
tfeematifc^ed Se^rbudE^, tt)e{dE)e« itur bicjenlgeit ^tnnu 
niffe umfaffet^ bte xam m '^vXtSxti Ttferanbetd bei 
©rogen ^atte/ bte ^^t ncic^malS/ uttb 6efonber6 \ti beti 
bepbeti neueflcn Sa^tl^imberten, jum (grfloujjen toer^ 
nie^rt unb etnoeitert tDOrben ftnb/ aud^ je|t^ ba mtr und 
brt Dottreffltc^flen Se^rbfir^er etnet tt>eit auagebteitetem 
S){at^ematif ri&|men !6ttneny tmmer no'c^ fetnen ^ert^ 
%i\lQi\X9 Uttb bctt ^ennern intmet noc^ $cfc^a|t unb jefe^? 
fen n)ttb: bie6 ifl tt>D^( unjlretttg etn Umfianb/ bet ^t 
baffelbe ein fe^t dfinjligeg ©otutt^eil etwerfen/ unb 
mand^en begtetig macf)en mu^ ^ etn 35ucf> bon fo feltneir 
2(tt na^et fennen ju fernert. IXwi) jinbet jebet $teunb 
itnb £teb^6et bet fSiat^emattf battnnen S$te(e0; n>a« 
il^m in feinet ?lBiffenfd>dft befonbte $)tertjle (etjlet; unb 
libetl^aupt jebet betifenbe ^opf fct)6pfet barau« 9lal^^ 
rttn$ f&t ben 6)eijl/ unb (etnet beffet^ eXi aul alien 2(n<; 
tDetfungen $ut ^et^obc/ badientge (ennen^ n)ad mit, 
Steele aJlet^obe genannt ju noetben teetbieitt* $« ^U^rt^ 
SBiidjetn bet ©entente jeigt ^v&jf bet ©eifl unb 
@c^atffitin bed (Sufltbed/ in fetnem betfelbett 
obft mel^t/ aid in bent jel^nten; welched ^uc^ bent/ 

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was mt irgenb ©(J^atffinnigW in ber tteuertt 3Wat^ema^ 

jar tvett nacf^jle^en m6jcf)te- . ©rf)on bet) feinen Sebjct^ 
ten, ba feine TlnfarigSgrflnbe freplirff ba« erjle ^oUflan^ 
bige £e^rbuc^ ber fDlat^ematif wareh , berurfac^tcn fie 
fo biefeg Tluffc^en , ba^ fefSfl ^J^temau* babwrd^ 6e^ 
giecig gemac^t tDarb, bem Olomen eined grogen ^rieger* 
tinb n|&cf)ti9en ^5ntge$ an^ ben Slu^m etne* SJlot^e; 
matiferd be^jufdgetti itnb noc^ in feinem ^(ter tin 
©^ii(er Jbe^ <2^uf(ibed ju tperben. 92u( f^ien e« t^nt; 
old ob ber ©ang beg 0^(el^rtert f ein ^an^ ffir ben ^Ji^ 
nigfep; aUein er er^ielt auf biefe 2(eu^erung jur Tlnu 
n>ort: ba^ bie ?!Rat^ematif feinen abfonber^ 
CiAen Swd^ng f6r ;^6nige l&abe* ©o fe^r war 
©uflibeg 6berjeugt, ba^, fo wie e« fiir 3ebermanrt nur 
Sine ?X8il^'rl2eie unb nur ©ne ^ugenb giebr, and) nnt 
®ne SDietfeobe bor^nben fe^, 50B;iffenfd)aften ju le^ren 
unb ju lernen* SSieUetc^t wire eg ffir bie (S^e unb bie 
' 2|u66reitung ber 0e(e^rfamfett ju wiSnfc^en/ ba^ man 
,i« alien "^dun fo gebocf^t ^atte, unb nit auf ben Sinfall 
g"erati^en w^re, ju tjerfuc^en, ob man nid[jt etwa« S5c^ 
quemereg fiir .^erren unb 55amen audftnbig mac^en f oni 
ne- SOBem eg etn Qgrnjl ijl, feinen 85er(lanb rec^t ^u 
bilben — unb niemanb anHkrg follte ftc^ bem J^eiltgt^um 
ber SGBiffenfc^aften na^en — bem m6^te ungemein biel 
baran (iegen , bie ^egriffe unb @a|e, bie er ein fiir alle^ 
mal ganj bui'rf)fcf)auen mu^ , bon benen er m ber Sofge 

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tie ten @runb .ofegeb^it , auf ben bad ganje ©eboube feti? 
ney.wettew ^ennmiffe fi(^ Oii^et, fo ju (ernen, wie fte 
^elernt merben miffen ; unb ifen xoivb eef urn fo wentgec 
loerbriefiert, alle Tinjlrengunsi be« 23erflanbfd. bafceo an* 
juwenben, fe me^r biefe 'Jtnjlrengung fcfbfl jiir S5i(bim3 
feine« ©ciflets beptragt^ unb bemfcfben bie ju aUen weU 

> tern Soctfc^ritten fo nhtfy^c nnb une^tbe^vKd^e ^raft 
unb Oltc^tung glebt* 2tucf) fc^etnen bicfed alle ?Piat^e^ 
wattfer be4 2l(tert^um6, we(cf)e nac^ bem (SuffibcS fe^^ 
ten; erfannt ju ^aben; tnbem jie ber ?&af^n, bie Sc 
ifenen bor9ejeid)net ^atu, frf)(cc^fevbin9g fofgten, unb 
tei) t^ten meitern Unterfu(f)un9en bag, n^a^ cr ^otQtttas ^ 
jen unb ewiefen fytttt^ axiti) al6 borgettagcn unb emte* 
fen toi>rau5fc|ten. @o lebte @uf[ibe6 noc^ (ange nad) 
feinem 5obe in ber @d)u|e m 2((fjcanbrien, mcfcfee, n>ie 
fc^on oben gefagt i% cm @cf)u(c ber Wlatl^cmatif f Ar bie 
SGOelt war. <&x Ubt and) noc^ jc|t, n>ie»o^f er, we^ 
itigflend in IJJeutfc^fanb , n)o bO(j^ bie mat^ematifc^en 
' ?CBiffenf(^ften borjtSgtitf) bffi^en, mcf)t fo aflgemein ge< 
nu^t n>irb|. aU er eg berbient, unb aU eg fefbjl fir bad 
©tubium ber neuern SWat^ematif jutr&glid) fci>n wiiu 
be* 3)oc^ biefleid^t tjl nic^t fo fc^r SKangef an ©e^ 

, fc^macf unb Sujl, ali biefme^c mancl)er au^erKrf)e Um^j 

'flanb^ @(^ulb baron, bag bie Slemente bed SuKibe* 

f c^ nic^t in SSiefer JgiSnben befjnben* ^er gried^ifd^c 

ttit ifl oic^t ffir Sebcrmarmi unb auc^ nic^t (eicfit ju 

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|a6ett. £atelm|(^e Sfttdgakn 1ttfb jmatLV6r|anbetv tint) 
|5ilnen toon t>it(en &emt|t loetbeti/ a6ei; ouferbeth/ ba^ 
mdi^ manc^eir ^reutib btt Wl(ttiiv»at\i ihti§ hi^htf^ bet 
jben Su!(tbed in btefer &pta^ ni6)t lefm fa9n: f9 iti 
lga(t bet f&ortrog bet «SBifTenf[^ften in emit gef&ufidett 
neuetn @pt(uj(K; ^ mond^t SUdffic^t; !^c^ immer. 
irmen getrnffen SOotiUd* ^ie beu(|6^ ^otmetfc^un^ 
ften^ I5ie mt bid }e|t toon aUen C^ementen otyr^ ben 
isinem 5|ei(e berfelben, feaben , (tub fo^ 9&ni(i<^ m SSei:* 
geffen^eit oeratl^ : S)ted ddei witb tntd^ betmutl^Iic$ 
rec^tferttgett/ nxnn -tc^ mttnem b'eutfc^^enJSater^ 
(ante/ jam d^f&Utgea @ei)r<Ht<fi«, «ne n eti e U e & e c; 
fe|i|n0 bet ©temente barbtete, toon bet ic^ m 

. emtgen 3<*^^P f^^tt einen S^t^u^^ befonnt genta^t 
|<^e. ^il id^ bahet) auf fD^atetie imb S«>rm jtt:^ 
gletcf^jjuje^' ^atte: ^ Jm mem eifrige* 55emfi§en ba^ 
$in geti^tet^ n«^t mit bie ^oc^n^ fonbetitj^ nw«. ba«. 
borjiSgKd^e ijl, auc^ ben ®eij| bed (SuSifced aufs mfeg:? 

. fic^fle bar^uflellen. 3<^ ^in bd^et be9. meines Ueber:; 
f ^uii0 bef vwrtceffScfKn ;S)yfbrbet 2bi<d<>be bed gtiec^u 

' jy^^en 5e]rte«>em Sor^te 1703 treufic^ gefefgir; nut ba^ 
i4^ bet ^ilrje tt)egett;. oiid^bet gitotiojieii unb a^c^ 

^meinenSeidjcn bebient ^6e,. etnet ©ewo^lfeeki bie in ben 
neuern ®di)xi^Un nun tirnnal e4n$efi&^ ifl^ «nb n>o^ 
b«|c^/^ i»eim nut bod |efe&r^e 3Saa|i rtlrf)t Sberfc^rttten 
Wirb, bie SJerftanbftcfffeit be« i&i>ttta3|[ ungemefn biel 
gewirtnr* 5Damit id) jeboc^i bui^ bieft 2(6i^riun9 einet 






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tiitUvt'&tvinVlifiit unbm emcrin) ^arallellmicn ftnbi 
f^ ift bad ^atatte(C9itonm boppelt fosro^; 0(6 bet Zw 

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ABCp.unbfcettFktngcIgBC . 
cuf ein'rrleb ®i;unMime BC 
imb- IK eiwwle^ f^otaUrffiniVn- 
BC, AE: fx) bc^aup^; rArbj5| B C 

ba$ ^acaUeloftittmiTi ABiCD boppelt, fq 'gto§ fe? / al« bet. 
iJciangelEBC* - - , 

$« toerbe AC gejogem 

Der Jcianget ABC HI bem Jriangel EBC gleicb; benii. 
be^be finb auf eineclep ©riinblinie bC unb in jeinerlcp ^a^ 
caUellmien BC , AE.:.,gtun iflT ^a« ^rftalletogramm ABCD 
topfelt fo gtv§/.a($ bet ilnangel ABC; inbem bafFelbe bur<^ 
bie !l)iagonale AC balbirt tt>irb. gofgticb ift b^6 ^orattelof 
jwmm ABCD boppelt fo gcol , M bee Jcmngcl jEBC. 

®enn bemnocb ein ^acaDetogrctmin unb eiii Xriangef an{ 
etneoCep @runblm{e unb in einetk^ ^arnUeUinijPn (tnb: fotft 
bad $ardt(e(ogcanlln boppelt fo gte^^ aid bee Srio^flief* 
®e(cbed }u b^toeifen teat* 



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iiSjMie^en, wie or fk^ in ben' iUeirf^twt iSfementen 5 % A 
-jdgt, bttglt^ctti fo larin man jic^er t)on biefm'auf oUe 
&nhti f<^(fe|cn/ ttnli IwiVaag fe^eri, in toxt tont tc^ t>onf 
f)«tgma(e afcgegtirigctt ^6{n/ iinb Wag tcp- bet 316fdriunj 
bed 856rtra^d criifgeopfert ^d&f* Snbeg woOte ic^ boc^'' 
*kfer beHebteft -^Sf6rie"ni(f)t' getn einen fofrfjen ©otjuj 
Bet)regen , and bem ber ?ffieittofuff igf eit bes ^Ociginafe tin 
lOfbrtburf erttHi4feft fSnnte* ' ©cnn (EuHib t^oj W' gis^ , 
ttif ntd^tol^ne Urfac^e, tt)en« et? fi?ben borangefc^irfteri 
@af bep Sjonffrucfloii bjttr S^gur/ tinb obermat pad^ 
geenbigter I)em.6nflratton n>ubet^blte; auc^ tl^at er t$' ^ 
md^i D^ne Urfac^e /• ibenri er bepm Igemcife ber nac^fofi^ 
0ettben 06|e ntd;{ Mof bie*9^iiimttn ber t)or^erge^em ' 
lifen anjeigte, 4uf bte etn folc^er JBemeis ftc^ gtiinbet,« 
fonbern bte iintei ben Sf^ummern bVftfibCkben @S|e feCbjl . 
. immec wiebec »brtH<9 bocttug* 'Denn au^et ben be?' 
tthd^ttidt)m @(^n>1ertgf ettcn , weldf^e bamate bie aufere 
,, §o«ii ber meiflen S56c^er bem' aftottjfc^tagen cttirtetf- 
.©cellen in ben SBeg {egte, war feine Tibfic^t bep ben 
etnoi^nten S©{«ber|i&fimgen unflretttg ba^in gertd)trt^' 

V bie 2e^ren, bie er bem- ©erflanbe feiner <S(l)fi(er borge^', 

Ik * •   

l^tf i«dl^i<^ ^rem ®ebac^tntffe einjiipr&gen, lin* (ie 
i|lt#n rec^t ge(&afig '|U madryen ; bor^dgftc^ abet; n>e!e^ed 
 nii^ fo fe^r mie-ber'^t getoffen werben foflte^ fte'jii 
Vw%te«^ bdg fif bie ©% nid^t an bie S5urf)jlaben bet • 
$t^ur allf in ' big^ben / fonbern ftey reh» bon oUer ftibibiiJ* ^ 
* • "^ , • ^5 .* buellcn 






y 



X , €t«leituiig 

bitttfaM STdi^eUoti}^ in t^rer ganjen ^dtmetnl^ct£: ben^ 
fen niod^em, 3c^ ^6c nttt biefec Tlbftd^t t^« grofw 
IW<inm«, wit e< auc^ in bm &eflej^, Od^rifi^tj be? 
DV^^^ d^4)i^(i babutc^ bu ^dr$c ti^ereint^t; unb bte 
$Btebe(^o(uii9 bermteben^ baf ic^ burc^ (Tttationen auf 
bie twnifeejtge^cnben %t\xixi *t>er»icfen , unb jebcm ©a|e 
bte !8u(i^{iia&ctt bcjr: ^igur unmitfe(6ar vbeygtefSg^; bod^"" 
fc^;, baf bet @a| 0U(^ o^e btefe^uc^flafcen getefen uttb; 
terflanben twrben Jfann. Sm anbrer Umflanb^ jworV 
auf €uKib 9ti&cfftc^t genommen ^at^ unb ben tc^ feine^ 
ttjegs t)ernac^Iiffi9en butfte, tf|,bet/ bag er, fp tt>ie 66et5. 
'^upt bie 2((ten, bie jn ben Stgwen 9efe|teii S^uc^^ 
^a6en be« TKpfjoSetd in i^rec ^etv&^nHc^en Orbrntn^ 
fcwuc^t, unb baburd^ finem etn^g ©edbten TtnWtyrig 
jgiebti bie 21uf[&fung ber ^luf^^abe/ obet b^n ^emeid b;# 
£e^fai^e«, 6ftet8; o^e ben !?e]ct gefefea ju ^ahgn, b(of 
au^ bet 3<i^n^t^d i^ ettat^en. ^ie« wat bet @vunb; . 
ivatumf ic^ bie gtiec^ft^en SBuc^fiaben nic^t mit gteic^^^ 
fauteitben beutfd[)en betmec^felte; n>te ic^ fonfi gut Ux^y 
tetn ©etgleidEyunft mit bent jtledfjif^en Xeptc ^ern ge* 
^an l^&tte; tnbem ^ietbutc^ obdebad[>te ^equem(i<^feit 
fail d^^Uc^ \)et(oren desangen ware* 

Cine 0to§e ®c^n>iett3(eit moc^ten ntit ncc^ hie 
9}unlte in ben (ogenamiten arit^etifc^en ^i^c^tm 
^enn ba mit aUei botan fag^ nieifien 2efetn eine )>&% 
tic^tige 3^^ bon bet Sel^tott bed ^ffib ju geben: fb 
lonRt^ ed ihit tiic^t gleic^^i^S fep, ate id^ aus 






/ 



y 



in.biefen ^Sc^ertt/ atfo gerabe in beneit, tooorin bcr 
®att0/ ben SuRib genommen ^at, und ntc^t wtnii irttere^ 
fiit, bie 7tu«0a6ert, cud) fe(6|l bte Oirforber, 3tenbe; 
fungeit t?ordenbmmen ^a&en m6d)tett/ bie erne itrig^ 
SJorfletlung \)on bcr SJlet^obe ber ^(ten in ber Tlrtt^mes, 
tit erregen f6nnten. !2(Ue meine ^em^^nsett/ bie icff 
anwenbcte ; in bicfet @acf)e n^e^rered 2id)t ju et^aften^ 
wnb meine (Jonjecturen ^iflortf(^ t>eflati9t ju fe^en,.tt)aj 
ten t)er0e6end*^ ^ennpc^ (onnte tcf^ mic^ unm^dfic^ 
iiBcminben, bk^mtte, moburd^^man bie ^a^Un ^at 
o&Btfben n)DUen/ be^iube^aften;" bja t^re Uebetia^Iunft 
nm SDiiS^e nta^t, unb icf) and bem 8^«9«ifT^ ber Cx? 
forber @bition geipig wii^te , baf fie in bett Jpanbf<if)rif:s 
ten hic^t beftnblic^ gewefcn *). Dlac^ berfc()iebenen SCter? 
(uc^cn, bem Origtnale j^ierinnen fo nal|e ju fommeh/ 

^ oI$ eg «tir bepm SOlangel n5t^i9er J^filf^mittel mfiftjic^ 
toati fc{)ien mit; bie SJlet^obe, bie ^unfte init ben ^t-< 

' , meineri ^i^ttn ju toetwec^fefni bie fc^itf(icf)fie ju fe^n^ 
5)enf t man jtc^ babe^ (latt bicfet ^i^un bie gtiec^ifc^ 
S5uc^j!a6en , fo wie fi^ i^ret bie TlUcn jut 55ejeie^nnn§ 
bet3<^6(«n 6ebienten: fo'fann man.pc^ eine ^bec toom 
jOtiginale mac^en, wel^e bemfetben meni0|l:en« gewaf et 
. ijl; aid n)enn man/ butcf) bie ^u^^qben becf%t| fic^ 

• • 
\ 

* Chmtf StS^r^ ^ierA6er fanti i^ if^mohxtli in einem 
^fRac^tra^e tu (iefey (S^It ituns min^UUn, 



« 



/ 

I 



i&ii giitUttttttd 

6or(letIt, Suflib ^aSe, weitn er j^ 55. bie 3«fef 3 2 on- 
i^etgen wotltc, e6en fo biefe ^iinfte ^ingema^Ut. 3d^ 
^fanb urn bejlo weniger ^S^behfert, mir biefe ^re^^ett ju 
ncl^meit, ba md)M in ber J^auptfoc^e baburrf) geanbert 
ft)arb, ttnb meme 2efer fcep SBegtaffung bet ^unfte 
nid)W weiter toeclorcn, aid bie 9Dt6^e, fie jebedmaf nod^^ 
juj&^Iem ?Benn ic^ nun nod^ ^iriiuffige, bag burcfy 
feie unter bie 'Sti^txn gefelten ©ttic^e etne unbeflimmte 
3a^( bon ©nl^eiten, burcf) bie 3iffern aber ein inbi'oU 
biieUe^ SBepfpiet, i»elc^ed untec bie aUgemeine Dlegel ge^ 
f)httf angcjeigt werbe: fo n>irb meine Ttbanberung urn 
beflo e^er fJc^ ^^epfaK toerfprec^ert f6nnem 

Sfla'rf) bicfcn ^(einigf e1ten , bie td^ bo^ nid)t ganji: 
Jic^ mbnfifyt faffen burfte, tt)eig id^ biefe ©nfeitung 
md)t Seffer ju fc^liefien, aU wmn id) jum ^Sejlert berer, 
bie ben Suffib noc^ nic^t fennen, ben ^n^alt unb bie 
©eHinbuhg bet: SBficf)ec , au$ benert bie QSIemente befle^: 
^en, noc^ t)ot;lauftg anjeige, urn baburc^ bie Ueberjid^t 
bed ©anjen unb bie 53orficUung ber einjefnen $^eife iu 
erleicf)tern» 5)od^ fann id) feine f&rmlic^e $abeUe bar^: 
tfber \)erfpred)cn , a\i n>orein mat^ematifc^e fie^ren fid^ 
md)t bequemen, mld)t, ungearf)tet fte ber ©d)ulme^ 
t^obe gar nid)t abgeneigt finb, fotc^e bennec^, fo 6alb 
fie mit ber natfirlic^en collibirt, aud) fogfeic^ ^intan^ 
fefeen- 

^ "Cie gefantmte ©eomefrie, obet, wit ffe ganj bor^ 
trefflic^, felfefl tern @inne nnb SSorfc^Iage be« 5^(ato 



-\ 



wi ber erjlen 9Iu^a6e torn 3, 1781, xm- 

jemSg/^ tit uhftei: ©ptac^e ^enamtt t»tcb, ije SWeg^ 
futtbci t^txlt ftc^ in bte Stjac^ctts unb ^6rp«:.sjJ<|^e. 
&|terc faitB ol^ttc bie it^tt »>oit bee SommeofutobilWt 
imb Sncownteitfiiwbtfitit b<t ©t&gert tiit^t berflanben 
»etb«tt} btefc abtt fe|t bte 2e^te t>OR beit 3a^ren bowutf. 
©emna^ b«(le^ett bte Cfemente beg SufTtbes am \>iet 
tkiiitn. ©et etjle begtetft bie gc^te tjott ben ^fac^en, 
in ben fed)S erflen 586c^ecn; bee jwe^te, bie ie^te toott 
b«n 3a^f?«/ »n».7' 8. 9. 55u(^e; bet btittc; bie 2e^te, 
toon commenfimibefti unb tncommenfttta&edt ©t&ien 
im I a SSttd^ie; bee bierte enbiic^ t»e &i^w ^^n bttt^hti 
pern ,. im 1 1> 1 4. 1 3. SBw^. 

t)et erjle t^eit ^anbett ton ben Slacken, in m?. 
f<f)t fbwo^I ber @W(^^etf , af« ^tte^nftc^feit bet giguren. 
3ene tfl in ben4etflen S56c^ertt j biefe im 5, unb 6.sSuJ 
<i^e ent^Iteti. 

S)a« wj?e Su(^, bbtt ttiangern unb ^taMot 
^tamm^t 

r. ton ttiattgeta. @a$i — 26. 
3« t>on ^tatleUtnien unb ^acaifelegtammen. @aft 
»- 47 — 36* , ' • " 

, 3. SBecgWi^ung bet ittiangel mtt ben^at(|He(odtammen. 
@«I37 — 48. 
Ibca 5t»e9te\35u^, bem Dtectangef, obet tec^f* 
''iijinffiden ^araaefogtamm. ^iec roetben bie ;6b(on9a 
unb idttobtate, welctje butc^ bte betfc^iebnen (gc^itte. 
etnet getaben ginie entjle^en/ mit einanber bergiic^em 
90^ I — 14. 

©at 



\ 



XIV ^inleitung 

^ 5>a8britteS5uc^, bomStreife: 
. I* wn ittoben ?imen in un6 dn b^m $ceife. 6* i — 19* 
■\ a. wii SPinFeIn In unb art bem Slreife* ©a^ 20—36. 
J)as riettc 35ttdE)/ toon S5efc|)m6un3 ton: gigureti 
in mi utn einaubet : 

I. Jciangel unb Srejl ®a| i — $• 
fl* Duabrot unb Stei«» @a|6 — 9* 
3. ^ol98on tinb fti;d§* 0a§io— 16* 

Dad fdtifce 35u(^, bon beii gjtoportionen ftrttg^t? 
-©t&^en 6ter^aupt : 
' • !♦ ton glcicbmdfac^en ®r5gert. 6(>gt — 6» 
a. oon 9toporttonafgt6§en. 6ti|7— -is* 
3« Set&nbeningen bet $co)^ortion. ®ai| 16-^25* 
X>ad fecbece ^ud^^ bon ben ^t:ot»omonen fletijet 
0ir6§cn tn«6efonberc: 

1. f)f9port(onett bttfm Sctangel unb ^acadefogramnu 

a» 8el^n(t4)fect ber Stgurcn. ®a| 18 — 33^ 

t>n iboepte^^eU ^anbelt bon ben ^af^Un* ^i^t 
(en>eifet ^uflib attc (Ba^t, bie im f&nftm ^ud}c t>on 
^ ittidgebe^nten ©r^en ben)iefen tt)orbtn^ aufd Deue bon 
b<rt Sa^fen. 

Dad fiebeme^uc^)/ bon ber bidcvetert ^top»ttion 

u ton g{et(btte(fa(!ben 3a^(en* @a$ x «^ io« 

d. ton btdcreten ^ropoctionafial^len* ©ag ii---jui* ., 

3» 5Bon,ben yrfmja^lem ©aftas— 4u 

Dad adbtc ^tt<^/ bon ber fieugen ^^oportton ber^ 
gafelen: 

X. ton flett^en f)roponiona(}a^(en. ©a( i— -13. 

3* ton 



' f 



0' \ 



s. ton i^nllc^etf gfic^en^ unb ^6rpcrja^(en^ - @a| 
t4 — 37- 

SadiicttficeSBu^; toon beti^ iefontertt %ttm Ut^ 

3^ aetabe upb iingftabe ^c^Utu ®a< ai,— 34, 
4« i>oUft&nbige ^a^ltn^ 6a| 35* 36* 

, ^er britte !£g.ei(^nbelt bon bet Sommenfum^ ' 
Mitat ber ©rifgen^ , 

' i« cpmmenf«taMe tinb tncommen^fa6eK ®(6gen« ®a$ * 

»• rationale tfiib meWale ®r6|eiu ©a^^o— 36, 
- }• 3rratlwttii*8teii ^tf bem guforonfenfegcm ©ag , 

 37— '73* / • *. 

4t 3mMoM(8r^«ii auj bem fiSesne^ineti. 6a$ 74 ^—» 

5. ^Seeslek^iV aUer nor^il^eiiben 3miti9fia(d(&ien; 

^et bt^tte^S^^eit ^anbe(tbon ben ^6rpern. 
^ '-JDa* eilfrc 95ud[): • ^ , 

i« ton bir iaq^i ber^benen* 6a$ i ~ 1 9« 
2« ton f&rper(ict^n SBmfftn. ®a4 ao— 33. 
3. torn 9araae(ef3^t|>ebom ®a^24-^40« 

I* ooh bee ^amibe unb bem ^f^nu ®a$ i — $• 

^ 2\ t^om ^e^el unb S9(inber« @ai^ to-«*t5« 
$. Don bee Sugef* ©a( 16 "— 1 j. 



t « 



\ I 



4 » 

XVI €W«ttMi9 flue !3*t eiileft ^m^% 



ftnti. ®<^ J-t"^': . .; ! • ' 

.  * 2. »on tegulircn Sli*en. ®a|j7 — 5?. 7 

^ . »oti fcen finf tegulicen JWtpecn. ^afe 1 3 T > 8^ 

sjsit blefem,t)rcpi«fenten S5uc^e f^(tc|cn ftc^ tJie ®«« 
mctttc bf« ®tt«tb'6 bergcftoft, ba^'m i>em U|ten©o|e 
btef«« Sl&ud)6 alle« .SSDt^erge^enbe fic^^conc«nttiirt,.unb 

nut ;t>etunilaltct witb. ©ctgletc^cn 3«|S|e <nt6a(fen. 

. • W.i)Wtie^trt<unbfunMnteS8uc^, W(4^ 

' m, einem gRatfeetitotifet ju 5(Uj:anbrun im att>«9t«tt 

. 3afet^unb«t bet gemeinen Bejtrci^una^ ia^f:^t:icaen, 

«nb toon f«tn«,% bet bie ©emente gelcfeti^at, f&t -eitt?«t* 

fccit be« Cuftib'S gefealten weiben. ^ie^ Sewben S86c^«t 

^okic^, al4 «i" ^tMbe«mett^«aiiaf:tmbbantit*et 

U<b«tfe|un8 nt<i>t« ^u fe^ten fc^iene, o(g einefl Tin^ng, 

' brt nut, ttentse ©^it«ft <inf6aet , bepgcffidet ' ©efc^m? 

6en, «to|letS5€^9e,im@eptembeti78i. , 

So^ann §«rt>ric^ 2pwttj, 









. S^ad^' 



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9^ EuxXf^ r« Xftipimm, Etelidls quae iupfrfuflC 
fuhniz, ex reetiifioati Daridit Grei^rii. Oxo&iM 
1703* foL praef. pag. IV* gdft Hi In libro.^uioto 
^pumtitates Uteris defignatae iiiiii inagta debeat db 
1^^aeJ ^uam aliat quaevii HMgnitudines ; eonTueta* 
dmi tamen gerentes mptmn, rectas in fchematt 
defcripiimus » utpote imagiiiationi ma^ome jaecoin. 
ji^pdaUf. In libfii ftptioio octaro et iiooo^ nulla 
debent ette ioliematai litwae toioi noa deteniuAa* 
tM mimeros defignant, fed gupvit indertis condt* 
tiooibtts: ad imiginatiQ&ein tamai iiUeYaadamb 
jpoocta depioximtts ea multifeadiM, quae |Hl»pofi'^ 
tipni cDovcaiaitt. . Xt fi filado lUkintri csngrui 






tasD magnl funt, tit fmnctorum multitudo mtim lioo 
pateat^ ipfos numeroi appafuimus more communi 
notatof^ 

gerner in eiricr Dlote am TTttf ange be« fithtnttn 

m 

^uAti: EMclides in hot libro literas adhibet alpha- 
tieticas pro ntunerorum fy mbolis; nos» alios edito« 
res fecuti^ tot adiec^us puncta> elucidindi gratia^ 
iqu#t numeris iftis ref)^ondeant« 



^ 



tiifer SRotf/ s|tbt (tffo ^regtirp beuKic^ ju Vettles^. 
!^; baf « J^attbfd^tifien bor ft<i^ ge^abt, welc^e in 
tM attt^nietifc^en l&6(^r«i ntc^t fJunfte/ fonbem, 
^u^ftab^n l^ttett ; ol^e fic^ )ebo($ n%r batftiet; jii , 
cfff&Cftt. %\&\^ nurt jttm SBi^^ufe meitter erfien 7tui3^ . 
^abe bcjT is S5&(^er> divert J^ttrtt ^'^ofeffot ^orfler 
>iu ^olic/ ben-^ttitfc^ iu^ette^ du0 em<e bet <f)ati^ . 
fd^ften ; bfe @eeser9 tM^rfc^eiiilic^ bergltd^ti 6atte# 
<ine I)«Ulgc(n^ ^ro^e jU fe^ett : fo ^atfe betf(^ 4»ie , 

unb mir bie et^ene 7(ntix)prt fi^sUid^ mit5u%Ueiw 



/ - 



lit oP^49Wfttn|i 3UX 

 * ■' •" 

tM%r ftc^ -bte !l^% ded«6ett ^otte/ au« !)et bectigm 
^bfc^trtft dlaqt* 13* (wefc^e a(fo im Catarogus libro- 
mm manufcriptorum Angliae et Hibernke. Oxoniaft 

* 

- • m 

1697* ^^^* Tom* L Part I. pag* 300. num. 6560. aitf# 

tern, ^a aber bep bmn ^nfunfc meine Uc6etfe|ttn0 
fo tUn bmiti ^bgebrucft toat: fo mtt^te id^ bie nnU 
(et;e ^efanntmac^ung bobott/ mit |er btettetc^t SKat^, 
d^em gebtcnt feQti mfi^te^ auf eine anbete ©^legen^eic 

flettt f!nb f^reiSt J^enr $ 1^ m» J^ r n b 9 , finb cU 
ttige bort benen, bie ouf Urn Slonbe gebac^ter J^anb^ , 
^dftift, mefd^e mi!i^fam ju (efea tfl^ mit D^nttger &ef 
nautgfett gejeic^net ftnb^ SD^an xoitb baran 6a(b 6ii 

ft 

merfetr^ baf bie £inien; »e((^e' 4ntt Suc^jiaben auf 
gen>6^nGd^i ^rt beietc^net^ftnb/ ^a^Un UUuttn, be^ 
tm ^^tt^e burc^ anbete S5tic^fla6ett^ . bie einen (Stti^ 
Mit ftd^ l^abeti, an$egeben finb* %h bie/etiiden/ be^F^ 
lien ttwa ber ^fiUnmtt^ ber sriec^fc^en S^uc^ftoSen 

b a tiid^lt 



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(7.85. 3.®.)«— «^=«4; i3=<>;=i8; v==<^ 

(7. ». 6. «.) «j8 = ^+ ^=7= a + 2 =i= 4; 
~ (7. ». 7» «.) m/S = «» + »^=: /3 + J= a + 4; 

iyj= y^+ ^=1 +^ = 4 + f ; yu'hrli =«. 

y/3 = i2; (|=u = 8. 

; (8. ». a. 00 « = 7 == 3 5 /8 =S^= 
= 9^^=9 = 6; »=^=4;^=:iJJ: 

- (9. 85. I. @.) « = flj == "18 ; /3 = i^: 
f/ic^= 144; S = TietSz= iM' 

(9. », 2. 85.) «6 = i5 = 24 ; /3 = 9 = 6 ; i^=: 
12; y=;g/M^=i 144; J=:^o5'=576; «riyu=^288. 

(9. ».4.®.)«i = J^=:8; i8=5K^=a7; 7= 
ff^=2L6; i=£Js=64. . 



18; 7=S 
2;7=? 

= 37; ? 

= 8; 7 



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J^t$ toon bev S^fa^ft^nMuirtd dtt mtc^ tt^fixi^mt^i^ 
ttc^t, %o§ fte iitte neite !2(u£$a6e nteiner tte6erfie|ung bet 
Sf entente be« Sufttbed tootl^be^' n)at mit urn beflo xM^ 
lommner; metf i<^ bd^utd) @eUden^eit et^teft/ ^e n^c^ 
borl^anbenen fOS&n^et ao^trfttc^en tenb $u t)et^ffem ^ ben ' 
betttf(it>en ^(udbt^ud dbewtt^bem £)ti$inale ine^r mym^ 
fen ; mond^erfeQ jum ^tfi&nbniffe M^^nere ^nttd^M ^ 

^ ittngen ju tteffen^ oud^ etntoie bet an xaan^ti )Orten 4 

Attdgelajfenen jtte^ten t)em0nflrattone}t , unb bte 3iiis 
^tft toot bem totetje^nten^u^^ na^ju^ofen. ^ mi? 
barum ju tj^im XQC^t, eihe^ ber ee^Uic^^ett S&6(^(/ bit 
tmi mi bem Wt^r^ume auf6en>a^ret morbeti7 ttf dnet 

' betitfc^en UeSerfef ung ju Kefern/i bie bemmufler^fren 
:Dn<itna{e m&alie^fl na^e fime: foac^tetei^^ mid> toer$ . 
ip^x^ttif ben grtetf)tfc^cn $e)rt aBcrmoft ganj btStcfei^ugf^ 
|en ^ unb i^jt mit meinec toorigen Ueberfe^ung ^unf t 
f 6r ^nft iitt toergleic^cn* J^ierSep fam eS mir fe^r jn 
@tatten, ba§ mem St^ewnbi ^etr 9Dom * ©icotiud 5K a ^ 
r^tai$/ toon bem f{c^ etn mit ^i^fatt aufgenMimener 

. l^^%ri i%er erne ^ietecfynung^mef^be ter SRotation«^ 
jetten /"Hfcpfammg unb 3)icf)ttigf dten ber ^faneten'/ In 
^errn 35bbe1{ ajtVonomif(%n 3<^^rSitd^e fit bo« 3^^^ 
1797 ^efinbeti birfe a)fiS|e toot mit 66erna^m| . unb 
jttit ^ud) f6t 95u^fe(ne mit ©nftc^t gemat^ten 9^^ . 
metfungen mttf^et(te; bk tc^ Ux^ meinet n4tf^ma!igen 
eigenen Stetoijton benn^tej tbe^^aft ic^ bemfertert nun 
pud) ^tet fcffentltc^ ben toetWnbltdf)flen i)anf fage. SDlit 
bem Otigtnafe toetgli^ \^f au^et ben bor ma(d f^ott 
'6 3. «e^ 



jexii 



0{«#rf#t 



Sefttau^titt $3dd^ern^ auth Md) hit fotethtf^e unb 
cngtifc^e 2(u«9oben ber 8 35d^et be^(g(emettte »oii 91 o# 
bett @tmfo^n, n)rfclg>e mit |u*otr jffe^tt gotten, utib 
bte 9*tt)i§ allgemetner fcefaitttt gu fe^n teerbterten *)* 
J^erfn finbtn fid) btefe er^eMtc^e ©erinbetungett unb 
Suf&^e , bie bott bcm @d^tfipintte tititi bon bem ®eifl« 
bet HUm fo ganj bcfebten ^bpfed leugett, ufib. jU beritt 
Sftec^fertigung bie femtn ^Kudgainm atrg^^d^^^^ {e^mi^ 
d^tt gf^^teti beflimmt ftnb. ^pna^ t^te id) bt*4 ^^^ 

, fi^teijt tt)Drt>eti , biele fetner gctrof^nen 9$er^beruiigeii 
(benn in alien fann ic^ i|m nk^t b^ppfJi^ten) in mtitm' 

* Ue6<rf4ung oufiune^mcn; n>mn i6) mic^ nid^t no<i^ ju 
#ec^ter 3^it ber ^jK^'ten erinnett f^htu, weld)t etnep 
Ue6erfe|er et^Mic^e ^btDeid^ungen bon Urn ;6t:tdttia(« 
itid^t ert^uben. . S)tefer ^t ginttg get^an^ is^enn er ba« 
)Drt0hui( aud ber beflen, nnb j:bt;teceeflen H^iaaiitp toie 
€r ed! bafe(bfl ftnbet^ in fein< @i>r(id^ jgenott i&bem&dt^ 
unb babutc^ ben 2(ucti>r^ tote berfetbe.ifl, nic^ xeU 
ifiSr i^n ^aben »ottt€| feinen 2efera t>ax^tM, ^nt i^ii 

' ex 

^ Euelidis elementoruns libri priores fe^» item unde* 
cimus c^t duodecimiis), ex verCona latina Federici 
Commaiidini, fublatis iii,|^quibus olim hbri hi a Tlieo* 
ne aliisTe vitiati funt, et quibusdam ^ucKdii demon* 
ftrationibus vaftitmit , a Roberto Simfon , BS. O; In 
iloademiia Glaigiiex^ Matfaefeos Profeffore« Glasffuaa 
1756* 4* "^ Tke elements of £udid viz* the hrn fix 
Books ) together with the Eleventh and Twelfth. 
The err6]rSi by which Theon or others have long 
ago Yitisted thefe Books, are corrected, and fosno 
' ' of liuc)id*s Demonftrations are reftored. Alfo tb« 
Boo|t of Euelid^s Data in like manner corrected* By 
Bol>ert Simfon » M. D. Emeritus Profeffor of Mathe* 
ma tics in the Univerfity of Glasgow. To this iiftli 
Edition are alfo annexed elements of plain and fphe* 
rical Trigonometric. Edinburgh 1775. 8. — fftohtvt 

eimfon pixb am i. Octo^r 1768 itn gi. 2N^^te fein«« 
TUm*. K ' 



/ 



^ K 






^ fx^iogehio itt covtidttett/ uttt ^tdetim^ttdi SetStibe^ 

fm#eti mit tJ^ikorsime^to/ bif ^ tHttn ^e ouil^ tto^ 

jo, gilt 9ett:off tn ftitb/ be^ te< SBoc^z im< tftdtl etsent^ 

U^ If fen n^itt; ^Kxemsfiinitf tti b^n beriitberten @itel(en/ 

snleitittlk^ tnac^n "^y ^^ h^A k^ ^e^ meinem e^:^ 

imilisen 9)orfo|e/ bfog etne getrnte Ue6etf?|uits metttt* 

Ikittwi $»t liefetit^ «^iermit aber fftttnert ^^m>o^( 

' eteisc ^(biDei^iutsieti bon bent grieic^tfid^en $erte^ bie tc^ 

tHT, bfm Ort^inol :Utibefc^bf t ^ fd^on tn bet beti^en^ 

unb npd^ mc^c in btefeip 7(ud9«6e betfiatter ^abe^ ^t- 

" mlji b^^tf^ftHl6)t id) nun M^eigen; unb '|u rec^fer^ 

ts^n^ dber b^ ju enifd[^u(bi^en fitc^en tufibt S<^ 

S^ie et^e SUffe ent^t attfia:etbent(i4e f$^^ 
icibewnden^ tbel^K b(^ bk iUifietc $orm betrefm^f 

1. %e9 be? Utbetfc^tift etned feben @a|e« tfl in^ 
#eti^ oiiaijet^^ otrbtrfe(6ceinf£el^^; obetreme 7(uf:^ 

: 2. ^^9 ben 7(iffga6en tfi )^<nKi( bie 3(ofll6fung bon 
bett.S^elfe beutficf^ abde^nbert.n>orbens 

3. 3n ben 8&en>etfen ftq^ 2(bf&|e; ofl e^ fb biete 
IKu^epunfte/;:angebnic^c. , 

. , ; - b 4 :4*S5e9 

*> (Stiite Qont dn^ere^enxtnbntlt ^ eintti J^n- 9t. &imfon/ 
tefff n 7(tt^toi iietaoe ttigtti biffef^VerbcffMrun^ett , )u be^ I 
tien ttk^ ieber eiheii f&vct&fialU^eii Oemf ^t> nH(^3 
' fuib; ^i ed ^e^ meim^ ®ra4teni bttfifte wire, menu etne- 

. . ^(bnber^ ueran^aUete 0amm(utig feiner getroffenea Ser&u^ 
bertttt^fn^ unb ^cr basu^e^Srtgcn Stotcn ^ einer getreum 
, Uebetfe^uns sudefeSet viMt , . batntt man be^be^ vDt fld^ 
^obe; mie ^tlibel (e(b^ e^ e^macbt, tmb wie e6 9l.Bim# 
fon iu t>erbiff^m gefod^ ^<^4 3fat(i ^ oben jemmniiec' 
^(err 2^m s ^kariud '99^ a 1 1 jg^ t qi I auf me<n IKtiratl^n bev# 
dleid^en Sammluns i&betnommen / unb toirb fo(d|fC mk fiif 
ner mtr befannicrt (gii>(icbt ^unb, ®ef<^irflldi^feit t)0«enben, 
baf fit aM em3tn^att0 )U metnerUeberfelui^batb in^rtiS 

" erf(^tinen timm* « 



I 
1 






I  



1. 18- 35* @« ^ II. ^^ 21, &., finbiHe im $itf:u attte 

5. (SttTt^e jmemte ^mo!i|}ratfeneit/ii& 3.J5« 10^ 
un> II, @^1^ .to. ?d* i. ttnb 116. @.y (tnb^ ctttietter 

mtb 4« 04; tt^4^ <iuf bte t^nett iug«i^6f tgeit^emti^ 
fi}^t4$n> fittb- btifen / fioie ^ufiib fofiji bur^ginfi^ gen 

7, (a^mtge^ile/ f.^^^ii 11.19.©*, 13-^.1 jfei*^ 
s 8« @a|, n^ic^e unft^itf (tc^ aid ^Huf^o^en aueggbrndt tcc^ 
ttix, iiqben bte tl^nen ^uhmmtnU %i>tm bit £l€^tf&^f 41^ 
fifltm. 2^e0 J. 35- 7. @- tfi im 3lii«&tU(fe ijem 8^@a|e 
imh% mmi^ttt Ituxd^ ftnb 7. S& a^^^r 8^^ 
13* @*/ tinb ^. S^ I bid 7* @. ju mel^terer ^atffo^ 
feic tmb^^Arje im 3^«bcutfe ettoad t^etonbert^ 

8« ^cn Strftaruftgeh btd a, 6^ 7, .io« %ucl^ finb^ 
cittige (Stlaiitirunden beodef&9t. * 

9« 3n ben focietiasKiteti dtit^etifi^n S66c^ern l^abe 
i(^ beo etntgen @&|e»^fifite; wentt fiet^e Seitt(td^^ 
^ be f^bfTK fidN^nen , atiflatt Ut gtflM 9^f^[t 

10, €tne <^au»rbetaiibetun^ bet %otm t^ iftbK^ 

bdd 3ttf^^<o^<^ii<^^" ^^^ d*^'^ ^"^ n^^n^ nebft bem 
^ebrauc^e bet g^tc^^tt iitib bet Sttateii; ii»ob)tt(^ ber 
Hucw mcl^td.berlDien, foitbetti SSuI^ geii^oiinen ^t 
gnxit debe t4 d^^<^ i^p ^<^i ^^ fo(d^et (^tiftfleQet, 
me^Htbed; ebeit fo fe^t ate anbete ^d^rtftfletlet bed 
^(tert^umd; gat n>o^[ betbiente; bott ^ort {U Wiktt 
^anj d6etfe|t ju tberbetit S)a ed abet bep einem.fo(cl[^en 
l^ucf^e b(o§ wm bk ®ad^ii unb ben ®ei{t bet SOtetl^obe 
#1 1^ ifl, benen etne fdt|ete S^ar^ettUttis ieid^^fete €u 
fennmi§ unb Ue^et(t(^ 9eii>&^tet; nnb man bei^ bet 
Uebetfe|und etned fold^en Tluctotd unm6g(ic^ bie 2(bftd^C 
tfibm tarn, il^n auc^ in ^en flein^en "Cingen ju copiten: 



I 



\ 



« « 



foHtcft imt mdbt bai itrihctft^fB^hinfrnf met bti 

)te^^ ufib 9ad) ^atteti^'0 unb S5&nnoitn'« 
Se^fmetett metnem Stector tm fMd^t %Cftm ju Qthtn, 
mi toiifl^tt felbfl bte t»rfim'tit9H^e ^tm tf« Origin 4fe< 
ibct eitie ber xohttikt)m Uebetff|ttn9eti mte ber (etd)fei 
ffafn fOti^^e tmcbtt ^ercM^jhlk^mrben famt* B^^i^ Utbet» 
gu|^ vM ic^ ^ige ^r&ttbe ;m^ tmai fpecieOet ent^ 

a. 3eb€n ®ff^ tefe mon in tn Uebetfe|und 6^ne btf^ 
Sln^^beit; wti^t ^d) anf hit ^^ut bejte|en/ tm ^^u^ 
fbmmrtri^nge, unb beute ifin aiib<tM auf bu %knt 
Had) fdn^n ctnjefnen ^l^etfdt > n^cfd^e bvrd^ bie SBucf^j^cH 
ben ^9e9>ben finb : fo fyit tnan bie u rfpr AngUc^e ^onrt 
bed £)ngmai€5 uimrfmtSor au« bet Utberfef ung felbft^t 
trf n)e{<f^t offo ntc^f bobon berCoten ge^ngen i^; roit 
fp(^ fpgteirf^ afi« i* 15* 41. (Sd|, \)er9(tcf)en mit beffetl 
tD^ttiidben Ue&er|e|uns tn obigA: ®infettunc); etrfe^n lit^ 
®!«fe ^inrtc^tui^ gm&lct b^eti ^0rc^i(; bo^ man /ebcn 
@ab / ben man tm Originate jtoet^^ aud[^ brei>ma( (efenr 
mu^f in' ber Ueberfe|ttnoi nur einnraf ju (efen braiJ(^t« 
tM^E^ ntd)t Ittit^ bttrdE)'bad ganje ^ud) unja^Hge ^£[Ue« 
bet^ottmgen erfparet; fonbeoi au<i^ tn^befonbcre bep 
j^(4enS&|en^ welc^e^ t»te j. 55. 2. SJu^) i^t. unb 13. 
@a|i efene SSerg(eidjung mte bert ^tgnten htt) bem er^; 
flmmAle ntd^t (e«d[>t t>erftinb(tc^ finb/ unumg&ngltd; n6« 
l^g tfl. ^ 

b» 3n' jeber ©emonilration, aw^ in ber Tlnfltfutij 
lintr ](nfgabe , bntcf e n^n bte in ber Ueberfe^ung ge< 
bcoud^ ^tidim in SOBorren <m6^ unb n)teber^Dfe ton 
SQBott iu ^orCe bte citirten &i^t/ bit fret)(ic^ berfentge, 
Mfc^er fie t)ec9effeii ficit, ober fid) i^rer an ber ^igur 
tmi bem 3ufammen^ge ntd^t n>ieber ertnnert • nac^^ 
fd^iqgtn mu^ : fo fyit man aud^ pterin ben tooUflanbtgen 
ttpi »ieber/ nwiioa titic^fatttf ba« iuerfl angefi^^i^te 

i 5 SSeji 



%tt lh%t fvd) and) bft> beir ^eiwifen, tab beii 3luf(6funf 
gen bet Unf^abm^ bit ur^rdn3(t(^ §otm'be6 £)rtditta(^ 
(mihtt hlo$tn Ue6etfe|un9 micber ^erfleUen, in mcict^ets 

{ofe.^tcber^ofungen a6er boburt^ b^rmiebcn ftnb^ tmti 
mt biel bte Stf«tntnt§ Itrtb Utberftdjt ber @act)e , prae- 
fuppofius praef upponmc^s , biirc^ f^lc^e ^tit gewtii^ 
ne/ ifl an fiit^ einleuc^tenb* 

c. 9GBieber^Dlt man nun am (Jribe*brt SSwjttfrt bte 
§EBorte beg J^auptfo|e^ ^ unb fe$t bte feseuKc^e %oxm^U 
SBef<^«^ ju berri4tett; obet xoel^ei ju be* 
tt)etfeit war, ^in|u: fp ^at man bod ^Origittpl fo boltf. 
^anbtg ^ ba^ f etn ^o^ mel^r baran fe^Iet. ^QQte^ hutt 
.3emanbett baron d^Ie^ttfe^fi; bad itiec^f^ €o^ui^ 
$aiii boUjla^bit ^u fyAtn, f© »6tbe ec bfof nc^ *"it 
bem @eabe in ber J^anb bte Stgmeti in @qnb jetc^ 
nen mfiffem - 

. S)ie jmepte (SUffe en^a(t eintge 2fbn)etc^un$ieii 
toon bem Ongtnofe tn ber @at^e felbfl; ivelc^e t(| ttinv 
)eboc^ nut untet fi>I$enben (gtnfc^t&nf ungen ; berflattet 
l^abe: 2)a§ i^et ni^t ju biele mattn; hag fte nut auf 
etnjettie @d|e dtngen; o^e etne ^et&nbetun§ foigfnber 
@A|e na^ pc^ jti itefeen; t>a% ftp bie SBBiStbe be^ Otigt^ 
mUi gegen bte 9^^(et unbetfUnb^et Sibfc^teibet be^a^iM^ 
teten; bag enbtid^, to(iht^ (etn C^tttif^ eiflige^ ^ebenfeii 
l^aben fann, bte unttc^ttgen (BuUm mi^lidi)^ tiud ben^ 
ittictot felblpk emertbttr ^tm. 3c^ nrffl feietbd^n bet ^es 
utt^eifond meinet fiefet fotgeube ^^robeo botfegen :. ^ . ?*. 

il Sa^eggetaffem im i* 55^ 17* 6tfi. bet gar 
tttc^t ^etge^bttge S5e9f«| ifr/f >c«i Ji%« r#iww ro? jeuieXov' 
— tm lo. ?&. CLo. @o$ bte ganj^unnfile (Rtnf^aftit^f 
x^rt]^ r/vfl6 T<»v 'xrfoetftiiAtvoijiif r^omsv — in bem anf » 
10. 55. 32^ @, folgenben £e^nfa|e bet ntc^t^^etgel^bttgc 
S3e9faf a»^ ^emonfttatton/ We((|er ^ anfanisc ^/bioiik;^ 



/» 



/ • 



^ 



eon ^r ifofpten ^uJgaSe. xxvtt 

SBeweiff* bie ouiffi^riirfje €on|lrnction , tvefc^e ntit bet 
ftn ii..@a|e kftflts^ettieHep t{l; tveggeJdffen / iirib bfog 
^i 9tf fu(tor botau^ angege6en txyotben. 

2. '^yx^\\%%ti 'tm I. S* 24;©. am ^Mnfange bc^ 
58ett>eife«, ju beffen QSotljlanbigff it, bie ?Q3orte: wet* 
t^e ittc^t gt&^er al« bte anbrc i)F ij!. — 3^^ 
$. S5«c^e I i- €rW. mu^tc ben ^roporrtotral8r6t5crt A, B, 
C/r D, fec^geffigt »etben ; baf jte dn einanbcr ^an? 
0eitb ober ^ctig finb. — 3^ 5-55* i3-StH. miigtf 
angejetgt werbrn, ba^ boh eincr ^rDpottton bie Sflei: 
W fep. — gm 5** 33. 2o* unb 22. @a| mufte, wegeit 
ber batauf fbfgenbett @&|e, be^gefdgt tt)etbeh, bag ^et 
tie 93roportion geotbnet fep. — 3mio-55uc^e 
78. «. 79* @af fnb i^n(id)e ^Cnmetfungen / bergfeic^eti 
'. ffc^ bepm 41. unb 42* ©o^e im XtyXt fe(b{l ftnben, an;, 

' 3. S[Jerff|t: 3m 6,55- 8^®a| ftnb bie bem »e^ 
weife fcepgemffc^ten ^roporrionen in ben S^f^l/ wol^ 

* ftc cjei^&ren, ge6rad)t tt)orben. — 3^ lo, 35» as. @. 
ftnb bie \t%Xin SOSorte be^ Sfteweife* Het^aSoo is fAsati etc* 
a(« 2(nmcrfun<j bepgeffigt, unb barin t^eflimmret aui^t^ 
ttucft — 3m io*iB* 33- ®- ijl ba« bem Seweife ani? 
gel^^angte ojuc<aff JIp 7raA/v %$%Bf\aBrcti. etc. in eine befl^m 
bete ^Jlnmetfung ge6rad)t wcrben. —  3m 10. 35» 92-0. 
ifl bte ©onftructicn me^r jufammtngeflellt , unb ber Tln^ 
fang be6 55cn>eifc« in bert jn^epten Jfjeil, tropin ft ge^^ 
^t^ gebrad^t worberi* — 3m 1 nS. 23. ®\ ifl bag, 
tM^ ju bett J^auptt^eilen ber Senflruction unb beS Se^ 

. teeife« ge^5rt , me^r jufammengc|leflt. — 3m 1 2* 33. 
7* @* tjl bad ^nbe ber fcemonjlrafion in ben 3"f^9^* 
irad^t 

4. Swf^mmengejogen: 3m 10.^, 15. @aj^ 
finb bte Ke^ben \)on einanber abgefonberten $^eile 'm @i^ 

N nen ©a^ jufammtnj^e^rac^t* 



•#; 



\* 



>^pcvm 



ItiK^Vi^t 



a. 3«tt 5» ^- ^S* @- tjl im S^f^afe an^tt gerobea 
Smiett/ bte einxmbjei: fc^neiben^ gefe|t n>OFbettt 
bte bon bittern 9lXunlte au^i^t^eti; n)e(c^e$i.@. 
itttt II. 58. aj* ©•, tt)o in beir jmepten gigur bie brif 
SBirtf el urn N tncc t:edf)tett SQBinfefn glekj^ gefe^t tt>erbe«^ 
iiberetnftimmt 

b. ©e^ 2. SB- 13. ©. ifl tm?erte unttc^tig Slof duf 
fpilwinflige ^riangel eitigcfd^rawft, unb ba^er 
In .ber Uebetfe^ung a (1 g e m e i n auefgebrucf t wotim, 
mi^b bie fleitie ©rinnerung: 2)fan ne^me an 
u* f- tt). ^ bem 55ett)etfe boran jufd)<cf en iW* 

c. 3rtt ^- 55- 14. ©• ifl bre Scforbernig bed $ej:fee^ 
bog bie gerabe £inie BE>ED feij; in bet Uei«rfe|un«: 
n^Ci^gelaffen ; inbem auc^ B£<ED fepn fann^ o^ne bci| 
folc^M in ber Sonfttuction ettt)a8 anbere. 

3- 3m 3. Sg. 24* ©• iji bie ©erfnfipfung biefe* 
(BaP,ti mit bem bot^ergefeenben ^ welder eben bedwegeii 
t^orangefc^icf t mar ^ oud bem $e]rte tDeggebtieben^ imb 
Iba^er in ber Ueberfe|und tt)iebet ^ecgefleilt. . 

e. 3m 3» 35* a6. u* fl8. @- am (gnbe bet I^emon^ 
fltation f ommt bet @a| : tt;$ ie Kca cXa^ ABF xuxXo^ 

riw AEZ xu»X(u i(rc^, unb bie ^olgeturtg bataud^ 
ofenbat bon einem S^tt^wme bet 2{bfc^teibet/ obet 
(eond felbfl, ^et. Denn bie SBebingung bed @a|e« 
tDat in)at ben SBotten nod) bie ®(eic{)^ett bet be^bea 
^reife, woruntet ahtt ©ufKbed nac^ bet iflen ®tfL bies? 
fed S8ud)ed,b(D6 bie ©(eid^^eit t^tet Dutc^meffet obej; 
J^albmeffet betjlefjet; nic^t bie ©leic^^eit bet ^(a(^ci 
unb bet Umfteife; n)el<:^e nitgenbd etmiefen ifl. 905o^'t 
abet wat im a4flen @a|e biefed 55uc^ed ettt>iefen, ba|i 
i^nlicf^e ^teidobfc^nitte ^bet gUi^en ®tunb(inten 0(eic^ 
ftnb. Unb ^ietauf betu^et bet tic^tige ?&itot\i bed a &^ 
unb a 8* @a^ed/ welc^en \^ wiebet ^tgefleOet l^abe. 

f-3m 






ton Mf |w<p]f<n SudgaSt. ^ xxi:^' 

SBantfitt^ noe^ ^m beflen butd^ rationum exp^oen^ 
tes ii(>erfe|ts abet biefe san^e Srtl&cuns , oud^ fo^enrai;; 
0iftii pa^t nic^t ju bem ^9|{enfe t)e0 ^dflibed. 9Ba» 
(lid[) bicfer unter 3 tt f a m m e n f e | u n g bee 9)ct^&(tntfff 
Sfbdd^t ^at; er^eUet bettt(t(fy au< bent 23. @a|e bte^ 
fe6 S84i<f^ed / tDorndd) ' id[) aud) bie s* &((&tutt0 bieft# 
S&ud^eg dbgefa^t ^a6e. ' 

g. SSe^m 1 o. 58. i I ?• ©• ifl anjlatt be« weit^erjei? 
l^oIten'anbetn%cn>eife6 etti toeit f6r jetet 9€fe|t ti»otben» 

h* 3m X2. ^. 17. @; tdalles, wai jur eigentlic^etr 
€Dn|lructton, fo wit tai, xcq& ju bem^Seweife ge^&tet, 
me^r jufamm^ndejieQt tDorbei^^ moburcl[) bie Ueberfid^t 
fe^r 6ef6rbert ifl- 3Iu(3^ ijl ber 3ufa|/ ber ©eutltc^Wt 
iinbefc^abet; obgefArst. 

I^tci) obiged 'Detaif bet ir^eblic^ern ®er&nbetttn^ 
gen, n)cld)e ici^ mii: mil meinem Tluctor berjiattet, ^offe 
tdj meinen gefetn ntc^t mt^faflen ju ^aben. Urn beflp 
ttqec fann ic^ bie Srage, bie nod^ iibrfe ^ fepn fd)eint, 
teantworten : ©inb fammrtid^ 15 556ci[)er bet ^femen^ 
ttf obetnutbt^jemsen, n>el4>e ju gemeinet 2(nn>enbuns 
btcnen, nomentlic^ bie 6 erpen nebjl bem 11. unb 
12., mit Tlugfc^Iufte bet i^btigen ^&d^et , i n d !3D e u t < 
fc^e iU dbetfefen? ^enn an bet ^i(!^tij|feit \xM 
* Unentbe^tlid^ett bet bon utonc^em Uebetfe^et, bteUei4t 
aud petfbnlic^en ©tdnben, n^e^selaffenen !5&cl^et fann 
fein Rennet im ^^tingflen jn^eifefn : inbem ba0 7./ 8* 
iinb 9/Sucl^ ein in feinet 7(tt einjig^t, unb bon ben 
92euetn n^o^l noc^ ju n^enig denti|te6. @9flem bet^titl^ 
metif ber liitvx ent^alten; bad 10* ^uc^ bie £e^te bon 
ben 3^i^ttona(gt6^en mit botjildlic^em ©c^atfpntne ent^ 
^ xoxdzUf unb s(etc^f^Ue ba6 dinjige feinet 2(tt aM bem 
ganjen 2((ret(^ume; fo n>ie ava ben' neu^tn 3^if<<)f M^i 
bag 13! 55u<l> obet bie reguttten ^btpet, beten SSe^j 
tta(^tund bem ®eij{e bet Ttkin nit^ Pl^ne ^runb tbicf^^ 



t • 



9{a(f9^t 



1(0 toot, auf ettfe :art Ufianbtlt, me man fie anbemarM 
nic^t ftnber; tmtt bie Ie|ten jwe^ 35fic^er^ ob fte gleic^/ 
ftt|l awgetifc^einlic^ ben ^ufli&ed nicfjt jum Ur^jebcc ^ 
%abm. Unnod) nid^t nnmttfi (inb, feinem unflEerblt^ett ' 
SBerfe,. beffen ^ortfe^uns jie fepit foUten, be^geffigt jii ^ 
»erben. 2ltte ©cdnbe mm/ toeic^e Se«»«nt> S^den eint ^ 
l>eutfd[)e lleberfelung ber eben genanntw ^fie^c ' 
anf6^en f&nnte, gelten gewig auc^ gegen bie X)ata 
bed ®ufli.be«, unb gegen bie ebenen Oertet 
be$ KpoUoniu^/ urn nur biefe be^beit (^rif^en ^u 
nennen, beren jene bom ^errn ®d)toab, iBtuttdaxi " 
i78o> bie anbere bom J^errn Someter, Seipjig 179^, ** 
mit allgemeinem SSepfalte in 6 ©eutfcfye i5berfe|t 
»>orbeni(lf fo ba^ auc^ tc^/ mtr bet beutfc^en Ue« 
berfe|un9 fammtlic^er funfjefen SSiic^et ber. 
€ I e m e n t e tttoM bergebftd^ed unternommen ju j^aben/ 
nid^t im geringflen befiirc^ten barf^ J^ierbJp abet tontif 
u ic^ a\t( Uim Tltt bem Sor^abirn ber Seriaflg^anMunj 
cntgegen fepn/ ifcon oben ewi^nten ad^t Sii^etra 
ttod) einen befonbecn Jlbbrucf fiSr ein ^th^nti gJubHcum 
ju beranjlalten, weld^er ben D?u|en ^aben fann, bag n 
ben 6uffibe« in mebrere ^anbe bringe, unb bep SWan;s 
c^em auc^ bie 2u(l nac^ bem Uebrijen erwerfe* ©e^- 
^(leben; ^(ofier ^erge^ am 28. October 1797. 



y 



3o^nn ^riet>rt($ Sorettj* 



€trr^» 



^mmmmam 




05 r b e r t dS> t 

ftti: btttten Vttigafrr 

^^ ber^feL Soccoj, b«r bod (o6ettfio£rbi0c ^tf 
flteben ^atte^ feifie ©(i^ftett/ iie^ n^ueti !2(itf{aseti ber^ 
fe(6en/ tmnut; boOf emmtief jiimac^en / 6e9biefer muett 
3(u«ga6e ferner Ue6erfe|ittn0 ^er (Sementr^ ipenn et 
fbfd)^ erifbt l^&tte/ dfktflet ^a^m n^rbC; bod ^&i (c^, 
ton ber !8er(ag$^nb(ttn9 ju ber 9lebif!on betfefben ouf? 
geforbett, im^ ©eip:e-*e« f«L SKannei unb xccfX oOfi: ©<:i 
toifitn^ftid^eit 30 (ttfien gefu(^« 3u tern @nbe ifl bte 
Htberfef tirtd n^ieberum fotgfiltij mtt bem ^iec^tjid^en 
£)n0tna[^ jfo me »tt; folc^ed in ber ©cegorpfc^en 
'^0ddbe^befi|en; »etdUc^; unb^ti^o {ie baff^I6e ni^t 
genau ftoteber ju deben fc^ieti; eineTfenbenins bor$^Dm^' 
men worben., ©tefe ICenbetungen beteejfen nun tl^ette 
bte Ueberttasuns bed grie^^tfcl^en ^tudbrudd, i\vXi ben 

JJbwetc^ungen, n>eld^e fit^ ber fel. Eorenj bon bem 
sOtisinat eriaubt \QXXi. 3^ ^^^^^ f^ einjetn bur(^ 
. de^en* 

$5e9 einer fi> flMpeIn @prad^/ ate bte €ufftbif(^e 
tit/ follte man foum ermarten/ ba$ ber @tnn trgenbiDo 
berfe^It fe^n f 6nnte« X)ennoc^ mar bied ber $aU frep ber 

«r-. 



» ' 



fefer , fo tfiefe ic^^ beteit ftitne, tie a^&tfet is^ps dro^h^ 
l\x ben fofjenbwi mi» axtats stjogett ^aben,"ba fie boc^, 
wenn anberS eiit fc^trffid)rer (^tnrt l^etaugfoirfmen foU, ^11 
beii|^ tjor^erge^enbetf vnA/xmrret gejogeh tJoetfben ititHf; 
fen *> Die'ftigenbe bierte QJtflirung fonnte fd^on bac? 
auf f%en> nmin ^n^os uhh^hA tbettf aU<) ju bew Mr$ 
l^rge^enben A^y^i, nk^ afrer ju Um^ti^tnUn pmyt^ 



* ^r. J&auff ^ fttr ia»ar elite setwe Ueterfe^tms »ef {«# 
*if4?ett ?:ettef ju ikfern t)erfiprwfeen^ ^t $kr 6(ft| bit 
€ommahMnif(^e SBerffon/ n)e(cl^e rifc^t etnmoi 5a< 
vnyXiyorjjroe Hc^tig auftruA, isfterfe^t/ fo i»{t er fo1(^e< 
'au#iti bel 12. 9&. 5.18. get^an ^. (S« ^e($r nftmail 
@. 303 be( stveQten %v^aht fein«r Ue6erfr|fttiig : ^ 
^tar4) ibtefe $^ei(un$ er^aUenen 3>9ramt5eii i^ei(e mao 
^ttJieter auf S^nH(^e*Srt, 6ig man tint 2fn§a^l ^pramfben 
^^encmmen i^at », (: f.** 3*1 Jem fte^e f»c otf 
A«if)SM<ri^ nicQt ^)]4^«»'< . |{ngegen f^thU (oieiti. Uei^f 
fej^un^: quoad /«QMirmr. S>erfeiie ge^(er fommt gleic^ 
noc^ einmot wieber t)Qr, n>o }war ber Xtxt A^X)}4^5a><r«v 
l>a; , aber ojfenbar f0»o|( wegen bed ajor^erge^enben aii 
toegen la. ^. !<. io» f i. u. 13. 0. AfAff<^«<rotv g^efen 
tferben muf, 3(uf^ la. Q^. 17, p. ^at J^r. 4<iuff tiitcfi 

. onbeirn Seller, ber (atefn. Serfton ^mtvii^ fiberfe^t^ mtU 
c^ett f(bon 9to6ert ^imfon (m. f* 1S^att>{ad 3tu^ 
iug ®. 168) verbeffert ^at^ unb ben ^ir, •^au ff nld^ blofo 
weU er 9tobert ®<mfonU iattftt. Sfu^abe iren 1756 
{ur ^anb f^m, fonbern dv^^, mxi Me ^i»rac^re$e(ii un^ 
ber Sufammen^ng bft SerbefTeritng fprbern, too^I ^ict 
Dcrmeiben Mnnirit 



. •' 



\ » 






im bit \>ti <. ^v 68. @. jusefAdte ^ebinfluitg^ mld^ 
bfr fe(. Sotetti na^ bn^ lauin. U^betfe|tms t^oc^ mil: 
Mt€c Mi Del IkS^i^ genommeiien ^ertc^ddund mUp$t 
.^eebett feotte* 3»«^ ^^i^^ k^^^ ^^^ Ht^m,. mldfi^ 
"^tlUtitt urit^ <£reinine| in i|ren/2(ii«9abenf iii 
bcn^nfiebte ^^neo'^n; gdec^ifc^ mtt^tiUnp au|denonM,. 
tmn ^ett/ unb bet audr<£ommaubtni in feiner ©eff; 
.fion i)f fol^t ifi/ 6ebeutenb i^on berjenigen bet ©teg 01:9^ . 

vw.MAfiM^rwi' rir r« ei^9 r^g nfjLt^iMf hjv in. 

i^tiom tKKHvm ijl in ben (e|ten flBonten t^tnhat t>^# 
kor&ett/ iinb ba6 ^V^^^^ ^^f 1^^^^ S^U ou^iuflreic^eiu 
S^enn rnit ^ M ju i»(i:bmb(h^. wte ^ommanbtni £«» 

' V4W MA«>M^»r«iM' titd[|t drif u>ct( ba« ^raiurogtamnt a • 
f«ne €t0injun9 «ne< atibetn tfl. 3i«fe^ »»«« «^ «^«f i* 
lAAM9nv> tooju (ii na(^ betn (Spcac^ciebrauc^c SidFfib't 
imb weden bed gufasimen^attded de^6rt; fo tfl e^u«Mi» 
.«ln ben @inn flitetibec, mit^i» ^6(^fl ibetpfifftget, 53c9» 
fa|» ®enn wan batf e« «id>t auf bM ^u emwcrjthbt 
^oQelfiiramm; noeU^e^ einc ^cg^njuttd 6ab<n (1^. 
Xiwr«0 foU, b«$iefe«tt, tpeU nic^t bwfel, fonb«n feint 
^ginjunfl, bem gJaMttelogMoim a &fen(id> fe^n foil. 
^ %\x^ biitfte m biefem goUe bet 5ltttfel ntt^t fe^fen. $>te 
«dnie eefedtt ft^etnt aui bet fc^(ec^t inteci^unsfttett tmb 
ttbdd f^fec^tec betflanbenen hdivv ISietbor^fganden (tt 



. rf •* 






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;txxiv 



^^tUti^^ 



." ' 



\ 



!ju«0a6e, welc^e oHetn cirten paffftiben ©init gtebt/^^ b<ni 
tBbtiUj flege&ett; imb i^ gem&p bie Uebetfelttitj gean*^ 
bifct*). S^^^^^ff^'^" SScrft&nbm^ bcr gatijen ^^^opo?* 
fftioii mag ttoc^ bie SBemerfutig bteneit , b«g (SMt^i \ix\ 
' t'ctfeteen bte^CuffSfung etjter ^mbtati^m &U\^mi Voh' 
Ut %om x» — ax + b* = o gele^tt ,^at — ®he' 
htittt ^telle enbltd^, t&d^e d&geanbett wetbeit ttwfjte/ 
tjjot bie m bee 2Cnm* ju 13^ 35- 1. ©♦ bem 55ett^fe tbr^ 
oVi9efd[)trfte55emerfun9, bie 'Xnafpjid unb @i)nt^jt« be^: 
tteffenb, welt^e fo au^gebrucft tt>dt, al6 gibe e6 ei«f 
bifbnbere anal^fifc^e, bott ber fpnt^etifctien berfcfjiebene, 
^tmiiatU Tdlein bergfeic^en brauc^en bie ©eontetet 
fce« Tlltertfeumd nid)t, fonbetrt riad^i^nen g46rett2Cnaif 
t9ftS unb (S^itt^eftgober Scmpofitioti tmmer jufommen, 
bafett fte nie eine Ttnalpftg gebeit, ofene fogfetc^ bie @9tt^- 
t^efxd bowuf fotgen ju laffeo. 3n ber ?^ot, bd bep ber 
3fna(^fi« ba« iu S5en)dfenbe fcfjon befannt fe^n imif, 
urtb wan burc^ biefelbe unmittelbar jli feinem neuen 
^aie gelangt, fo bient ftrf^e nur, be9 einem bermu^' 
t^ung^eife angenomtiieneit ober anberfiwo^et fcj^on be^ 
fannten@a|e, biejenigen @i|e aufjuftnben ,^ iml^t in 
ben f&tmii bed noc^ unben)iefenen @a|ed (ingel^ett/^ 

»e(* 

 j©r, ^.^auff ^ttt ^iet VMt tie Jefeart 0e< grjec^if^en $ejc* 
te^ tor ^tfugcn ge^abt^ a6cc webcr in ber Tr^orao-i^ noc^ 
in (er M<(r<4 oen @tnn genau unb ric^tt^^arsefleUt 






mtbett foUte, bod) >c 3I«« na(^ »«*^'<^ «"* ®9tt'' 

% 

3eiRiet8. 

3(^ Hmm i4t iu ben ^(feonbctungnt in bem 3"* 

.»at im i»«9ten,:Hbfa|e b«« 5&ei»eif€« gefagt, baf, »ie 
fet ^!e»<t« gtdnbet flc^ aUt auf bal., BWd etjl mdjfjtt, 

go^tt A, B, C tmM H ^a^*"^ ^^ ^^ ^**?^* 
fo geittbett wetben , »ie geft^feen i% — i o. SB. a9..@. 
i.'fiefenjl mt bie SSebingmid owsbtfidKc^ ^u emS^nen, 
^$ bic b<9ben anflenemmenen gfac^enja^Icn AB, BC 
jU9feJ<i^ entttjeber 9«abe obrt nngewbc fcrjen, nxtf fonfl 
be* aietl AC nic^t a<tobe ijl. S>et TtUdbtucf , fo wie ec 
fcie^t ^t A »<« <n^«" "^" ^'^^ 3«y*" emwcbet ^cpbe 
„8eMDe obet UxiU ungerabe feijn," fann fb itttut<t 
werben, ofe mnn ^jwep angenommene §toc^enia^ten 
«o#»enbtg aOeni*. bon f«(6fl bie ongejeigte S5efc^affen« 
^it patten, b<i boc^, wenn fonfl ntc^M ^inbett; bie eine 
gecobev bie «nbe« ungewbe fet^n fann. — 13. 35. 
18. @. wat bee S5c«>ei< beS ItjcM, bag CK>CD, alfo 
aui CL>CD unb AL>AD ifl, t^eggelaffen, ba^ef 
folcle? an einem fc^idPftc^en Octe eingefc^oftet wetben 
inugte. — ©n a^ntit^et 3"fa^ 'ff ^4. 35. 5. @-. ««» 



• ^ 



t 



€n*e bed 55^tee{fri jct^ittc^t^ urn benfeften anfjtht its 
tjibe iinU, »ie bet @o| fetbert, au^iubc^nen.. 

SQBad enb(i<^ bk 'Mbwetdjungen tjon bem lOtigttiafer 
t^elc^e ftc^ bet frf; ^oreii j etfaubt ^at, betttf^^ fD ftnb 
bie mtiflein berfefben unijerfinbert geWieben. SGBiebtt 
^fr^eftcKf ifl jebo(f> i. 35- i?- @. ber gufa^t „»el(^e 
^<!ud[> belt ^ret« l^afWt*/* it)etrf)et? offenbat bet fbtgen^ 
ben ^rHirung wegeit ba jlc^r. S« bed 3,33; 7. ©• 
is)at bet ^«6S?tucf ttacf) bem be6 8. ^. eingctid^tef , afc 
lein nt(^t mtdbfAiffid) bcrtartgt;^ ba§ eine bet £irtten 
tntdjr ben SD^tttefpiinff gejogen n^erbe, me(cf)ed boe^ n6i 
t^i§ ifj, S)a bet Tttidbturf ba^uti^ to^itthx^^et gmoti? 
ben tt>ate# foi ^a6e id^ benfefben bem griec^ifefren' tejttt 
$tmh^ tt)iebet geSuberf^ fo wie fo!cf)e« oiicf) mit k35. 
X5* @. 3"f gefc^e^en ijl^ mefdjet in bet fe^tgen @efta(t 
efeenfalld jnm Sgemetfe bon ii* Sg. 23. ©• bient — 
^$ 9- S^ i 8. 19- @- fnb ttjieber ati 3(ufgaben awge* 
btucft, bei tc^ ntt^w uttfdE>icffu^e3 battn fe^; mnn erne 
3(nn>eifung gegebcrt tt)itb I ju etfot[c^en/r 06 eg jn jwe^ 
0bet bte? gegebenen ^a^fen mt brttte obet biette pt0t>et5 
ftonafe ge6i obet nic^t. SKan muf jid) fa eben fo nod^ 
7. 33* I* @. tt>egen be« fofgenben @a^>e6 bie 'itufgabe: 
ju etforf(^en ^ ob jwei) gegeSene 3<*^r^" 95ttm ja^Ien {u 
ctnanbet ftnb obtt nid^t; benfen* Uebrtgend tfl be^ 
9. 33. 1 9/ @* bie 2lufl&fim9 beg 9ttecl[)if(^en $e):teis xoks 
bet an bte <@tefle bet bon €Iabiu< gegebenen, rotid^t 
btt feL 2cteni m bet gn^e^ten ^udgdbe aufgenommett 



^ — y 









XXXVII 



tgaiLttf 9t^t, mii bte I?. ^ offen6at <mf Utfef^e ^ 
m ^at« ^<9 n. 35. 1-3 — 18. @. ffiwmt Nd Uii« 
•f(^cf(t(^ Ui HvObtndi nuc auf 9(e<^itttng ^ U(6ec« 
fc^tift bet (otfintfc^en «tei: beutft^ tte6«efe^d/ ini 

^te bid^(t auf9«i&^(ten t^(htb<cund«n ittxi^ oQe 
tM^itt a6 ^ bi< UeM<l<*nd ^^^ {>tt0Uta( fo m^ ju 6ttns 
^/ <i(d fk^ tied M >t 0(t»&^ttm ^ b(t 7(^6r; 
|tutd ed^tMi (^|t. 3fobete Mn iimtb(i;«ft^5A«tttttis^ 
weitfK, ansttfil^vett jo toettfiu^d fc9n wtxl^t fln^ ^ ««« 
gcbroc^t; t»o bU l^ttdu^eit obec be? ISk^itit fie m 

fcfbttectt fd^tm. 

2^ ^attbf burd^ bte <nif biefe fHebiflm jj/tmsfytt 
gltfi^ bit anerfannte @6t^ tmb ^rau4!6(»f<tt ber \Xt* 
berf4undbe«fef.Sofeni noc^ ec^&^t iu^6(|t, unb 
H tt>itb ittic (tne a&^ene^me ^(o^nung fepit/ toenn bie« 
felbe in bet Sofge nw^ fo, tt>i< bie^c, juc :Muebreittiti§ 
ii^tet SDSiffenfii^ft unb jut TtugSilbung be« 3)enft>ef in5« 
genS beptt&gt. 3<^ fe<»^« au^ctbem ©orge gettodett, be« 
tUbbrutf fb biet aW m69li<^ iM>n '©tucf fe^Urn fte^ ju et« 
^aften, unb t4 %i^if«/ ce wecbcn t^ttt nut wenige fle^eti 
^eblieben fe^n. ©n 9>a(it betfetfxn wetbe i^ nac^^te 
anjctflcn. j 

3uw @^Iuffe bem«fe ic§ ne(!^, bag "bie bon «n«n 
neuCTto ©thrift jleUet, wetc^et ouf ba« tanfe^m etneS 
9)^i)fi>9^cti boi ^incip bet unenbiic^ $^et(batf (it bee 

c ^ 9eottw» 



» / 






xxxvin^ l93oriN«K|l (itrtritten ^tt<d<i^« 

seometnft^en ^th^tn n\d)t mil ^(ittn (affett; ^e^tn bad 
<£uHibifc^ @t){lem nf^pbtmn ^iiitk^e^birngen feiiten^ 
Ut'fiiif ncui) bem SBepfpiel aUei: t>orjfidIic^in. 6)^ometet 
ben ^fttbed .^m^^ttt $en>&^(t ^l ^bet u^^(t> n>o^ 
fftnfieetnoa befattnt t^etben foUten^ auf^ften nr&ffen« 
J^tet gtit bet ein^ t^oti D*2IUmbert e^tfteilte Dlat^: 
Altez en arant, ct la foi tobs viendra. ^tntm SW^riffo 
feflet after ^ ber bie IndivifibiHa mtebet ^erboriog/ fantt 
man fdgli^ bie ani bem ^rugfc^Iuffe be« 3 e n o befanti^ 
U ^erfolgmtd etner %d^(bfr&ce burc^ ben f^nettfi&f i^ti 
3(d)i{( entgegen fefen^ tDDri&Ser Keilii Introductio ad 
. vcr. Phyf, Lect HI. p; 3.3 nad) ju fe^en tfli 

©efc^rtefcen Jg^atte im ^M^l ^^^basegmnr^ am aa* 



S^Ml Wlotlmii>t, 



SUerbeffetungem . 

& 348* 3* II* ^.mtm ftf)lt in einf gen S;:em|>(areR Me&(^(u0< 
folfle : ^olgKcb (fi AB = CD. 



(Ixtli^ ' 



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A=B 
A>_B 
A<B 
B 



2)le ®r&6c A iji bet ^r6ge B jjleid^, ' 

J)le A ift %xh%tx Ai We B. ~ 

S)ie A iifteinec aW bie B» 

^\%h i^ enttpebetr dt:6ger/ obec e^en f» gt^^ o^f^ 
fleinec, <A% WeB. 

SBenn AZIB, fo t|i ««* C:z:|$, ;;. • 

^ i. wenjv A=B> fo ijt au(& C=I>, 

»enn A > B , fo ift mi^ C > D, 

toenn A < B , \xi, i^ auc^ C < D» 

©ic A iji ber B a^i* 

2iie A i^ g(ei4) tint a^nGcj^ t)er B* . . 

SBa^ fommt^ tDepit B ju A ^minget^it t^to^^ 

SEfaJ bieifrt; ttientiBt)onA^in|oe^tiaoiiii«i;mttb» 

SDe^ SBinfel/ beffen ©piSc B ift* 

(Sin tec^tec ®infeL 

®et Stiangel, beffeii ©pi|tn/ A^.B, C^ (Inb* 

SDa£ Duabcat tec getaben £ime AB. 

^a« untec ben gecabm Sinien^ A^ B/ cn^a(t«ne 
SKectangei. 

A : B ^ie SOec^&ftnig ber A ju bee B. 

A:B=:C:D, b, i. bie ADer^Sft fu^ jn B^ tt>ie 
C jtt D.  , 

A: C = (a:B) + (B:C), b. t bie SJer^Sttnii" 
. A :C, ift jufammengefeQe aul ben be^ben 
JDev^&ltniiren/ A : B unb B : C. 

. aCA:B) 



AruB 
A^B 
A.+ B 
A-^B 
ABC 

St. 

/^ABC 

DAB 

•A><B 



r^i 



) 






3 (A : B) 3>at twjf^^ btt fBet^aitnii A : B« 

A 4- B 2>ie Cumme bet ^a^ltn, A, 6. 

A— B SKe SDiffwni bet 3a^fc«> A^ B.^ 

A . 6 ibdi f^tobtttt oM bea Sa^Ictt , A , B. 

A' ^ie Ottabratid^I orni A. 

A^ 5Die euMfi(i^l Don A« 

AnB' Sie Sl&c&eit/ A/ B/ fitib cemfnenittrdM; obet 
bte geraben iinim, A, B, jinb in i&nge com^ 
menfutdbef* 

AuB SDie^t&cbntf A, B^ (inb ttteommettfiiti)6e(; obec 
^ . bie geraben Siitien/ A^ B, fmb in S&nge tn^ 
cemoieiifurabeL 

A ^^ B ^e jibaben Kntett/ A^ B, finb^Mog in fktmi 

centmenfttrabef* 

A u- B t>it getoben {inii^/ A/ B/ ftnb in ^oten) iiM 

commeniitrabeL 

« 

<^) 93e9 ben (liMti« bebeittet 9. tcfl&tung ; $; ^oberting ; 
e. @ntnbfa$; ®* ®a^* 2)te 3a^( be« 9ucb« tft ixihf 
vm i»»i?angffe(^/ tmb burc^ etn tomma abgefonbeti. 






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^ t f I 4 c tt ti e »♦ 

t. ^cTm pmh t|!/ Wa« feme ^^ctfe l^at 

bepnbUd)ert gJunftert oilf einttUp Tlrt (legt. 

5. Sine ^t^*^ tfty t»a« hue fi&nge unft S5r?|fe l^<tt* 

6. 3)aS Iteit^erjle etnct g(acf)e jinb 2irtiett* 

^ Sine ebene ^l^e (tebene) x^^ m\^t atttifc^m 
jebcn in i^c beftnbtic^en getabep Sinien a«f einerle^ 
Ttrtliegt 

jj. gin ebettcr XOinUt ifl bte Oletgun^ jme^et Jfinteii 
• -Segen einanber/ n>ertn folrfje {n einer SSene jufam^ 
menfaufen, 0^ne tri geraben 2tme ju ftegem * 

$. ©inbbleSJtntcrt, »efcf)e ben ?!OBtrtf et einfd^fic^ett / ge* 
tdbe ; fo \t\%t berfelbe e<« gerat^iintget XPirtlcl 

w* H©te^t eine gembe'Sinie <juf einer anbern fo, bafl fi< 
g{eid}e OJefemnnnfel macfjt; fo ^ci^t (te petpeit^t^ 
tulat owf bet anbern , tinb jebet? ber fee^ben gWc^eil 
gOBinfel ^ei^t ein redprer'XPtfiKelt , 



♦. 



/ 



8 



dxiHA^^mmmtt 



xj.^Sil (httttpfcr VOuOil ^t§$; ber sr&ger ote cttt 

i2» €in fpt^et dfc^r, bet fleincr a\i tin tcd)Ut iffc 
i3» <Bt&im fe«^^/ «^ *>^^ 21eu§erflc <lhe« $)i»geg t(l; 

14. ^tgur, tt)a8 bott einet ober me^rcrn ©ranjen cin^j 

gefc^Ioffen tt>irb* ' . 

15. SinZ^reiB i(l etne efeeneSigut Don ctnci: einsigcn 
£tnie, Umrtng obcr Umfrcts gcnannt, fo cingc^ 
ft^Ioffen, bog bie gerabenSimen, ml(i)t an biefclbe^ 
oud eincm inncr^alb bet §iguc bcftitbttt^en ^J^nfte, 
gcjogen toerbcn ; atle einanbcr gkid) ftnb. 

i(^. 5)iefet ^unft ^ei^t bed ^teifed tllutelpiinSt 

17, ©e« ^reifeg 2>ttrdbtiief)er ifl, jebe bur^ ben Wliu 

ulpmtt gejogene, xmi <jn bepberi @etten bon bcm 
Umrinae begranite, gtcabe £inte, ml(i)t and) \>m 
SxcUfialbitU 

18. ©n ^alWreis tfl bie §id«ri it^eldje bom Durc^* 

meffer , unb bem burcC) t^n abgefi^nittenen Unu 
freife ein3efrf)[o|fen mvb. ' 

19^ gin J^rrteabfcbtiitt i|l bie gifliir, wefc^e bon etner 
geraben :^inte unb bem Umjreife etngefc^toffen roitb. 

ao. <0ewWmige ^igateti finb, bie >)on getaben 2i|iteri 
V cingefc^foffen werben, unb jwoc 

2u fereyjf tttge (CrwtigeO bte, wek^e bon bre^en, 
22. vkt(tUi^, tt>e(c^ebon bteren^ 
?3- Pid^ttge (Polygone) bie, mii^c \^n me^ at* 
bier getaben iinim etngefdE>loffen tftrtben,. 

541^ Untef ben€rtangdfi ^eigt4)er|enige a(etc|>feittg^ 
n?elc^ei^|re9 gleic^e &^iun j^at-j 



•I . » 

* .    • 



45» gJric^clcnHia^abci:, »d<^«: hue jwep gleii^eiS^fc; 

ten ^ot; • ; 

fifi. iriigleii^fctttg , wel^^er btcp ungteidie @eit<n l^ot. 
37. g«tRet ^«i|t untec ten €ct<mgeht berjentflc u^U 

wiijBUg / tt>c(cf)et etncn «c^n ?S5infeI ^at ;^ 

as. (iump^nKig, welc^ct cincn fiumpfen aCinf*! !&«( ; 

39. (ptQootnSItg/ weld^et bte^ fpi|e S23inW l^at. 

3oi Untet fecn wierfcitigen ^igutcit f^ti^t bitjenlge «in 

CluabtraC/ wclc^e 9letd)feiti9 unb tw^twtnffig ifty 
J a ein iDblongtrnt, wefc^e i»ai: rec^tnmtftt^, a6ef 

ntc^tgteic&fettig'tflj 
3 a. «in K^ombus, welc^e jwar gfet^ifeitig, ater tiic^t . 

ctttitwinfUg i^i „ 

33, em 3M}omboib , ttun timnttt gegcndBetttegentJe 

(Seiten unb SDBii^el jlct^ ftnb, bic abet webet 
gleic^feitig , no^ tec^twlnffid *(*♦ . 

34, Sebe anbece Jjtecfeitige giguc ^e tCwpej. 

35, parallel ftnb gerabe 2inicn ; btefh berfclben S6<ne 

Ucgen, imb, fotbett man fie ofcf) an be^ben ©«ten 
feerlkgietn mag, feoc^ an feinej: @«te. jufairfmeiK 
mjfen. 

* 

" g b e r u tt fi e.n. 

t» Wtati fobere , bon |ebem ^Junf te nac^ jebem anbem 
etne getabe 2inte jtt jU^en i ^ 

B. btfigle^ett, etne d«wbe begt&rtiW 2{m« fletig gwabe 
fott ju tteflangetn ; 

3. b<«8leicl)en dU8 jeb»m0«nfte itt |ebe«i^|!anb« cincn 
^xiii ju bc[«^i;eiben. * . 



I 



® r tt t> b f a § e, 

3. 58om ©(eleven ^Ui^td ^inweggcnowmc^ logtOfei? 

4. 3wUn8f€t(^em©Wc^e«^ttisug«^an, Sttngt Ungfeft 

5. S5on Ungleii^em ©(<ac^«« ^intvcggenommen/' logf 

Unsletc^c^. 

/. ©feic^eS fidbittf gtcbt ©(etc^eg. 

8. 215a$ cittanber tidtf tjl einoftbrt gfeic^. 

9. 'Dag ©atti« t|^ gr&^ec a(* fctit t^dl. ' 

10. liiii t«(^te aBinfel ftnb «tiwnbct Qki<i). "' 

11. 3»<9 d*Wb^ ^intert/ bic bon etnei; .bcttfen fo ge/ 

fi^nttrtn ft3feti)eh/ bag bie Bepbcrt trtrtecn an Miners 
,I«i) @ctt« Iiegc^ben «8Bihfet a^famttien «einct off 
jt»c^ tec^tc ftnb/ ttcffcn gmugfam betf&ngeet ati  
eben bet @ette iufaramert. 

12. 3»C9 sewbe 2intm fc^f{e|m feincn^Dlaum tin. 



\ At 




*  



S)er I. @a|. 2fufdaSe. .» 

. {inert ^feic^feitigen ^riqngel ju erric^tem 

, ?(u8 bcm ^unfte A be^ 
f*mbe(3,§0mitAB&(ii 

^mttt B mit B A ben ^i;ei$ 
^ ACE, a^pm ^unf te C< iti 
n)e(4)em bcpbe $f eife einan^ 
bee fcbneiben ^ liebe O • St) 
na(b A, B^ bie 3ei?aben?inien 
CA, CB; fpijiACBb?? 
terlangt^ il^iangel. 

.2)enn U (is- @0 AC=AB^ tinb BC=BA: fo x^' ' 
(i.®.) ACacBC. 2)einnacbiftAC=:AB=BC, folaftc^ 
(24. SO bee auf AB ei?ipi^tcte a CAB glei^feWg* 

• 3(tt etneii gepebenen 93imft, A, etne b^r gegebenen^ 
BC, glciije gerabe £inie |u (egen, 

3iebe ppn A'nacbB bie ge^ 
taDe 8inie. AB. Sluf biefer tp 
ticbte (i* ©0^ ben gteicbfe^tM 
•gen Jriangel DAB. 35erlaiv 
gcre C**§0 bie gecaben ?ittien 
DA, i)B, nacb E/F. Su^ B 
l>ef\i>rei6e(3. g.) mit BC ben 
^xixt CCH, unt) oud D mtt 
DG tm Sr«« GKL : fj ift 
AL=: BC <tn A gelegt 

©dirbaCis.®.) DLrr 
DG,Mnt> (24. @0 I>A=DB : 

fo ifl (3. @.) AL=:BQ. SRuB ip (15. 6.) BC=:BG. 
8ol^K<^ i^i. ®0 AL = BC. , 

83 * ©er 




I t. 



«»» 



tm 



^\Wi ©etitmte 




"I 
^g ffnb jmcQ iingfeicfjie gerabe £inien, aB; C; gegefcen; 

man foU'i?on,ber gr&gcrn, AB, c(ne tltr ffcinern; C, gteu 

d^^ £imc tt)e9ne^men, 

Ufib 6c{<{>veib€ (3. SO au^ A mit 
.AP benRceiS DEF; fo ifl bie 
t(0ct Aii • tpegisetiomm^n^ ^inie/^ 

AE=c; , 

J)enr« eS i(l AD =; C, tint 

(1 5. @.) AD=:AE, fofali* 
<j. ^.) XE =:; C, 

' SDBentt in itt?ci) 3:riancjefn, ABC, DEF, jn^en @efe 
ten, AB, AC, jmcpcn ^citen, DE^ DF, jebeffitfi^^ 
gftirf) ftnb, (bie AB bet: D£, bie AC \>^t DF) unb ^Xi • 
^(nfef, BAG, eincm 5GinW;» EDF, gteic^ ijlt, ber nantis; 
li(f> / ben bie 9{eid)en @ettcn einfd)(ie^cn : fo ijl aud)t)tc 
britte ©eite B'C, ber britten £F gfeid); aurf) ftnb bte 
Sriangcl/ ABC, -DEF, felbft einanbev c^Uid); unb boiK 
ben librijien SGBinfcIn finb bie, n>ef(^e gleid)en ©eiten ^e^ 
^enAber Hegcti, ABC^ DEF; ACB, DFE, cbeitfaUS ein;? 
anber QUid). ,^ ^ 

SBcinge bea Jciangcl ABC D *=^ A 

aiif 5en Jriangel DhF, unb 
Icij^ Aauf D^ mib A8 auf. 
DE. 

S)aABr::?DEJpfaatB 
ouf E, 2)aBAC = EDF,j. 
fo faUt AC auf DF, 25a 
AC=! DF, fi> fa8t C auf F. ^ SRun fattt na* O&igein au* 
B awf £• golglicfe fallt BC auf £F. SDcnn foUte BC fibct 

obeij 




P B^ 




t 



"• 4 



\ . 



ebec ttnt<r£F fatttn , f» loiv^ BC EF> eiiietf !X«am eiiw 
fc^tUfien^ tt>e((i)e< (12. @.) mSib^i^ i% Solslii!^ t{l 

(8. ®.) BC=EF5 .AABe=A DEF; ABCsrDEF} 
ACBrrDFE. [ 

3n jebem 3fei4fcf)cnfftgen ^rtattgef, ABC, finb biej 
ffiDinfef an ber ©runbfiriie, ABC, AGB, einanbet gfeicfy/ 
2(ucf> ftnb, werin man bte (Sc^cnfel, AB^ AC/ iiert&ngetrtj 
tie ?£Binf<I untcr bcr ©nmblinie, DBC, ECB, einanber 

' jfuf BD mmm noillfiil^rficb efe 
nen ^unft F. SJon AE nimm 
(3- ®0 AG = AF, mb jie^e 

Fc, as. 

5n ben A A ACF, ABG, ifk 
AF=^;AG, tnib AC=:5 AB, au* 

t 

=ABG, AFC = AGB. SRuB 

ift, R)eiIAF=:A<j unD AB = 

AC , (3 . ® .) BF = CG. Sem; " 

na* ifi (1* ben a A FBC, GCB) BF= CG, FC = GB, 

AFC= AGB. golgtt*' iji (4r ©• ) BCF :::= C8G , unb 

FBC=GCB< tad ift, tie SDinfel tmtec tec @tuntUme 

fint gkitfe. 

^a ^BG:?=ACF« unt CBG=BCF: fo ijt (3. ®.) 
ABC=ACB, ta< ij^, tie SSinfef an t(« ©cuntttnie {tn^ 

5DBcnn tn iinem Jrianget, ABC, jwep 50BinW, ABC, 

ACB, cinanbet gfeic^ finb: fo finb mit^ bie ben gWdjen 

SSSihfefn gegmfibei: (iegenbeit ©eiten, AC,4B, einanbet 

Igfetc^* 

i « 4 SKJatren 



bcr SSi^I be|^ A be^ben gemeiit ; 
foIgft*T4--@0 FC=GB, ACF 




• « 



-^ulRSb'i €iminu 




9kt» AC, AB, mi$kk^, (•win 
diK toMn grifiet, etioa AB. 9ift9 
>a^C3.€».)BD=AC. Sie^cUC 

3n ^(n Srkingeln ABC, OBC, oo^ 
ee toniMc^ BD = CA, BC bepben $t> 
mdit, tti0 ObC =; aCB ; fofgUc^ 
(4. ©.) A CfBC=: /^ ABC, ntf^M 
(9- 3.) tMiin&g(t(ib tft ^mua4 t^ 
•en AC, AB nu^t un^^c^ fepn, un^ jtn^ oifo gfek^, 

SBeitn 66ef «nct geraben 2ttitc, AB, mi i^vcn ®tb* 
pmttm i»ctj «crat>egtntw, AC, BC, in ctncm gjunfte, C, 
iufammenlaufen : fo f6nncn nt<f)t 66er b«rfci'ben Stnie, 
AB, aus cbcn ben gjtsnftcn, jiDe^anbere gcrabc 2mten, 
tntjmm jebe ffir (trfj gWc^ ftnb, (bwVrjlc namlid) ber 
Jf ff<n, AC, bfe iwepte bcr jtoci^cn , BC) in einem onbetn 
yjunftc an cben btr ©eite jufammenfaufen. . 

®efclgt, bie bf^bcn onbern ?incen 

AD = AC, unb BDrrBC, ftcfen, 

»enn e« moglict) ift, in cineoi atif 

tttn ^vmttf O ittfommen. ^ip 

- ^ CD. 

SDa AP=AC; fo Ift (5.@) A^i — ^ ^B 

ADC= ACD, foIg[i4> (9, @.) ADC > BCD, fofglicfj noc^ 
tktmt^t BDC > BCD. ©a abet au* BD = BG*,fo toite 
^ (5. ®.) BDC::=BCD, »d<ji)ef raiit bem ©origen unm6aU(ti 
bejie^>en fann, 

Kuf i^nri<*e Sfrt witb bet S5e»et^ gefu^tt, tpdin man ben 
^Mnf t D \nmfi<Ai> t>fi a CAB anni^me, 

Sajenn In jwet) 3:dang«In, ABC, DEF, jmep ©eiteni 
AB, AC, jw«9en e«iten, DE, DF, jt^ fi'ir jjc^, g{«i(^ 

fwb, 





finbi (bi* AB bw DE, bie AC -bee DF) uiiW>i« b^ttte 
@eUe, BC; bet btitten, EF, gUtc^ifl: fo i^au({) em 
s^Sinfef, BAC, einem sgjinfel, EDF, glific^, bet n&mlic^f 
tpe^eti bie 0lctc()en ^eiten ein[ct)Ue^«n, 

S3nn0( ben !ttiande( ABC ^ 
<Kif ben A DEF, unb lege 6 
fluf E« unb'feCauf EF. . 

<&aBC=EF, fofaUtC 
oufF. gtiini(t BACKED, 
' unb CA == FD. gutsKcfe »^ 
f aat (7, ©.) A auf D , «nb 
bo^ec BA duf ED, unb CA «uf FI), |p»{9S(^ # Cg,®.j 
BAC:stEOF,  ' • 

S(uf AB mmm mtUfu^r^ 
|iE> ben ^unft D. SSonAC 
itimm (3* (SO AE rz: AD, 
^ie^e DE^ ynb mi^tc 
(1} ®0 auf bevfetbent ben 
$lei<^feitigen A PEF. gie^ 
|e AF: fo ^dttivet bkfe ben 
S^infel be9 A, )i 

g>enn ba'D A ::=r AE, auc^ 
AF bei9^^ ilnangein ge:? 
mefn,unbDF— FE; fptjt 
(8. @0I)AF5;:=EAF. 

• ^ine i^^ebene bejitanit? §epab? ^iitie/ AB^ |u ^(s 



\ - 




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Kttf 



• > * 



) 



• t 



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^aflxVi ^entente 



5 ' 



feitigcn A ABC. ^albm (g. @0 tfji 
'■' SBinfef ACB mit €D: fo toitt bie AB 
in D f)fltbicet / . 

S5eim \>a AC == CRr unb CD be^bm / 

") = BCD: Al : 





Itciangeln gcmein, aucb ACD = BCD 
foift(4-©OADr=:DB. 

. tMuf ctner gegebenel* g^rabcit £ime, AB, in em^rn in 
i^tr jjeqebcnen ?|Junfte, C, etitert ^Jwcnbif et ju micf)tctt. 

eineft ^unft D* SSon CB 
nimm(3*@0 CErrCD. 
gu?DEerci4)te(i.@0 t)m 
^^eicbfeitig^ca AFDE, tinb 
jft^e F€ . (o ijt biefe perpcn'^ / ' d 
.bifutec a«f ABfm ^unftc C. 

©lenn ba CDz=CE, unb CF be^ben Jnangdit geinetn, 
ducb DF= EF: fo.ift (8- @0 DCF =JCE, fofglic^ 
(io» @.) FC pevpenbifular auf AB, !;^. 

. S)er 12, (Sat TLnfc^aht. 

7(uf ^ine g^gebene un&egraitite gerobe Stnie, AB, bort 
etnem >au|et^a{6 berfrfben geftebenen^imfte/c, eincit 
, gj^rpenbilff jU fallen* i* 

SBitnm an bet anbern 
iSeite »on AB wtltf u^clicb 
einen $unft D ; . befcbrerbe 
Wi C mit Catben SreiS 
EFG;^albireCio-60GE 

inH, unbjie^cCH: fo ift A. 
bier*pccpenbifuJar auf AB. 
2>enn jte^et man CG, 

CB, & ift GH=:HE, CHgemetttfcbaftfiiJb, iittb(iS-@.> 
GC = C E ; f o(s(icb (8- ©0 GHC = CHE ; f olgKc^ (i o. (g.) 
CH pet^penbifulau auf AB» 




.« 



/ 



% " 



A 



m^ti ^u(fy. 



It 




DBE + 

CBEsh 



- liteSBtnfel, weld^e eifte getabe StmV, AB, bie auf 
finer anbern, CD, fle^et; maci)t, fmb eutweber jttjej 
recite, ob« jweprec^tcn gfcic^* 
\ @t'p8 biefe SBinfel einanbcc 
. 9W($/fo finb fte (to.@0 jwcp 
rec{)te* ©inb fie a&ec unglefaf?, 
mie ABC, ABD: fo ccri^tc 
( 1 1 » @. ) auf CD in B ben 
^erpcnbifel BE, ^olgli^ fint) 
(lo.^O'CBE/EBD iw? ^,^ 

tecbte SSinfef* ^  ^'  . 

Sa CBErrCBA + ABE, fo iff, mm EBD ]&injtiFom#t 
(2. @.) CBE+EBD=CBA+ABE + EBD Qbm U, 
mil ABD:;=2DBE + EBA, ift ABD + CBA: 
EBA^-CBA. So{8licbl|»r(i-®OABD + CBA 
EBD, ba^ ift = 2 9i- ^. 

. 55?<tc^en nut einer gcraben £trtie, AB, in efeett bertifet 
6en 9«ttff^/ Bf i"^^P anbere; nic^t ait.einede^ @ctte lie^j 
genbe ger^be 2imcn, BC, BD, Olebenminfcl, CBA, DBA;, 
n?e(rf)c jtt)C9 rcd)ten SOBinWn gleic^ jinb: fo liegen biefe 

•.iinicn in geratet^Sinie; CBD^ an einanber* 

I. SSare CBI^cinc gerabe ^ 

?inie , fo fep e^ icgcnb einc 
a^beife,' toelc^e man m\i, 

-ettt>a CBE. golgKc^) ift 
(13., ©0 ABC-hABE=: 
.2 3t* giuu ift au(4) <§ge? Q^ 
nommen ABC + ABD = 
a ?R. goU3Uc& i|l Cu@.) ABC + ABE ^ ABC + AM), 
folgfic^, n>enn man ABC toegnimmt (3. ©.) ABE = ABD, 

. m\6)i^ (9^ ©0 unmSgUcfe* Semnai^Kk CBE feine gerdbc 
Juife, unb ou« ebtn ben ©vunben aucf) feine anbere auger 
CBiJ. ScfgKc^ ift CBD eine geiobe ?mie. 




( 

\ 



'.fi 



*i 




; ^wt^ 8«ot>e ginieo, AB, CD, bie einanbet f(^netb<it, 
fltdc^n gletd^c @d)«it«ji»in!el, CEA, DEB; CEB, AED. 
2)a (13.^.) CEA ' r 

4.AEl) = 2fR., unk A- 
AED+DEB = 2«.: 
fo'ift (i.@.)eEA + 
AED::^\ED+OEB ; 
f«(gftc^,n>en»inanAEO Q 

»e9nimmt,(j.®.) CEA 

z^ DEB, et>en fo «ir^ imi^en , bag GEB 

fe^n tji^en , einanbcr fcttneiben / dlle S^nM an b«n ^w^ 

^n jcbem ^rtangcl, ABC, tfl, wcnn mott etne fwner 
©eitett, BC, to^rlongett , ' bet augcre SBinW, ACQ, 
^tb^et , old jebet be^ t^m gegeni^^ec (tegenb^n inne^^tt 
SBJinW, CBA> BAQ . . 

Ijtlblrc (i o. @.) AC in ^ .- , « 

E, 4ie^? BK, un^ t>etlin» "^ 

aw (i<4 tl8 EF=;EB. 
3if&e FC. 

gf)«BE = EF,AE:5= 
Eattnt>CiS.@.)AEB=:fl /^^ M \/C p 

FEC: fc i^ (4.®,) BAE *^ ^^ "^ 
s= ECF. SRun jft (9. @.) 

AGD>ECF. go(8li4«ft 
ACD>B4E. 

@6<n fo wjcb (tU(%BC 

I^Mm, uBb/ na4>t>em AC no^ 6 ^v^axi^ttt toocbeti/ 6e$ 

ft>iefen, bag BCQ, baf ijl (i 5, <S.) ACD> CBA. 




_»i 



■• 



«; 



^ - 




3n jebem tdongel, ABC, (Inb \t0<i)t jam? tBiaftl' 
^ufamnwntlfinei:, fll« JIM? iec^e. ; 

• foiji (16.©.) AflC< 
ACD., fol9li4> (4. ^.) 
ABC + ACB<ACD + . 
ACB. IRun ift (i^. @.) 

ACD + ACB == 2 31. X . ^ ^ 

got^i* i|t ABC -f ACB BT "* C~ ' 

< 2 SR, @6«n fo tt>irl> Weft* i>o« BAG + ACB, m^ »«i 
CAB + ABC, 6itt>tef«t. \, 

Sit jebeift ^^ctihgrf/ ABC/ liegt bet 0r5^em ^it«> 
AC, au(^b«r9t6^ettS©inW/, ABC, gegewSbet. 

2>a AC> AB : fi> «nd*e (3*®-) 
AD=AB,imJb jic^e BD: fo i^ 
(5, ®.) ADB == ABD. SRun i^ 
(16. @.) ADB > ACB. Soljli* 
i^ auo^ ABD; a(f0 KDc^ dt«^t ABC,  

• >ACB. . • B 

^er 19. 6<»|. i<l«faf» 

3n i«b«m triongel, ABC, Itegt bent gr&^etn SEBinfe^ 
ABC^ aucf) bte gr^^ece @e(te, AC, gegen&^er. 

ffi&enidjjt AC>ABt A. 
fo> inii§te man aiHK^mert/ 
(ntwebet AC=:A]|, obec 
AC^TAB. 3jnecjicngatte 
»ite<5 . @.) A BC =: ACB, 
(to jwepten (i 8. 6.) ABC< 
ACB ; ,n>ei4>e^ bvftti bent 
artgeaomraenen, ABC>^CB, Offence tsdWtfptijpl,' gofg* 
lic^ iji AG > AB* 





■<. « 



>' 






t4 



. jKaffrb'd Sfi'm«ftt< 




1 

-' Snf<t>em$mn9ef, ABC, fmb j<fi(t(|e jt»e9 ©etre« 
jufamtmn 0c6§ec , a\i Me bHtte. 

SerfSngere BA na^ D, j^ 

wa^e AD^rAC/ un( jies 
^e DC5 

, Sa AD = AC, fo ijl 
($.60ACD=:aDC. mm 
^ BCD > ACB , f ofgli* 
BCD > ADC , fofgttt^ 
(19. @0 BD, M iftBABi 
+ AOBC. (St>ett fo wicb ee»iefen> bag AB + BOAC, 
unD t)ojj)^C+CA>AB. ". 

'^ ?!Bcnn t)on ben Snbpunftcit B, C einec bet (Seitcn 
etneg iJmngeB, ABC, jwep gera&c Stnien BD, CD ttt 
eine^gJimfte t«nec^af6 bcffelbcn, D, jufammenlaufenj 
. fo ftttb btc jufammcnioufenben iJttttcn ffcCner, ak bcS 
$tian9cf« bcpbe dbttfle ©ct^ett/ AB/ AC, fd^ftc^cjt a&cc 
cincn itb^crn SDBinM, BDC, ein. 
aSecIcingect njan BD 6t«E, 

"t*iftjk;AABEC2o;@.)BA 
+ A^BE, fofgltcb, mm 
EC ^irtjufommt, BA4- AC> 
BE + EC. sjluntftiniACDE 
(so. ©0 DE,+ EC>CD, 
unb ba^ec, toenn DB ^inju^ 
fomtnt, BE + EC > CD +• B 

DB. mt BA+AC>BE + EC, forgli^.jfk no* t>ter< 
we^c B A + AC> CD + DB. 

•2)a (16. (S.) BDOBfiC, «ni BEC>BAG; fj> ifl 
nw& ftieltw^c BDOBAC. 

©er 22. 6a|. Sfufgabe* 

- ®neh Srtangel ju 6cf(^(«i&crt,*beffeh ©etfen bre^ ^e? 

Sefeenen lewben fiinim A, B, C fllei* finb, wobon ie* 







r 







gie^e eittc gctal>e «i* 
flie, DE, »ri(^?mD 
Iwgtinjt , nadS> E ju 
«ber tin&<3canjt fe?. e H 
«la*eDF=A, FG 
—B, GH=a - mi 
F t>ef*«Slt>e mit FD 
ten ^«« DKL, tinb ■' ^ ^ 

ou« G mit GH tun 
StmiKhH. ©otiK^ 

i»o Pe^ie Recife einat)* 
• tet f*rieie>en,.ii€&e KF, KG: fo iji KFG *«r twttoigte 

S)enn ba (15. @.) Fp=FK, <j6etFD=A: fo Ifl 
(i. @.)FK=A. (gbenfo, ttcil GH-=(5K w»t) GH = 
C, iji GK = C. SBun SMC oucb FG == B. 2)einna<b pnb 
We ©elten J>e« a ^FG-^en gegetaienginien, A, B, C, 

^Muf eine gedefeefie gerabe 2tnic, AB, ott»ein«n tit t^c 
.^egebencn.'JJutift, A, einen bent gegebenen , DCE, qI^ 
<|en girablwtgcn 5Bin!el ^u fe|en. 

.«uf CD fowo^i; oieCE, (J 

nimm t»iaf&^tlidS> eincn ^unft 
J>, E, t»nb iic^e DE. «ef*tei» 
6e (a 3. 6.) ben Jciansel AFG, 
tag AF=GP, AGrtCfi^ 
PG=i:Dl : fo \^ (g. C.) FAG 



tiec 





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@ii«it>'« &inmtt 



M 




^enn in ijwep 'Jridi^tln^ ABC, DEF, at»^'@«teh/ 
AB, AC, jwei>eh @ctt<ft> DE, DF; jeJx fftc (tc^, gleic^ 
fiat) (fete AB bh DE, bte AC bet DF) ; ein 3Binfet be* 
(tnett, BAC^ <x\Av%t\)%nt 10/ ale ettt 9Btnfe( bee anbetn^ 
EDF, ber n&irtfit^/ toett^ri bte gleic^n @etten einfi^lie^en t 
fo tfl aud() in |enem bie bt^cte ©'eite, BC^ dcft^et, ale tn 
biefeitt bie bcitte/ EF» 

©<i BAG > EDF, fo Ie» ^ ' / 4> 

ge (33. ®0 An i>ie^idi 
(Srite OE, welc^e .nt4>t 
St&§et <t(e bie anbete I>F 
t{i, in bent ^unfte D , ben 
SKinfel EDGrrBAC ; ma* 
c^eDG=AC=DF,ttnb^ 
jie^e GE, GF» 

SDa AB==DE, AC*=DG/ unb BACi=EDG: fo i^ 
(4. 6.) BC=EG. SSun Iji DG=DF, unb ba^et.Cs* ®.) 
I?FG=DGF. Soljli* jft DFG»*>EGF, f oJgli* tto* »itU 
me^c EFG>EGF, fol3(icb(i9.@OEG, ba« iji BC>EF. 

©er 25. (ga^* le^rfof. 

^enn in ^t»eo t'ctangein^ ABC, DEP, ^tbep @eiten^ 
AB, AC, jwepen ©eiten, DE, DF, febe fdr .it4 gleic^ gnb^ 
(bie AB bee DE, bie AC bet DF) ; bie btitte 0ett< bed einei;i^ 
BC, abet gt&^et ijl, ale tit btitt< bee anbern, EF5 fo i|l. 
au^ in jenem ein ^inf ei; 6 AC, gt5^et^a(e in biefem einet^ 
EDF, bet nantlid), ben bie 0(ei(|en @eiteh einff^lie^eA^ 

®acc nicbt BAC> 
EDF, fomice enttoebec 
BAC=EDF,obecBAC 
< EDF, folgli*' im ee* 
ft?nSaUe.(4 (S.)BCr= 
JEF, im jtoe^ten (24.6.) j;. 
BC< £F ; »el(*e» fie?* 
bee bem Stngenommencit^ BC>£F, toibetfprit^t ^ot^i(^ 
ifrBAC>EDF*  frj^^ 




* ' 



•. I 



 ' ^ 




' (StfUi' $u4 



«? 




fffiftin in swej) ?rian«efn/ ABC, IjEF, 5»e9 '5KtnfcF, 
ABC, BCA, jtoe^cn aBmf«rn, DEF, EFD, jVbei; f&r fTc^, 
gWe^ |lrtb.(ABC bent DKF, utjb BCA Um EFD); tin^ 
ipine ^tte einer @eite d(dc^ tO> jte mag nun ait b; n ^^ts 
^en SEDinfeftt ; ' obct rintm bccfelben gegemSbe? %j9<rf.; 
foftnb aud) bte bct^en tbtx^tn (Beitin ben bepbeit Mct« 
fifh, )cb<^ f6t jtt^, oiu^ bet btitte 9E3mfe(/ BAG, bem 
brilten, EDF, filei^.> 

$Stnfe(n (tegenben@eifeit/ BC, 
EF/ einanbet gtekb ftnb : fo ifi 

i)AB=tI)E. £)tnni»& 
iKtt AB, DE/unglctd^ , fo mufi' 
te eine booon, «t»<i AB, 5c6tec 
ftpn. @«fe9b<t|t(BG:^kD. 
gie^e GC. 2)a <Jlfft BGs=:ED, BCr^EF, GBCrrDEPi 
fo t^ (4. @.) BCGrr; EFD. Shin tMc dflgeROoraieit, BCA 
= EFD. got^licb n?i^r< BCA =±: BCG, »el(^e« (9. ®.) uik 
tn69(i(^ i% S)(nut4ct> f(nnen AB^ DE, ni(tt ttn$((l<^ fept^^ 
foIgH4>ijiAB=DE. 

a) 33a AB = DE, BC ±: EF, ABC i= DfiF: fo ^ 
(4,,(S0-AC=DF, ttnbBACacEDF. 

SDenit bit eittem \«j! gletc^en ^iatd gegent^bec fie^nbeit 
fieiten, AB, DE, "einoftbcc gl^icb finb: fo ift 

1) BCrrEF.. 2)enn wirm BC, EF, un^Jeicb, fo fnui* 
teftfne boton, etfca BC, itb^t fepn. @« fip ta^cc BH 
= EF, 3i>t)^ AH. ©a dfo BH = EF, AB = DE, . 
A^Cs;:DEl- 1 f» iji-.(4. ^0; BHA= EFD. 3iun mt 
angenoinnvn BCA = EFa gorgHcb whxt BHA = BCA,- 
toeltbetf (16. @.) unm6giicb. Z^emnocb fknen BC, EF, 
»i(bt ungki* fepn. gol^lid? ifl BCsx^F. 



V 



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SuHiy< Stem. is%)a((>er; 



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d)!&<i 






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ftviiixVi (eimtnH 



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D5F; fo ijt 



a) 2)« BC.=: EaFV AB = DE, ABC 
<v e> AC = DF, unt BAC =r EDF. 

' 3^e9 gerabe SJirtien, AB, <ip, mtt beiten e{«^ britw 

fttoc^t, ftnb pataUcl 

jgjacett AB, CD, ni4)t 
fawtl^, jo w'ui;ben fie, gc:? A- 
ougfam Ded&ngert/ an ir^ 
genb ciner @eitc iufammeiti?^ 

Iteffen. ^^cfe*|t, e6 gefe^o^e ^ -^ 

bie« m.Q. golili* »&tt / 

imAfiFG(ii>.e) AEF / J 

>Ef'D, i3&dc^e« bem 3lvt^enowawnc« AEF^nEFD/ ft^U 
tetfptic^t 2)emn«^ ffinneit AB, CD <m biefet 6eite<ni?bt 
iufommentreff en ; au^ gfeic^en @t;^nben a(»er aucb nicbt on 
bet entfleacngefegten ©eite* goJgli* f?«b.<35i ^0,AB, CD^ 




< ^ 



' 3*«9. d«w6« JiinUtt/ AB, CD, ihtt bcnetteirte ttxiif 
fte f(^n«tbent>e, EF, bett Sutetn SCBinfct EGB, bcmi^m 
on, b«tjiett«tt ©«it< gegeniibej; lt<gcnbm ittttern SQBinfeif^ 
6Hli / b&«Cij^i B«)bert (wtteinnlep @e{te Kegenbetr ln» 
«ern SDBtnfctTBGH, GHD, jroer^en «4)t<ft gleic^ mac^ 
finb patallel. 

2)a EGB=GHD, unb 

(i5.a)^QBi=:AGH;fo A 
<(l(i.@.) AGH=GHD. 

8ol3(i* ji'nb (47, @.) AB, 

CD, pacaUef. 



/*. 




3«>«9 






•' »«'BGH4G«Ih=3 »., mi (13.®) A<SH+B8H 
= a SR.: fo iji (i. @.) aGH+BGHxsBGH+GHD; 
f^U^, wenn man £GH ttkegnimmt^ (3<®0 AQHas; 
<»HD : f oldlit^ fjitt (a 7. (5.) AB, CD, fHicajUeL 

SBenn jttje^ gerab^ ginien/ AB, CD, jparallelftnbj^ 
fo mat^t eine britte fte fc^neibetibe, EF^ mit ifenen bii 
9Beff)iilmnUl f aGH, GHD, Hnanber} bedgWd^eit btn 
JUi^ern ^nfitf, EGB^ bem tl^ tin berft (6eti @ette ge^ 
jentoerfiegenben innttn SEBinW/ GHD; fenier bie fcej* 
ben on ein^rlep (Seite Ue^Aibeh tmtern f&^mfel/ BGHTy 
GHD, iltoi^m tt^ttn glei^* 

AGH, GHDr miUi^ 
fo mu^tt (titer taeoft, tt« A 
tM AGH, 9c6|«t fepn. 
^olgltd^ i|t^ loenn BGH; 
^miufommt, (4. @.) ^' 
AGH+BGH>BGtt' 

4.GHD.gRuttift(i3.(S.) 

AGH+BGH=ra«. , . 

%elQm ift BGH + GHD < & ^. Sof^I^ «>*fiWtt 

(ti.®.) AB, CD, iserlAngm jufam wnMfen , «i^ Wji* 

ten <35. S.) ni4>t patdlleJ, 8«9«t fca« Ungflyiamne. 

JD<mna(^ f&nnett AGH , GHD , ni^ ttti^elc^ jf<9R* $«<t* 

lu^ij^AGHsfcGHD. 

©a AGHrrGHD^ unJ>'(i«. ®») AGHasaOB? fr 




*. » 



40 



a^m'^ @(#<itte 




: fbn EGB ='GHD, fo iji^ wtJtt RGH ^in)(ir«atmt 
0. ©.) EGB+BGH=BGH+GHD. SRurt # (13.©.) 
ieB-j.BGH:=aaL ^olgli* ifl ( i » ®0 BGH + GHD 

:=: 2 St. ' .. ' > ->.  

fiaei jl^b, jtrtb eih<iftb«t fetbjl parallel* 

; i^f fc^neibit; i«^ ttie, getot^ 

time, GK, ©d AB^ EF/ pa* a , g/ 

wgd„f«ift(39.®)AGH 
=iiGHF* , mm ift, tteil EF> p 
CD, patoHel, (29.®.)GHF 

=:GKD. §of8H(^iji(i.@.3 6 —^y^  jj 

AGH=GKD. §i>l9lia><tn6 - 
(27.@0AB^Ct), pafoflet. 

®ut:c^ etrtett ge^ebenett ^utirt, A, cine gerabe fiirtie fU, 
Iter gegebenen/ BC/ parallef ju jie^em 

^ 5j^ BC nlttim tiilii?u^vlf^ . ^ A 

einen ^uiifr D, jie^c DA, ^ 
ma(bt (23* @0 DAEiir 
ADC , uni terlingerc EA ^_^ 
itacf^t-ti^o ift (27.6.) EF ^' 

"Jtit I'ebem iJmngel, ABC, t|l, wenn man etne fefnet 
(geicen, BC, tjerliitBert, ber augetc ?fflinfef, ACD, ben 
bc^beit t^m gegeniSerftegenben tnrtern SQBtnfeIn, CAB, 
ABC^ gleicl^; and) ^nb bfe brer^ innern SGBinfer eined 
i^riange^, ABC, BCA, CAB, 4»^9en recJE^ten gleid). 

erjler 




F 



/* 




I 

^rt AB/ bie CE povalM* 

2)a AB/ ce, potaffet 
jlnb:fo-lji (29,(5.)^ ,l9{rt 

;\C ffe f^neibet, MC.S= » 

ACE, tinb toeil ou* BD * C 

fJe f(tmeibet, ABC=:ECD, StrfdfJ* Ift (2. ©O BAC+ 

ABC=ACD, 

1Ca BAC + ABC = ACD, fp ifr, wmn AC8 ^jiip^ 
fommt; (a. ©,) BAG + ABC +. AC8 = ACD + ACB. 
0lun ift (13;®.) ACD+ACB=2.95, . go(gfi<^ ift (i.©.) 
#tt4> FAC + ABC+ACB :?: 2 ^t 

I 

J i 

* 'C)i< gttaben ^Itiiett AC, BD, mid^ bi< ©tbpuitftc 
jteic^ uhb pataWtUf jewbet 2lni<n AB, CD ^ ettiw* 
lep @<it« b«f6tnb<n^ jiob f?l^ $(fic^ unb jwtaUcI. ,. 

3ie^eBC, fo i^, tpei( AB/ 
CD, pataM, (29. (S.) ABC 
= BCD, folgli*, tpeil AB=: 
CD; unb'BC jemeip (4. @.) 
rAe=B!!); ctt(t> ACB?=CBD, *^ 
<nib ba^t (27. @.) AC bee BD pacaUel, 




/- 



Sn j'cbem ^aratlefogramme, ACDB, jtnt) bie ^to^tn^ 

fibetUegenben ©eiten fo tt>o^( qH SOBinfef e nanber gteicf) ; 

mttc^^itb bad ^ataUe(og(amm bon ber S)ia0ona(e^ BC, 



« 3 



Sriler 



M 



^MV€ ^l^m¥Xt4 



V V, 




I I 



^a AB, CD/ tint fo att<& 
AC, BD, iMiwaii: , fo i^ 
(39. €5.) ABCriBCD,,tinb 
ACB3=CBD, sRuniftEC 
.§emein. .Sftlgti* tft (2 6. <g5.) ^ 

AB=: CD, AC=BD, BAC=r BDC, Sltut i^, »«{ ABC 
.^ BCD/ ttnln cap =r ACB, (a, @.) ABC -^ CBD = BCD 
H- ACB ; iai ift , ABD = ACD. 

©a AB=CD, unb BC gmeiji/ a»(^ ABC=BCD5 
-^ tft C4.j6.> A ABCC3: A CBD. 

^acaflcrosrammc, ABCD, EBCF, auf einettep^tunb* 
llnte; BC, unt) in cinerUp Spatalledinien , AF; BC, finb 
<inanb«t gfeic^. - 

©a (j4. ©0 AD = BC, A ?— — ^^ --,1 

MnbEF=rBC: fotft(i.@.) 
AD = £Fj folgfi**, roen« 
DE ^hijufommt/(a.@.) AE 

AB=DC, ttnb-<39. ©.) 
EAB = FQC. %olim «ft 
(4. eO A ABE 5= A CDF/ 
frJgltd^, wenn A EDG I)tn»e8foraint, (3. ®.) bd* Jwjmjj 
ABGD = EGCF/ folgUt^, toenn A GBG^uuufemna; 
(2, 0.) bai ^awMoQtamm ABCD = EBCF. > . » 

!(uf i^Itiie Kit/ unb noc^ lei^Ut toitb bee a^meid 0C« 
f%t/ (9<nn £ in D / obec jwifc^en D unb A (iegt. 

Set 36. @a|. 'ie^cfa^' 1. 

9}aval(e(09tamme/ ABCD, EFGH^ auf ^Ui^fym 
©runblinicn, KC, FG, unb in mttlv) gjawUeKini**, 
AH, BG; fmb tinanbet gleic^ 




*,' 



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* 3i«^e BE, CH. 2)*BC=FG, 

(i.@.JBC=EH. sjhmfinbBC, 

EH, oil* pawttet. golgUc^ jinb 

C3 3. ®.) EB, CH 9lri4>, «nb pa* 

iaM. Solgli* i|t EBCH fin ^a* 

toflduatamm , fftlgli* (3^' ®-) . .,, ; -.v 

A?CD = EBCH. unb EFGH=EBCH, Waft^C*''*^^ 

ABtD=EFGH. 

' '^iaiMch ABC, D8C, auf «ift€tf«9 ©ttinbKittt^ BC, 
unim eine?Ic9 ^ata&tUinm, AJ>, BQ, fw* tvmUt 

»«ri&«9ert iti«i AD <» 

(3 1 . ®.) but* B l5«t ACWe 
BE , unb btttc^p b« BD bje 

ARC DBC . bie ©aften biefet ^JawMogtaftmne. Solglt* 
?ftb C7. ©•> ^« ^'««9^ ^^'^^ *** ""*"**^ •^'^ 

ef;?K a^U9 g>orW&"I ad,,bf, f«.t t«i«w 

. SBei;l&aacrtmanADat»6c9< <; A - 

ten &^tm, unb jic^ (3 1 . 0.) ' 
>ut*BbetACbieBG,unb 

tut* F bet ED bie FH pof 

wUdifrftnbGBCA^DEFH; « ^ - - _ -^ 

. IBataBcIofltamme, unb (36. @.) dMnbet gtej*. ^Sun pf 

£4, e-nie !ltw«aei ABC, DEF, bk $ilften ^<f«^ 





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©fttc^e $tian0«I, ABC, DBC, <iuf . «ipetfe9 ©cwnljlij 
tixi, BC/untt an (inecIcQ <^tte fiad in em(i;(<9 ^tafik^ 
finten, AD, BC, 

,'-8>*.'»e.BCti.AD,^,p.«. A 
k( « , fo fep eS etne anbece , ettoa AE. 

.^ie^et man EC, fo (ji (37, 6.) 
j^^C.=;:;^EBC. ^^iun wat angc« /^ ^ . "^r» 

tfDrtnten, A ABC == 4^ DBC. gpla- B^^ ^ 

(i(ft to&te (i. ®.) aDBC— aEBC, »eJ#e« (9, @.) utt« 
9i63H<&. 2)emnac^ ift AE bet BC nic^t pacaKel, unb au* 
^Uk^n ^tbboi oxti) feine anb^c^ ^jnie Ottfrc AD, i^fs« 
Hc^ Ift^AD ^et BC pacaUcI, 

®M(^e 5cianflef , ABC, DCE, auf flfcic^^n ®runbft? 
ftiett/ BC, CE, unb an einetfen ©eite, (tnt) in etncrico 
■ioraa?nim«n/AD, BE, 

. ' i^^ed. brt BE bit AD ni*t n* 
fa(((( , (0 fcQ ($ «in( anbece , etroa 
AF, Bie^et mon FE, ft ifi (38. "SO 
£ABe=;AFCE. gRun ift ange* 
i»mmen,AABC==ABCE, ^olg* 
fi(& tpite (i. ®.) ADCE=aFCE, »el*c« (9. ®.) uns 
|R&9(ic^, ^etnnac^ tfi AFbec BE nic^t pacaUel, unb ati< 
^(eiOben @ciit^en au(^ fetne anb^te Sinie an§et AD. ^ i^olg^ 
(ic^ ifl AD (et BE |)ftcat(e(, 

f 

w 

' fEBenn ?in ^rattriogtamm, ABCD, unb ein ^tian;? . 
S/tif EJiCf «utf (imr((9 @tvn^(ttiie| BC^ unb in einetle^ 




, •" 



V 



f rj|<« ^u(^. 



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3|f^et,ma« AC, fo ift 
(37.@OaABC==aEBC. 

gitfn ift (34. @) ABCD=: 
ABCP==a<;iEBC, 

I 

^h tKW ■3<8e.&en<^ JJmngel, ABG, glei^e* ^dtat 
letogtqnm unm mm ^e^eb^nen $<rabiin{0m l^inf^ 

^mtt (10.0,') BCinEi wti 
4je^,e AE. ?tuf CE. (<§«? in E 
(43, @,) CEF — D. Bie^e 
(31. €5.) but* A ber BC bic AG;, 
Unb buvc^ C b?f EF bie CG pa* , 
rattet ; fo ift FECQ ^^« ceriang* ^ E '^ 

'^em ti i^ FECG cin $acd((«(ogcatnm itntec bent S^tnf^ 
CEF — D , flu* (4 1 , SO FECG = 2 a AEC. SRun, i^l 
(38.®0AABE=AA]^>ttnbba^<CAABC=2AAEa 
golgli*^ ifi (6, @.) FECQ=S>^, 

3rt je^^fn ^a^Uetodcaqtme; ABCD, finb bte (^t^hxH 
jungett/ BK^ RP/ bee urn bte ^Biagonaft^ AC, ^erumlte^ 
9enbeit9<»'^aU«fogtamme/ EH, FG, einanbet gfeic^ 

. a)a(54,©.) aABC = 

A CAD, unb A ^EK = 
' -A AUK: foift(3,@OEKCB 

rt'KHDC, §flunift(34.@.) 

AKGC = aKCF. |ol0(i(^ 
» ifi(3.@0BK=KD. 





» 5 



®ec 



i 



A 




2$ guKtb'a ©emerttt^ ^\ - 

7(uf eiiwr ^egcoenett geraben: Siitie, AB, eitt, bem ge^ 

einem ge^ebenen gerabtmigen SO[^nf c(/ D; ju befd^reibe^* 

S»a(3be (42* @0 em 
l^oraflelodramm 6 £FG 
rrrAC, fo ba§ EBG 
2=D/ unb btittge foU 
(bed an bie gegebene 
iinie AB/ bergcjlalt, 
' bofe AB ; BE , in gera^ 
bee ?inie an tinanbec 
licg^n. 2)ut<^ A jiebe 

(31. ®0 bet EF bie AH pawfieU JDerfin^ew FG bj« H, 
unbye^eHB: fb 1(^(29. ©OAHF+EFH = 2 01. golg^ 
ltcbBHF+EFH< :tSR., fotgficb wecben(ii.@.)HB,FE, 
itacb B ; E ju t^erlanjert jufammentveffen* SJieg sefAel^e in 
K* 3iebe (3 1. ®0 but* K t>ct EA obet FH tie KL pa^ 
x^M, unb wtlingere HA^ QB^ nact^ L, M: fo ift LB ha$ 

S«mt ^iecnoc^ tfi HLKF eitf^ocottrlodMrnni/ beffht ^o^ 
^onale HK , f oJglit^ (43 . S^ LB = BF. Su* ifl (i 5, (25 J 
ABM = GBE. gtun tpir BF=r a C , unb GBE =0. 

JDer 4^* <Sa|. ^eufgabe. 

©rt bet gegebeneit gerablimgen ^tgor, ABCD, gtoV 
(|)o6 ^JataUeiogtamm^mter etnem gegebenen getabfiniaen 
SOBtnfef, E^ ju befc^rciben^ 

' RiebeDB* !Wa*e (42* ®0ba«^atalk{o9tammFH= 
/li ABD , fo ba§ FKHzr E. Stuf GH befcbceibe (44- ©"j 
ba« ^aroaeloftwrnm GM= A DBC, fo half GHM=E: ^ 
fo ifk KFLM ba9 t^edangte ^atai(e{odtamm» 



y « 




(i.®OGHM=E=: 
FKH, folglic^, tt>enn 
GHK ^in}u(ommt/ 
(a.®.)GHM+GWC 
= FKH + GHK = 

fnbCu.eOKH.HM, 
in get abet tittiel 

SDo FG, KM, patattel: fo ifi (29- ®0 FGH=r(jHKf^ 
fotgli* FGH + LGHrr (3HM ^LGHizr (29. ©0 a «• 
gelfltr* M (14. ©0 FG, GL, in gewbec «inie. 

2)a (j4* ©t) FK &ec GH, unD GH in LM gWt^ tin» 
jJdcdUd: fo i(t (i. ®. u* 30/©.) FK^ ^er LM, gteii:^ tn* 
pavdUef. $o(g{i(^ fint (33* ©0 FL, KM, au(^ Sfei(^ ttnl 
pataBeH fotglic^ ift KFLM ein ^atdttelogtamm , beffenSS^iiu 
feIFKM=E. 

2)<i FHsTA ABD, unt QMzr^lDiC: fo ifi (a^ ©i) 
ia?LM:=ABCD. 

@mer sesebenen 0eratien Sink/ AB; jQuabrat ju W. 
f^reiben. 

auf AB mi*ft (I I- ©0 in A ,ben ,0 
^etpenbiW AC 3»c!(fee AD = AB. p| . ftl 

3t^^^ (3i» ®0 ^tttcb D bcc AB We 
D£ / unb burcb B bet AD bie BE. pa« 
X(M\ fo tjk aDEB bad bedangte Oikm 
brat 

2)ctin ^ifrna(i^ ift ADEB ein ^parat- A'- • *^, 

letoflcamm, folgiicb (34- ©0 bic gegenubcriiedenbcn ©eiteit 
jemanbet gletcb. Si.un ijl AB = AD* Solglic^ ift bad |Ja^ 
rallelogramm ADEB gleicbfeitig, 

©a AB, DE, pQtaUel: fo ifi (29* ©.) A+D= 2 9ly 
fetglicb/bd A = 9t', aiicb D=9l. SRUn finb (34* ©0 
bie gegenuberliegenben SBmfel g(ei<^* SoIgUdj) ifl ba« ^a« 

f oltei 




Ji ^ 



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9B 



QMi6'< f^mmu . 



taMoitamm ADEB ret^tmififltg. Htm t&M e< n«c( ^« 
gem <luc^ gteic^feit^. ^ofgltc^ \ft ADEB (30* $0 fin 
Ottabrat * , . 

3tt fetem wd)t»tnffi<ien ^wttdtf^ ABC, i^ tad iCuias 
t(at bet bem t«^ten ^tn|e{ gesendSecUedenben @et^iy 
BC, ben £iuflb?oten be? i^n eipjc^Kefwben ^iten^ 5A^ 
AC, j(eicl^» 

®.) tfon 6C ba« 
CtttabcatBDEC, 
i«nboimBA,AC, 7. 
>ie £lnabrat^ , 
GB,HC:fo(inb 
BAG , BAG ,, 
<iAH> i»4)te r* 
SDinfe(, bof dfo 

(i4.®.)fo»oW 
C^ mit AG, ali 

ituc^ 6a mtt • 

AH/ in gecabec 

finWift. Sic^e 

>«), F€» tmb 

(31. 0.) buccbi 

A bet BP p^n CE bic AL i^axciM,, 

©a (10,®.) DRC=:FBA, fo ili, tocnn CBA ^init<« 
fcOflIt/ (2. 0) DBA — FBC. fUm i^ AB = BF, iinb 
DB = BC. golgli* (ft (4, (S,) A ABD — A FBC: Stun 
tft, toey ALbeP BD, unb GO bee FB pawOel, (41, ®.) 
B L =r s A ABD , unb GB == ^ A FBC. gplalicb iji (6, @.) 
BL= GB. aUun ifi/ wenn man AE, jBK/ jic^ift, au« ebe«' 
ben ©cfinben, CL=:GH. SolgK*i|i(a, 0.) BDEC= 
CB + CH. 




/ 1 



9t^ %a#. 



^» 



SSettn in ettrem ^tiangel, ABC, Wf« Ouabrat tintt 
feiner ©efteri, B€, ben fliiobtitch beij b^pbiftt 66r5eit 
©etten, BA, AC, gleid^ tjl': fo ijl bet bon biefen Ser)ben 
{Ati^in (Btiun eing^fc^toffen^ SBtnM/ BAC^etn reenter* 

?rri*te (ii^SO'dof AC 
in A ben !|kri»ttbiCd AD« 
SWttcbe AD rs: aB , uitb jie^e 
DC: fo ift au(^ a AD=: 
□ AB, foIgdc^V »^«rt □ AC 
|>Jiijiifommt, (2. ©♦) □ AD 
+ DAC=:aAB+DAC. 
sliun ift/rpefl DAC tin tt^^ 
fer ©infel, (47- 60 Q AD ;^ 
^ AC = DC^ ttnb nacb 
bem angenommenett D AB + D AC =r □ BC, golgftc^ ifl 
Ol>C=:nBC, unb ba^ecDC=BC. 

2)aAD=:AB, unb AC'gemein, aucb DC=:BC: fo 
ifk (8. ^.) D AC =: B AC SJtttt ifi D AC m tester ffiinfefc 
Sotftlic^ i^ auc^ BAC ein ret^ter VimM 




* -f 



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V 



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€u( ( i^'^ € I em e tt t e 



MMMki* 



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CE r H 4 t tt It 9 e m 

t»* 45ptt |ebem tt^ixomfti^tn ^arallefogramm fa^t matt, 
eg fet) untet ben bepben ben re^ren SBBittfel etnj? 
fd^Hefenben ©etten ent^olten; 

^ S^rje ff^egen foU in ber $o(ge eitt tec^tminfligei 
^raQete^romm ein ^Kectatigel ^eigen^ unb toenu; 
e< i. @* unter ben 0eiten AB^ BC^ ent^olten ifv« 
bucc^ ABXBC anaebetttetn>etben» , 

a* 3tt einem ^J^rallefogramm ^eifie ein |cbe« bet tim* 
tie ^iagonale ^erumliesenben 9)ara((e(ogramme mit. 
ben fi|9ben f&tian^m^m jufammen ein <&iioitic0# ' 



if 



WMm 



tlOSitb bbn imp geraben £inien/ A, BC/ bte elne/ fiC, 
in bcltebig t>ic(e :abfcf)ntttej^ BD, DE^ EC^ $et^eifr: fo ijl 
bad untet ben 6et)ben fiinren ent^aftene Stectdngel, bem 
tin tct ber Unget^eiften; A, unb |ebem becTtbfi^nitte, BD/ 
DE; EC, ent^altenen Slecrangeln glcic^. 

(Scvie^te (i, lu i^O auf BC in B Uti ^ecpettbifel fiF; 
mac^e BG := A, jie^e (i, 31- (B^ buc^ Q &« BC bie 
GH, unb burc9 D^ E/ C, ber BG bie DK, EL, CH, pa* 

raid, . ' ^ 

 • ^^iew 



* • 



. * 






Mm 



anft«BMr=:BK + DL 
+£H. aiittniflBH = 
6BXBC=AXBC, 
ttfilGB = A; BK= 

CB X BD =: A X '^ 
BD;roeiiGB=A;DL 

rrKDXD£=AX F 
DE, weil KD =r GB = 

A; EH=LEXEC=:AXEC, »etC LE=:GB = A/ 

SolaU(^ifkAXBC=AXBD+AXDE+A><EC; ' 

!lBti:b cine $erabe 2tnte, AB, in etnem ielithtQm ^unf* 
Uf C,.Qt\(^nitttn: fo ftnb bte untet tec ©anaeti/ ab,-; 
«nb jebem bet bepben 2t6f^nitte, ^C, CB , ^ntfyitteneit 
S^etMngel, bemjCiuabtate bet ©anjen^AB; gU^. *, 

»<fcbtetbe (r'46. €5.) »on AB bad A, . ..p .g 

JDuabrat ADEB,, unb iief)e (i, 31. @.) 

but4> C bet AD/ Pbet BE/ bte CF jfcn 

coiiel. 

 ^ietna(tifiADEB=:AF+CE. 8Uutt 

tft ADEB = D AB ; AF t= DAX AC 
riABXAC, »e«DA=r AB; CE=rBEXCB=:AB 
X GB , »ei( BE= AB. Sel«Ii(* i(i D AB = AB X AG 
+ABXCB. 

SBltb etne getobefinte, AB/ in einent bctieBigen ^unf^ 
Uf C, gefi^niftent jb i(l bai untet bet ®<injen/ AB, unb 
ettient bet be^ben 'Hb^im, BC, eitt^oltene JRccfong^f^ 
bem ttntet be^ben 2lbf«^niften / AC, CB, ent^dtcnett 
tKectdngel jamt bem iQuAb(<ire be< botdebat^ten 3U)fc^mt> 
te«, BC, tfleic^. 



Cv 




I • 



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3* 



^tiWi ®emettt< 



*a« auatcat CE^ Derlandete ED 

M(^ F, unt jie^ (i/ ju ®0 
W<^A/ ftetCD/ obetBE, We 
AF pataOeL 




S 



Mliill^ 






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» 



fkm ifr AE =r A»X BE r= AB " 

XBC, »eMBE=BC; AD=rACXCDi:=ACXBG> 

toet( CD=BC ; CE ^ □ BC. gofgUe^ iji ABXBC^ 

aCxbc+qbc. 

Sffiirb eine gerab^fiinie/ AB, iit etnem 6ette6igeti.^qn!iJ 
te> C, gefi^nittett ; fa t(l bd^ iduabtat ber ©aniett/ AB, ^ 
ben QMabrateit beober 5t6frf)nitfey AC, CB^ famt bem' 
itt>tefad^en unter be^bett 2l6f(f)nitten / AC, CB, ettt^alt^j^ . 
tten Olectansel, gfetd^. 

'tSff^cetf^e (1, 46. @.) Don AB bai a (^ it 

£luabcat ADEB^ unb {ie^e ttfien Sia 
gonile, BD. gie^c (1,31.®.) ttttc^ H 
C Der AD , . obet BE , bie CGF, unb 
bttcc^ G bee AB/ obec I)£/ bie HK pa« 
«(!?(. 

BGC = BD A. giun {^^ »<{{ aD — AB, (i, 5. 6.) BDA ' 
= ABD. golgli* ift (i, i. @.) BGCrrABD, fol^K* 
(I, 6. @.) BC=CG. 0tun i|i (i, 34. <5.) BC bee GK 
unb CG bet KB glel*. golglk^ iji CK flttw^feitid. 

2)a CG, BK, pamMt fo ijt (i, 29. @0 KBC+GCB > 
=:i. 2 9t. 9tun i^ KBC , folgiictr auC^ GOB eitt cecbtec 9};in<» : 
fe(, tnit^in au(^ (i, 34. ®.) bte t^en gc3en&(>ei:(iede|#ra 
SRMnW CGK, GKB ce*t«. goljllc^ iji CK ce(*Winflig. 
giuti mac ti QttH) ^leicbiJrittg. .$olgli(& ^ (i/ 3o> <i^0 CK 
(in Cluabcat/ beffen ®eite BC. 




/ * 



«uf 



ri 



Itflt, ^e|f<n ®«te HG,=AC. 

2>a (1,43. @.) AGsrGE, after AGrrACXCG 
SrACXCB, iwtl CG=CB: ffr ifi ouct> GErrTACX 
CB , f olafi* AG + GE = « (AC X CB). 8hm ift HF + 
CK 4* A6 + G£:=:ADEBr=:OAB/ vnSb n<i(6 tern ^%t 
©iefeiwn HF=:D AC; CH=:gCB; AG+Gfi;= 
fl(ACXCB)r. 8t)fgli(^ Hi D AB == D AC H- D CB + 
ft (AGXCB). 

Da AB = AD ; ^ Kl ABD = ADB ==|H., »<« ABD 
•t- AOB -^ BAD = 3 Sk., un5 BAD = 9t. 0hin ift 
(I, 29. (5.) BCG =: BAD= 5R. go^R* i(t du* BGC 
«=:|9l.=ABD, \t\%S}^ (i,6.@.)BC=lG, fofgflACK 
0(et((>f(itig ; ^ec/ toegm BCG = fK., dti(^ tec^ttvtnfftg ; 
ffifsIM) ein jQuabtat / tefien @«tte BC. @ben fo toitt) betoie; 
fell/ M HF «ia Quobtot/ Oegen 6«tte AC. 

Shin \\x (f, 43* ©•) AG=GE u. f* tp*, »ie im erjten 

3 « f a In 

' 'i^ietdii0 er^eflet^ lag in jetent £ittdbrote tie um bie 
JDiagonate ^etmnliei^nben farattelogcanfine aucf^ Cliiatftu 
te pnk» 

^itb eine gerabe £tni^/ AB^ 6e9 C^ m dlet^^e/ iink^ 
J<9 D , in ungfeic^e ©tdcf e gefdEjnttten : ^fb i^ to« wnt^e 
beti ungldc^n @t&fen^ AD^ iiB; eiit|a(cenef)teetait9e(^ 
famt bem Cluabratf be6 itvtfc^en ben Vc^vxHwx ^f^ 
fMUt^en^Sfficfi^ CD, bem iDiiabMte bcc 1^a(6in £ime, 



-< 



* * 



34 



mmimmetHe 




B 



IK 



\ 



CB ^lOuabMt CEFB/ beffen 

2Ho|on«le EB. 3i«^< ( i / 3 1 . ^.) 

tuc<l^ D Ut C£, otec BF, ;>ie k 

DHG, tutt* H Iw CB, 9\iet 

£F, tie KLM, ant) butdf A 

>et CEy ottt BF, We AK |w<afle(. ,' 

©a (1,4 J.'®.) CH^rHF: e» ifl-, »«W DM ^njH^ 
fommt, <!/ 3. @.) GVI=DF. Siunifi, sxitACa^Cl, 
(1,36. 6.) AL=CM. ,gol9«(^ i{t (I, I. @0 AL=DF, 
folgfic^, »cnn CH ^Iniufomtift, AH s= ©nompn NOP, 
fD(9(icfr,^cini \.G (jinjufwnrat, AH+LG=CEFB. Sim 
4ft AH p: ADXDH = AD><DB,v »p«{ DH = DBi 
LG (a, 4. 3«»f-) c= D LH = a CD, »cil LH = CD; 
CEFB=DCB. Sol3lit{>«|iADXDB+aCD==aCB. 

<tDtrb etne getabe 2tnie, AB, in C, ^I6itt^ unb ifjr 
tine anbrn, BD, gcrobe fott ongefe^tt fo ifl bag uotet 
bet 7{iiflefe|ten , BD, unb bee aus bet ©anjen unb b<c 
titngefcften befle^cnben gctab^n £tnie;, AD, ent^aftcne 
atectattgcl, famt bem Cluabtate bet J^hlftt, CB, bcm 
^uabtate bet aud bet ^alfte u'nb*bet 3tnflefe|ten bef^c* 
|?nben gerabcn 2iiue, CD, gfetd;. 

S5ef4itei^e (i, 46. @.) oon A,._«__jCl_^ B 1> 

CD iai Cluabtat CEf£), P ^ ^ 

beffen iE>ia96naIe DE/ 3i<^< BJ— 
(I, 3i.@.) buct^ BWCE 
«bet DF; bie BHG ; but(^ H. 
betADobetEF, bieKLM; 
unb \m^ A bet CL ^et DM, 
bie AK patattef. 

2)0 ACrrCB, kitb iM^et (i, 3$v®.).-At=ai after 
(I, 43. ®.) CH=:HF: fd ift (i, i. 0.) AL=HF; fofg^ 

(ii^, tvenn CM ^in^ommt, (i, a. 90 AM a: ®iioinon 

• NOP, 




3iN9(i< tUfHif, 



35 



MOP/ ^V^, ti^ l.(i^ii$ammt, AM 4^1.6== 
CEFD. 0i»n ift AM= ADXDM= ADX3D, lodf 
I)M=:BD; LG (a« 4. 3ttf.>= D l.H= QCB; mtt 
l.H= dB; CEFDs:a CD. %<ii^ ift ADXBD •«» 
OCB=aCD. 

^t(b cine ^itaU £mte; AB^ in etnent bctte^i^m.^n^ 
' te^ C; gefif^nttten : fo ftnb bte ^ben jQuabvatc tm &anf 

* ^ttr, AQf uob betf einen "Uh^^itti, BC^ jufatomen/ beat. 

* Smefot^n untei; bet ©anjeny AB^ unb betn gebM^tm 
3(Sfc^nttte; BC/ ttvtfyiiunm d^tctan^tt, fomt bcm Cltub^ 
pmtbti&btiQtnTib^^nittif AC f qUi^. 

tBef^tribt ( 1, 46, @.) oon AB ittt - ^ c a \ 

fiuabtot AD£B, itnb i»oI(enbe bie 8^ 

2)a (t, 43- ®) AGs=GE, fp i% 
loenn CF ^iit^omttlt, AFcsCE^ f»(S< 
}i<^ AF+C£= 3 AF. Stun ijt AF 4- 
GE =l!taomon KLM + CF. Sol^cb 
iO ©itoiRon KLM -i- CF = 3 AF^ fo(9l<<^< ttxnn HN §fttf 
iuf ommt^ ADE6 + CF= 3 AF +HN. SDtin ifk AOEB 
== a AB; CF (a, 4. guQ = D BC; AF=ABXBP 
= AB X BC, , ma BF ::= BC; HN (a, 4. 3«f.) = 
•O HG = O AC, »«l HG==AC. 8»(3(k^ i(k a AB 
H- D BC = a (AB X BC) + a AC. 

/  " 

5GBirb cine gerobe Jinte, AB, in man bdtcKd w ^w^^ 
f e, C; gefc^tiitten : fo tjl bat "oitx^ift ttntet JKr t^att je)t| 
AB, unb einem bet ^Sfc^nttte, BC^ tntfyAttnttKMmii^ 

* famt bem Cluabiate btf i^Jbrtgen 7(bfc^mtt«, AC, bem 
£luabratc b<!t aud ber<§)anien, AB, unb bfm ttjjigcb^K^tm 
^(^fd^ittf, BC; ^e^enbf n deraben Stnii^ AP, tfeuf^. 




• 1^ 



N. 






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1% . ' (is^h'i €r«tttenre 

' asicrtaaisrtc AB^« Bbi=BC: ft A, 
te^e^t AD a\xi tec ^ii;cn A6 / iiiib 
Wnt ejfigefeac&tcn 9&fc()nitte BC sr /^ 
to.- - ^ef^«be (1/46. @.) eon AD ~0 
hti-tm^tgn A£VD, unb voUen^ 
tie giguc. 

2)0 CBrrBD, okc (r, 34.6.) E 
lie ;±f GK = QR v«nJ)* iJD =r RN 
rtRP* fo tjt (I, I. @:) GK=rKN, ttn^ QR =ilP, 
5((Jg(k^ (I, 3«. @.) CK= BN , ui^ GR — l^p. Sim ifi 
(iv 43. «0 tK = KP. gofgU* put) aUe eiec ^jatUlo* 
iMwttK etnanbec %\iv&) ; f olglic^) CP = 4 CK. . | 

©a CB=BD, af>et(2,4.guf.)BD=BK=r(i,34,(si 
QG, ttnb. CB = GK = GQ : <JD (ft CG = G Q. Sucb toat 
QR = RP. S<M3li*iftC-i.36.^.)AG=:;MQ/ uubQU 
s= RF; ^ ainn ift m ^acaffelogramme ML ( i, 43, ®.) 
MQ = QU jol9l^c^)^^ft arx^ AG = RF. S^emna* finb 
«lle wcc ^dwUi^oacamme AG, MQ/ QL, RF> einmibet 
{|Iet<^ ^ wUi ba^er jufammen = 4 AG. atom n>at CP =: 
4 CK. golglfct) ift ®«©mon STU =; 4 AK ; foi^kt> , wenii 
Oik fftn'saUvrnt , AEED , b<i« i^ Q AD = 4 A K +-0H4 
iRun ffi'^AK==AB><BK = ABXBC; wcil BK=BQ 
Unb OH (2, 4.3«Q = a OQ = D Aq, toett OQc=At. 
golgli^v ifi a AD IS 4 (AB X BC) +D AC. • 






^iS 9. ®0|» ieferfaf. 

SOBtt* etne- g«;abe 2m«, AB, fcep C, xn ^kxift,. 
jinb, 6ep D^ m upgfcic^e ®t6oee gefc^nittcn : ' fo ftnto' 
bte be^ben jQwifccote feet • ungieic^cn @t6cf<, AD, 
DB, bDppclt fo grog, ate biis bepben Quabrate bet 
.^Iftc, AC, unb be« jwifc^en \m $6c4lpuntt«tt be* 
finb(i£^n @t6<f«, CD, 



9ti 



3fK9t<< SBuc^* 



^ 




. etti(^< C»/ I !• :6.) wf AB 
' , in Cten ^erpcnCifel CE, in«<&e 
C£ = CA = CB, '^vni jie^e 
.AB, BE. 3w^ (1/ 3t. ®0 
>iBC(^ D tec C£ ^ie DF/ im» 4 
ivttdfF bee AB bi^ FG pataU 
Jtl. gie^e AF, - 

2>a C£ btc AC unb C6 s(et(^ i^, unb ^ C tM^te 
*!l <iBt: fo ijk- (I, 5-. 0.) CEA iS: CAE, CEB = CBE; 
• ttnl) (i, 32..©.) )«*« ^««frt »iet ©tnfel = f- 91. 

SDaBF IjnrCE, unCFG berCDpowflel: folfl (1,99.®.) 
^B fo»ef)r ali EGFt>«m ttd^tm ffljinfd ECB gtei*, folgs 
K(b fiirobe w*te fBinfel; on* DFB=CEB= f «., unb 
GFE=DBF= 1%, felslic^ (i, e,©.) DF=rDB, aiil 
EG=srGF, 

SDo AEC = CEBr=S9{., atfp*AEF'=!R.: fo ifk 

. ICi. 47. ®;) D AFzrt n AE + a EF. !Bun ifl, ba au* 

6e9 D, Q,* G, •K(t>te aS^infer (inb, (i, 47. ®.) D AF =f 

OAD + nDF=sa^+DDB,»eUDF=DB;OAlfi 
= DAC+a CE =?a a AC, nml AC=r CE ; D EF=5 

DKG-hDGF=2DCD,»eUEG=GF=CD, %9i^ 

ItJ^ t(i Q AD -t- D DB = 3 a AC + a O CD. 



9Birb erne gewt^e ginic^ AB^ in O^ ^a(6irt; unb t^r 
ettte anbete, BD^.gerabe fort angef^t: fo finb jbte btr)^ 
'ten iQuabrote W 2{rt8efr|t<n / BD; unb ber au« bcc 
.^anjen unb ber 2(n9efe|tw befle^nbeii fl^ttiben £inie| 
ADy bpppett fo fitog, at4 bie bepben iCluabrat^ ber J^Mf;: 

\te, BC/ unb ber au^.be? J^atfte, unb ber ^n3efc|tert 

' befleJ^enbengerabertiinie^ CD. \ _ 



\» 



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t3 



Sp 



V 



JLb^.>a« 



1 




•wi^te (t,'it. 6.) ««f 
AB in C ^en fkqxn&iMCB, 
na^e CErrCA=:CBf 
tm^ jie^e AE; EB. Sic^e 
(f, 31. ®0 ^i>»& E tec AD 
tie EF, unt tttn^ D t>et 
C£ bie DF paiaMs fe i(k 
(t, 89. «.) CEF + EFD 
s= 3 fH, fo(9li(& BEF + EFD < 3 !R., f0ld1i<( wecbdt 
(i^ II.®.) EB/ FD lUK^BD )u itetU^ect )uftmmetttct)fetu 
SDieg dcTtHe in G^ 3ie$e AG. 

S^a CE ber AC tmb CB g(ei($ ifl/ jmb 6e9 C re^^teSBtn* 
M linb: fo ift (r, 5.®.) CEArsCAE, CBE=CEB^ 
vnt (i/ 3a. 0.) fe^ Ottf^v <>i<c ®in(e( = 1 9L 

Tia EFbecAD, uiibFGbecCEtMivaflet: f» ifk (1,39. ®i> 
P=rF=:C=9l.;*DGB=M:e=|iR.i FEB=DB(i 
= EBC = i !R. gotgli* tft (I,^^. «.) DB = DO, 
«nt>FG=F£. « 

S>a AEC = CEB=|1K./ dIfB AEG=:gt: fo t(l 
(1/ 47. «.) D AG = a AE + a EG. SRun iji , ha <ni^ 
*e9 D, C, F, tec^te fflinW flnb, (i, 47. ®.) D AG = 
a AD + b DS = n AD + D BD, wit DG = BD; 
D AE ;= O AC + D CE = 3 D AC, »eU C1=AC; 

tlEGss:DFG + aFE=3 O CD/ »<tIFG=:FE 
s= CD. So^i( t# O AD •«- a BD = 3 a AC -f 
aQCD. / 

CSttte gegetene gecabe 2tme ^ AB ^ fo ju ((^iieiben / ba$ 
ba8 ttntet bee ©anjen unb einem bet be^ben 2I6f(^itte 
tntfyoittnt 9tectan$e( bem Ottabrote be5 dbri^m '2(6« 



%% 



/ 



•««f*rci6e(i, 46. ®.) tfen 
A6 fc<rt£iu<*wt ABDC^ ficii^r- 

te>(i/ lo- ®-) AC in E,tml) jif* 
^eBE. S9eclan0ere CA nad^ F/ 
(it EF = EB. 85<f<^t!ei6r wn 
AF l>a« Ouabrat FH/ unb »«* 
lingw GH W« K: fo ifi AB in 
H f*g<f*ttttten, baf ABXBH 
;;rDAH. 

 1S»m ba CA in E ^aibitt/ 
ttnl> i^c bie AF getobe fort ange* 

fefit ili, fo ifi (»/ 6. ®.) CFX ^i^ 
AF + nAE=;:DEF=DEB, ** 

«»dl£F==EB. Shin i|i BAE 
r= 91/ tJnb b«^ (i, 47- @) D EB == D AB -h D AE.* 
^Igti* ifk CFXAF i* D AE = Q AB +D AE, fftJfl* 
tk^, wenn man a AE tDegnimmt , (», j. 0.) CFXAF 
3= a AB , eber , (»^l AF = FG) FK = AD ; f slgti*/ 
tvenn hmw AK toegnimmt, (r, 3. 0.) FH=:HD. SlttU. 
ift FH=n AH, unb HD = DBXBH = ABXBH, 
»cil DB = AB. 8ql9H(* ift AB X^H s=:a AH. # 




 



3n j«bem flumpf»itrftld«ti ?rtang«f, ABC , tfb ba8 
Ouabcat bet b«m jhtmpfcn §£Knf<l/ A, gcgcufibet 
Itcgettbcn &iit(, BC, gtbgct, al« bie iduabrote b<c 
fotcfim .aBinfet cinfc^KcfMiben ©etteti; CA, AB; unb 
in>a?*um bo« jwtcfflet)c SKcrtonget, »el(3^e« unter *net 
>«r emf<J)Iwgenben @<U«n, CA,, ouf bcrcn ©trronges 
tung bcf ^erpenbifct, BD^ f&flt, ittjb bem cufcriti 
iwtf^en b<m ^erpmbtfef vnb bcm (lumpfen ?©inf eJj 
A,J^ctib<ii ^bfcjinittc, AD^ mt^altw#. 






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• / 




Z>ii CD ii)tiie6^Ht(( In A ge« 
f^nitten: fo ijt (a, 4. 6.) D CD 

• = Q Ca ,+ a AD+ a (CAX 
At>)/ foIgUc^^toennDD^^mjui 
f omint ^ ( 1 , 2 . ©.) a CD + a DB 

\ = CD CA H- □ AD + a DB + 

a (CAXAD). gittn ift, toea " ^^s: 

- J«9 D ein tf(t>tef SaJinfel, (i, 47. ©•) D CD + □ DB = 

> DCB, unJ) D AD + D DB = D AB. gorgUc^ t^ QCfi 
F=aCA+aAB+a(CAXAD). »ei8n<M^ ift q Cfi > 
Q , CA + Q AB , un^ jwac ttm a (CA X AD). 

35er 13. 0d|. ie^rfaf. 

* Srt f eixtt. trumcjef; ABC , tfl ba« Ciuabtat b«c etnem 
t>on &enfpt|in pinf efit, B, gegcndtxt (tedent^en ®ei«e, 
AC, Ketntt, ofe bte iClttobcate btt tiefen aSBitiW etn^ 

. fcfefie^enbeji ©ettcn , AB, BC, unb j»ac urn bd« jtews 
'^»«««.|a(f)e Dlectangtl, ttxt^s untec cinci: b«r etn^Iwgenbeti 

©ctteit , BC , auf tocfc^x bee ^cDenbtfel, AD, fiUt, Q^b 

>fm tnnern, a»if(f>en bem 9Jetpenbtf<( unb b<m fpi^m 

aBinfcI, B, liegcttben 3(bf4initte, Bpy cttt^m if}, 
a^n iK^tne an, ba§ B unb 

C fp«Se ©infeJ Unb, A mag 

dn \^\vt, obec cecbtet, obet 

liumpfet SBinfel fepn; ba§ 

folflticb btc ^ecpenbifcl, AD/ 

ton A duf %Q, innecSalb be« 
, Zi ABC fattc. , 

^a olfo CB wiaffi^cftc^ m 

D gefcbnitten : fo ift (2, 7. 0.) O CB + g BD = a (CB X 

BD) + p DC , foJglicb , wenn D AD i^lnjufommt, D CB 
. +DBD + pAD = 2(CBXBD) + nDC+DAD. 

8lun ift, toi\\ be? D recbte ffiinW, (i, 47. ©.) Q BD + 

OAD=aAB, ttttbDDC+aAD=;DAC, Sfitglic^ 




» 



>SBN9iS 



*> 



ift'o CB + n AB = a (CBXlBt)r+ D AC. 2)«hn«<t 
ifr D AG < D CB + D AB t unfe 4»ac urn a <CB XBD)« 

iQuabtat jtt fcefd^tetbem. 

©cfc^reibe (i/ 45^ ©0 cin 
fRectanget BI>= A* ©inb 
nun BE, ED, euKinb3er.ftteicb, 
fo ift BD baA t>erlan3te Dua> 
beat ©inb abet BE, ED, 
ungleic^, fo toerlangerc eine 
bepfelben, BE, n«0 F, nnb 
macbe EF =: ED* ^Ibicc 
FB in G/ nnb bcftbtcibe au* 
G mit GB, cbet GF, ben |)atbftei« BHR 83€rian0ece DE 
bii H , nnb iiel)e GH : fo ijt D HE M ©etlangte. * 

2>enii ba 6F be^ G In $(cii^, ttnb bey E in tmUi^- 
etWe gtfcbmtten, fo ifi (2, 5* ©0 BE X EF + D EG 
=: n GF = (I; 15- eO D GH. ginn ifr, meil bt^ S 
ein recbtet ®inW, (i, 47* ®-) O GH = n HE+QEG. 
§ol«li<b ill BE X EF4- DEG = Q HE + a EG, folg* 
It*/ wennwanDEGioegnimmt, BEXEF, obet, tt>eiC. 
EF=ED, ba6 Slectangel BD = DHE., 3lunwitBP 
s=:A. golgli^ib ili A = a HE; 



V \ 




% 5 



amm 



•gttfltb'^ Clemen te 

% 



•««■ 






^ t f ( d r tt ti d e ti. 

I* v!)(e<d^e jttetfe finb, in bettett btc ^urc^meffeti 
« Dbet bte bom 9)?ttte(punfte an ben Umf tet6 gejoge^ 
nen QttQbtn tinien (bie ^albinefjetr) sleic^ ftnb« 

s* SBon etner goiaben Unit n)trb ^efa$t; fie bcrtl^e 
ben ^ttiSf menn fteil^n tcifft unb beri&ngect i^n 
ntc^t fd^netbtt* 

3^ S8on:$teifen|ftdt man, f!e berfi^eett cmanber; tDenn 
fie etnanbet tteffen^ ol^ne einanber ^u fcf)netben. 

4^ ^tn ^tetfe ^et^en gerabe £inten pf:idbvocit vcm 
tnitttlptmht tntfctnt f menn bte audbem Wliu 
telpunfte auf fte gefattten ^erpenbifel ^Uid^ finb. 

5. i&mfertfter aber bei&t bie/entge/auf n>e(^e bei: %vh^ts 

re gjetpenbif el fatit 

6. (Sin Vitmahictonitt i^ bie bon einet geraben £tnte, 

(bet> (Brunblifite) anb bem (bon il^r abgefd^^nittcij 
nen) Umf reife * begran jte ^idur. 

7« ^er XCinttl ^nZb(d}niti» tfl bet bon ber (^runb^ 
tinie unb bem Umfreife eingefi^Ioffene* 

8* £>er XVinhi ttti 2(b(c&tiitte ^tngegen tfl berjenide^ 
wetd^en bie gecaben £inten einfc^Kegen, 1)ie bon ks 
genb einem $unf te atif bem Umfreife bed Tlbfc^nittd 
nac^ ben Snbpunf ten ber ©runbfinie gejogen finb. 

9. ^enn aber bie ben ^infel etnfcf)tie^enben ^eraben 
fitnien ein ©tiirf bes Umfreifed (etnen JSogen) ab^ 
fd)netben, fo fagt man, ber flBinf e( (irl^ mif t>ttm 
ielbcttt 



< 



-1 



\ 



fbi^ts mt4 



* » 



41 



txi. ft'n Kt^Mttsfcbitttt t^ t^ie ^iut, nA^t ben bettr 
SfMbett / emen ^infd can fl^itteliMiitfte bti ^cci^ 
feS emfd[)(tegenbeit^ £(nieit unb bem boti t^tten ab$ 
gefc^nittetreit Sogen be^r&nit wtrb« 

IX. 2le^n(tobe^retdabfd^Qttte ftnb^ tt>e(c^e sletc^e^m^ 
Iff faff^n, cbet tn bemn bie SBinM be9berfeit6 
gleic^ jtinb* 




2)er I. <Sa|* Ttufflabr 
©tii« gegebfrnnStretfei, ABC, a^ittelptiiift ^u flttbeii. 

Serabe Knie AB , f^albm fte in D, 
ttnb etHcbte auf ibr in D ben ^et^ 
penbifd DC. »etling^te CD bid E^ 
ttnb b«tbirf CE m F: fo ifl F bet 
gefu^te gjKttefptinft. 

©enn wire F nicbt bet WitttU 
punft/ fo fep ci irgenb ein anberet/ 
ttxoa G. 3ie^e GA, GD, GB. 2)a 
ADznDB, unb GD gemein/ aucb (i/ 15.S.) AG=:GB: 
fo ijl (I, 8. @0 ADG = GDB/ folglicb (i, lo- @0 be9be 
tecbte ©infeL Stun ijl awcb CDBrrfR. goCgliA ijt 
^i, M.®.) CDB=GDB, tt>el*e« (i, 9. ®.) unm6ali(b 
xfu £)emna4) ifl Gnicbt bet 3Rittef punft be« Stteife«/ unb 
«tt$ eben beit 9r&nben aucb fein anbetet $unft aufiet F« 
SolgUc^ i|t F be< gegebenen 9ceife$ 9Rimfpunfr« 

3 u f a I- 

^imnH erbeKct/ ba§/ menu im Steife eine gerabe 9ft^ 
Mn enter anbf en in bee ^itte unb untet tecbten SDinMn ge^ 
fcbnttten tpirb / Jn bet f^bneibenben £ime bee 3Sitte(pun(r be« 
Stceife* fe9* -" 






44 



ItmiiBim^ 



I / 




s . 



/ 



i^int (jerabe £tnte, mt^t jwe? Befiefeige ^imtt«, A, B, 
in bem Umtinge eitteg ^tcifeg, ABC, ^abinUt, fiUt in^ 

giete biefe ^erabe 8ime nic^t in^ 
tier^olb be« ftteife^/ fo foHc <ie aufer^ 
^alb, wie AEB* SHimm (3, i* ®0 
beS Steife^ a)}itte(punf t D, unb }te^e 
DA^ DB» 3n)ifc^en A, B/ nimm 
in bem Umfreife tpillffi^rlic^ einen \ y \ :::v« 
^unf t F, jic^e DF, unb Devtingere ^ ^ ^^ — ^* 
ftcbi«\E4 

2)a (1, 15- <?0 DA=:DB, (0 ^^ --^ 

ilt(i/ 5- ®0 DA£=DBE* mm ifl (i, 16. @.) DEB> 
DAE, goJglict^ ifi DEB>DBE, foistttj^ (i, 19. ©•) DB 

> DE. sRun iJli^L; 1 5. SO DB = DF. goJgli*' iff DF 

> D£ , metered ( ( ^ 9* @»0 unm&glt^ i% . 2)emnac^ tam bit 
gerabe Unit, melct^e A unb 6 Decbinbet^ ni^t atfiget^dib 
bed Steifed fallen* @ben fo btmeifet mam , ia^ ^e ntcbt auf 
ben Umfreid fallett (6nne. SoI&Uct) tnug pe tnner^alb bel 
SceifeS fallen- 

5DB^ittt im ^teife, ABC, eine burd^ ben !Dtittefputtft 
gel^eube gerabe £inie, CD, etne anbere, nid)t burc^ belt 
9Dlitte(punft ge^enbe, AB, f^aibitt: fo fc{)neibet fte biefelbe^ 
iinter tec^tcn 9Binf e(n ; unb wenn fie biefetbe untet re<^ 
fen ?£&infefn fctineibet : fo ^afbirt f!e auc^ bwfribe* 

mixnm (3.1* 6) be* Stceife« mmU 
|>unft£/unb jie^eEA.EB. 

grjtet ?^etL 

f©enn CD bie AB in F ^afbitt: fo 
ift AF =: FB. gjun ift EF gemein, ^ 
Uitb'Ci, 15. SO AE=£B. golglic^ 




V 

lift (i, 8. 6.) AFESrEFB, f«f|(t<& (t, to. «.) fd^nei^ 
CD ^ie A6 «nt(c Rit^ten ®inf<tn. 

gjenn CD bte A6 untet cec^ten ®inftCn fi^ndbet: fo i^ 
(I, lo. «.) aFE = EFB. SBuR ifl, toeil (i, 15. §.) 
AErrEB, (I, 5. e>0 EAF=r.BF, ouc^ ijl EFgemriit. 
gotgli* \% (I, 26. 0.) AF^ FS, i>aJ ift, CD ^(birt 

(te AB.  -t 

§®mn im^wtfe, ABCD, jnwij 9«ta6e £tnten, AC,BD' 
hie nic^t butc^ ben SDltttelpunft ge^m, etnanbtt ^ncte 
t>«n: fo ^ot&iren fie einanfcet nic^t, 

@ef(^t/ fie ^d(f>imn vmx^w, fo 
ta§ AE±=EC, unb BE = ED: fo ^ 
ifk r loenn nKtn bed ftceifeS SRittelpunf t 

Fnimmt, anb FE jie^, (3, 3. ©.) ^ i^^Li: — — jp 

FEA fotDo^l, att FEB cin led^et 
SBitiM/ fo(B(B<b FEA = FEB, »ef* 
4el (i, 9. 0.) imm6gH(^ iji. golgft* • 
t&nnen AC, BD, einanbev nicbt ^ibiteit ' 

~ $i»«9 ^mft/ ABC, CDG, bi« emottbet fc^eibeitj 
'(a6en f einen gemetnfc^fttufyen iJ{it(«{puntt. 

@efe|t, biefe ftreife,-we{i^ in 
^, C, einonbec f<bnetbmi> ^itten 
(inen gemeinftbdft^tfben SRittetimaft 
E, fo jie^e EC, unb wiOffi^tlitbd 

EF<3i fofeli* ijt (i> 15. €•> <« 
jtteife, ABC, ECsrEF, unbim 
JlwiffeCDG, EC = EG, foig* 
litb »aw (I, t.0O EG=EF, 
~«>r«b(< (1/ 9. @0 unm&g(i(b '\% %^i>, f^nnen bkfe Strcife 
f einen s(n»inf(^f tii^ Vtiltdf unn ^o^n. . 





, < 



4« 



€iif((b*< ^Nm^« 




' ©ft 6. €Ja|i if^tfa'f 

3»e9 ^elfe, ABC, CDE, titen ctnet beit anWtn 
intvenbtg 6er&^ct; |a6(tt fetnm getneinfc^af^I^en fSHiU 
' pApvmH. 

®t^x, bi^eJtcdfi(, tQ<C(^ itt C ein« 
ani^c beri^mt, l^&tten einen geaieiiu 
ft^aftttc^eiv^ittdpnnrt F; fb'iit^e FC; 
tinb toiflffi^tUit FEB, fofglt^ ift 
(I, IS. «.)»«» Sceift ABC, FC=FB, 
tiA^ imSceif* ODE, FCs? FE, fotdlic^ 
ioAce (I, 1. 0.) FB ==FE, toelfi^e* 
(1/ 9. 0.) tintn6gli<^ tfi. Spfglu^ f6nnen 
(kfe ftreife fetnm gein(tnf^aft(i(^en SRittctpunft ^oX>m, 

Sflimmt man auf mtA ^tifed , ABCD ; ^ucc^mcffer^ 
.Ad^ etnen toom CS'littdpuhfte/ £; txrf^iebetun ^wxH, 
F/ unb it«l|et t)on t^m an ben Utnfcett/. me^cere gfcabe 
£mien FB,FC, FG; fo t|l bif bucc^ b«.n ajjittefpunff, 
FA, tAit%th%ti, un& bad i&Mde ®f^(f bej^^rc^m^fs 
fft«, FD, bte ffeinfle; unter ben ibri&en abcc immer 
bteber dtogten, FA, n&^ece dc6ger ate bie entfemte; 
xe. ^^ ftnb bon fo(^en ^tntennue \t jtPf^ ottf t>e9ben 
@etten bee f (etnfien , FO^ etnonber d(<i^> , 

Bic^e EB, EC, EG: foiflim 
A BEF (I, ao. ©.) BE+EF> ' 
. FB. giun ifi (I , I ^ 9.) BE =r _, 
AE, alfo BE-t-EF = AE+EF S 
=AF. golglicfr iji AF>FB. 



©a (I, 15. ff.) BE=rCE, 
«nb EF ben a A BfiF, CEF/ge* 
mrin^ aftcc BEF > CEFj fp tft 




Ct, 



\ 



I 



i I 

<f, 94.6.) FB>FC/ «ttt «i< ^btu ^ QWhNR FC 
>FG. 

a)a (I, ao. «.) GF+FE>EQ, unt (i, 15. «.) Ed 
= ED=:DF+FE: fo i|i GF+FE>DF+FE, folj* 
lk^(i,;5.0.)GF>DF. 

2)(miia(^ ifi FA tie %xh^tt, FD bie flrtnfle^ unb unlif 
b(9 {inieii Fb, FC^FG^ tmmet tit tec FA n&^CK gr^lt^ 
dU'tte entfetntcte. , 

^ «tt EF fe|e (I, 23. ©,> FEH=: FE(j, m\> jie^e FH • 
fd tfl, »eil ou4> (I, 15. (?.) EH=:EG, wnt £F gcmeiiu 
(1^ 4* 00 FHrrFG. SBJire iiun flu§er FH no* ttgeiio 
fine ^nUxtf tixoa FK^ ber F6 gfeic(): fo toare auc^ FK 
rr FHy toetc^f ttnm&$(i<^/ toeil nac^ ton erften ^^(4 
FK>FHifl. 

^^et: 9B&ce FK ritiFG, fo jk^e EK* SRun i{l ait(& 
(I, 15^ C) Rfi = EG, unb EF gfmeiit, gol«tl<t rft 
(I, 8. €0 KEF =: FEG, ^uu nxiir FEG = FEti golg^ 
li4^ tp&re KEFzz: FEH , n>elct)e^ (i/ 9. ®0 tinm^glit^ t(l. . 

2)emnac() ifl an liefer @eitc tec fUinften, FD, nur Me eini 
r:EG. . . • 



SfUmmt matt ouger^alb eine< 5tceife«, ABC, cittert 
^unft D, unb jfe^et t)Ott t^m an b6ii Umttttt) me^tere ge^ 
tobe£tnien,eiitc,DA,burc^ ben SHittefpinif t, M, btc i%i? 
gen betiebig; fo ifl u^tet- benett/ ^tbck^e ben ^o^kn Um^ 
fni< trefen, Da^ DE^ DF^ pC; bte biitc^ bei^ ^\iti^\^ 
funff; DA, bte dt6^tf i tm bets jibrigen abet immcc bie 
tec gr^ten, DA, n&|ete grb^er. a(d bte entferntere; um 
let.benen ^ngeden, meic^e ben erl^aen Umlrei« tteffen, 
D(j, DK, DL, DH/ ifl bte, fi^fd)e beri&ndert btitc^ ben 

STtttreipunft ge^eC; D6, bie f (einfl^ wm^ti Abi:iden abe« 

tmmet 



/ 
• 
/ 



I ' 



A9 



eiOa^'i IKfmelte 




femtete. llud) ftnb toon fblc^en £inten nut ft jtat^ <m^ 
8(^(n @(iteii l^er Keinftett/ DG^'dtianDeir gleti^., 

3ie^e ME, MF, MC, fo ift (i, 30. ®.) 
DM + ME>DE. giun ifi (i/ 15. «?♦) 
' ME ^' MA ; <ilfo'liM"+ ME =DM 
4-MA=^DA. $o(g(i(^i{iDA>DE. 

©a (i, 15. «OtME = MF, ui* 
MD demeiti/ a6et:,X>ME > DMF: fo 
ijt (i, ^4. 65.) DE > DF. Uob a<« 
<6ei» t>ta ©tunben DF>DC, F 

S)emnoc^ iji DA.biegt&fte, unbun« 
tec ben Knicn, DE, DF, DC, immec ti? 
b« DA nS^ete gtiget , al^ W« entfecntece. 

' 3te^MK,ML,MH: fo iftCi, 20, ®0 MK+KD> 
MD, bo* ift,>MG+GD. 'Stun ift (I, I5.@.)MK=: 
MG. Se(gfi(fr Ifi MG + KD > MG + GD, folaHA 
(I, 3. @.) KD> GD, ober DG <DK, 
• 2)a in ben Jtiongeln MLD, MKD, (i, ai. (S.) MKrh 
DK<ML + DL, abec (i, 15. ®0. MKc=ML: fo,ift 
ML + DK < ML + DL, folgH* <«, 3, @.) DK<DL. 
UnbattSeficttbcn ©cfinben DL<DH. ' . ' 

2)cm»a* ifi DG bie fleinjte, unb untec ben £inien TDK,Dh, 
DH, immec bie bet DG ni^cte ttel^iec, «M bie entfetntwe. ' . 

©titter $^eti. 
«n DM fe<;e (v'23. ®0 DMB=rDMK ;unb jie^ DR 
KBt\ ifi (1, 15. <8.) MB=:MK, oim^ MD gemein. golg* 
Hi* i(i (I, 4. ®.) DB=:DK. ©are nwn^ anger DB. n©«* 
irgenb eine onbere, etwa DN, brcDK gitit^, fo n>Sre «8i<» 
(i, I. ©.) DNrrrDB, t9(f(^ umn60li(t), »til nat^ bem 
jn>ej>w«i5^«elffl<i^. . . ., . ^ 



<•• 



• » 



• 



• ' 



%rkt.iA ^vAil 



49 



/ 



Obef : nhst BN-=rlSt, fo {ie^^MM. Stall ifk «ti^ 
MN = MK,. jjtib MP «<»ein. S%{t(^ iji (i„:g^ @.) 
DtViK = DMN. ghin wat DMK = DMB. %»\^ 
»are DMN=i:DMB , »d*e« (t^ 9. @.) uranSglicb. 

S)fmnac() t^ an Mcfec @eJte ter neinftcn DG^ niic \k eitu 
JifleDBrrDK. 

©e^en toon einem ^unfte^ D> tnncr^(6 etttee ^eif«^ 
ABC, on feen UmfreiS tii«fec-af« jwe^gleic^ 9«)ra)x^ 
nicB/ PA,DB/DC: fo iflfofc^ei: txs ;Ri;eife« «Kitt«ljmnft» 
. 3ie^c AB, BC, wb l)<j»itc (!e 
(1, io.®.)inE,F. Sie^eED, 
BFy un( t>erl^ngece fJr an bep^ 
t>en Seiten nac^> G, K, H, L. 

SDa AE = EB, uni ED 
itvmxi , au<^ AD = DB : fo 
ift (I, 8. 6.) AED = 
BED. gol3ftc^(i, 10.^0 \i-' 
fceC ftiVfet 5Binfrf etn reitec. 
SDemnact) rvirt AB con GK wxm te((»trn tlEDfnfefn ^olSiit/ 
fo%Ji(* ift C3, 1. ©0 l>c« *c«'ff« 9»ittflpunft in GK;'airt 
ebcn ten ©rfintcn aSer aitc^ in HL. ?Run ^aften GK, HL,. 
«ur t>cn «punft Dseraein. golglic^ i|i D M fttelfrt. ABC 
a»jttelpfinft. . 

D rti*t t)er g»ittdRtinft, fo fep e« tc^ 

genb rin anbecer, etn>a E. gie^e 

D£/ unb oevlanciepe ^e ait O^cpben 

0eiwrt na^ F, G, fo tpire dfo (3, 

8, ®0 DOPB/ unD DB>DA, 

gegen bad Sngenommene DC rr: DB 

=I)A. 2)emna4^ fann nic^t E bet aRittefpunft fe^ti; au4 

tm, ben @vdnben a6ec auc^ feitt attbem au^r D* $o(gli(^ 

ift D bed, ^rcifed ABC SRittelpuitft 

4 





« . 



*^ « 



\. 



• 



9^ 



MiiM'i.&mmtt 



^ ®tt Sttdi fc^mibet eintn anbern, ABC; in itic^t m^ 
♦to jwe^en ^\xxitUvi. - * 

' ^t%t, beu erfte Srri* fc^iiitte 
ten anbetn^ ABC in brepen ^un& 
tfn,D,B,E, fo jie^e EB, BD, 
tittb tyiSbitt fie in F, G/ Suf EB, 
BD, erci^^te in F, G, bie ^eri)ett* 
Wd FC, ^K, nnb tml&nsete fte 
KIA^H: foijt(3/i.©0inCA 
itnb KH/ fotglic^ in bem einjig^n 
ifKim^emetnf^oftlicbeu ^unfte L, 
be« ahbem ftceife^ ABC aRtttelpunft. Slun toirb ebtn fo btf 
tmefen , bdg L aucb beg etften Sveife^ SRitteipunf t fep , toe(^ 
4c^ C3# S- ®0 unmiglic^. 




S8et%en ficf> pei) ^rcife^ ABC, ADE, inner^a(6r fo 
ttif t bic gcrobe 2inte, »e(df)e bepbet SWittefputif te tjerbim 
bet,, genugfam bed&ngerc, ben SSerfi^rung^wnft, A. 

©ife^t, bee bepten Sceife SRitte(^ 
>unfte toicen/ tt)cun e« m68H<b, F, G, 
fo bag bie terlangettt gecabe Srnte FG 
ben 85ecu^cund«punft A nidjt ttife* 
3ic^e AF, AG, f6 ijVt^.ao, 6,) FG 
+GA>FA, obcc, weil (i, 15, QJ) ^^ 
GA=:GD, FA =:FH, FG+X5D 
>FH, ba« ifr >FG+ GH, folglicb 
(I, 5* ®0 GD>GH, tt)e((be« (i, 9. ®,) unmogltt^^ tJem? 
nacb mug bie gerabe Jinie, welcbe bepbet Rreife tKittetputrf t« 
t^erbinbet/ ben ©et&^runaipunft A treffen* 




^ee 



r / 



St 



"^er%en ftc^ a»^^f#/ ABC, ADE, attger^alB;. 
to (:ie^t bie gerabe fitnk, tt>etd)e fce^t^r aRtttffpunftt bcr* 
iiitbet/ burd^ ben 5Sert5^cung«|)inilt, A^ 

, (Sffcl^t^ ber fre^^en Rrei ji B; 

8ltttet|ntntte nwren , toenii /\ \ y^ — ^S 

t« m68lic(>, F, G, f© bog bte 

Serabe €inie FCDG iii(f)t 

^!;<^bni 6er&^timg^unft 

Aginge* ; 3ttf)e AF, AG, 

fDifl(i,i5.®.)AF=FG, 

imb AG^GD; folgHcb AF+AG=rPC + GD, fM«li* / 

AF+'AG<FG, ba b^ (i, 20. @.) AF+AG>FG; 

S)fmnacb tann bie gerabe iink, m\4^bt^bitt ftreift 9ntte(# 

!|M|n(te t>erbinbet, btir4^ (eiiwn dnbem , df ben Sedi^ntit^ 

IBmftAdc^eii^ 




J5)et 15. 6ai Uk^U^ 

(n mtf)t me^t a(« einem.^unftev 

• • • • • 

grjlet $^eiU 

.ifoer Jftei* AECD ibevbe ifttoenb 4 
t>ch eiiretn onbem in bem l^unfte B . 
biti\vt, iiti(b i^ F Oec $litre(punfl 
lfe« ejcfteft, uftb F*er SWrttelpunft be« 
o^betn Srcife*. §iel^et auui bie ge^ 
taV 8iiiie EF> fo tcifft <3> riv @J 
^iefejlbr ,t)e€(at^3ett ben a^u^cung^^, 
^>unft Br 

8ttm {e9, totnn ti ttA^iS^f M^ titi if^tpm bbn tmf, 
ictfc^iebeiiM^ SSeta^rttng^punft, ber xtbtt tm onbetet oM 
B^ n>el<$en (3/ 11. CO i>ie t>erl4n8em £F trifft, J^n 
*i«nte. 




^nWt ^mtntt 




itCciM: f» ift (I, i5.«.) DE=EB» 
Itl^m D^>VS, frtiJi* no<^ ©iet , 
me^e DF>FB..i9lvn ift.F t>et SWit* *' 
tdpunft ^e< anbecn ItireiftJ, fofgUc^ 
(ly 15.(8.) DFzuFB; welctw* jenein, 
]IF> FB, off enbav loi^etfpric^t 

' &tfttitp W fttetd ABCD, toiabt anitomVti ton einrai 
anthem, tocnn e^ mogUc^/ in {wepcn ^unften A, C, b^viilftL 
gic^eAC -  ' , -> 

^ ^ A, C/ jtt^ep ^ttftejtt bee ^erip^erie be« erjien ^ipeti 
ftf ABDC, fo fWt (3. a. @0 AC, xmh^M biefed S«elfe«, 
fofBli(t (3, 3. 90 aiiger^alb b€^ antem Sreife^. Shin finit 
A/ C/ sn^ep ^imtte in bcr ^etip^rae bed mibem Stelfe^, f#(^. 
(t((> f&llt (3/ 2. @0 AC tnner^alb bed anbern; tt>eic^ibai| 
Obigen offenbar tPibetfprict^t 

SDer 14. @a^, ie'^r.^|. 

S** ein«m ^tei|^, ABDC, flnb gki^ gerabe Smiert; 
Xb/CD, 0lcic^ »Mt bom !0?itte(p uflifte, E, cntfernt; vxiiOh 
9(et(^ wett bom !0?itte(punfte/ C, entfecnte gerabe li^nten, 
A6, Cb; einanbec g(etci). 

gWe (i, 12. @.) av$'E <»uf AB,CD, 
bie ^penbifei £K, £6/ unb jie^e A&> 

JEBfitn AB = CD \% ©a EF auf 
AB fenfcecbt: fff'ift (3> 3. ©-X AF= 
FB , olfo AB = 2 AF. fCtt« ebm ben 
©ifinben ift CD = 2 CG. sRun ifl 
Ab rrCD. golglitt^ i^ (1/7. ®.) AFrrCG, dfo Q AF 
i=a CG. aucb ijt (1/ 15. @.) AE = EC, dlfo D AB^ 
isDEC.  Siun <flf,..weif bep Iv 6, te4)tc jBinfel, (t/ 

47. @oaAE=aAF+atF, unb ab;c=DCG-h 

a EG. 




>■ 



.S)(ttt(« ^w^. 






u 



D EG. goftjfi<^ iji (1,1. 0.) D AF + OEFrr Q CG + 
D EG, fol^m (1/ 3.®0 aEF=niSG,aIfo EF=rEG. 
Sbctrtna* jinb (3, 4. @.) AB, CD, gleic^ »«t ©em mitte(« 
Duirfte E emfecnt. > <" 

» 

- fBenn (j, 1J. ^.) EF=EG, aifo aEF=aEG. 9}uii 
war m<i} bem ecften X^rile Q AF + Q EF = Q CG +' 
t3 EIS.  golglic^ ift (1, 3. ®.) D AF= D CG, alfo AF ' 
r= CG. sjlun mat auc^ AB=r 2 AF, un& CD = 3 CS,' 
^olgli* iji ( 1 , 6. @.) AB == CD, 

r V 

©e* 15. ®a§» le^tfaf. 

Sn etnem ^reif?, ABCD, tfl bet tJuw^meffer, AT>, We . 
$t&^te£tnte ; untec ben i&fertgen abet tmmet bte Um^^J^ 
tetpftnfte, E, na^etc, BC, 9t6$«t afe bk eBtfetntete, FG. 

gStte (1, 1 2. 6.) aui E otif BC,FG, 
bie ^ecprtiblW EH, ^K ; fo ift (3, 5. @») 
EK > EH. SR«*« b«&ec (i, ji 0.) 
EL = EH. @ctl*tc (I, 1 1. @.) oaf 
EK in L ben fjec^enbifri LM , unb «et; 
Jingece i^n bii N. 3ie^4 EM, EN, cf 
EF, EG. ' . 

. 2)a EL= EH : fo ift X3i 1 4. ©0 MN :=r BC. «D« • 
ifk (i, 5.S.) AE=:EM, unb ED=EN, olfo AD = 
EM + fiN. gjun ift (i, ao. eO EM + EN > MN,. 
§ol9li(;b«ftAD>BC. ' 

2)0 (i, 15. @.) ME=±FE, tittbEN=:EG, obit. 
MEN>FE6: fo if* (i, 24. ©.) MN>FG. Stun nwt 
MN=;BC. Solgli* ifi BOFG. 

©emnad^ ift Die t^m fTOittelpunfte ni^ere BC/ .«j*|et, 
<itt tie cntfecntete FG^ unb tec 2)iii:4^me^<t AD tie di:6§f 
te 8ioie» . i 




2) 3 



*5)er 



*fc. . 



i^ 



« 

y 



/. 



IV 



' '^ ©er 16. eoi U\tUy ; ^^ 

• ©er auf eineg ^rcife^^. ABC^ 2)urc^mefTer^ BA^ im 
^nbpunfte, A/ erricf)tetc ^erpenbif el, AE, fallt au^er^olfe 

• bed ^reifed; unb an biefen gjunft, A, faUt jwifc^en bem 
Umfreife unb bent ^erpenbifef feine anbere getabe 2int<« 

.3luc^ i|l bet ^infel beS ;^a{6frcif 6^ CHA^ ftrfcfer^ bn? 
ibcifte torn Umfreife unb bem ^^crpenbilel eingefclloffene, 
SQ5mfeI./HAE^ ateir f (einer , a(« jeberfpi|e gjrablinifte' 
-SCinfd 

Srfler 5^ei{. • 

gtc{efDtc^ec^erpettbifdnic^tati§er*^ ^\ jU 

Jftdfrbe^Rceifei, fo falle ec, njerni*^ 
tnSglict) ift, '\xmx^<x%» tpie AC, fp bat 
lalfo DAC ein reciter ®infcl »ii?e. 

3ie^^ PC^. fo iji. tt>eif (i; i5* SO sj ^' ^A. 

I>C=DA, (i> 5. @.) DCA=:: 
JDAC,. frfglici) ^epbe ®inW te*te, 
iDdcfe^^ (i/ 17. ®0 wnm6iilic^ ift 

/S)emnac^ fanri folc^r ^cpenbif el nic^t innervate be^ 9xw 
-fei faien; a6er au^ e^en ben ©rfinben au* nic^^t auf be« 
. tli^cei^ ; f Piglicj) f illt n augec^afb be6 Srelfe** 

3»er>tet 5feeiL 
giele, ttjenn rt moulict, jwifAen bem Umfreife CHA^ 
ttAb Ibem ^rpenbifeC EA/ art ben ^unft A, eirte gerabe Jinie/ 
^ iPie FA : fo fitte (i / 1 2* @.) au^ D auf FA \>zxi ^erpenbifel 
DG. ®eU alfo DGA ein rtcbter ®infeL DAG albec flri^ 
tiet al« ber tect^tc DAE, fo ift DGA >DaG; fofglicfr 
(i, 19. ©0 DA>DG: giun ift (I, 15- ®0 DA=DH/ 
SoIglM) »&ee DH>DG/ n>dc&e# (i, 9« @«) umnMi^* 

©titter %\t\{. 

®&re ein fpitfer getabtiniger SinM nocf^ sr6^r/ <iX 

• ter t)om S&urcbmeifet BA/ unb bem Umfreife AHC tinges 
f^Ipffene SBinfel; ober noc^ fleiner, al^ ber^Dom Umfreife 
AHC/ unb bem |)erpenbifef A£ eitiaefcftioffene SDinfel: f^ 

' Qi&fite 







51 



i^(t§te 4«rtf($eii ^em .amfteife «nb b«n ^JetpeiibiW an t«n 
^uirft A «t8^ 9«fal>e tinie, wie FA/ faflen, »ei<^ iwi* 

|)ietau^ w^eftet, baf- ein o«if bem 2)uf(^mfff« In" beftii: 
dnbpuntte erii(t)tetec ^ctpenbifel ben »wi« betfi^tl, tt«fc bafc 
eine gewbc iinie btn SteW Bt« in eioem ^unfte berol^wt, 
iobem C3» 2. <5.) bie gecabe titue, ttxlcbe in i»«9 ^unfte^ 
mit i^Bi jmammenuiift ; iivnw^A(6^ bc«. StteiiW f Wt. 

% * X 

t 

S)er 17, ®a|» Jtufgab*. 

$m6, BCD, <tnc ^ftiS^ruttg^linK ju jie^en. 

' aSimm (3/ 1. @.) be« «rei» 
fe« SRtttelpimf t E , jie^ EA^ 
unb befcbcti^^ au^ E , mit EA 
ten «cei« AFG. Swlcbte (ij 
II. €.) ««f' EA in D bCB 
^tp<ftbie«t DF. Bie^e EBF, 
unb AS: f» t^ AB bie oxA.h 
geiogcne 58?j?&^wn99iime be« 
SteiHBCD. _ 

gjenn ba in ben Xtiangern, 
ABE/FDE,(i,i5.e.>EA= 
EF, tinb EB=:EI>, au* bet fflMnfeC AEF gemcin: fr ijk 
(I, 4, ®.) EBA — EDF. Sfhrn ift EDFJolgli* aucbEBA^ 
ein wcbtec SBinfd, ba« iji, AB petpenblfulai; auf bem |)albi 
wcffec EB, in beffen ffnbpunfte B. y>%X\i) i^ (3/ i6.3uf0 
AB ein( aSecut)(un3$(i9ie bcl Sveife$ BCH^ 




it 



^uf eined ^t«fe«, ABC, «8etfi^t:und«K«k, DE, ifl 
btc bi?m SKittetpunfte, F, nad) bem '*Set%utt9^un!t<| 
C, 0ejO9«n^ gerab* ;8mte, FC> petpenbitufor* 

. » 4 > ©^'^ 



■y # 



' 




eatiiVi fSlmtntt 



•♦» 




r 

$lpikt FC ni<^t pttfeniitixiot 
4i»f PE/ fo fc9 eg eine anfeere, eu 
. »a FG, tint bailee FGC m u6f^ 
Ut ©infel , atfo (1 , 1 7. ®0 FC6 
<FGC, foigit* (1/ 19- ®.) FC 
>Fa mm ijt (I. 15. @0 FC o 
—Fa g0l8iic^.»ace'FB>FG, 
tM(<M (i, 9« @0 unmiglu^ ifi* 2)emna4^ tann FG tti(!^t 
pccpttibiftd^r auf DE fepn; au<, eben \>cn ©tuntien abet ou4 
feine onDere aufiet FC« golgUcti ift FC auf D£ perpekn 
tifutar* 



JDer 19. @0|* le^tfof- 

'' Sjl auf eims ^nfe«^ ABC, ,l5et%un9«Imie; DE, 
im SSeic%uo96punf te , C, .einegerobe ginie, CA, pet^ 
|)€nbifular: ft) ij^ in fbk^er bcS ^ceifcS ajlitulponft-. 

5©ate bee 5»ittelpunft nic^t 
in AG , fo fe9 et adgec i^r ir^ 
genbmct, ema in F, gie^eFC, 
tbefc^e (3/ 18. ®0 <tufDE pec^ 
penbifufar; ba^erFCE ein te(^s 
ter ©infd. golgli* tt>&re ACE 
rrFCE; tt>el(te« (i, 9. @0 «m I> 
in68(i(6 i^* Semnoc^ fann F 
nicbt bee 5Wittefpunft fe^n; ani eften >en ©rfinben abet 
<ni(^ feiti anbecer <iti§et^& AC. goIg(ic() nttifi ec in 
AC fepm 



, « 




©er 20. 00^. Ic^tfaf. 7 

3tt /e^em ^reifc, ABC, tfl bee 5CBinM am WtttU 
pmtu I BEC , boppett fo gto^ , al^ bee SBtnf el om Um< 
frcife, tuenn fcerjbe auf eineriet) SBogen flc^en. ,: 

(SI fe9 iuet^ bn $Binfe( am Utnfcetfe BAG. 3je^e AE, 
«nb wrt^ngew fw bii F, Sa (i, is. QJ.) EA=:EB: fo 



' » 




* • 

{# (I, 5. «•) EAB i= EBA , fckH 
( i / 3 2 . @0 BEF = 2 EAB. (Sben 
fo ifl FEC ifc 2 EACfolglic^Ci/ a. 0.) 
BfiC == 2 BAG. 

@6 fe? fecoec fin an^ecec SDinfrf 
am Utnf ceife BDC , Dag BD bie EC 
f(^netDe. 3i^et man nan OE, un> 
verlangect |ie big- G : fo n>trb auf ebe^ 
We art beroiefen: txj^ GEC = a GDC, unb GEB=: 
a GDB , f«l3li<^ (1,3. ©0 B EC = 2 BDC. 

t)tfe ?©infef, BAD< BED, in etneri«9 ^ret8fl6f(^mtt<^ 
BAED, ftn& einonbct 9(eirf>. 

SRimi^ hti Stteiiti ?5Rittclpunft F, 
linb sie^e BF, FD : f6 ift (3, ao. @.) 
BFD = 2 BAD :;= a BED, foJglic^ / / A :!iia 
BAD = BED. 




, JDer 22. @«|. Je^cfaf. 

©tt 9«d*n66<t(lelienti«t ^CBinfel cinet toietfetrijcii 
' gtgui: im ^tctfe/ ABCD,- ^n& j»<9 tec^tm SBiirfrin 
0tetd^. 

3ic^ AC, BD, fo ift (3, ai..©.) 
CDB =BAC, unb BDA = ACB, ^ 
fotgli* (I, 2. @.) ADC = BAC + 
ACB/ fo(gti(^ n>enn ABC ^inpfommt, 
ADC + ABC=BAC + ACB + ABC AN 
= (i, 3(2. ©.) 2 jR. ISbcn fo wkt 
Dwiefen, l>a§ BAD + DCB == a tR. 




S> s • 



Dtc 



s * 



SS 



i 



€ttf fib^d ©emente 




* i^nli^e, unb babet) ungleid^e ^mdatfc^nitte; an einei:^ 

li^ ©eke €rttct)tet. werben. 

©ire bie« moglic^, fo fe9ett bie ' -, - 

' ^cett^bfc^wtte^ ACB, AD8, unaleict^/ /Tq^^^ 

unba^nlicfe* 3ie^e witlfu^rfl* AD^ /^::5:^^ 

iinb tevlSngere ftc bi« C. gie^e Gi^ klr^ —  . ^^ B ^ 

DB: foift, fpeiC tie abfc^nltte i^nli*/ *, 

(3^ I u @0 ADB = ACB/ oefcl&eS (i, i6* ©0 unmSg^ 

tt* ift 

tHe^ttftc^ ^t?!«abf(i^ntfte, AEB, CFD^ auf gWc^ 
fteraben fiinien , AB, Ct), fmb ctnanbet gleicf). 

.' SStinseAEBawfCFD, 
•unb fege 4 auf C, unbAB 

oufCD:fofaflt(iPei(AB 
= CD) B auf D. giclm 

nun ni(^t au^ tie Scei^ogen, ^6^ CFD/ oof ejRantec^ f» 
nt&ite tec eide entmetcr ganj &ee tenanbctn fdtten, ottc 
i^n itgenttoe noc^ in einem tcitten ^unfte fct^neilfen. 2)aS 
^€tfte ift gegen (3, 23. e.)> ba^ 3w<9te flegea (3, 10. ©.). 
jDemnac^ tnfiffm au($ bie fttet^bogen auf «tnanbet fatten^ f oIg# 
1(4) bie i^tdipen S^i«a(>f4>mtte A£6< CFp; ^i) beifen, alft 
•inaBbw^leict fepn. 

5Dett 5;t:ei6, tBObott eitt 2t6fc^tittt, ABC, jegc^n ift 
|U boHenbtn. 

' • ' IxjCMce Ci,j.i o. ®.) AC in D , unb . B 

'WPitbte (if II*©.) auf AC in D ben 
fjcr|>enbifer DB> Sic^e AB, fj> i^ ABD A, 
(n$u»ebec {st6gec ob(c eben (^ ^cof/ obec 
fleinet df BAD. 




I ^ 



'  



Ibvittti S5u(^ 



59 




• X ' ^ 'Cr^et Salt. " 

/3|k ABD>BAb, fo fege in A an BA (r, 23. 6.) BA^ 
::^ APD, ml&n^ece 1^ hvi E, unt) iie^e EC. 

' |>(ecno(^ ift (i, 6. 6.) BEr^EAv SRun ifl/ :»«!{ Aft 
==rDC, unb D£ gemdn, atttti ti^D tecttt SDinf d/ (i/4.@') 
AE == EC. gofgfic^ ifi (i, i. @0 ou* BE = EC unt) 
(3/ 9.*@.> E iei wriongten Scetfrt gRittdpunft. 

t»^ 4 flat, iat in ^efem ^afie Dec St(t«a6f(&itttt ABC 
timet ali tec $a(bft|^6 fe^ , mt\l (ec ^ittdpunft au§(t|(dft 
^?ffetoen liegt 

3ft ABD=BAD, fo iji(i,6.(S.} 
AD = DB = PC 4 Solga* ift 
(3, 9. ®0 D t)e< t>(c(an(iten ^eife< 
Wittelpunft. Ai 

3" Die{<w So((< ift audenfdbeinli^ 

3ik ABD < BAD , fo fe|e in A an 

BA(i, aa.eo BAE=ABD, mi 
^e EC. 

$i(r ivirb, wie be^m ecfbit gatte/ 

tewiefen / t>a% AE = EB = EC, «nl> 

(a^ec £ Ui iKc(ansteit $cdfe« SRitteU "^ 

.. 3n ^iefem .%aiit f&tft bee ;0}ittdpunft innev^alb te« 96<« 
fjtnitt^ ABC / tPd4)ec alfo offenboc flc6§ec aid bee $alft« 
fcet« i^ 

3n gfeic^en ^etfen, ABC, DEF, jlc^en gW^c SBtn# 
^el om aRittclpunfte, BGC, EHF, fotwo^f, oB gletc^e 
SBinfet am Umfceife;- 6AC, EDF/ auf 9(eid[|en ^ogen, 
*BKC, ELF. 

3i(^ 




.• \ 



W ^ 



» ( 



\ 



•* 



4<» 



miSiiVi Brntme 




3ie^t manBC; EF, fo 
i^: Ch u^')f. »ell bie 
Sttifi g(eic& (int, BG=r 
EH, unb GC = HF. 
Slun ift flu* BGC = 

^HF.Sol9(icbl|i(i,4.@0 

BC=EF; ©abicfBrn-' . K l- * 7 

W 6*9 A, D/ glelc^ ftnbi fo {tnb in bm »ietfdti«en Si8«««« 

ABKC, DELF, (j, a a. ®.) <ju* bi? sajinfd K, L, gici*^ 

«lfo (3, II. @0 bie atfc^nitte BKC, fiLF, i^nfl*. 9iu« 

war a«c& BC=EF. gol^ftc^ fmb 0/ a4. ®0 Weft »* 

fc^nitte fotvo^I / a(« i^ce S^ogen BKC^ ELF, gki^. 

 ^ 3ti 9J«rf>en ^twlfen, ABC, DEF, ftnb bie auf ^Uii^m 
S5o9ctt, B,C, EF, |!c^enbcn aCinfel om SJltttelpunfte, 
BtiC, EHF, fot»o?I o(S am Umfcrife, BAC, EDF^ ciiis 
onber gleic^. 

©arenBGQEHF, 
tnigldct), fo whtt met 
bai»on, et»« BGC, gti* 
^et. @« f<9 boftee (1/ 

fol9«*C3/26.@.)BK 
r=:EF. Sftun' tfi ange» 

nommen BC=EF. , §orgIi($ toiw BK „^, ..- 

<i, 9. 0.) unir5gHc& ijt. 2)emna(^ i(i BGC=EHF^ olfi 
(3 , a o, @.> <Mi* BAG = EDF. 




BC, »<(*«* 



- 3" ?Wc^ctt ^relfen , ABC, DEF, f^neib^n <)let(^e^«« 
tabe £tnten , BC, EF, gfetc^e f&o^tn ob : ba§ namlid^ 
bie Qti^ttn ©ogeit, BAC, EDF, fo »te bie tlemtn, 
BGC, EHF, cinanbet gteic^ fmb. . 



'Ibtittk I8u(^ 



4^ « 




ma Die SKife gleitfe £K 

?=:EL,«ii>KC=LF. 

■<ftuni|tau*BC:=EF. 

^J§H*jlnb (1,8. @0 

Me ®tnmjb«9 K, L, dfo ()/ so. @.> au4 6e9 A,B, offf 

(3/ 33. @0 ■««* ^ep G/ H, gleic^. ^oigtic^ ]pinD (3,36.6.) 

^te se^0<fi BAQ EDF, fot90^t, a(« Me Sogen BGC, EHF« 

(inantec 0leic^. ... :• 

' 3n glete^en ^teifeit, ABC, d£f, flnb bte gerabtn £t« 
tiieriy BC , EF, wetcbe bie Snbpuntt* gUit^ec ^gen^ 
BGC , EHF, toetbinbcn / eittant>€t glei^. 

' ' Sftitnm 'tie SRfttftjiimftc 
K / L, unb }t(^e bie pa\bf 
meffec BK, KC, EL/LF, 

Mfcbt (J/ 1 . ^0 flleicb^ftnb. 
glun ^itbf WtH 6GC =: -g 
EHP#(3/a7'©)4u*bie 
Ginfei be9 K, L> ^tetc^. 
S9ldU<^ i|t ( 1 , 4. @0 BC =r fiF. 

':• ' S)<r 30. @a|. Hiif ^aht, 

' ^mett gcacbenert ^tciefcogen^ ABD, iu ^dbkm, 

/ 3ie^e AB, tinb ^dbice fie (i, 
io. ^) in C. .Jgm*te (i, 1 1. @.) 
Auf AB in C ben ^rpenbifet CD/ 





«tib iie^e AD, DB : fo ift ADB in J 

D {>(jlbirt. . 

X>enn ba ACrtCB, CD g^ttinn, unb be^ C tecb^e ®in« 

felj fo (ft (1, 4- ®.) AD=:DB; folgli*^ pnb (3, ag, 6.) 

au(^ bie Imogen AD, DB d(ei«b. 

©ep 



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* tr. 



»•/ 



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^Wi ^immti 



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* / 



«> 



H 



net, «nb b« im Hetnccn, AD6, gc&fec d6 ettt te^cd 
^rt8«9en if{ ter ^inM beg gr6f etn ^ida6f(f)ntttif/ 
CABC, rter, mtb be« Hemecjt/ CadC/ KHtwt, (!!l|^ 
-fin t:«^t«c. 

2)ci Swtfe« ABCD SWittetpunft fep 
£^ fm S)ut4mefet BC. d^imm im 
ilmlfwfe ; fi^ec BC toillffi^riieb i»<!9 
^unftt A, D, unb jie^e bie getaben 
Sinien BA, AC, AD, pC : fo wirt) bee. 

$aibffci« eon IfC/ unb be«i iSogcn W/- - \ ::^q 

BADG; bee grigece ^bfcbnitt t>on CA, 

tmb bnri S^o^en ABC ; b«c firinete eon 

CA/ unb bent S3o^n ADC etnge» 

fcblofffQ. gte^e fevnec EA, unb oec(&nge$e BA na<|^ F< 

^iec '.ft: • . 

.' «£t(i(tcb»©et ©infer im^IWreife B AC =r3i. JDenri. 

WiftU* i5.tOEB=;EA, fllfo Ci, 5. ®0 BAB =EBA»' 

«Hb eten fe, n>eilEAi=:EC, E AC rrECA ; f oiali* (i/ 

fi. @.>BAG=EBA+ECA.' Shjn ift <!, 3 s, @v) FAO; 

= EBA + £C A. golslidb ift ( I , I . @.) BAG t= FAC =: 

SR. (i/io. @.) (bbct: @«ift(i,3a.0.)AEQiS;aBAE* 

anb AEB == 2 EAC, folgli* AEC •{■ AEB = 2 BAjC, 

Sftutt ft (I, t^. 6.) AEC + AEB :==: 2 SR, gol8li<|& ijk' 

ft BA€ ±± '« 0{., fblgilcb BAC=:5R. 

5«Pe.Y«eri6. 2)cr®inf«im ge6gerri«&f(f)nitteABC<tR. , 
SSerttjjlm a ABC ift (i, 34. ©.) ABC+BAG< a IK.> obe« 
BACpiifR^ folglic^ABGOt. 

j^ fctttwn*. 2»c ©infer im ffeliiem aibfc|)rtitlc ADC 
< SK. 2)enn trt bet ciccfeitigcn giflur ABCD ift (3,22.®.) 
ABC ^ ADC ^ 2 SR., abc« ABC < fR^, felfifi* ADC 

>%' .   



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r 






, 1 



f '' 



felCAB. 

^finfterte* 2)er ©inW te« ffdnern a6f*ttirt« CADC 
<8fe. " 2!>enn et ijt ^enfeat fleinerr aW bee recljte' ffiiiu* 
fef CAF. 

3 u f a |. i 

|)ktQii$ erl^eQet/ bd§/ menn in eincm $cian^I eitt IBin^ 
fei ten bepbeir u&tigen ^leic^ ift, er cin u&^ut fep; tceil f^itl 
SRe6en»infel (i/ jii. ©0 tcnfelben bepbim tPmfeln c^Ui^ i% 
flleic^e 32ebenminfel abt( (i^ lO. @.) recite fmb* 

JDer 32. @a|. ie§t:fa|. 

f©ttb etn l^tiii, ABCD, itsn einet gcrab^n 2im<> EF; 
ItriS^rt, unb toOn cinec anbern <JUS bcm S8cni(2run<j3punf* 
ttf B, gejogenen^ BD, gef<^mtte,n: fo ftnb bit ^.r-nfrf^ 
DBF/ Dee, toeldi)^ bie fijnctbcBbe iiinie mitbct btrii^s 
rcnben mot()t, ben SSJtnf«In in b<n ftSit^felabjc^nitteit 
ted ^retfee glelc^. , ' ' '  

eccic^te (i, 1 1. @0 duf EF 
irt B ben ^eqxnbifel BA. 3in 
S&ogen BD nimm tt)i(lf&l^rU(^ eU 
nen $unft C^ itnb }te^e AD, 
^C, CB: fo tfl iu bm<i(m, bdf 
DBF s= DAB, uttb DBE =' 
DCB. E 

^tfHidf* 5o« ^penbiM BA Iji (^, i ^ ®.) fegg ^rei* 
fk« gRIttefpunft, folglkb (3, 3 1- ©.) ADB ::i: ». i= ABD 
^BAD.' Sim ijt ABFs=i ?R. = ABD+DBF. gofglic^ 
i(i ( I, I. ®.) ABD + BAD r= ABD + DBF* golglic^ 
(1,3. ®.) BAD 2= DBF. 

3o?cVteil8 , iH bet i>iecf«tiflen gigut ABCD iji (3/ 2 2. @.) 
BAD + DCB := a IR. ^ D BF + DBE. Slun ift eitwcfert, 
bag BAD si DBf, . "^oim ^ihi'®-) PCB SSDBE. 

 2)et 




• 9 



u 



€uflib'» ®iment€ 




Ue6er einer oiegebenen gerdbeit 2inie, AB^ eineii ^m*^ 
^Sfd^ttitt ill befc^retben / ber eipen bem degcbenen gerabj^ 
linigtti SBinfef; C, gleic^en 3DBinteI faffe. ' 

Set gec^ebene SBinfel C ift entroebec cin 
fpi^et, obct ein recbter, ober em (lumpfer -^ ^V6 
aNnfeL 

®etm C ein fpi|ec ©inf el. ifl* 6e|e an 
A (I, 23. ®0 BAD=a @cricbte in A 
«uf DA (i, in ®0 ben ^ecpenbifel AE, \C XD 
itnb ^albite (i, io/®0 AB in F. (Scricbte in F auf AB 
(r, II. ©0 ben ^erpenbifel FG^ unb jrebe GB: fo ifV, 
tDcil AFzztFB, aucb FG gemein, unb be? F recbte SQjn* 
fcl, (t, 4* ©0 AG=: GB, folglid^ ge^t ein urn G mit GA 
iefcbtiebenet 9xt\^ aucb butcb B«, 

@c werbe nun befcbticben unb fep ABE, unb BE gejogen : 
foifiAEBrra 

2)enn ^(x DA auf \itm 2)utcbmeffer AE im Snbpunfte A 
perpenbifular, fo berubrt fie (3, i6* ©•) ben Srci^ in A, 
f olflCi* ift (3/32. ®0 BAD = AEB. SRiin iji BAD =r C. 
go(9licbiMfiB = C, 

SKenn C em cecbtec SBinf el ift. ©e^e m 
A (i, 32. ©.) BADrirG, unb b<ilt>ife 
AB in F. 85ef(*reibe au0 F mit FA, 
pbec FB, bea Srei« AEB^ 3m Umfteffe A 
nitnm tt)iHfuf)rIicb einen ^unft E., unb 
Jle(;e AE, EB : fo ift AEB =r C. 

£)enn b'ec ifl wieberum (3, 16. ©.) ^ 
DA eine SerubviJng^Unie , weil BAD 
r=9l. aucb ijt BAD = AEB, weil AEB bee ffiinfef im 
|)al6freife,.aIfo gfeicbfaa* ein feecbtec ift. Slun ift BADrrC, 
folglicb au($ A£B:s=C» 



A 




^ J 



« » 



^tiitti S^uib* 



\ 



a 




, Ibtitut %(x\l 

' lEBenn C dn ftumpfer SDinfet 
Ijt «iiAfe|e (1,23.®.) BAD 
:= C. Kttf DA ecdcbte m A 
(I , I !• ®0 >en fyetpenfcifel AK» 
|)dH>ire Afi m F , unJ) erric^e 
ben ^cirpettbif el FG. gie^e QB, 
f# ifr , weil AF=: FB , «u* FG 
gemcm, unbbe^T rect)te ©infer, (i, 4. ®0 AG=:GB^ 
Wx% G be^teibe mit GA, obec GB, ben 9td^ AEB« 
Slimm in bem Sogen AB willfii^rlicb ^^xi ^wnft H, tmb 
lie^eAH, AB: foifiAHBar^a 

SDenn b^et^ ifi «)ieber DA (j^ x6. ®0 eine Sed^rung*^ 

lime, folflHcb (3/ 32* @0 BAD^ Ui ijl C=Am 

» 

I S5on ctmm geg^btnen^mfe^ ABC, «n<n^6fc^{tt 

Jie^e an 8(3,17.®.) 
W $8ee&^tung<iira< EBF. 
«n FB fe^e in B (i, 
B3.@.)FBC=:D. 3tn 
Umfceife nin>m jenfeW 
ttiafi^tti* ben ^unft A, 
Ui* ik^c AB, AC : fo i% E 
BAC=D. ^ 

4>cnn bd EF «ine ®m*i^tttn0«HnJe, fo ijl (3, 3 a. C.) 
FBC, fea«<frD = BAC. < 

©(f)netben einai^,bet in einem ^tcife, ABCD^ ixptx^ %u 
wbefiimen, AC, BD: fo ift bfig iimer ben Ttbfc^mtten 
ber etnen, AC, ent^aftene SRertangel/i^ AEX^C, bem 

(SuTfib'iei Stem, 15 ®A<^^^ 9 • Itnter 




\ 



• • 



 I 




~^ 



"Qtm'i <SlmttH 



I 

ontec ben 2(6^nitmt bjriittfeera* BD, «nt6altenett/.BE 

^^^ fcc^bitr Jinten ©urc^fc^niitWpunft 
E;bt« Stetfe* aWttcfpiinft: fo (tnb tic A 
8tbfct)tiUte (I, ts^ to ctnanbet ^eic^, 
ttrtb ta^ec pffeiibaif AE X EC ;£=: BE 

XEDv B 

' 3ji 1£ abec nlc^t tec ajHttetpunf t te« Sc<{* 

fe«, fo i<9 folc^erF, «u^ F fafle mif AC 

Et> We ^rpenbifet FG, FH, »hl>.iieOc FB, 

FC, FEi To id C5, 3. 6.) AG r= GC, 

folftli* ii, 5. @.) AEXEC+ D GE= 

D GC/ fol3K*, weftn DGF j^lttjufortimt, 

(I, a.^OAEXECH-OQE+nGF^ 

O GC-^D-OP. Sim ift, weil tep 6 te*te SBinfef, 

(i, 47^ ®0 DGE+DGPrJ=aFE, nnb d GC4-aGF 

== D FC. golgK* iji AE X EC + DF£ r= a FC =:t 

D^B, »eil FC =t:FB. ghin Ift du< e5m ten @cfiirbcrt 

DK><EB + Q FE == Q FBv gelgfii* ift AEXEC+ 

D FE i= DEXEB t- Q FE, folgfic^, wenri ts«n QFE 

weaniwmjEi' AE X EC is DEXE8. 

* 

©e^eit toon em?m «ufer^ cine* ^cife«/ ABC, $<* " 
nbmmeifcn ^ttttf^e, 1), ^wei? gerabe fitnten on ben Urn* 
Ink, »on benen il^n ble <me, DC A, fi|>neibet; bte on* 
bere, DB^ 6enS^«: fo ifl bad untcc bet gonjen fd&nel* 
benben Stnte, DCA^ unb intern «u^?,r^at6 beg ^reifea 
befTnbrtc^ett 2(6fc^nitte, DC, ent^flttene SKcctangel betn. 
Qucibrate bep ^et%«nfl«lmie, DB, jreic^. , 




f *• 



^-^ 



•«^j 







iBtitttlputtft liV 3w^* EB, f»,i^ C3/««.0.5 
EBD ein tt<^lit; i^mfd, vc^ tw^ (t, 
47. ®.) D€D =& a DB + Q ^E; ;mtta a 
iKi, »«a CE rr i;A, (2, d, ©.) AD X 
DC + d CE = DED, oDfc^ <»<a CE 

5= BE) Ad X DC .+ a be =5= dep. 

golgti* ijt ADX^C + D fiE== GDB 
»t-'DB^, felgli*/ «?enn WMi a BEwej* 
Bimrttt, Ai)XDC==:DDB. > 

- !!t>U l^netbenbe ^tue DA ge^e nic^t ^it»e|^ 
'b<n SftltttelpuniPt E. atu$ E fitte ouf AG 
(i, II. ®.) Den '^et^enbifcC EF, »ml> t^e 
EB, EC, ED : fo ift (3, 3. ®.) AC in E feat 
Wrt , fofgfi^i C2; «• ®) aDXDC + a FG 
S= a FD, f ofgli*, wenn □ F£ l^jnjuf oiifftjt^ 
(1, 2..@.) ADXDC+ D FC^-DFErr 
O'FD *h a FE. Stun tjt , »ett k9 F K*te 
tBinfd, (t, 47; 6.) O FG 4. q FE==: 

nEC:ir(i,i5.@0aEB,ttnbnFD+aFE=qDE=: 
(I, 47- ®') D DB + a EB, Jolgli* ift AD X DC -h 
b EB = D DB + D EB , foIgUi^, uxna man Q E8 tow* 
niownt, ADXDC;£:aDB» 




* > 



®e^ett Don dncm du^ee^ar6 rims i^m^^ A^C^ jj^ 
ttbmm^nen ^unfte^ D; jtoei^ fttrftbe fitmew an btti Umi^ 
ftieig , 6on b^nen bie erne, DC A> i^n |cf>ncibet> bk anberc^ 
DB^ cm il^it faUti unb tfl bd6 untet b^t d^Jrtjen ^ttbttis 
, ten £inK> DC A; ««b i^rem <x\x%tx\^{h be^Stlmfe* te^nt^ 
li^en'at^fc^nctte; DC^ entfeattene 3lma«fle( bfmjt^uabrdti 



^ / 






6« €u«tV« €(eim«te IDfr«ft« 35u4 

ber M ben VLmfteii fhHitibeiftttfie^ DB^glet^: fo ifl {e|^ 
itere etne S5er6ferii^i^6linie ^e« :^retf{«, 

gie^e <Jtt« D (i, 17.©.) l^tr- 
S^ecu^rung^inte D£« SKmin (3, 
I. .€5.) ben SWitlelpiinft F, imb 
|ie$eFE,FB,Fp.._ 

'.S)a DE ben 9tei$ t>Ai^tt, urtb 

AD><IlC^=DtoE. fSiunift 
angenominett/ ADXDC=sQ 
DB. Sc/gltc^ ifi □ DB = D DE, 
«nt ba^c DB=DE. SRun ift ouc^ (i, 15. @.) FB=:FE, 
<iu4) FD imm. So'S't* ifit (i/ 8. ®.) FBD = Ffijp. 
sRun ifhlED cin teepee SBinf f f. gojgf jc& jfj au^^ pBD dit 
welter SBinfrf, alfo BD a«f FB prtpwrtKfmat, foIaliA (3/ " 
16. 3uf0 BD dt« ©ecfi^ning^jnte. 

(Sfsenfo t»h!j|-ou0 bee SetPcrt geffifih, wenn tc$ ffrtifei 
SWttdpunft F in DA ijl. .' 




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€nfti r^ € re; me lit e. 



**-"^p 



t, VcTlne getablinigt gigur \ti^t in tine gerAbltttigt 
Si^ befc^rieben , vocm je^et: ^iml U\ tmt^ 
^fc^riebenen |ebe©e(tr b^rjemgen, mtt)ek^e)jtebtiJ 
- fc^tteben ijl, trtft, 

9« (Sine detabTinige ^igut ^et^t QUi^ttma^mwn eiile 
getraMmige ^tgut b^idstiehtn, tomn ^be @ette 
ber umdefc^riebenen jeben 9Qinfe{ be^enigen, urn 
wetd^c fte befc^rieben ijl; ttift, 

3. @tne getablinig^^dur ^§rui evtcnZ^ete befcbrte^ 

pen / »enn jeber ?SJinW ber etngefc^ciebenen §U 

4. Q^iitc gerablinige ^igut ^ei-§t um cttieti Krets be# 

(dbtithcttf wenn jebe @eite bet umflefd)riebenen 
^gur be6 ^reife« Umring ber%t» 

(Sin ^teid ^etgt g(eic^erma^en til tint geraMintQe 

ligut bejcbrfcben ; »enn beg ^reife* Umring jebe 

kiH ber Sigwr; in mi^tit jbef4>rieben i^, ^e^ 

6. €m :^tei0 ^eigf wm eittc OfMbhtiige Jigur be* 
(cbrtebeii/ wcnh beS^reifeS Umcing jeben SOBinfet 
ber Sigur/ um welc^e er befc^rirben ifl, trifft. 

;7* Cine gerabe 2inie ^eigt in tinmKttiB rmgrtragcit/ 
mnn i^re Snbpunf te in bed ^reifed Umringe ftinbt 



> 



$ 3 



^eir 



V* 



X 




^ 3hJ«tt<»^ de9«fe«»H»,^?et«; ABC , cine btt 9fj«0<^ii 

jutwgett. ' , 

, «eff«BC. SJinunBCrs 

D, fo tft M iOwCanste se« 

f*e^en, 3|i abet EG > D/ 

fo mac^c »(i< 3. 0.) CE =e 

D, 6^t«6« atrt C mk CE 

tea l|wi« AEF, '«hI) jjc^e 
, CA: f^ ift ^e(e ^e j?e?I(mate 

Jmie. . > 

2>enn ba t\, 15. f.) CA = CE , (&^ CE = IK: fi» i|^ 
' (»^ I. ^) l?i« (4< 7. <|.) einjetnjaene CA=:I>» 

3rt efrten gegcfiettett ^cc{6, ABC, etncn bent desefeenew 
•flTrianjcr, DUF, grcic^winKigen ^riangef ju feefc^reil>m.» 

\ 3fl ^e« «tei|e« Umttns ' 

. %t nimnt einen twttfd^ 
|i(|>en ^unft A , ijefte (3/ 

3[7- ^0 ticSJer4l^mnaa» 
rinie GAH, (eje m A 
' (1/ aj. C5.) bJe SBiilM 
HAC=:;E, unb GAB 
s=:D< unb jie^ie BC: (b ift ABC be? t?eifan0te Xrionjcf. 

2)ennba (3/ 3»-®.) HACsjrABC, «fe«f HAC=Ej 
(b iji (I, 1. @.) ABC = ft. gtun ift au« e6«n ben ®'rS«r 
t>en ACB=P, golgiicb Jjl (i/ 32. ®.) BAQ=F. 2)cow 
iw(b ift bee (4, 3. d.) in ben $i;ei$ befc^ciebene ^ ABC bwn 
A FED ^ewtwinffig, .... 







#1 




Urn etnen gegtt^iifB ^t««/ ABC, ekietr town gege* 

• SertSnaece EF.ju 

Hi nimm fee* Steif?« 
aRittetpunCtK, }ie^ toiti; 
'!^^c(i<^ t>ie geeotie time 
KB, ttn^ fc^eon K(i/t 
23.®0t>ie®mfe(BKA 

=DEG, ttia>,BKC=/^ 

(j, 17. @.) on tw S«ei* *w^ We |tottft<, A^ B, C, fcfe 
46tecfi^t;«n9^n>£n LM, MN^ NL: (6 i^LMN Uc (to 
tongte XtiairgeK 

6f t ^iecfrttid^ ^ipttt AMBK/ n>«(c^ in \tot!&i%m»v\ ytn 
Icflt toecben fann", (i, 33. ©♦)4fie ©infel iufammen ©io. 
wcfeten ggtof ela slei* fmD : fo ift AME+BKVV c= 2, SR. = 
DEG + DEFjt (nac^ ^^ 13* ©• wnb i, k ®0- ?R»n ift 
tia* Obi8imBKA=DEa golgfi* ift (i, a< <8.) AMB 
pEP. SDa Ottn auf eben Me 5lvt ewei^lijct) ,, ba§ BNC 
^_ DFE: fo ijt (1/ 32»®0 aiK^ ALC=:EDF. 2)et9nac^ 
ift C4ii 4* ۥ) *^^ *^ ^^^ S^^'* mjfetietittte A..1-MN iem 



* k 



^twmen geaefcjetim tmjigttip ABC| einen ^rei* ju 



/ 



t4 



C)a(^ 



I* 



eimvs 




PFB=at., unb BD 



tiebige ' SBinfel ibeS ^tciangei^,, 
ABC, BCA, mittelflBD, CD, 
mtldft (i, ii.,@0 in D jufiim* 
tnentccffen, fatte (i, ii, ®.) £ 
auj D auf M Sriohgeld @eu 
ttn AB, BC, CA, fcie ^crpenbU 
fel DE, DF, DG i unb befArn^ 5" 
be ou« D'mit einem terfetben ben 
Wriangten Scei« EFG* 

2?ennNEBD=DBF, DEB 
gemein: fo ift (iV 26. ©0 DE=:DF. 2)a nun eben fo ec« 
ioei«ic&, \>a§ DFzrDG, fofglicb (i/ i^ ®1) au<b DE =2 
D(j: fo iti)tt ber ^mS, »etd>eu aui f) mit einec ber gfeu 
ctm ?inien DE/ DF, DG, befct^tieben n>icb, aucb burc^ Wc 
ilbrigen^unfte, bl'pWd^en tecbte SS^inPet finb, ber&^rt alfo 
(3, ifiw ©0 iebe 6eite be« S^iangefiJ^ unb ift f olglic^ (4, s.e.) 
^a^ein befcbneben* 

©er 5. 0a|. 3(uf(ja6e. 
Urn etrten gegebcnen ^rtangeil, ABC^ etttett ^tefe j« 

|)albice (i, io;®0 jn^ep ©eiten be« Jciongel*, AB, AC^ 
In D; E; etricbte (t, ii» ©0 tn biefen ^unften auf ben ©m 
ten bit ^erpenbifel DF, EF, welcbe (i, ji. @.) in einem 
^unfteF, entwebec innec^alb beg^riangelS, cwber'auf bejfeti 
britten ©eite, ober «ufietf)alb jufammentreffen ; unb befc^ceibe 
au« F wit FA ben berfengten Scei^ ABC. 

fSt^n Salt. 
@^ faUe F jnner^alb be^ Sriangel^. 
Sie§? FA, FB, FC: fo ift ADrsDB, 
oucb DF gemetttunb pecpenbfPulai?, fofg* 
8* (1/ 4. ©.) AF=FB- S)a nun eben 
fo ermei^Hcb/ ia% AF=:FC, dfo (i, 
t @0 au* FB =: FC : fo ge^t ein «i:ei« 



1 J 







n 




ani F mit FA 6(f<N^«ii/ tteOt toc^ >t( ifoiseii fhrnf* 
te, B/ C, tmb i^ aifo (4, 6. 4^.) urn tien tti<md<( ^ 

. 3tt>^9t^^ San/ 

^ «« fatte P "auf bie ©eite BC. 3ie^e FA : 
fi) n>itb/ ti>(e 6(901 erftefi %oSk, bemiefen: 
&ag P bet aiUttefpunft be« ttm befi ittiang^ 
(ief4)nr^en Stteifcf fe9« 



. ' ©titter §atl. 

(?« f dffe F duget^df 6 be« Zxmo^zi^. 3k^ 
FA/ FB, FC: fo ift miebet AD =r DB, 
auct^ DF gcmdn unb petpenbtfulirt, fotgKc^ ^j 
(I, 4* @0 AF=FB. eben fo »irb be* 
loiefcn, \ia% AF=FC. golgli* ift F bet 

^ gWittelpunf t be$ urn ben ijtiangel befc^tiebe^ • 

»^<n «telfe#. 



^ierottl er^eSet, bag bet CBmfd BAG bepm ttftei) S<iA( 
tm dtbgetg Stei^abfcbnitte; olfo fpt^> be9m smpten irn C^Ibi 
fteife, alfo ein retbtet/ be9m btitten tm ffetnetn fteeiddbf 
fd?nitte , alfo fhimpf fe9, nocb (3/ 31. ©.)♦ 3f^ beftina* m' 
(em se<(ebenet| %tim%t\ bet ®inM BAG fptl|, fo tteifen bil 
^eepenb^el DF, EF, tanet ^alb be« f ciai^el« , i^ er tin tecbs^ 
Mr SGDinfef/ auf BC, |inb ift et fhimpf 1 ouget^atb bel ttiank 
9e« }tifimmeiu 




3tt eltt« gese^enen ^teU, ABCD| fin jQwabtat 



■/ 



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r » 



3t(^e 






lA 



CNffib'd &tmntt 




r 



3tel^ Itec^ Stttd^effet M Streifef 
AC, BD/ (i, ii.®0 «uf emdiifcB petJ» 
•pentifulac, audft no<^ ^ie AB, BC, CD, 
DA: f(f ift Die toieti^mse Siaut ABCD B 
\^i Dei^angH Cluabrat 

JDenn Da (i/ 15* @0 BE=ED, 
^u^ ]^A getmin unt pecpentf?o(ar t f» 
ifl (r, 4-®0 BAss^AD* SUin ifl na* 
!)enfe(6en @r&nben auc^ BC, CD, jeDe f&t ^4^/ Der BA^ AE^ , 
%\t\^. 'golgti* ift ABCD ftleicbfeitig. 

©a BD be* Stcife* SDucc^meffec , <rffo (3, 31- ®0 BAD^ 
«nb auc^ du* gleict^en ©cunben jeber bet, SSSin^f, ABC^ 
BCD, CD A, eitt recbtec ©mfel: fo ift ABCD recbtfoinfli* 
noc^ Obigem abetr aucb gleicbfeitig; fold^icb ( w 3P* ^O ^ii^ 
Cittabcat, uab (4^ 3, @0 in bcn'S^eiS betcbncbe^i^ 

Urn etnen segebemo^m^i ABCD, em Owabr^t ji^ 
"^fi^reiben* 

3ie^ j»e9 ©ttudbntejjh be« S6:etfr« 
AC, BD, (i, iK®0 auf cinanber ^ 
yerpei^ietilat:/ unb (3, [6« 3^0 ^^^ 
bie ^^itfte A, 3, C, D/ qb ben S|rei* £ 
«er&(>r^«d*KmcnFG, GH, HK, KF: 
fb \% FGHK ba* Det{angte £^uabrat 

©eniiba be9A,jB,C,D, (31 18.0> ^ 
f^te ®wfel fiab, abec att4> b^ E: 
fo ftnb (1, 2&. 3Q^®.) FG, BD, HK^ beegtef^en QH^ AG 
FK, patalteL 2)einnacb ift FGHK fiimo^I, a!^ aucb jebe 
bet gisuteti, GD, DH, GC, CF> ein ^catteii^gtamiiu 
goljlicb tfl (I,. 34. ©a GF := BD :^ HK,, utib GH =: 
AC=FK. Ituniji(t,i5*@0 AC=BD. goIgUcb ifr 
GF2:;HK25:0Hcs:FK. offaFGHK, 3{et(bfet% Sfluti 
ift(i/ 34*®-u. 3, i8.®OAGB=:FDE=!9l^, tinb biief 
rtw fo boa benSBKnfetetc? H^ K^ Y^ tm^m^t dfoFGHK 




mnrfi^aN^ 



>, 



TS 



m^ tt^^hMi, f^m tfl (r ; 3 o. $.) F6HK ein dwii 
%%^, tm^ (44 4* ^) am t«n S(ei$ &<f(^n(^« 



« ^ 




3n(ifi 9(g<^ne« Ouat^coti ABCD, etnen ittci< }« 

^attite s»ep ^eit<n AD, AB, in A  . ^.?L. .  !> 
E, F; iicfje'Ci, ^i. @.) t>ucct» E bie. 
.EH tcr AB obct CD , uttD »uc* F 
tie FK fcetJ AD ©bet BC ])araflerj 

imb M<&c^'^< Atif bepbeCSlnieRt^ticcb' 
ftbn^c G wit C^ ben mUm^ j^ 

' , ^nn Ra(& Obigem (inb AG, GB, GC, GD, ^rafirfoi 
grsmnr^ Mglicb (i^ 34> @0 i^te gegenfibettiegenben @eiten 
S|(<i(b. SUttn ifr AD = aB, dfo (i, 7. ®.) AE = AF. 
S<^ti|lt<^ if^ GF=GE. aiun doicb cben fo bewiefin, bof 
GH, GK, ieb< f6r fi*, b«,GF, GE, g(ei(^ fep. golgfi*^ 
Set)et ber 5trei< au| O imif GB befc^tieben m^ buttb^c 

^tbti^eti %ttilht ,¥i H, K, hep wtUftn (i/34«@.) ttdftt 
sainfef inb, unb ber&^ aifo (3, 16. ®.) jebe ^tte M 

' Oiu^oltt 4fk fijtgiicb (4ii S< $0 bateio befcbciebdU 

. Urn ein »i^vn6 Auobrot^ ABCD^^ eutm ^v^ |tt 
befd^etbenJ' , 

3ie^c bte SMagonofm AC, 6D, tinb A 

befcbcetbe <ite«-^rem 2)ut(bfc^mne E mit 
£A ben ttedangten ^et^. 

SDenn b« (i, 30. @.> AB5=AD, unb B; 
BC — CD,. <uub AC gemmi f» ift 
(i.8.©0BAC=;=CAn=|9l. ?Run 
' tfr eben (0 .e«»ei«i<b/ b<i§ ABD — 




DBCri f 3t. Solglicb i<l BACrr ABD> foIfl(|{b(i,6.®.) 
£A=£B« Stun iQivb <beii f» bnviefen, bof Ed EI>« 

i(b« 



I- 



« 1 



f€ 



eiiilt^$J!^mmt 



jd» fftr Mp *«? EB, EA, %um W^ %m* «*el 4t« 
9ttii mi E mit £A ^efc^eben cax^ Ht^ Die tkbi^stit 
^unfte B, 0, D, utiJ) i^ <tfo (4, 4* f,) tim M^iGua* 







iSimn 9letcf)[c^enWtdett ^rtirtgcl gu ^fe^retSen, m 
»drf)em jejber ber 5®nM an ber ©mnWinieba$ J)^ 
t)elte beg briteen 2BinfeIg fep* 

AB, un^ f4>ndl»e pe (a, u. ©,) 
in C fo, bog AB >kC BC = n CA. 
Hui A bei^tdbe mit AB ^en^SceiH 
« BDE/ tca^etn benfdben (4^ i.@0 
BD = AC^ unfe jie^e AD: fo ift 
ABD liitc Dftteigte gUii$ifc|wnfil9? 

S>cnn iie^et mon DC7 wnb 6e« 
. f(^t«i5t (4* 5. ®.) «m >m A ACD t>w Swi* ACDE : f^ 
ill, ioeiC ABXBC = DCA :=:: D I)B, 0,^7. a) bd 
eine S5ecii&,i;uiiigglinie b<« gwife^ ACDE, f>tfllKt> (g, jjf.®.) 
BDC =DAC, folglicfe, toenn CDa ^mjufonimt^ ADB = 
DAC + CDA. 9hj« tfi, tJXil (i, li^. S.> AD = AB, 
Ows, @O.A.DB=ABD; abet (ju 33.®;) D^C + CDA 
= BCD. Solgli* ift ADB ;;= ABD = 80), fof^tt^ 
(1, 6. ®.) BD=DC=::CA, Waft* (i, 5,-®.) DAC ^. 
CDA, folgfij^ BCD= a DA€. 2)e»n<«*.ift «ui^ APB 
fowo^ily «l« ABD = 3 DAC. 1 , 

3tt eittm eegefeencn ^rc{«, ABCDE, cine gtetc^f«% 



« <' 



S3e^ 



¥ V 



« 
« 



f^tui' 




tf 




einen g(«^fc<)eiinidm A 

FG^/ in meli^etn jftcc 

bet! ©infti G, H,,M 

£>D|))Xlte be« bdtten F 

fen, 3>^ ^^<* gegebmett 

Rtei«&cfc^ccibc(4,2.€5.) (^ 

einen bem a FGH gtcii^* 

winHigen a'aCD, bag 

CAD=F, AGD=G/ tmb ADC=rH, aifp CAD=: 

I ACD = I ADC fep. |)a(6tte enbfit^ (i/ 9- ®.) AGD 

unb ADCv Biittetji CE, BD, anb jjefee CB, BA, AE> ED t 

fp t^ aBCDE ^i DeOcatdU f inffeitige gi^w. 

- 

S:i(;nn ba n4(^ o&iger Son^ctwn bie fM ^tnfef / CAD> 
EC0, EGA, APB, BDC, glei* ftnb: fo finb (3, 26. @.) 
Jbit ^i«bi>9fn CD, DE, EA, AB/BC> folgU* (3, 29. @.) 
bie eben f» benapnten ger<diitn iinien gleic^. $013(14^ i^ 
ABODE dleil^feiHs. 

2)a oat^ Obiaem bet ^^m A5= 0E ^ fefgfid^ , «in?i 
bet S5ogen BCD f^itiuttrntnt , bet Sogen ABCDrr fiCDE : 
fffift (3^ 27- ©0 DEArr^iEAB. 3*ttrt ift ebeii fD et»ei«* 
V^, tfCi% jebet bet ffiihfel, ABC, BCD, CDE, jebem brt 
mnUl mA, EAB. 6iei<» fe^^ . ^^m ifl ABCDE ati# 
glekt^tomffifl^ un^ (4> 3 « SO in ben ^tei« befe^tieben. 



J •• 



«efe«<> 



f* 



j» 



'1 






It 



€ufttb'« €tmena 




-I 



C, D, E/ tohtttt bit SBirtPirt* ^ 
fpi|en cimt fot*«n (4, i * . @.) . 
in txn $rei$ ^fc^ciebcnert $i» - 
guc/ ba§ otfo tie SSogett A6, 
BC,GD,DE,EA, gktctfinK. ^ 
gie^e(3* i6.3uf0 ban* biefe "■ 
^unfte M ben 5(tei^ bie ^e» 
"rii^tuna^inien GH, HK,KL, 
LM,MG: fuiflGHKLM 
■^ wctangtc gigut. 

JDentneS f«9 F be« Sttcffe^l^ittcrpunft,^ wnb t^,VK, ^C, ' 
-FL^FD, gcjogen: fo fmb (j/ig. @.)'be?^B tmbC-tec^tc' 
©infel; fofgli* iji (i, 47« ®0 dFK= dFB + D BK:::; 
D FC + D CK. 9hn ift (i, i 5. C) FB 2i= FC , dlf^ aytt> 
DF«=:= n FC goIflK# ijt Ci/ 3- @) D BK t=a CK, - 
<iIfo dU(* BK=rCK; folgflc^/ba du* FB==:FC, tirtb FK • 
fitroein, (i^ 8. ©0 KFB=tiKFC, uiib FKBi=FKC; fcdgj 
Iic() BFC=::= 2 KFG , «nb BKC = 2 FKC, ®&ert fo wti-b  
iewicfen, bog CFD = 2 LFC/unb CLD = 2FLC. gjurt 
ifi; to^il BC,CD,-9lei*e-«o$eit, (3/27.6.) BFC4=CFD. 
gblgfi* «fi (t, 7. ®.) KFCirLFC, felgfi* ifi, ba 6e^ G '* 
t«^t^®infet, urtb FC flemcin, (i;.26.6.) GKaiCl;-' 
«dbFKC=FLG. - • : 

©0 ^ierna* CKi=CL> folvjllt^ LK^ta^K, Uiib ekrt 
fe cttt)ei«lii4) KHctr 2 BK, ober tiflc^ tJbi^eitt GK'^BKi • 
fo ijt LK==:KHv Stu« cbcrt ben ©tfinben i(l jebe bet HG^ 
GM, ML, jebcc bet.LH, K,ti, gUi*. SolgHt^ ijl GHKLM 
Bleicbfeitig. 

t)« fccncc FKC = F<LC, .<^ ouc^ a FKC ££4 FLO, - 
<ibec Md) CWgem 2 FKG = BKC, unb 2 fe'LG £= CLD : 
fo ift BKC =:= CLD. 8fu« lebe^t ben @tftftb«rt 1ft jebrt We 
©inPel BHA, AGE, EMD^ |ebem bee BKC, CLD, ittid). ' 
^cldtic^ ift GHKLM auc^ gfeic^tvinflid ^ unb (4 , 4. $.) ' 
van ben ^eei^ befc|;deb(n» 



t  




feitise %\%\x%f ABCDE, etncn A>ei« s^Mc^^eibm 

|)<dbice (i, 9I ®0 Jtt>e9 6e^ ' "^ ^' ' 
Iie6tse®infel ter §13^^/ BCD, 
CDE; mittelfl ^ec ^ttitenCF^ 
DF« 8u8 bem ^unfte F, in 
meld^em ffd^ iufbmmcnmfen, 
filk (1/ ia» ®.) auf tie Ccisf ^^ 
f0t feet ^i^iut; ^ie ^pen^t^ 
U\ FG, FH, FK, FL, FM, 
utib t^ffc&reibe dud F mit ei^ 
nem tetfeltot ^01 fterton^ten 

2>enw jie^et mo« no* FB, FA, FE : fo fjiFCB:2=FCD, 
CBsiCD, «nt) EC gemein, folaJic^ (i, 4. 0.) CBF=2 
CDF. Sftan ift CDE = a CDF, unb ABC =i CDiE* 
%p\<^m ift <ui4> ABC = % CEF, foIglU^. AB€ t>«n FB 
^albirt @6fn fo ftcioet^ moif/ t>a§ BA£; AED^ tisn Fi^ 
FE ^a»i« frab* 

2)a FCH = FCK, 619 H tmb K^eei^ fBinM, nnl 
FQ smein: fs ift (t, ^6. ®)) FH=FK. 2)a nun e6<tt 
f« cnDri$lic(>, tfaf jebe tn FG, FL, FM, jebecbecJH^ 
FK; gteid; ({9 "- fo select t(c 9xmA qu< F, mit «ttt(c ti<f«r $(d« 
<^«tt Siideit FG b<fi^tt(&en^ mic^ ^nc4> tie dbtigen ^unte 
H/ K^ L, M, bep benen ee<tte SBiniel ftnb , unb becfi^n oif^ 
(3, .16. eo j<be,®5U( bee S<«itt,. ift \tk^ (4/ «. SO ^^ 
ein 6ef4>eieben, ^ 

, t 

/' 

Urn eote ^edebeite dleic^jettige titib dfetc^n^tnfl^e fi(in|« 
feitige %\.mt ABCt>£^ ernen l^cei^ ^h (»fc^t((6«n« 



' \ 



to* 



6ufrfb*« Cfemente 



/ , 




Bpfi, GDE, tHitt# Dec iinm CF, 
DF, ufl^ befn^mfreati^ F, in totit^p, 
ibtm ffe lufaoiatentceffen , iriit CF^ 
obec FD ^ ten oecfangten Sm& 

Stenn jie^et nran noc^ t(t 8tnien 
FB, FA, FE, fo ^afbiten Wefe bie 
©trifelCBA, BAE^AED, toild^i 
ft((> eben fo, n>ie im ooc^etgd^en* < 
ten @a§e, bcwetfen I4§t. S>a dfo FCD=rPDC, f© ijfc^ 
(i, 6. (S.) FCr=FD, SJurt iji eten fb «:tt>ei«i(^y M jcte 
l>et FB, FA, FE, jebet bet FC, :FD gteit^ fei). Sofgb'c^ 
gel^t bee ftcetS <ju« F, mit einec biefet gtek^ ^nien, FC, 
befe^cie^en, aucb burt^ bie fibcigen ^unfte bee gigur, unb ifl 
dfo (4, 6«. 0.) «« ^''ffl^c befc^ci^. 

3" «"<" 9<d«^«n«rt ^irci«, ABCDEF, etne gfeic^feitt^e 
tmbg{ei(^»mfi(geife(f>6fetttge^guf ju befc^tetbcn. 

STtmnt be$ ^reife^ ^tte(|>unft 
G,. jie^e ejncn t)ut^mefeie AD^ 
unb^ befcbeeibe aui D mit DG ben 
«cei« EGCH. 3fc^e EG, CG, 
Detr&ngeee fie W« B> F, iinb jie^e 

AB,BC, CD, DE, EF, FA: fr ij^: 
ABCDEF bic-Wiriangte giguc. 

©enn ba im'Sti-eifc urn G (t, tg. 
f .) GE=GD,unbimSreife urn D 
GD= DE . fo ift A GED glei<&* 
fcitig, f olgfic^ (i^s. ®.) iV<^ gKi*< 

Winflig , f ofglicb (1,3 2,@.) EGD 

bai 2)ccttcl »on j»e» eecbtcn" SJinfelnyfo »ie au« cben ben @cftn» 
ben DGC, folgf, ducM^GB, n>eil( 1; 13. 0.) EGC+CGB= 
,a 9?. 2)^iun<Kt> finb obgenannte btepSSJjnfely abec duc^ (1,1 5.®.) 




f ^ 



\ 



fStertefl 55uc^. 



^i 



'©iirfel eiiran^r gfei** 2)a^er ft'nb (3, a6* ©0 tit fcogeiv 
atfo au* (3, 29: 05 )»i^ Jimen AB, BC, CD, DE, EP, ^A, 
dnanb^ gletc^/ g\(g(ic^ tft ABCpfcF gleic^fdtis. ;' 

bcr »4)8tJi ABCD ^injufotnmt, bet SJogert FABGD ==: 

EDCBA : fo iji (?, 27. @.) DEF = EFA* SJurt ifr etcii 

^ fo eweiSlk^/ fcag jetcm biefcc bepDen 2BinfeI jeber betf fibrin: 

" gen fBinfel bet .giaur ^kid> fc9* golgllt^ ift bie Siguc aucj 

giei4)tpmfli9 / unb (4; 3> ®0 i« t>^J^ ^^^^il bef^riefeen, 

3 u f a|* 

$ieeatt« etl^ettrt, b(t| b^ ©etrt-^mer in bm StHi )» tot 
f4>fcibfnben gigur mit fecb« 9fticl)en 6eiten itm ^aibtat^ 
kt« i!^ceife« gldcb fe?. Stucb ergiebt ftcb ait^ Um, »a« t>oQ 
^tr giguc mit f&nf glei4)en 6euen gde^ret tt)ocben, bag xtiiU 
teljk bet S3et&^tung«timen butcb ble SBinf dfpigen , A, B, C, 
D, E, E, eine gignt mft fc(f>« glcic&en ©eitert urn beit Srei« 
Sefc^tieben n>ec6e ; beSgleitben, tou auf ^M«*^^rt m unb 
tm eine gegebene ^igut mit fec^« glei^en ©eit^ eiit Stdl 
befc^ticben toecben f onrte. ' 

©et 16. ©a|. HufgaSe* 

Stt eitten g^gebett^rt^^tets, ABCD, mt gWc^feitige 
unb gtei4>win«ige funfje^nfeitige $19(^1^ ju bcftf^refbem . 

<S< fei) AC bie Seite eiitei in 
ben Sftei^ befc^tiebenen g(eicbfeiti^ 
gen $tidnge(</ unb AB bie ®ei^ 
te einet in itti 9ttii b^riebe^ 
nen ^igut t>on f&nf gfeicben ®ei? 
Krt- ^afbite (j, 30* ©*) ben »o^ 
gen BC in £: fo ift bie ger<)be 
tinie CE bie 6<ite bet t^etiangi 
ten Sigut, - 

^ SnUib'l 6(em. 15 ^^Acber. • { %inn 




-/ 



* n 



I i 



2)eM t9&f e Ut Vttfitttai to fm^ 

^hlt ^ S3o9<n ABC, cii bee bri^ 
ic J^eil/ fiirtf , bee Sogcn AB * 
flbttj ali bet funfte Sl^eil, t)(reV/ J 
f olgli* bcr fibcig^ogen BC jwev 
folc^etiJ^eile, bag alfo ber Sogen 
^ CE cm f debet J^eil ift, fcfgttcb 
bie, getabe Jinie CE (4, i* 6.) (icb 
funfje^nnta^l an einanfcet in ben Streii einttagen , offb elne 
gteicbfeitige unb gleie^^f^toiflige funfie&nfeitige ^igut in bt* 
^ Scei« kfc^teiben Ia§t. ' 



« • 




; . 5Jud bem, tt)a« t)on bet gigut mit f &nf glefcben @eiteii gef 
' ir^ret n>orben , ergiebt pcb / ba§ mittelji bet S8etu^tMng«Iinini 
but* bie funf je^n t^eilungipunfte be« Umfteife* eine gigut 
init f unfse^tt glcicben ©eiten unb 5©inf ein urn ben Steig U9 
fcbtieben »erbe; be^gleicben, n>ie auf abniicbc 8ftt in unb um 
eine gegeb^e gigut mit funfjel^n gleicben ©eiten unb ffiBinf eln^ 
ein Steig bef4>tieben toetben finne. 



duum 



83 






€ tt f I i n ^l t m tntt 



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i^MMMMHaMi 



'f '■»« 



I* Vui tC^eil tfl/ftite ®r6§e t>to bet (mbertt; iit ffei^ 
nere Mil bet gt:6$ernf menn ftt tie gr^^ete genati 
miffet 

i. ^in XHtlfadl^n aUv tfl tne gtifete ten bet iPIetnetti; 
iR>enn jte Mn bet !(emetn genau gemeffen n>itb. 

!♦ X>etb^tttii^ ijl bie iwe!)en 9letcf)artt9en @r&^eii in 
!^ii(f ftc()t . bet @t6^e gegen eittanbet jufmiinenbe 
SSe^affen^eif- 

4. €tne X>crb(^(tm^ 3it ttnanber ^ben @M#ett^ loeft 

c^e bcrtJiclfaftigt einanbet dbettt effeir fintten. 

S» 3n eiiterlev ^^et^iltni^ fmb 0r6^tn^ A; B^ C^ D^ 
bie etjte jur jwepteii/ imb bie brttte jut ticrten/ tt)ttiit 
bott bcllebigen ®(eidf)\)ielfiarf)cn bee etflen unb bttfe 
ten; Af C, unb beliebigen ®fdc^mc{fdc^?n bet jttjqji^ 
ten unb vnertenf B^ D, bie SSielfati^en bet etflen unb 
britteu juglfit^ entifMbet tietncr, Dbet eben fo gtoff^, 
obet gr6ger finb/ al8 bie SBtelfa^en bet jwcpten unb 
bicrten, ixadt) bet Ocbnung ntit einanbet uxQld^tn. 

<» Pcoporttcvttve ^^en ®t6|$eti/ mld^c in etnettry, 
95et6i(tni^ jinb* 

9i €me gtc^e Pct^^Inii^ d&ei^ ati bte btute^e^^r 
2ur bietten f ^at bie etfle jut iix>etKen^ n[>enn bon geit 
bad)ten ©ieic^toteifac^en bas J8ielfact)e bet erjlen 
^oijji bat ^ie(fa4)e bet ^tDepten, j^tnget^n ba<SBtel<: 

S a fac^e 



' » 



* 



fa^c bee \^i\xxixi nid^t bag SSieffac^e bet biettehi 
dberttifft* 
8 V Pt^C^P^W*^ <ft *i^ ©Sdc^^e^ bet SJet|MtttifFe. 
' 9. gine ^rcportiort 6ejle^t jwifc^en brco ©liebern jirftl 
wenigfteit. 

©on bte^ ^roDortibtiafgri^ert/ A; B^ C; tjl bie SUet? 
^«i. »/•*.. /s j^*.. ->•* -«-••>. .^ • t* . 



\o. 



9^ *^ f^ r WW r I 

^km$ b€r etflm jiir^mtteri (A jC) bad §wtcfa^ 
dbe bet 95etl^a(tni$ bet etflen jut jtbeptctt (A ': B)^ 

Obete«4(lAtC:i=:;i(A:B> 

!!♦ SSoit biet (an einanbet ^art^ehbeti obet flettgen) 

qUtoi)ortioha(8t&§ett, A/ B^ C^ D, ifl bte ©er^Mtml 
^ tfict etflen jut bietteit (A j D) bad iDrcvfacbe bet 

SSet^Sltni^ bet etflen jut f;cot^ux\ (A : B) obet A : D 
. =rr3(AJB); unb fo nac^ einanbet tmmet \m 

@iftd me^t f fo (ange noc^ (jm eimutbet ^ti^enbe) 
'^tot>otticnatsr5§en bot^anben ftnb. 
I %, 0ictc&itaitiig Cbomolpg) ftnb S^Dtbetgltebet mit 

ajotbetgliebetn/UnbJ^intetgfiebet mtt^intetgftebetn* 

«3. X^Mipe^felt witb etne^et^tiii^/ »)enn man (in 
'i eintt ^ot^ottibn A : B 1= C : D) fe|t t baft SJorbet^ 

' • g(ieb ium 9!>ctbetd(iebe/ n)ie bd« A!g)mtetd(teb iutn 
* • ^mtetft{iebe(A:C:=:::B:D> 

14* Umge^e^rt tt>itb eine ©etfeiltnig (A :B);»entt man 
bad •^intetglieb jum" SBotbetgf iebey unb bad ©or^ 
betglieb jum J^intetgliebe mac^t (B : A). , 

15. 3pie XJerbintoutig eiiiet SSet^Mtnig (A:B) entfle^t, 
iDenn. man fc|t! bod ©otbergfieb unb J^intergfieii 
jufammen aid Sin ©lieb ju bemfeften ^intetgHebe 
(A+B;E), 

i6* ©ie Crennuiig einet ©etfe&ffnig (A:B) entfk^r; 

n)enn.manfe|t: bet. Uebetfc^ug / urn melc^en b(id 

©btbetgfieb bad J^intetgK'eb fibetttifft, ju bemf» 

htn J^intet<jjiebe (A — B : B). 
l^. ©te SurficBte^timg einet ©et^Sknig (A:B) ix\u 

fie^t / xotm man fe|t : bad ©otbet^neb jum Uebec^ 

fc^ufTe, 



/ 



f(fu(fe, urn »rfd^eti Jba« Sorberftlieb baf J^nter^ 
gfieb 66e«rifft (A : A — B> 

18. 2(iis bem (Bleicbttt entfle^t eint Sler^ftnif; mnnr 
me^cere ®i:*gen (A, B, G^ D) mtt eben ^ trfclen 
onbern Ca, b; c, d) ji jmep toon lerten wit je jwe^ 
tjoii biefen^ pcoportfetiirt fftit, unb man feft Mtt* 
I'enen bu erfle %\xt U|t^it ^ n^ie b^ti blefen bte erfie 
gur (e|ten CA:D5=:a:d% (|)t^: »efm aIW>ann 
mit SSegteffung oUer mttriern, bit iu^ffrt ti>Pn je^ 
nen mit beiv <x^ttxi t>en btefen iJtopptttoriirt fJnb. ' 

* 9- 3" georbnerer propoitt^n ftnb me^rere ©rjflett, 
A, % Cf D, mit ebeit fp MxtUn onbent^ a, b; c, d/ 
twnir bie tepbert erflett bon jVttert mit ben be^bm 
. txpti ♦btw bkfen prpportiwtfet finb (A : B 2s a : b)/ 
nnb 6ep jentn baS J^intergHeb $u bee nSc^jlfoIgen^ 
ben ©r^e, nne 6ei) biefen ba6 ^mtetglieb ju bet 
n&c^(lfpl9«ibtn ®r&fe i^ (B:C= b;c, C:D= 
o : d). . 

OiO\ Srt 3er(lreiiter4i>fOPMti9tt ftitb m^rete ©r&ftn 
^ A, B, C, D^ mit eben fo t^iefen anbetn a, b, c, d, 
. n>enn bie be^ben etflen t^rt jenen mtt ben bepben 
1e|ten bon btefen prPporttonitt jtnb (A:B=:::c:d)^ 
unb bep jenen bad J^interijtieb juber narfjjlfofgen^^ " 
ben ©rb^e, »ie bep biefen bi^ nad)|l \>ot^er$^^e^be 
©rbge *jum ©orbet^Iiebe iff ( B : C = b : c , C : D 
==a:b). 



'•'•■'■■■^"•-'^■•••Wf 



;3fl \)Ott mc^w^t ®t^gen/AB; CD, unb e6<tt fo biefe'it 
onbetti, E, F, jcbe bet crftwtt , »on jebet ber U^ttxn (AB 
toon E, CD tffon F) cin ® I«ld)t)i<l|ia4f 8 J fu Itnb auc^ bie 
irfletn iufammcn iDpn b«n («|tetn, (AB4-CD wn E-i*F) 

I 3 AB 



/ 
^ 



'. 



t< 



^iffQb'd C^fem«tu< 



A, 



G 



¥ 



B 



I 



,AB ifr ein fo SJUIfdc6e« ©on E; trie 
CD, ten F. ®o wU 5tr E 9 Idc^i ® c6^ 
f ^n dlifo in A6 , eben fo loiele bee F gieU 
c|)e &tb%en (tnb in CJD. S^eiK man ia- 
f^ec A8 in i^te ter E glei^e $^eil<bAG^ ~ I 
6B, mt> CD in i^te ter F gleic^eS^eife, ^. 
CH, HD: fo iji We SWcngt bet? il^eile 
in bc9ben gfeic^. 5S>a dfo AG =r E, 
UnbCHsrF: fo i(l AG-hCHr:=E+ 
f. Stun i^ ani eben ben ®tunben oueb 
GB + HD == E +F, @o Diele bet E ^ 
gleict>e 0i:66en folglicfe in AB (inb, ebert'fo wrie bet E+F 
%ki(bt @t66en finb in AB+CD. 2>mm(^ ifiAB + CD 
Wtt E +F bajfelbe ©ielfac^e , ba« AB t^on E ifc j 






t- 



9Der 2* ®a|. le^tfaf* 

3^ erne ttfU ®t&j|e; AB/ toon einet jwe^teti, C, unb 
cine btitte, DE, \)on einet *iettert,F,ein©Ieid^btelfcirf)eJi 
fetnet eine ffinffe, BG; topn bet jwt^feii/ unb eine fec^i 
te^ EH, toon bVt merten, wiebet ein @(etc^totelfacfee« : fo 
ijl l[>erbull^ett bie etfle unb fiinfte jnfammen, AG, von 
betimepten, unb bie btitee unb fec^^te jujammcn , DH, 
• 1»o« bet bietten , aud) m ©(eic^bielfad^efi. 



B 



AB ifl ein fo Sielfac^ed 
ion C, wie DE t>on F. ®o a 
tieie bet C gfeic^e @t66en 
otfo in AB / eben fo oiele bet 
F 9lei*e ®t6ften ftnb in DE. 
Unb, an^ eben ben ®t&m 
ben , fo oiele bet C gieic^e' 
®t6fien in BG , fo biete bet 
F gleii^e @t6§en finb in 
ER 5oIgIi<^ ift C iti bet 
Sanjen AG, fo oieimai ent^ 
laiten, M F in bet^at^tr 



Dt 



I' 



E- 






Hi 



Da 



^fi««?5«4 



87 



DH. Ttt&Md> ift AG tin fo ©Wfa^M »«« C, »le DH 
«iin F, dfo AG ton C, m\> UH mh-F on @l«<^tMrfffl*e«. 

3(1 fine <t0e®t6fe,A *»« ««<'^ 8»«ntfn/ U/ «nb tm 
btitte, C, Mtt «net t>t««ett, D, «in ®(et#i«We*; f«* 
««t eittf fftnfte, EF, t)00 b«t etflett; u«b erne fK^«te, GH, 
Mil bet btitten,ttieb«tum <tn®W<^i<lM<«- f«> »l» «»» 
bent (SUxdattf bie ffinfte bon bet jwe^ten, tittb bi« 
fe^«te bott bet Diettm, o«<^ ein ®Iei<^i»telfa(^«. 

EF i|k ein fo meU 
^a^tf »on A, »te GH 
»on C. ®o ftiele bet 
A aJdc^e ^«66en alfo 
ill EF, eben fo »iete 
bee C gleicfee @togen 
^b in QH. H^eiit K 
man b<^<t EF in i^te 
bet A d(ei<be $^ei(e, 
EK, KF; nnb GH in 
i^e bet C g(et<^eil^eis 
Ie,GL,LH: fo tit bie 



Ht 



. 



I 



I 



E A B 



C C D 



gRenge bet S^eile in be^bjn gW*. 2)« fctnet A tjon B, 
tinb C oon D, ein ©Iei<b«>ielfa(be^ , a&et EK=A4. unb 
GL=r C : (b ii|i au<b EK uon B, unb GL »on D ein®lei** 
t)ielf a<!be«. Sftan fft «u« eBen ben ©tfinben KF ton B , unb 
LH con D ein ©Iei($oiclfei<be«. golglic^ i<i vttbuvibm . 
(5, 2, 6.) EF pott B, unb GH wn D, w^ m ®W(^«1* 
fMfeei; ' 

. S^t cine etjle ®t&^e, A, ju einet jwe^tetv B, unb cine 

^itte, C, ju einet bicrteri, D, etnetlei) ©et^alttti^ (A : B 

=e:C:D): fb ^a6en bc9 beliebtget SBetwiclfaUtgimg/ bie 

0(ei(^bielf«tf>en bet et^en u»b btitteri; E, F, pi bett 

' § 4 ©leid)< 



«» 



€u!6b'$ ^tvm^ 



A 



=:iF:H). 

. Siimrti oon E, F, be^ 

» ^ K; L, auct> pDn^ G, H, 
6e(iebise @(ei(bt>ieifa4>e/ 
M^N* Siutt ift E »ott 
A# unb F Don C, ein 

, / lift ift (5ia-@0K Don 
A unb L ton Q aucb cin 

eben ben ©tftnben ift 
oucb M Dc^n B> unb N 11 E 
toon D ein @(ei<bt>ieffa< 
<bc«. 3iun ift A : B = 

C:D. ^of3ftc|)ift,(5/ 
5. (SO menu. KZ M, 
<m(b L\^N, , gtun 
' fittb K, L^ Don E, F, unb 
M, N, Don G, H, f>t^ 
fie^ige ©leicbbielfacbe, 
S^Igii* ift (s. 5^ «0 
E;G = F;H, . 



C J9l 






I 



L F C 



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H 



1 
N 



3 « f a f . 

ift: fa t|i (Hfen^at, menu MZ:k, <m* n:^jC, felgKd^ 
(I, 5. @.) G:E = H:F; wotttuS erf)eUet, ^<j6 wet^to«\ 

3fl Don jwep ©r.&^ert, tie ctfle, AB^jjon b<r jweptttti^ 



t 
} 



$&tft«» fSm^i 



«, / 



M 



. 9lan fe(|e CG fO/ ^a§ AE i>o« CF, A 
uvb EB «on CG cijt @Iei(^i»teifa<^(« 
f«9: fo i(l (5; i. (g.) AB »pn GF >of* 
fef^e SBielfat^e/ wel(^« md> AB o»n 
CD i(t. 2)emna4> ift AB (a« @(d($j 
t>klfa^e t>on GF unb CD, fol^lic^ (i/ 
6. @.) GF=:(H), folglic^/ toerin man 
CF toegnimint/ (i, 3. @.) CG=:FD. 
SBun iji 4& oon CF, unt> EB oon CG 
fin ®lei^9M.f<iif<i, ^olgUc^ iji aad^ 
E;B oon FD bafrffw 9i((fa(^e/ wO^tt 
A£ »«n CF, olfo aiM^ AB oon CD i^ 



E 



B 



U> 



^tnb jwep Q)c6gen, AB^ CD, &Ui^\>Ulfci^e ton 
jttep^aflbetn, E, F/ auc^ 9«»iffe @rtitPe btt er^rtn, AG, 
CHf&leid^Wtfa^t toon btefenontictn: fi» fhtb bie gt«jle/ 
GB, HD; entroebct biefen anbctn ^((ic^/ ober oud^ &Uufy:\ 
t»kIfa^.t>on t^nen. 

fii fe9 GB = E , fo fiige ic^/ ba§ au(^ 
HD=Ffe9. g»anfr5eCK=F. SRun Aj 
ifi du^ GB=E, al>er AG,t>on £/ unb 
CH Don F ein @((icboklfa(^e«. go(d(i(b 
i^ (5, a. ®.) AB oon E , unb HK son F 
baffelbe ^(ii<&i>idfai:be / welc^e^ aud^ CD 
wn F i<V SDeronac^ pnb HK, CD, dner* 

iP9 «i<lfa4|«« w>n F, fotflU* i^ (i, i. @) G • 
HK=CD, foIg(i((>, tt>mn manCH weg* 
nimmt, (i, 3. ®.) CK:=HD. SRun iji 
CK=F. gol3U4>i|i(i,i.^.)HD=dF. ^ 
lOemiwd) ilftf mm GB= £, auc^ HD=:F, 



Kr 



C' 



H 



Dl 




S5 



3to(9* 



4<» 



Surfib'< ®eiit(nte ' 



<S« f(9 GB ein Stelf o^^ed von E , (o 
toitb <nif &^n(i4K 8rt/ tote br^m etftnt G 
SdUc/ femiefni^ ta§ HD OQti F (6en fp 
tNdfa(^ fc9. 




C 



H 



BiD 



h1 fI 



®(etd^e 0c6^, A> B, §a6cft'ju etnet ttttb betfettm 
€)r&fe^ C; tmb eine unb biefelbt ^r6|e, C, ^at iu 
{■9(ei(6m 0t6g(tt; A. B, einetfe^ SSec^Unt^; 

3(be bte be^ben gletiben I 
Ot&6<n/ A^ B, bat)u betC j 

ton 'A, B, bie @(ei(bt>te(f<ub<n ** 
D/ E^ unb t)Dn C rin anbrr^ 
belieWge* t8tdfa<b</ F: fot(i> 
»«l A=tB, aucb D = E, 
oIf»/ »(nit D^F, Attcb 
EZ:F, foljKc^ (5, s.SOe 
A.C = B:a 



I 



J 



Sweater tidl # 

©ie C ^at $tt jebec bee bf9ben gteltben ®t6f<n A, B, elnet:** 
Ie9 ©er^JltnJg. J)«nn nacb »oriacc eonftruction ijl wtebec 
D ;= E, alfo, »enn F I^ D/ aH(^ F Z: E, fofgK* (5^ . 
5. «OC:A=;C:B. ' 



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iDtr 



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fikfitt* 1^4 



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K 



H 



Ar 

B. 



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^^^ Mi 



iinb berfelben ®r6|e, D, bie grl^ere, AB^ cine 91 6f;cre 
SJet^oCtni^^ ate bie fWnere, Cj unb eirte unb bMelbe 
@i:6^e, D, )tt ber fWnerit, C^ eitte jiAgere 58er^iltnt^i 
ote^ubetgri^ern, AB. 

'S)a AB > C^ fo fc$e BE c= C; ba bann (5/4* ^0 ^^ 
fieinere bet be^beti StArfe AE, EB , Dcrticlfittigt irgenb ein^ 
ifial ble D itertteffen witb. 6« ift abec fpl(t>e« Weincte em# 
webet AE ober EB^ * 

€rfler S^^^* 

9< fe^ AE ba< fleinete 
®t&cfr unb trgcnb ein S3iel^ 
fa(be< bai>onFG>D* ®o 
tieQ^cb nun FG i^oti'AE^ 
fo welfatb ttia^^e GH oon 
EB, unb .K Don C SDon D 
itiqim ba* 3^i^^<6^ I^/ ba< 
2)re^fa(^e M , unb fo nocb 

ijec Orbnung tmmet toeiter^ bit {u einem 93ie(facbcn^ loie ^ier* 
baft IDiecfocb^ N^ toclcbet iuerfl 9i;6Ser ift, ale K/ bag a(fa 
iiotb ntebt K< M fep. 

!Da FG Don AE^ «nb GH Don EB em ®Iet^Die(f ailbeft : 
fo i^ (5^ I* ®0 FH Don AB bafi'elbe Cielfacbe, toelcbeo duir ^ 
K Don C \% SDemnatb fmb FH, K/ @(ei4^Dklfa(be bee, 
bepbeo ungletcb^n ®r66eti AB, C* 

2)a GH ein fo t6ielfa(be< Don EB ^ n>ie K Don C / abeo 
EB = C: fb ift au(^ GH = K. Shin iji nicbt K < M, 
^ol9(i(bif^dU($ni(btGH<M. Sflnn ift FG > D. Solgltcb 
ijiFH>D + M,fol9H*,tDeirD + Mr=:Ni|t, FH>R 

3)a nacb Obigem N cjn SietfacbeiS Don D/ «nb FH, K, 
« ©leicbDielfacbe Don AB , C ; unb f H > N , ober K < N, 

offo^au* N>K, unb N <FH; fo ift (5, 7; @0 AB:D 

>C:D, ttnbD:C>D:AB, 



Ci R 



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4  — 



j^ r.... 



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<H f<9 £B tAf finnere 
<!t&(f/ un^ fein ^ieifa<M 
GH>D. ®o »ulfaf^ nun 
GH oon £B^ fo weffod^ 
nac^e FG «on 4E, unt K 
%w C : fo tDtcb / n>ie bcom 
et^en $atte, bewiefrn/ bd§ 
K=GH,wbbofiFH,K, 



A* 



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Bl 




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I el jJ, 



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,ijon AB, C, ®Iei(^»telfocJ>e ^nb. 5(1 ntm »kl)« N ba« 
SBielfac^e oon D, n>d<ftf« iuftft gr6§fr, aW FG ifi: fo ift 
twebetttm nit^t FG<M. SRnn jfV GH>D. golfili* Ift 
FH > D + \i, b«« ifi, FH > N. ^ingegen i|t nic^t 
K>N, »e« FG>GH, ba« iji, FG> K, ab«c nit^t 
fC >N ifl. |)ierau« »«b , nac^ eben benfe(5fn ©tfelfljffn/ 
»ie M'm etften goUe, gefolgert, bag W)ieberAB;D>C:I)/ 
iin>D:C>D:ABf(P9. 



I 



-•* 



C,, einerlep ©er^altntg j^bett, obtr ju n?elc^ert tine uhb 
t)iefeI6e^r6^e/ C, mttU\f SJer^oltntg l^at, ftitb einan^ 

fSaren A, B, tingfeic^ , fo m&wn (5, 8^ 0.) 
% 93er^&{rntfie ber be^ben @t6§m jut britten 
C; unb bet britten ®cb§e ju be^ben unglcicb, 
tpefcbe^ ber S^ocaudfe^ung totberfprtcbt. $0(3^ 
IM^ (itmen A^ B/ ni^bt Kng(ei0 fepn/ unb finb 
otfo gleicb* 

% c 

SSoti |jj)e9 ®rbgett| A, B, tfl bie/tt)rfc^e $u emet 
unb berfelben ©t6^e/ C, etne 9F&§ere SSet^iltmll b^t, bie 
jtb^ece; bie abet^ ju »eld)*c eine unb biefelbe ©tbjfie/ 
C; fine 9i:b$et:e $8ei:^&(tni| ^o^^ \>ii4lmm.. 

^rflet 



B 



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%tnfieir fQ\x^ 



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■* •' 



A > B (^ S)enn ware bi(| ttic^ ; fo tiist A 
intoebet A = B, -folglic^ (5, 7. SO A:C 



t« f!9 A : C > B : C, fo fage I*, tag" 




I 



txm 



A:C<B:a 
rtftA>fl. 

el«fc9C:B>C:A, fo fage i*, tag B<Aifi 
»ire Me§ nict^tJ fo witeentweM BrzA, fp(glw(> (5/ 7* $f.X 
C:B=:C;A; ober B>A,#o(ali* (5/8. ®0 C:B<C; A, 
- %Ci nun 6e9be« ge^en tieJUorau$f(r(Utt|: fo lit loe^cv B=: Ar 
iwct)B>A/ alfoB<A. 

^et 11: 0a|^; le^rfof. 

95cr^4(tttiffe , A:B, E:F, n?^Id)fc einerunb betfereienf 
SBer^Mtnig/ C:D; gtfic^ fm^, fmbfel^ji eUtanttt fiWc^ ^ 

* 9Kmm Don 
A/ C, E, better 

fact^e, G, H^ 
K, aa4) ti^on B^ 
D^F^belieWge 
Q)lei(tmelfa(be/ 

A:B=C:D, 

UebXQt @(ei4)$ 
Didfa^^oonA^ 

E,unDL,M. ^ j^ ^ £ 
DonB^ D: fo 

t#/ (5/ 5. ffO wenn G2!L, ouc& H^M- '2>a fernec* 
C:D=i:E:F, a&ec H, K, Wiebige ®lri*i>tclfa*e t>on C, 
E, mt> M, N, t)(m D, F: fo ifi, (5, j, (J?0.»enn^HZM,, 



r 



111 

HC DM 



K E F W 






i 



» ^ 



94 



€u!Ht>'d ^«mente 



1 



H <^ A C 2 



1 



S^ttn ftnb G, K, Mte^ige @Uei^ie(f<ic()e ton A/E, unb L>N^ 
9on B, F.> gof^i$^ ift (5/ 5.' eO A : B=: E : F. 

€Jtrib me^tcerc @r6^efty A; B; C, D, E, F, pcoiM>rti» 
liitt ( A : B == C : D = E : F) : fo t>et|«Uett^cf) «ae ?D©t* 
b(td(iebec jufammen; A+Cr|-E^ ju alien J^inttt0t* 
^erti/ B+D4-F^ tt>te einlSDcbetsUit^ A ju feinem J^in^ 
Ht^btf B. . ' 

KimmwnAfC, 

•Mfdt^e G, H, K, 
oiU^ eon 6, D, F, 

jtnb (5, 1. ®0 G 
tttib (G+H+K) 
»onAun&(A+C 
H-C); 6e<dkid>(n 

N) von B tttib (B 
-f P + F) ®liri(^tti<Ifa*e. SRun jji, weir A : B = C : D 
= E : F, (5, 5. @0 tpenn G ^ L, aa(^ H 2! M / au<& 
K 2: N, ttnb taf)n, wenn G 2! L, oucb (G + H-f K> 
Z (L-h M+ NX SotdUd^ ijt (5/ 5. «.) A :B = (A + 
C + E5:CB+D+F). 

J^at etne erfle ®r6g^/ A, ju etfiet stDe^teit ^ B, bkfcfte 
SScr^jaftnig, n)ie etne bdrte, C^ ju eincr tJietten, D ; abet 
t)te btitte jur metrteii/ eine grfc^ere SOer^Mtnig, a(e etne 
finfte, E^ ju einet fcc^^ten, F: fo f^at and) bie erjle jUt 
jm^ten einegr6f ere^er^alttti^^al^ bie fv'infteim: fi^(^«rett« 






j b F £An 



|6flftt« 1^9^. 



95 



, va)aC:0>E:F, i 

' tifffac^eG,H,un6 
Mil D/ F^ folc<)€ 

»ofylG>K,o6et 

C t^, ebenfot>ieU 




I 



J 



«inb fo weffa<|> K M^ » N C C p K:. H E F 
MtiB i^, (ben fo oidfadft fe? K om& . Star C :D =a 

A : B , «n^ G > K. So(g(j<^ ift (i, 5 J?4) M>N, ^ 
$egen nad) Obtgein ni^t H > U fStvm jinb M , H , »oit 
A, E, vrS) N, L, Don B, F, (»ln<^»ielfa*e. gol^lii; ifr 

<5,7.«.)A:B:>E:F. 

^at cin« erfle ©rftfe/ A, jb ctner jwe^ten, F, btcfrfb* 
t!Qt<r6altm|^ (tie etne bcttte^ C, jt^ctnet t>terten^ D; unt> 
ifl bte etfte entt»ebct$ ith^tt, titt c6en.fo 9tp§/ obeif 
Reiner, (As tit btitte: fo i|l outfj^ bte jwe^te im erflew 
i^tte gt&gev^Jm itof^ten eoen, fo d«o$/ imbvitttn tWic' 
tte$ , at* bie viette. 

> 3ft A>c; fo iUs, t : '  

g.6.) A:B>CiB. fRun 
f(tCtD=:A:B. gold* I t 

C^B, fttl9li4> (5/ 10. 00 
B>i)> 3)(mita4> i% totnn 
A>C,ou(*B>D. auf 
&^n(i<be S(ct loitb ettotefen, 
, bag B =D f«9^ mnn A,=cC ifk, tmb M p<D fef, 
mnn A<Cifu .» 



B 



D 






^6 



SufltV^ ^imttitt 



/•-* 



Dt 



;' 5H«/ C/ F, ftitb mit i^r?n ©(ctd)tterf<W^«ti/ AB, DBJ, 

AB ift dn fo' a3ielfae^rt A J ' • 

tort C, tpie D£ eon F. I 

(^0 «i((e bee C '^(eic^e /^l 

$^d(<AG,GH,HB/alfb. K{ 

iiAB fintf, (M fo »Me 

Iw F iUid^e Zf)eai UK, w 

KL,L£,itnt>inD£. 2)«m; 

iaii ift (54 7» u. II. @.) ^ 

AG : DK i= GH : KL =r Hti : LE , f of^fi* (5/ i a. &) 

AG : DK = AB J DE. 0hin ijl AG r= Q i»n& DK=i F; 

^•^{k^ tfk C : F = AB ; OE. 






, 



'cl 



L 

EL 



li 



M 



'UtC5/15.©0A;l;J = 
:F. Sftun ift A:B= T 



^tnb toiet ©»8i§rn/ A, B^ C^ D, pcopptttonitt : fo finb 

aiimm oon A,B, @|Ieu:(i« 
»ielfdci)e E, F, un^ don C> 

«0ift(5/I5.®.)A:B 
£ 

C 

li.@.) C:D = E:F. 

8lunifiC5*i5.@.)C:D 

r± G : H.« go(9(i<t^ ifi 

(aii.®.)E'F=G:H, 

foMli*, C5,i4..®.)w<t>n 1 i Jw i, 

E 3: G, <ju((> F Z H. *^ '^ " * 

Slun fin^ E/F, con A, B, unb G^ H, Mn C, B, btlitbi^ 




I 



C C D,H 



Ibtt 



« 



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9Z 



H 



Pi 



K 



A 



- @tnb to'edbititbette ®r6^cn, AB/ BE, CD, DF, pm 
|y»ttt»ntct : fo ftrtD aut^ Die semnnceit^ AB, BB, CF, 
FD/ pwiwtttonwt. 

0limm»i)n AE, £B, CF, FD/ 
itlitbiit @lei4^ielMt GH> 
HK, LM^MN, be6i;(et(feCT Mrt 
£B, FD/ Miebtge ©kittivtdfa: 
*cKO,NP: fo ijt (5, 1.®.) 
GK iM»n AB ebcn fo, oiclfo*, kI 
t»te GH Don AE, ti<v loie^ M 
Un ^F, for^li* (s, I . ©J n>(e 
LN ©on CD. ' 2>a femcr HK 
*on EB fo otcffac^, trie MN ooit 
FD / Abtt mO) KO eon EB fo 
fctrtfa*, »ie NP ton FD ; fo ift 
(S, a.' ®0 HO Mtt EB fo tret 
f«^ ; wte M P oon FD. IDem* 
IKK^ (tnt GK, LN ®{eJ4E>i>ic(fa« 
*e eon AB, CD ; «nl> HO, M P, 
®W(t)»UIfact>e oon BE, DF. 
Stan ijt angenonimrn, AB : BE q 
= CD :.DF. 'Sgotflltc* i(i (5a 
5. @.) toenn GKZiHO, ou* LN 
HK, ^iet MM weggenommen , x6m\ GHZIKO, au<^ 
LMZ NP. sRun finb GH, I M, t>on Afi, CF, unb KO, 
NP, »en EB, FD, btlitbige i@Mtt(^oielfatt>e. ^i>(d<><^ *j* 
(5# 5. «.) AE J EB r= CF : FD. 






{ 






I 



A. 



£• 



MP, fofgli^, t>ott 



> * 



S)«t i8. ®<J|. {<^cfaf. 

@hib gecrenme ®r6gen, AE, EB, CF, FD, p»pot< 
tionitt: fo finD ouc^ 6i« vabun^ntn AB^EB,CD,FD, 
Uxoporttontcn 



ettt(i5*< (Stem. t5%»A4tt. 



9 



^tti 



I »' 



, ^* 



N 



98 



. .^mib't 0<mmtt 



S^c^iHte ii(^"AB itt EB nkferwie CD d; ' 
yt FD, fo«fcet» mt CD ju itgent) cin« 
anfcwn ®t6§e: (o m&§tt Wefe citttt>e5)« G^ 

^e fe? 3tt«fi <DF, et»a GD, ta| 
ilfo AB:EBr^CDsGD w&cc;fo »i* 

ke (& !> ®0 AE : EB =:= CG : GD. ^ 
SRun iMrtSCfionwncn AEiEB£=CF:FD., Ci 

gol9li4> ilt (5, 1 1 . 60 CG J GD := CF ; FD. Stm ifi of* 
fcnt>at CG > CF. Solgti* ifi (5> 14. <fe.) GD > FD, 
tDcldjje* feem inacnommcnen G;p < FD »itecfpci<|?t. 2)ciji« 
n<«^ f ann obgeboc^te @t66e ni^it < DF fe9B» 

@ie f«9 yoov^cm >DF, fo wirt ^auf e&en tie Stct &e< 
gol«Uc^ mu§ AB J EB =s CD : FD f«)n. 



^^ 



SUei^atten fid^ ® ana«, AB, CD, wlc <BtMt Wrt i|rt efi, 
AE, CF; fo toetfealteft fid^ ouc^ feic Sleft^, EB, FD, wtc 
iie©anjeti. 

l)a iyB:CDi=:AE:CJ', fo ijt Wtf/r 
ttxd^felt CS/ i6» <25.) ABrAE= P 

CD: CF, folglt*, geteeifitt (5/ 1 7- @.) 

EB : AE = FI) : GF, f 0I9K* pttvocdf^y 
felt (5/ i6- ©0 EB : FD =: AE^ CF. 
Sltttt ift (atgenontmen AB : CD=:AE : CF. 
Solglit^ i|k (5/ n, @.) ;£B : FD s= 
AB:CD. . 



•F- 



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Oi. 



Ai 



2)a 6e»i«fctt ttortm, tag, »enn AB:CD=A^iCF, 
«tt<^ AB : CD =: EB : FD fep ; fo f jt verwe^fclc AB : EB =5= 

V • CD 



%&n(ta $5u^» 



■;> 



W* 



g^unift <fter au* fcewlefen, &a§ AB: AE=:CD:CF, ot«r 
AB:AB— EBprCDrCD — FD, ba« ijt (5/ 17. «0 Jtlf 
¥ikRe|^ren^. |)iewu« et^etter, Jag, rnenn x^rbunbeoe 
®cQ$en pcoportianirt fint)/ fte dui^ 5iirik{fe^tni& pcdpoi^ 
ticnivt jitife.' . ' . . • / ^ 

- @tnb «e^t«:e®t6^<n^ A, % C, mit tien fo bWett aw* 
b«n, D, E^F, ingeot^netec 9Jcppoctte>n, m% ifltoon 
fenen, bte «t(ler A, cntwetet itb$w, ^et then fo gti^ 
Dbecffeinet^ atdtfieUfte/ Cj fo tjl <|u?^ t?on 6tefe« ,t>.te 
tt^tf D, m wjleti SoSe gcJ^er^ im 4toe9t(ii. ^eit ^ 
$to|, im btitten »em«> al^ ti« U^u, F, 






i. 



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««f«DA> enfold .; 

t5,8.®.)A:B>G:B. 

Son i^ (5/ 1 9- ®')mf' 
uttawen, A:B=s;I>;E. 

P:E>G:B. iRun ifr 

(5, i9.@.u«b5^4.3«f> 
C:B=^F:E» goljlit^ 

ifk D :E > F;E, m-' 
JDemnd* ift^«»enn A> C, 

Uttf «b«n tiie Htt Wkit* ftetclefrtt , bafi , ttxim A 2= C iji; 
«i(^ D 2r F fc9,- «n& tag, »wn A< C ift,, aat^ P< 
F f<9; 

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. r %'tt 21. (Sa|. ie^tfaf.  . 

@itib me^me ©r5f[e«| A/ B/ C^ mit Atn fo \?i^^ 
Jen anbern , D / E / F^ m jerf^^wt^^^. 5^r opottiort ^. unb 
ijl iDon jenw bic; tx^t. A, eittwebet: st60et, obec ebc| 
fo gtoH, obct Hcihet^ ate ble fif|tt?y C:;fD ijl mie^Don 
bk^tt bte etfle / D , im erflen ^atlc gtfc^er , fiif ^m^m 
eicn fo 0ro^; itn britten tleinet/ a(g bie (e|te/ F« 

' .€tfln Sail. 

««f<9A>C*: fdiji 



<5/8.®.) A:B>C:B 

fRttit i^ (5/ 20. (SOondi^^ 
WtmtKn / A : 6 1=: £ : F. 

8ol9«<^ i% (5/13. eO 
E:F>C;B.- giun ijl 
(5,ao.€,unfe S/4.3uf.) 
C:B=:E:D. golglit^ 
tf^ E:F>E:D, folg* 
li*(5,io.®.) D>F. j 

C,att(^D>F. 



I 



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ABC 



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Swcptet unt> ititttt %ail 
ICuf e6cn We Strt roirD ftmfefen, t>a§, twttft A 



if^^ auc^ D 
P < F fe9 



F fe9, tinb l>a§; »mn A<Q\^, mif 



^mt> mefeme @t6f«i, A, B, C, mtt e6«n fo bWm 
onbem, D, E, F^^ot^itrt Dcopbt^iomrt: fo ftnb iic 
aiie ^m <Ski*«> pi:i>po«ioni«. 



Stimtn 






'Simm eni A, D, (tOttige 0ki4lii>M< <i,tt,m/btn 

Miebtge 91eit^t)idMe M^ N, Stun t(t (-5/ !?■ 9.) «n( 
gettonmtn A : B = D : E, apb M« (5/ 4. ®0 G; K=S 
H;L. aiifrtmWt««i(tK:M=L:N. giil«li« ilV 
Cs.so.eOKHnnGZM, ouctHZN. Stan fhb G» 
' H, ton A, D, on* M, N, tm C, F, Mitigt T 
fOctK. gtljli* i|t (5, 5. «.) A : C = D : F. 



CkM A B<C D EK H 



@lat! metaM ©t6gni, A, B, C, mlt tttn fo Udoi 
.«it«rn; D, E, F, jetfitnit, Kmjortiomtti f« finb fk 
nwe eMn(Bleicb«i) ptopwilonitt. i 

,  63 Stimm 



X0»f 



€nebT 



iJ* '«;:(• 4 *i 



It 



• Warn iinA,%J), ftcfkHge 0ki<^(lfa4e , 6, H/K, 

<S> ift (5/ 15. e.) A5B = G:H, wit E:F=:M;N. 
itim ift (s> 3o. 9.) anscnowmen A:B=::E:F. $«tg*. 
Ii«»i4l (5/ li.e.) G!H=M:N; Shm i^ (5, 20, @.) 
laOf m^mommm 6:C=:D:£, «n^ bofytt {5, 15. C) 
H:(^3sK;M. Soiglu^ ii^^ (S/ at> @0 toenn G:^L, 
wO^ K^ N. Shut finO G, K, Qon A, D, unt^ L, N, mr 



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C MLABC 



1,1 

D EFK/l IJ 



J^t efne etfle ®r&§e^ AB, {u eitiet jwept^tt, C, btt# 
fdbe SSer^ittiiiji / »ie dttc britte, DE^^ ju finer toietteti^ 
F, unb tinefdnfte/ BG, jur jwepten biefett^ SScr^alfe 
«{§*> 'ttJte due fec^Ste, EH , jur tofettenj fo ^t aud^ 
verbuiiDeti/ bte etfle ttubfiinfte, AG, jur jwe^tert, C^ 
biefe(be S)et|&(tnif , wtt bie t>titu unb fe^dte# DH, iiir 
btem»# F* 



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©a B€riC=BEH.j^, 
fb ift uttl^C^ (5/ 4' 
3tt(.) C;GB = F;EH» 
g)un ift fltt* AB : C = 
DE : F. So(d^ ift <kU8 

AB?BG:b:DE5EH/ fotft« 

AG jBG= DH^ EH. fUm 
wo? 0;U(3^ BG : C — EH : F. 

^ert (5/ 2 a. 0.) AG;G 
5= DH : F. 



K 



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B 



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At C 



D 



* ©ittb tokt ®t6§eii, AB, CD, E, F;t ptopwttwirt? t<^ 
finb bie 9t6#te, AB, ut*«et#«, F, jMfaomKti w^fer, 
aU bie 6<i^en fibttgtn, CD, E^ ittfowiBm. 
g(Ro*c AG=E, unb CH= ^f 

Fr fo {ft, weit ABi^D =:E:F, 
«u(*AB:CD = AG^CH,fo(8« < 

tt* (5/ n' ®-) GB:HD3=J 
AB:CD» 0iu»i^AB>CD. 
goIjHW »J^ au<^GB>HD. Shrn ' 
tft ( I, 2. ®0 «u« Oftigcm AG 
.f. F =2 CH + E. §«tglT<lb ift 
(1,4.®.) GB4'AG+.F> 
H^-1-CH+E, ba«#/ A» + 
F>CD+E. 



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©J^tb'3 ®entettte 



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^.n f i i t>'^ € I e m c n t e 



•^^mfmmmmm'^^'mmtKi^m^t^mmmt^^fm^mmmm'm'^m'^^^ 



I. 



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6. 



/ €E r n d r « » fl e^* 

<ic&n(tcibe lerabltntge^Si^utett ftntiy in wefcf^en bte 
' SJJinfel etn v^f ii gcnommen gleid^ , unb bie urn bic 

9(eic^en §8Biafe( (iegenbeii ©eicen proporcionirt 

finb 
XOie&er(f ^etibe gerabfinige Siguren (tinb , in beren 

tintv bfe mitriern , in bee anbern aber bie au^efn 

^(ieber ber proportion m^atun firib. ^ 

ttac^-^ertgit Proporrton obet itacb ^b^erei: 

uht) mtrtUter IPerj^olcni^ ifl: etne getabe ^tnie 

gefc^mtten , n>enn |[^ bie gaiiie Since j«m gr^^em 

^Ibfc^nitte, wie btefetrjum fleinern 'Kbfi^nitte, ber^att 
©ie ^o\9t einec §iciur ijl bet: i|pm ©ipfel auf l?ie 

©tunbtinie gefollfe 9>ei^peftbifcl, 
95ort btei) ober me^rew ©r^^en , A, B, C, D, \vtl(i)t 

m einanbet l^angcnb in ben SSer^aUiiiffen jebct bot^ 

^etge^enb^i jut n&c^ftfolgenbea/ A:i};.B;C^^,D^ 

ftnb; ^etgt bie Vnt^altm^ ber er jlen jur kj^tcn, au4 

alien biefen ^ct^Mtniffen $utatiimetf|{e(eQt/ A;D 

rr: (A : B) + (B : C) + (C : D> 
@in ^arailetogtamm ill an 

einer getaben 2inie; AB^ 

tntvoovftitf n^rnn fo(( 

c^eg^ »ie AG, aufber^if 

nie AB felb(l; obet, »tc 

AE, aufeinem3i(>f(tnit/ 

t( AC bei Sinie, obec 



H 




et^a %tt(^/^ 



»s^ 



^k AF^ auf Ut t^erttttftemn K«le AD Beft^rie^; 
ten tfl. / "^ 

3^^^^^ ^^^ ^°" ^^ .Be^bm (e|i/^ern %hHtn burd^ 
ber Cinie'enbptettft B mit CE ober DF bie BG pa^ 
ralld, weldfje bon HF in G gefc^nitten tt>irb : fb cr« 
^Mt matvetn ^roUelojramm AG auf ber 2inte AB, . 
in beffen 55eiie^ntig baS ^J^tatleloaramm BE auf 
bent 71bfd)mtcte BC bie (Crsan3utig be$ 9}atQUe(o< 
fltammd AE; abet ba« ^atallefogramm BF auf 
bem 7lbfci)nitte BO, bee Utbtx0iu^ bed gJaraUelo^ 
gtammd AF genannt wirb- 



mnmfm»m 




$rianse(^ ACB, AGO, m^ ^JlMdtl^mmi ^# 

CF; Don etnerlep S^hf^tp bcr^alten (td^ wte i^fe ^runb^r 

Jinien, BC, CD. 

Skvf&nsere BD auf be^ben 
Seiten na^ H, L^ nimm in be^ 
lieftig^ 9(nia^( ber BC gfetc^e 
SG, GH, unb in beftebigev Km 
yf)i bei: CD gleicbe DK, KL; 
unb sie^e ton A, nacb ben !lbeib 
panf ten gerabe Sinten AG; AH| 
AK, AL» « 

SDa CB = BG = GH: fo ifi (i, 38. ®.) /li ACB r=r 
A ABG = A AGH. $o(^Ii(^ H* CH t>on BC, unD a ACH 
«pnt A ACB (in ®(ei4>»i(ifa<^e<. 9tt$ e^ beit 0c&nbra 
frat auc^ LC t>*n CD, mb aALC oom A ACQ, ©(<!<:&» 
tielfatfee. SRun ijt, (i, 38. @.) toenn HCiZLC, aut^ 
A AHC Z A ALC, ^W\^ # (s, 5. »*) BC;CD=: 
AACB;AACD. 

2)a (i, 41. ^.) ECsra A ACB, unb CF=;3 AAtD'; 
fo «fk (5. »5« ®0 EG:CF=A ACB; A ACD. SHun ifk bei 

@ 5 «»(« 



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VMMvH fRHMIItt 



lftCjCD=EC:CF. 

tCBttb mtt einet <Sctfe, BC, jemedSTrtattgcfe, ABC, erne 
■fifWbe £tnt<; DE,. jwroUtf ftejogpn: fo fcl^neifeet folc^e tie 
fceobcn anbetti ©«t«n, AB, AC, ptoportionkt. Unb 
fittt) iW«9 @etten, AB.,, AC, imt, $rt<tti9e(« , ABC, pto* 
«ottiontct 0ef(j^nttten : fo ifl bu butc^ bte @(^netbun$$« 
»unfte,D, E, gejogcnegctabe^mtCi DE, bin; btitten^eU 
'te, BC, ^M:aaeL 

T 

' @« fe9 DE bet BC puraM. Jic^e 
BE, CDf f(>iji(i, 37. ®) 2^ BDE 
r=ACDE, fclglic^ (5,7. ©•) A 
BDE: A ADI = ^DE t a ADE. 
»hm ill (6, 1. (S.) A BDE: A ADI 
=:BDjt)A,.tmbACDEjAADE ^ 
r=CE:EA. gol9lt(^i|t(S/H.®.) >- 
BDjDA=:Cfi:EA. 

€« f(9 BD;PA=CE: EA. Sftun iji (6, i* ®,) BD j DA 
=ABDE:AADe, ttnb CE : EA = aCDE : aADE. 

gblglk^iflCS/i I- ©0 A BDE: A ADEsr A CDE f A ADE, 
fo(8tf($ (5/ 9. ®0 A BDE = A Clffi. S»un iji Wefen 6e9« 
^n iltMnseIn tie ®ninbHnie D£ geotein. Selgitt^ ift 
<i* 39. ©0 DE ber BC |Mcatt((. 

?EBitb em SBinM, A, etne« ^fiongert, BAC, ton ef* 
pet serabenfiime, AD, ^otbirt: fo fcf^netbet folc^e, genu^* 
(am bwttngett, bte bent SKJiitfet fieaenftberfiegenbt @«tte, 




¥ * 

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- - .' . . 

BC^ bdt Uii/btn inbctn, BA, AC, ptfoiwistwnNt. .l^-tft 
eine (Seite,sBC, eineS ^mttgefe/ BAC^ ben beaten oti^'' 
bettt; BA/ AC; prepocttontci 9«f(^nitt(n ; fo micb b« 
bet @ett«, BG, ge^ni&bettte|enbe 9^infe( i^on bet bur^ 
fftne @pl|e, A,4tnb ben ©c^ttbunj^punft, D, fiejoft?*- 
nen geraben ZinUi AP, ^atbirt. 

fSi itlf BAG Don AD ^aU 
bitt. 3i<^< (1,31.®.) buccb 
C mit AD b|« C£ fataM, 
ynb Mtldn^re BA ^ bii jte 
bie CE in E trijft: fo Ifi («« 
«9. e.) ACE = CAD=: 
BAD. S»u»ijiau<^(i,a9.®.) 
BAD:;=AEC. Sp^^Ut^ifiB' 
(i, I. ©.) ACE = Ate, 
fclflU* ( J> 6, ©.) AE == AC. txi nun (6, a. ®.) 
BD : DC :=; BA : Afi, fo'ijt (5, 7. 00 BD : DC ss 
BA:AC, ' • 

di fe9 BD J DC rr BA : AC. man Ifr ( 6, a. «. ) 
BD : DC = BA: AE. §otgtt<^ i^ (5,11. @0 BAj AC = 
BA: AE, f»IgK<» (5/ 9. SO AC=r AE, folgli* (t. 5- «;) 
AEC=ACE. giun ift (i, a9. ®.) AEC=BAD, unb 
ACErzrDAC. goIglJcb ijk (i, i, 0.) BAD=:DAC, alfi> 
BAG son AD ^attitt. 

' 3n gWc^ittJtrtf/igert ^tiangeltt/ ABC^ DCE; fJttb bie 
(Sciren^ tt>c(c^e ^Uic^c fOBinfel einfcf)Ite^en, proper tionirtj 
imb jwar btejentcjeh @eiten 9feid)rtami9, »efd|)e 0leic|>en 
SQBtrtf efn. jj^geniSber liegert. 






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(Wf^A«G=DCE, V 

ACB=15EC, fofgli* 
<»(& BACrrCDE; au* 
fep CE fcec BC gecate ' 
fort ongefeftt 2>a (i, 
,7. ®.) ABC + ACE B 
<atR.,.a&ecACB = 

DEC: fo Ift ABC+DEC<aSR., fofflfi* tteffen (t, ii.@,) 
BA wt ED genudfatn »et(&ttdm an t>((fer @eite in t' ya^am 
tnen. 35a ABC=DCE, fo iji (i, jg. @.) CD mit BF' 
pawllel, tinl) Da ACB=DEC, fo tft:fl«* AC mit FE pa* 
taiA, temnac^ ACDF ein ^atafleto^amm ^ folgttc^ (i/ 
34, @.) AF =r CD , unb FD 5= AC, 

J)a iro A BFE, AC mit FE pcnaU, fo iji («; 2. (25.) 
BA:AFr=BC:CE, alec AF=CD, fofglic* (5, 9. unft 
U.S.) BA:CD = BC:Ck, fo(0(t(^ (5, 16, (^0 p«r# ' 
WMCb(«lt BA;BO==:CD;CE, . 

2>a im A EBF, CD mit BF pataU, fo ift C6, 2, (S.) 
BC:CEz=FD:DE, aftcv FD^AC, folflii* (5/ 9. un& 
II. ®.) BC:CE = AC : ED, f«(0{i(^ (s, 16, ©j Wt# 
Wttbjclt BC : C A =:: CE ; ED. 

<®itb bi^e ^ropoiMott mir l>ct ttof^erge^txn BA:6C 
r=CD:CE wtglic^n, fo (ft (5/ aa» ©•) 4U» ^citt 0Uif 
d?«llBA:AC=CD;DE, 

Itcianflcf, ABC, DEF, mi^t ptopprtionirte ©cftm 
j^aBeti/ finb glelc^winfltg ; unb'jtpac biejenigert ^inhl 
gleicf), n>e((^e dCeid^namisen @(ttett ^t^tv^btt (iegen. 

(g«f<p AB;BC=DE:EF; BC ; C A =s EF ; FD ; f olj* 
li* au(^ AB ; CA = DE : FD. 

i<it man (i« 33. ®,) an tie ^nbpunfte Ut ©dte EF 
Ue ©infel FEGsstaBC, unb EF6=5ACB: fo iji (i, 
3 2. e.) onc^ BAC s: EGF. 2)mna(t^ fmb Die tnai^d 

ABCy 



^^itti f&vi^. 



4n 



ABC, tEGj ilt^winm^ ; 
^l(jfi* i(i. (6,-4. ®.) A B : BC 
i=i GE : EF; SRun ifl am 
denommen^ AB : BC = 
fcte : EF. $o(3li«^ ifi (5/ 
I i.®ODEj EF^t^EjEF, 
 ifolflli* (5. 9. ®.) DE r= 
GE. SSuit tf^ au^ e6en ten 
@r&ntien DFtszFGf afxt 
EF geinetrt. goIgU* .Ht (l;«»^.) DEF rrFEG=- ABC; 
DFE i= EFG j^ AGE ; EDF=EGF=:BAC. 9(m* 
nolb (mb bie txii ^(tc^ndmi^en @citeit geg(n&&ec(ie8nib«i 




 \ 



S(B<nn in jwe^tn ^ttqngeln^ ABC, DEF, «tn ^EBinfe^ 
BAG , etnem SlBmhl^ EDF, gleic^ ifl, bie @eiten aber, 
«>e(4>e titii^e gUit^ert ^tttfet ftegen/ ptopmiotitct ftnb^ 
BA :.AC = ED :'DF: fo ftnb bte^^ckngef 9(et<^minl» 
(t9^ unb Jtoctf titjtniqtn SBtttfd gfetc^/ 9^(|e 0(et(|m0« 

2cgt man (i, 23.6.) an ^ 
tie (lnbf>uitf t« bet 6dte DF^ 
bit ©infel FDG r: A =r 
EDF, unb DFG=:C^ 
bag dfo ( 1/ 3^. 0.) du(^ 
G=6i fo if): (6/ 4* ®0 fi 
BAtAC:^QD:DF. aihin 
ift a«itntmmtt BA ; AC ;=: ED ; DF. SoIgUf^ ifl (5, 1 1 . 6.) 
ED : DFt=GD :DF, forgli* (5, 9. 0.) ED=GD. JRun 
ifi. DF gemdn, unb EOF :=r FDG = A. So(d(i(^ ift 
(1/4. JS.) ott«b DFErrDFG=C, unb DEF=G=B. 
S>emna(t» jinb bie ben 0(ei(&namigen ®eiten aeoen&betiie^esf 
ben ®in((l gkic^. 

* tDet 




N» 



ttb '^fiih'6 ®em<nte 



> • 



' » 




/ 



^enn in jwepeit ^^riangelit, ABC, DEf^, ein ^inf et^ 
' A^einem^JBinfel^D; gfeii^ ifl, bte @eiten cifcer, tDcIc^e littl 
anbcr^ ffflinfel, B, E^^ (i^g^ proportionitt pnb, unb wti 
ben fi&rigen ?fiBinfeW, C, ]^ jebec iugfeidj) erttwebet f Idi 
""mr/ ebet mcf)t ffeiner^ ate m red[)tet: ifl: fo ftnb biif 
:^rtangel gfeid)tt>inftig^ unb iwdc bteietti9?n5D5!nW,B,E, 
^tetd^f urn n)elc^e bie ptQporttontrten @eiten (ugeit* 

(?§ fe9 jeber bee SDinfel, C, 
Vf f leiner aW ein cect>tet» Sfti* 
ten nun ABC, DBF, ungleic^, 
ettt)a ABC>DEF: fe f^§e xaati, 
<inB(i;2i3^©.)ABG=DE^r 
ba^cr,wetrA=rD,(i;3a»^;) £. 
^cb AGBisrF; golgli* ift 
(6,4. ®0 AB : BG rs DE. : EF» Shin ifi dngenommn^ 
AB:BCir:DE;ER gdfili* ife (5, 11. ©0 ABrBCst 
AB:BG, folglrcb (Sy9^@0BC2^BG; fotglt^ t(i(r,:5.©0 
BGC =i: C; fplgli* n<5Cb, bee ID^raaSfciguna BGC < 31.^ 
fo%ljcb(i; 13- @0 AGB>1R., fclglidt) na* OI>i3e.m F > 
SR,, tt)elc|)ie^ ter ©orauffeigimg F<fR. n)ibecfpci4)t. , S>em^ 
nacb .f6nnen ABC, DEF, nicbt \in9leic& fepn, folglict) fiitb 
biefe SBinfel, um w^cbe blip proportionicten ©eitert (iegen^ 
flleKfe* 3iun war A 3izD» golglid^ ift (r, 3 a. <S0 auc^ 

; 3tt)eptet %(x\l , 

.(^6 fep jebec bev SBinfel C, F, nictt fteittec, dB ein rec^^ 
tec: fo tt(icti», n>enn man ABC^ DEF, aid imgleicb annimme^ 
iDie m ecften ^alle betoiefen,- bag BGCnrC, ba^et xid^ 
je^iger SBoraudfeftung JBQC nicbt < ^♦z folglicb im aBGC^ 
G-}-Cmcbt<29l*, tt)elcbe{ bem(r, 17, ©.) toiberfpcicbt 
Ifcemnacb f6rtnen aucb ^iet ABC^ DEF, nicbt un^leicb fepn. 
9Dte ubrigen ®c(^(uife jkib tPtc bepm erften galle* ^ 



»K 



/ • 




SBirb in einem ui^tmnfliitn ^riangef, ABC; fto'lti" 
wd)ten 5Bi»fel, A, otif bie jegenii&^cftegenbe ©eite^ BC| * 
ein ^crpenbiW, AD, ^efallc: fo finb bie ^riangel am 
^erpenbif ef ^ ABt) , ADC; bent ganjen ^wanjef ; ATRC 
tijib dnanber ifenlt^* ^ • 

S»tnbena«^3dnABC^ . . , A 
ABD; bet te*te SBinf el BAG 
=: ADB; tinb B gwein : 
fDifi(i,32*®0au*ACB 
rtrBAD* Jjemrtoc^ ftnb 
bii^(Se Jriattgel gleju^winflig; B4-— — ^ 

ten ptpp^tionict ; Wftlic^ (6> !• R) A, ABD i\) A ABC* 
9(uf ei^n bi^ Stt tt>ttb betoiefen, bag auc& ABCzuCAI); ^ 
iinb AACDrVAABC 

S)d in ten 2Hang«(n ABD; -ADC^ btp D t^te, fSHaWf 
trnb na(^ Ofrtgem BAD :^ ACB^ CAD =t= ABC;-oiro \^t 
2ri(ins«( gleic^toinKig : fo ftnt (6, 4. ®0 i§re SMttn pcoiMW* 
^♦Wlfet / f olgttc^ (6; I . «.) A ABD i\> A ADa 

|)tetdul et^eUct ^ ta§ >«t 00m rec^tcn l^nM Mf bfe 
OntnMtnie gef&ttte ^>«tpenbife( tie tnittfece ^ropottiftnol* 
(iflie imifd^en ten K^ft^nitten tee dnmtftnie #; vemf) t«| 
tie dn einem bee flbfc^nitte tee ®cunt(inie (iegente (Seite 
tie mittiete ^poetii»no(Iifite st<*ifc^ tee ©etmtiinie unt 
fobtein a^fctnitte fep. S>enn tvegefi Sfe^nli^feit t«c $!!^rt« 
gel ABD^ ADC, lint Sleicb^eit tee SBinfei BDA^ ADC; t(t 
BD:DA = AD:DC; nnt »egen ae^ntic&feit tec $xi(iw> 
get ABC; ABD; tint t«{ gemeinfct)aftU<:t(n jSJinMd B, ijl 
SC:BAsSArBD; entttf^ t^egen Ib^iUtt^eit tee Seian* 

' . - ftef 



IIS 



(hi^Vi^SUmmt 




«(C ABC, ACD; mh M 0em(H#ftftii<^ mOtU C, ift 
..BC:CA=AC:CD. 

« 

C^ott etnet ^tQtbtnm finatea £tm</ AB; einen Dm 

9« werte ^(r britte Sl^d( tm 
lanctt 3<'^ <tu< A eine gittcibt 
iitttt AC, mut tinm bdkfttgm 
&infe( BAC; nimm ouf AC eU 
iten be(if6igen $unft O ; m<K^e 
DE; EC, twe AD gletc^; jie^e 
BC,- tmb mit bieftr burc^ D, bie 
"DF pataMt fd tji AF betr oeriangte J^dJ. 
. ©ena e« ift (6, 2. @.) CDjDA=:BF:FA. Si'iit jfi 
CD 3= 2 DA. $o(d(t(^ ifl aac^ BFrraFA, fo(ali(t> BA 
.=-5 FA. 

©<r 10. 0a|. aufdafce. 

®ne degebcnc unget^eirt^ gemb« fiinie / aB , cfitct an« 
.been gft^eilteo^.AC, a^nltc^ einjut^eilen. 

«« fe9 AC inD, E, ge* 
' t^eilt, unb an AB mttt bent 
b^liebyen SBinfel BAG g(# 
Ifflt. Sie^e BC, unb (i, 
3i.@.)l>«t*D/E, bicDF, 
EG, mit 6C paMliA: fo (tnb 
F, G^ bje i*(»ii>ttnZiftUmii» 
puahe, 

biMf<t> D 1>K DK tnit Afi pa,' " ^ 

taUcl, fo jtnb FH, HB, ^(H((iM6§tmme , tinb btf^r (i, 
34. ©♦> DH=FG, HK=GB, abet (6, a. @.) iitt A 
DKC, CEt'ED=KH:HD, fo(8KibCE;ED=:BGjGFi 
M<lf {fit a. @0 ««n A A(?ii , £0 ; DA= GF : FA. JDcm> 




' < 



m^t^mi ®u^. 



Ill 




iwuj^ f[nt» JUe.8l^ril^»Me BG^ GF^ Fa; mit CE^ ED, DA, 
ptop0cti9iuct 

 

3u i'^^xi degebenen seraben £tnun; AB; AC, bte bnt* 
- ti 9<^opoctionaUmie ju ftnbem 

{fge A6, AC, itntet tern btbebi^m 
> f(Binl^( BAC dn einantec, oerlSngi e 
fit bii D, E, mac^e BD=AC, jie^e 
BC, unb mit biefet (i/ 3 1. 0.) burcb 
2), bieDE (xicotid: fo ift CE bie bcitte 
ll^tropettiondHnie. 

SJeiin e« ift (6, a. S.) AB:BD = 
AC:^, o6erBD = AC, foljlic^ "^ 
AB:AC=sAC:C£. 

k ... 

3^ ^^ ^egebenen derabeti Slmett/ A; B/ C,hit yter^^ 
fe 9)ropottionaIfinie ju funUn. 

2ege imep gerabe {hiien T> 

D£^ DF^ untec beat 6e(iebU 
gen SBinfel KDF an einan^ 
bev, mac^e DQ :=: A^ GE 

urb mit biefer (r, it. @.) ^' 

burc^ £ bie £F pacaQel: fo ift HF bie oterte $(6|>ottti»f, 

noUinte. 

S)entt e« Ifl (6, 2. ®0 DG:CE =: DH:HF^ folgfiil^ 
iiac^ Obigem A:B=:C:I^F. 

3t(i^f^ett gnnp degefefnen geraben imttif ABp BCj^ 
' Me^mittUre ^to)>orttonaninie (u ffnbem 







^Mb'i. ^mmft 



V 



# > 




. 6e^ t^. AB tie BC {m^ 
fott on, M(*reibe i6«c AC ben 
|>albftei« ADC, unb ewii^te (i, 
1 1. ®.) «uf AC in B Den ^ecpcw , 
tifcl BD: fo ift tiffft D«« roitttete A 
^roportionaUini<. 

©enn jie^et man AB, DC: fe i|i (3, 31. ©.) ADC rt: 
tR., mm (6, 8.3"f) ABjBD = BD:BC. 

3rt stctd^n ^oroUefosMtnmen , AE,BC, ttt b.etwtt ei^. 
«©tnfet,fBD, einem lintel, EBG, gUid^) 1(1, fint) b« 
urn bie slch^en ?a5infcl Itegcnben ©citcn tciebertfl;># 
tctit> proportionitt. Uttb ^acatlttogromnw , AB, BC, 
in benen <tn SBinfet, FBD, cincm ?Sinfe(, EBG^glctc^ 
tjl, unb bie urn bie gttidjcn ?©infct licgenben @eiten 
iK)K^itU^tent> pcopoctiohitt ftnb , jinb gteicf). 

@r(tet ?^<i(/ 

(||< ,f<9 AB £r BC, unb FBD 

=S EBG. Sege DB, BE, in 

getabet Stnie an (tnanbet: fo |inb 

(I, 14. @.) awS> FB, BG, In 
- gctaUt ?inie. 58©Denbe ba* ^a# 

tallelogrommFE: foiJi(S,7.@.) 

AB:FE =BC:FE. ' Slun ift 
-(6,'i. 0.) AB:FE = DB:BE, Qi 

unb BC : FE :t= GB : BF. %oli» 
, m ifl (5/ 1 1. ©.) DB : BE = GB : BF.. JBemna* (Jnl 

(6, 2. @.) bie ©eiten, »el(*e urn bie slett^n ©inW 6ef B 

fiegen , wi€'bttU^ttn'i> )>»p»ttionict 

/ 3»«9tec $^et(. 

m fei) FBI)=:EBG, unb (6,a.@0DB:BEir:GB{BF. 
giun ifi (6, 1.®.) DBrBE=AB:FE, unb GBrBFcss 
BC : FE. §o(9ft* ift (5, u. ©.) AB : FE = BC : Ffi, 
foJdfic^ C5. 9. ®.) ABsrBC, 

S>et 







r 



I' 




3n $Ie^<n ^tlongeln, ABC, AD E, in b«nen ein 5DBiiw 
f f{, BAC, etntm ^Mt\, DAE, ^leic^ ifl, ftnb bte urn «tc 
9lei(!^en ^inf^t fk^nb<it @etten toteberCe^tertt) pc^ 
portioitirt. Unb i^i^angrf, ABC, ADE, in twnen em 
SBinW, BAG, einem gSinW, DaE, gleid) ifl, unb 
.tie urn bie g(ci(^<n ^tnfd (iesenben ^eiten xov^itc.^ 
Ie(^en& pt:opoctionitt fmb, ftnb g(ci(^. 

etflet ?^«il. 

C< f<9 A ABC=:A S 
ADE,uBbBAC=DAE. |X ^ ^^ 

{ege CA, ^D, in gewbec 
tinle on eirtanber-r fo (tiib 
<i,i4.@.)a«*EA,AB, 
in 3<rabet ?inte. 3ie{>c 
BD: fb ifk(5/ 7- ®.) ^ _ 

AABC:aABD = A ^ * 

ADE : A ABD. Sh(R ifi (6, i. @.) A A«C: A ABD =3 
CA: AD, nnb ^ADE: A ABD=EA:AB. $o(3(t(^ ifl 
(S, 1 1 . ®.) CA : AD = E A : A B. 3)emnacb^ |inb (6, a. @.) 
t>ie ®eiten, n>e(c^ urn bie s(?td;en SBinfel bey A (iegen, u>}«^ 
^td^tX^ propottionitt. 

gwepter ^ll^etf. 

«l fe? BAG = DA£, unb ( 6, 2. (5.) CA : AD = 
EA:AB. 3lunift(6,t.e.)CA;AD=rAA^C;AABD, 
Wtb EA:AB=r A ADE: A ABB. " SolglJ* i|i (5, 1 1. @> 
AABC:z^ABD = aADI}::aABD, f^(j^<^ (5,9v^.) 

/^abc==aade. 

^ittbbiet getabc Stnien, AB, CD, E, P, pn>W)«»B» 

tiirt : f> ijl ba« unter ben &u§etn, AB, F)^t^a(ten« SKecfti 

<j«9^, bem un»r bcit roittkrn, CD,^^ E/^ffeattciten, gf<i4 

"Un^ ijl ba« untet.ben io^etn, AB^ F, ent^altene SHectan* 

S^ Jwro ttoter *«ft mi«(wi/ CD, E, tnttioltentn, g^eit^ t 



«^ ^ 



\ 



V 



116' 



^utim ^m^i^e 



*■ f 



fo f!nbbut>tei:0«abett2imen, AB, CD, E, F, ptttpov 
tiotfipt. 

(8« fc9 AB:"CD= A ^ 



D 



E:F. (Iwi*t€(i/i i.®.) C D H 

auf AB, CD, in A, C, g 
We^et:i>enWMAG,CH; 
«»adS>e AGsrF, CH=± ci( 
E, unb oottent^ Die $<t; 

wllelogwmme BG, DH : _.. 

(9 ijk nacb tet 5Bwaa«s ^ - bC 

ff gan9 tmb ( 5^ 7« @-) ' ' 

AB : CD = CH : AG, ^olgUi^ (fi, 14. ©0 BG =DH,. 

©btcABXFrrCDXE. 

egfe^ABXF— CDXE, ob<c n<i* £*id««n /; ^f^ 
= DH: fo iji (6, 14, 0.) AB:CD = CH : AG/ *btt 
AB:CD=E:F. 

JDer 17. 6a|. iefetfaf- 

^- @tnb btep 8cr(Jbe2tnt«n, A, B, C, ptoportiomrt: fo ijl 
bd« untec ben iu|ecn/ A, C, ent^ottcne 3Jectf«geI , bem 
Ciuabratc bee mittlem, B, gjcid^. Unb ift'baS untet 
bett &u^ertt/ A, C, entl^altene Sftectangel bent iDota^ate 
bet mittUrn, B, g(eic^: fo flnb bte beep gecaben Sinierti 
A, B, C, proportionttt. 

Scikt $^eir. ABDC B 

@«fei> A:Br=B:C. SefteD 
=B: fo ifl A:B=D:C, folg«(^ 
(6, 16. ©.) A X C ±= B X D, 

«befcAXC=nB. 

(8«fe9AXC=:PB=BX 
D: fp iji(6, i6.eo A:^=D;C, •b<tA;B=:B:C. 






®iR^««« )55tt4 ' 



M7 




3tuf emer gegefienen 8<t<|b<n ginte, AB, eine bet ges 
firtenen nerabftntgett Stguf CE i^ntte^ vnb a^C(^ Ue? 
getibe ^i^m i« Beft^Ktbw, 

Sie^e DF, unb fe^e (i^ E 

23. ®.) on bi( @nbpunfte 
bee AB W mOtl BAG ^ 

= DCF, unb ABQ =; ^-^r 
SDF; fetnec on bie enb« ^Y<^ / 
punfte bet GB bie fSiinM aL—^B 
BGH=DFE^OTbGBrt ' 
==TFDE: p iftAH ruCE. 

' Txm m^ Obigem l# (»/ 32, €5.) AGB =£ CFD/. anf 
eHB = FED} fender AGB + BGH = CFD + DFE, 
fbetAGHs^^CFE; be^^fekbw ABG+GBH±rCDF+ 
FDE; ober ABH =:; CPE. 2>e<nmKf» ftitb bk ^guteti 
AH, CE, gleicbwinflig, 0hin ifk outb n<i<b Obigem , unb 
(6, 4. «0 BG : CFst GA • PCa: AB jCET, unb BG : DF 
= BH:I>E = HG:EF, <irf« (5, 1 1. e) GA:FCi=: 
AB : CD:=BH; DE5;;HG: EF. gplafi* ift (6; i. (5.) 
AHfvCE» 

ifl bad gwiefac^e Ut ^wfihUni$ t^ter g(eid)namt9e5 
@eiten. 

,(g<fr9 ABC=0eF, bag 
alfo AB.:BC=;::i)E:EF; 
fol^Iic^ BC; £F; 0lettNamiflf 
^it^nfitib; unb (S/ 16«@0 
-refwed^felt AB : DE == 
BC : EF* @u4^t man. nun 
(6, ikSO JuBC, EF/ We 
ltitt« $ro(>otttonaUinfe BG, 
baf olfo BC:EF=EF:BG; 



.^ \ 




l>3 



fo 



« r 



c-lS 



(liM^i ^imtm 




fbijkCS, ii.«.)AB:DE= 
EFtBG; fo(<}li(b, toenn mon 
AGjic^t,(6,i5 SOaABG 
=caDEF. getnetitt, anS 

BC : EF = EF : BG , Mtt> (5/ 
lo,g,)BC:BG=: a (BC:EF). 

{Ron i^($, i.@0 BC:6G 
= A ABC : ABG «= A 
ABC : A^DEF* $oW ift 
^ ABC : ^ DEF ==: 2 (BC : EF>. 

3 u f » f : 

|>t««attf txiftM, btf§, toenn tt(9 gCMbe tkiitj^BC, IF, 
BG/ pr^otti«nitt ^/ fk( ^te (tfte iui; trittm etr^ofte/ trn^ 
tec !$ri<|in9(( auf tet ecf^ra ju bem il^m &^n(i(^(n| w^ &^n(i<^ 
liegentm ttimigel ouf bet |W(9ten ; toett li«»kfett Ufixiti^ 
♦ag SO: EG = A ABC : A DEF. 

f 

' 3(e^nfM^e totelfetttge %imta, ABCDE, FGHKL, faf* 
fm ft4 tn <|(et(f) i»te{e ^^nfic^e/ unb beit ganjen Stgtirenr 
. jleti^ttomtge, Ittiangel gettegen. 7(ucf> Jfl bie ?8er^S(tni0 
^^nftc^er bteffeitiger ^duren bad 3t>*i^f^<^^ ^<*^ ^n^hiu 
m$ i^ei: gfeic^nainigen ©eitett. ^ 

S^iefe ^i^uten (Affen {icb in 
Slei(b bide hfyiAid^e tnangel 
t^tegen. ^iej^e bie !Duigon<M 
fco.BE,EC} GL, LH. t)<t, ^ 
toegett bet S(e^n(i(^eit bee §U ' 
gucen (6, 1, d ) BAE=GFL, 
tinbBA:AE=GF:FL; ft> 
Unb (6, 6. ®.) bie Jciongd 
ABE, FGL, 9lei<bn>(nfli3 , fofslii^ (6, 4. ©.) i^te Seite»^ 
pt^ottiottict, foigUc^ (6/ 1. @.) fte fe({>{t h^nli^^ Sxnv 

 no* 













na^ ti^ ABE ±= PGL, iir» B£:AB^(3L:PG. * tUnn 
ift wm »e^nU(^feit>ec Sigucen (6, t. 9.) ABC=FGH, 
unb AB:BC=3 FG:QH. ^^H «f* C»/ 3- ©0 BBC 
= LGH, unb (5, aa. ®.) 4U6 &em<BIekM/ BE : BG 
=? GLt GH; fofgli* (6, d. (S.) N< ttiongd EBQ LGH, 
«(eicb»tttf(ig/ fofa(i(&. ($« 4. ®.) i^re €eitAi proportiotttct, 
feld(i(^ (6, 1. @.) fte fdbfl i^tOid^. fhrt 0^«c^ et&nben ifk 
«u^ /^ CED fV A HLK. 

2>i(fe Sl^nfit^en Sttandd ftnl) ben ganscn ^flttcm ^r^i^oi^ 
tiontct^ ttitb {wart^iien ^[Utciit^t^ (A6CDE:FGHKL == 

AABE:AFGt^AEBC:ALGH=ACED:AHLK), 
nhb bte 93(v|&ftnl!i brr goitjen ^urtn i{)f b(t^ Si'^kfo^ ^^ 
Secf)4(tmg t^rer gkitbiuHHt'dcn @eiten. 

3(t^e bie ^idgpnoleh AC, FH : fo ift m^m 9f^iifk^fei» 
hn ^rnttn C6, I. «.) ABC=:FGH, »nb AB:BG=: 
FG: GH , folati* (6, 6. (S.) BAM = (S^N^ Sftan ij>, 
ita(<) bem (tften^^eHe, ABM=FGR So(d(i<^ ijt(4, 3^2. &> 
m«* M =? N. ©etnnaii<> jinb bie !lw<in5el, ABM , F6N, 
^lkii4h»mU^.  %u$ .gUi4)en ©sftnbm 0ab OiX^ bie itMm$A 
BCM, GHN; dkidbiviiiftid.. $0(0li4ijiC6^4.®.>AM:MB i 
zifs FN : N64 MI* MB: UC =s: NG j NH , W§(i* ( $, 
fl».©.) (M» l)em (SUidoen AM : MC = FN t NH. giiin 
ltk(6<ti.@0AM:MC:±:AAMB:ABMC=:AAME:A 
£MC,w* b4^c(5^»3. @.) A ABE iA BEC= AM ;MC ; 
abet ott« gleij^ @ttt)ibei»AFGL:ALGH=;;FN:NH» . 
S^* (5/ lU ^s) aABE;aEBC= aFGLjaLGH, 
obcc (5/ 1 6. ®.) vecncHK^k a ABE : a FGL 55: A , 
EBC J A LGH. Sie^et man nun BD , GK : fo tft avit 
benfetten ©cfinben A EBC : a^GH c^ aQEO : A HLK. 
Sp|0(i(& iflCs. X I.®,) AABF:tA5'GLai= aFBC:.aLGH 
= A CED : aHLK ; f o<9K(t (5,1 a. «.) ABCDE : FGHKL 
== A ABE : FGL. Sim ifl (6, 1 9. @.) A ABE ; a FG L 
as: a <AB : FG). p\^\^ ifk m<tf ABCPE j FGHKL = 
8 CAB:FG}. . 

•^4 2<«# 



i^briaiBjB^B.^. «./>.'. . 4k iW . 



MW 



®Wi^^ flfP«*i 




:AECD:aLHK; 
:AABE:aFGL 



tent cr^en tfftilt hit ffriangd 

Ai^nli* fit*: foift(6,i9.0O 
A ABE : A FGL = a ^BE : 

GL)=r aEBC:aLGH; 

tipb A EBC : A LGH = 

aXCE:HL) = AECD:A 
Uik. 8i>l9ii*ift(5,ii*©0 
AABR:AFGLr=AEBC:ALGH: 

fol0ltc|> (5, 1 2. (21) ABODE ; FGHKL 
= 2(AB:FG). 

. ^a fi<( auf e6m bte Krt emetfen I&§t, ka§ bie Setl^ato 
ttt§ al^n(t(ter Dtecfeitigec giguren ba^ 3miefa<^e tet a3<rl^alt^ 
itt| il^ceir glpc^diQtgfn @etten ift, tint) ebeit. baffelbe aud^ 
(6, i9« ®.>t>Dn S^ciaitgdn etiviefen toerben: fo i^ aUgemettt^ 
t)(e f8et^&(tnti &^n(tc^et serablintdet Stouten bai 3n>ie$ 
fat^e ber 9)er^&/mi^ i^tet dfeic^nomigeii (Seiten. 

3tee9t«r-3ufa|. 

0timmt man (6,ii* (SO gu AB, FG, lie britte fyt^et# 
tidnallmic O; fr tfi (5; 10. «0 AR: O =r 2 (AB : FG). 
5Da dber tote S)er^&Itni§ einet gecaMmtgeti Siguc auf A6, 
)u bet t^t i^ntii^m ttnb i^nfi^ liesenbnt oaf FG^ hat 
3mtefa(f)f ber 8et:5Utnt§ bet AB }tt FG H^^ fo folgt: t>a%, 
mntt br$9 gerabe £tnten AB; FG; o, t^roporttonttf^nb, 
tie erfle AB jur btttten O ft4> ber^afte , nne etne gerablb 
tttde §t9ut auf bet tt^tn AB, )ti bet t^t &l^n(t(^tt iw^ 
fil^nlid^ iiegtnben auf bet imt)Un FG« ^ 

©<r «!• ®a|v le^tfaf; 

^ie etttet unb berfefbett Sigut ^ C^ &^n(tc^en getabK^ 
tttgen ^tgutett; A^ B^ ftnb auc^ einanbet &^ti(t^. 

^2)a leegen bet Ifel^nfid^f eit (6^ i« (SO bte $t$ttteit A/ C/ 
fotoo^f^ olibie giguten B, C, g(ei(bt9inf%/ unb t^te ®eu 

teiv 



y ' 



fj^M^HI '^iXslfZ 



t« 




Ite§ei!^ ptoporficnitt (inb: fo 

I. 00 gleicfeibinfUg; unt (5, - 

I I. @0 i^rV ^itetf^ n>e(d^ urn 
gltic^e SBinM iiegeii/ pcopot^ 
tioniit; fo(fl(ic^ (6/ 1. <$.) bie$fgU9^ A, B, tmnhtt hf^mdf. ' 

feinb bieir gerabe Xtttien, AB^ CD^ EF; GH, proper^' 
rioiticc: fo ftnb biz auf bjenfetbe n a^nfic^ befcf)rtebcncii 
i^nllrfKn setabttntgen Siguren, KAB; LCD, MF, NH^ 
oucf) propotttomrt Urtb, ftnb bte ouf pier geraben ^tnien^ 
AB, CD; EF^TjH, i^K^ Sefi^efceiten a^nfic^en aerab< 
Itntgen ^igurett ; KAB; LCD, MF, NH, proporfionirt: 
fo ftnb \old)t btet ^erabe Hxmn <ittc^ ptopottionitt* 

if fie9AB;CDr!;?i;F; 



o_^ 




GH. 9hin fu(^ num (6, 
ii. m.^ la AB, CO/ Me 
fecftte O, uitb )^ £F, GH, 
tie btitte P. So(«(k& ilk 
(5, II. ®.)CD:0 = 
GHjP,f0l9li*(5,92.eO 

A|i9 ^>nn <Bilet(b<n A6 :. 

0=EF:P. giun«ft(6, 
ao. 3uf. 2.) AB : O =: 
A KAB : A LCD , unb 
EFtP=:MF:NH.ScIa« 
I{*i|(5, ii.(S.)AKAB 
:ALCD=rMF:NH. 

'SweijterS^eit. 

* @« f<9 A KAB : A LCD = MF : NH» Shtii f<» 
(6, 1 3. @.) AB : CD = £F : QR , «nb (ine Sigtt^ SR oiif 

«» 5 QR- 





us 



^m^immtm 




mlfi tet MF^dU NH^I^m 

t«% dfb na4> tem tcftoi 

J^rife A KAB : A LCb = 

MF:SR. golglk^ t{l(5/ 
i».«OMF:SR=:MF 

: NH , folgfic^ (5, 9- ®) 

SR=:NH. mm^,mH 

MFajSR unb (\) NH,^ 

flud^ (6, 21, @.) SRrv 

NH. golflli* jft (fol9<iw 

tet e<^nfas) QR = GH, 

f olgli* , weil AB : CD =EF : QR , «u<^ (5, 7, «.) AB 5 CD 

=:EF:GH. 

2 e ^ It f « |. ' 

2>a| ob« ttt 9let(if>en tjttb i^hK(f>en Stpwtt, SR, NH, 
auc^ bte dfeic^nQmigetv ©eiten, QR, GH; dfenefy fihb| 
tQtc&fc ftmiefen: 

JDa SR bet NH g(ei<^ tinb a^nfic^': fotfl QR:OSs^ 
GH:GN, obec (5, i6, 0.) retwec^jelt QR:GH = 
QS J GN. ffiirea nun QR, GH, ungWtb/ etwa QR> 
,GH, fofgli* au* QS>GN: fo whtt (6, io. (S.)SR> 
NH, todcbej bem Kngenommemn SR=rNH toibetfpntbt. 
So(3(t(^ f6nnen QR/ GH/ nic^t ungktc^ fepn, unb>ftnb aff« 

©ie 5Berl^&ttn!§ gteic^ttoinHiger ^arallelogramme, AC, 
CF, tjl am ben aJcr^SImiffen i^ccf ©eitert/ BC:CG, 
DC : CE , jufammengefelt 

^ e« fe9 BCD=ECG> tinb BC, CG, in gerabcc ?inie an 
einanbit flelegt: fo finb (i, 14* @.) aucb DC> CE, in gera^ 
brr tinie«. SBoij^be ba^ ^araUefostdmm BG. fRimmt 

wan 






r • 



IB^tC^ $$tU^ . ti$ 



ftnie K, unb nwi^t (6, i a . 6.) p" 
BC : CG = K : L, fecnw DC / 
:CE=LtM;fbift (6, s.eo W^ 
K:M=(KtL)+(L:M)= «■ 
(BC:CQ) + (DC:CE). Sinn t,-— 
i<kX6, 1. «.) A(!: :CH =BC /4— 




. i 




:CQ = K:L, unb CH:CF « 

=rDC:CE=L:M^ unb ba^ (s> aa. ®.) oMB ^em 
CBflci^M AC :.CF = K : M. Sof^St^ ifl; (5, 11. «;>, 
AC fCF = (BC : CG) + (DC j CE). « 

3« i<b<»n 9Jaratte(ojt<nrfme, ABCb, ftnb bte urn bi^' 
$3ladonafe^ AC^Itegenbeu $ar^ae(o0tanttne| EC^, HK« 
bem danjen ^ ttnb etfidnbec &^n(ic^ 

2)<j GF bet DC iWMttel : f« As .  'n 

iH,(i, 29.0.) AGF=ADC, 
AFGsr ACD, DAC= DAC ; <3j 
b(mn<K^ A ACD bem A.AGF 
Qtei<^w«nflig. Shut tft au j 9(ei« 
tl^en ©tinben A ABC bem A 
AEF gleic&toinflig. Solglic^ i{t 
bia< f>aratte(03camm A6CD bem 
^MaOdodtamme EG g(d(^toinf(t3 / aut^ (6, 4. ®.) AD : DC 
= AG : pF, unb CB : BA =FE : EA ; fecnet DC : CA =, 
GF:FA, unb AC:CB=AF:FE; fotgli* (s/22. 6.) 

aw 9em (Skidbtn DC: cb =r GFtFE. 

QnWdf i^ Au^, wegen bee ^ac-aUettmien EF^ BC, unb 

6F. DC, (6, 2. @.) BE : E A = CF : FA , unb CF : FA == 

DG : GA ; folgli* (5* i«. ©.) BE : EA =DG : GA ; fofg* 

fic^ (5/ 18. ®.) rcfbutt^eit BA:AEi=:DA:AG, unb 

'(5/16. ®.) Wtwedbielt B A : AD = AE : AG. 

^emn<i(^ jtnb in ben gtetcbwinfligen ^dxaMc^vammtn 
A1PCD, EG, bie @eiten urn bie gfeit^ SDinfel pvvpcttiot 
ni(t^ J(t\^i(jf i^ (6« i. S.). ABCp (\)EQ, Shin tjt auS 

  < 



134 &S&ifi &muii!it 



AU^EGfVKH. 



\ 



Sine d(cabttntde^t$ttt ju 6(|c()m6(n / n>e((f)e bet ^e; 
^ebenett; ABC, %ft4/ unb bee anbecn flegebenen, D, 
$ret(^ fetk 

; %tf BC bt^t^bt (o 44* GO 
^ai ^atafldodtamm B C = a ABQ 
iinb (i/ 45. ®.) auf Cg unter tern 
©infd FCE=CBL, ba« Uotofc 
Wogtatnm EF= D: fo ftnD (i, *^ 




14* ®.) fomol^I BC, CP, aM au* 

LE, EM, tit getabet Kftie. (Suc^c j^ 

(6, 13. «0 injif*en BC, CF, We 

mtttiere ^^topottioncXlmt Gtf/ unb 

bef4)cei6e anf bieftr (6, i8* ©•) ck r ^/ \ ^ 

lien bem A ABC &^n(id^en unb ij^tti^ 

(14^ (iedenbcn a KGH : fi^ ift ba< Sf cfanste d^fc^^n* 

JDenn ba BC: GH=6H:CP; fo i(t (6/20. Suf. a.) 
BC:CF=:AABC:AKaH. Slunifl(6, i. ®OBC:CF 
=2=BE:EF. goIgHd^ iji (5, n. ©0 A ABC:AKGH = 
BE:EF. 8hin iji A ABCr=Bt golgtt* ift (5. 14. e.) 
{^u^ ber bem a ABC i^tic^e aKGH=EF=:D, 

fEBirtbon einem ^ratlefogtamme, ABCD, em \fy» 
&^n(ic^ed unb aiitiiid^ lititnbci ^ataModtamm, AEFG, 
untet eirtem 9eme{nfc^aftlid)en SDBinW, DAB, wegge^ 
ftommen : fo lu^t i$ mit bem gon jen urn emetlep ^ta^ 
gonafe* 

8D&re biefetf nfatt} fo ge^t/ n>eniij m&g(i(^ i^, bte S^td^ 
{onafe AHC b^r^ einen oon F bet#iebeiien l^utifi fi, 

unb 









•^ A 




titi^ ti ^t^ H mit AD $t$(t BC ^ 

tie HK pat«i\i<\f alfii (6/ 34. 3.) , 

ABCDfVGK: fo ift(6,l»(|.) "J., 

I)A:AB=rGA{AK. . «an ifl, 

»ri( ABCDPuEG, ducfcDA : AB 

rr GA : AE. gojgli* ifl ( 5y 

1 1. ®.) GA : AE = G A : AK , f olgfii^ (5, 9. 0.) AE 

AK, wtlixi ^1/ <fi&.) mmbili^ ifi. 2)enina((> faun Nf 

2)ta9ona(e butc^ fetrien oon F t>ecf4>ietxnm f^unft, fonbem 

ntugbucc^ F ge^en, ^« i)l, ABCD^ A£FG, liegcn uni 

(iA(cW9 !Cu)0OKaIe,.v 

Utttet oflen <in «ttet gegeBenen gerab^ 2tme/ AB, tnU 
iMtfmm $atofle(o$tiitmiieit, bereiv Scginjungen^ bem 
^^^araUelogtamme auf bee feotben ^nie o^nli^ (ttib/ urib 
hf^nlid) lieg^n, ifl bad femer (gtganjung a§taic|>« ^J^aUe-- 
logtamm auf ber fydben £ittte bad d^^ite* 

«.rf|er^Saa. 

. S« fep bie einie AB M C ^a(^ 
ikt, urib tin 2(bfci9nxft btt . 

jSLimeAK>AC. gittnfe9<xttf f^ 
bcm abfc^ttine AK bag spacafle^ 
logcamm AF, beffw (SrganjiiBg 
KH bem ^acaQdo^camin CE 
hf)\xUd) fepv unb a^(i($ (lege: fo 
fagei*/ ba&AD>AFifi. 

^ 2)cnn ba KHrvCE: fo liegen bepbe (6, a 6* 6.) ttm eU 
stfde^ 2>iagona{e. Bti^e^I^e 2)isidtmaf e D6 , tinb t>o0en^ 
be bie Sigur: fo ift (i, 43« @u) CFcrF£^ f^fkft/ menst 
KH ^ttjufommt, CH=:KE. SRun i(k; wtH AC = CB; 
(I, 36. eopHrrCa %tim ift KEssCG; foIgK*, 
t»enn CF {)i^utotmt, ^MiMtiUAiiSRM, fi^lgjltc^ CE^ 
ba«ifiAP>AS:t . - - ' 







Iil< 



/v 







«< fe9 toiebecum AB m C 
^attirt, abet eirt 2ib(yjrtitt ^ 
AD < AC» giun fe9 auf bem kV- 
Kbfc^nitte AD tad ^arclteto^ 
gramm AE , beffen Stganjung ^ 
DF bem ^acaUelogwmme CM ^ ^ 
i^nti^ fep/ unb i^nlt* liege; 
fofagei*, ba§ AL>AEiji, 

SD^ntt ba DFruCM: fo Hegftt tepUc (6^ a 6. 9*) «m 
eHiet(e9 2)iagona(e« Bie^e fblc^e 2)iagonafe BE , 4]nb toSeiM 
be bie %mtx fo ift, n>ett FG=GH, (i, 36. ©•) FL = 
LH, folftlid^ FL > Ek, Sftun ift (i, 43. <S0 FLrrfcD* 
goldlic^ ift LD >£K/ fofgttc^/ lectin SK ^tniiifjmml> 
AL>AE. 



>^ 



\ 



Set agf. 6a|. 3(ttf3a6«. 

^n eiridr gegcbenen getdben £inie^ AB; etn bet gege^ 
tenen gecablittigen S^gut/ C, gleic^e« ^^araUelD^ramrtt 
j]u enttt>erfen, beffen ^rginjung efriem gegebenen ^(x^^ 
.roUelogramme, D, 4^tili^ fe^* Sebcc^ barf bie gege^ 
bene gerablinige Sigut, C^ tti<i^t grft^er fe^n, alebaJ 
^araUetcgtamm auf bet l^a(6en Stnie^ beffeit Srganjung 
bem gegebenen 93di:aUe(ogramme D &^ti(i4 tfl. 

(16 fe9 AB in £ ^Vixx, tfnb auf EB ein ^araKeftgramm 
EFr\;D6efc^teben^ aucb b<rt |)araUdogtan)m AG t^oUen^ 
bh: fb i(k nat^ bet SJeraudfe^ung AG entmebet bet C 
filei* ober gt6|er» 3fk AG 35: C: fo <ft, w^il auc^ EF" 
ro D^ ba« SJecIangte gef(*eV«. 3f^ abec AG, alfe au^^ 
£F>C: f« fe9 (6, 25^ ®0 cin f^ataaitegromm KM bem 
^ Uebcr* 



e^^fmi SSa^: 



kaf 



tlelfetf<!buffr :iei ^^^Uelo; 
grtotW fF 4ber C* glei4 
unfr ben^ Dv folglicl) and) 

I^K mil Gfc, unb LM mit 
Of, gWc^dmig, iai ifc 
l^:LM=:Ge:GF.giuil 
fft EP ::=: C + KM, unb ba^ 
0EF>KM. So(gti*itt 
(6, ao.3uf.i0 GE>LK, 
tinb GF > LM. SRa*e 
*feft|ep(i.3-©.)G?=:LK, 

60 sr LM / unb t^oUenbe 
^« f^aufktogrdonB ZO: 
^ i^ (6, «4. @0 20^KM, iiiib ba KM ^ EF/ atH^ 
ZO rvEF^ foJ^Uifr (6, a6.®.) ZO uiib JEF urn eimtt^ 
tAatPMk* ^i^^^ bkfe S^agonde BG / imb totfenbe bie 
gj[0ut : fo ifl SR ba« ^e^langte ^arafielogcamm* 

©enn ba EF =r C + KM , tiinb KM = ZO : fo tfr EF 
rr:C + ZO, folqm (i/ 3- @0 ®nomon TVX=:a 
ttm i^ (1, 43* ®0 ZR = OQ, dfo, toenn QR ^inju^ 
fommt; ZB=OB, offo ofuc^ SEzrrOB, wnb,ba|^ec, mena 
"ZR ^mjufommt, SR =. ®nomon T VX, gplglicb ift SR 
rrC* '2)emnac^ 4ft bad auf bem Sbfc^rtttte AR befcbckbene 
^araUelogtomm SR bee S^pt C gfei^, unb befFm (&(0&im 




, 'Un mtt gegcteiien gerab^tt £tnie; A6/ eiti ber gt^i^ 
Ibenen derablinigen ^tdut, C^ gl^rc^ed ^^asattefegromm 



/ 



\ 



laS 



.««Klir0 Cfemente 



•n 



I 




(S« f)| AB in E^^« 

birt/ wi auf £B rin 
f|QT(r!teIogramm £(^ rv> 
D befcl^rfebctt , and> fep ,, 

tattelogcamm GH^ (em 

£L«4<*Cg(etc&/ unb bem 
D,fofs(i(^att(ibem£L/ 

KH;KG = FL:FE. 
ghitt iik GH > EU 

8ol««* ilk (6, 20. 3uf. lO KH > FL^ tinb KG > FR 
©•ditt8«fe M)tt FL, FE, mac^e (i, 3- CO^MssKH, 
FNrrKG, uttb toUenbe ba6 ^drattelOf^tamm MN: itfi^ 
^,ii4* @0 MN^GH, tmb baGHfvEL, ou^MNrV 
BL^ folgUcb (6, 26. ®,) MN, EL, ttsi dtteclep ^d^onaie^ ^ 
gtt^f biefe SHasonale FZ, unb t^^aenbis bte ^tuti ft ifkAZ 
ba^ t^erlangte f^araUelo^mm. ^ 

aertrt ba GH rr EL 4. C, unb GH 2r MN: fo Ift 
;MN=:EL + C, foIg(i*(i, 3. ®0 ®nomon QRSrra 
JRun f(l (I, 36. @0 ANrrrNB^r alfo du* (i,43- ®0 AN 
rrLO/ unb ba^et, mnit £Z ^injufommt, AZ rr @h0« 
mon QRS. goldlic^ i^ AZ =: C. 2)emnacb jft ba^ ait 
A6 entYDDcfeiie $aeoIIdo9tamm AZ ber ^igut C gleic|) , unb 
beffen Uebeif4)ttg OPo^SLfVD. 



©ne gtg^beiie 6edt&nite getAbe Stttie; A6| nac^ fl<» 
tiger 93rppottton ju fdfineiben. 

Woc^t nwi (t, 43. ®0 t»on AB hcti £litdbnitBC, unb 
cntmitft (6^ S9« ®0 on CA tin bem £tadbtate BC gfeicbei 
^atQtte(Od«<Wm GD^ beftrn tttbecflbul AD bem Duabrdte 
BC hfyM^ S^i fp ifk AB in £ M^ fM|€t fit^P^nton (|ii 
(((^nittem 

SDenn 



,- • 



CSetMtei «M(|. 



t«f 



G 



E D 
B 



SJenit td BC ein Quabcot : fo 
ifk au(t AD-ein £liui(rat; tmO (a 
BC =r CD : fo i|i, tvrnn man C i£ 
bcdraiAmt/ BF f= AD. ^ 0tun 
finb BF, AD 0iei(t>mtnf%. §01$; 
11* ift (6,14.0.) F£: EU = 
AE-:EB. g^tt ift (I, 84. @0 
FE=AC=AB, unt> EDrrAE; gotgfi* i|i aB:A8 
r=:AE:EB, unb, »d( AB>AE, au(& A£>E)i, f9lgli(^ 
(6, 3. @.) A6 in E no^l fletigec ^re^oetion gcft^nttten. 

Hkim dtibcte 2(tifl^tttng. ©c^eibe (2, 1 1. 6.) AB 
in E fo/ bag ABX iJE = a Afe : fo ift (4, 1 7. ®.) BA' 
:AE:= AE: EP/ fo(9(i(^ (6, |. or.) AB tit £ m^ fmiitt 
fropoctiort gefet^nttten. 

©err 31. .0ci|. le^rfaf. 

3« jefeem re^twinftigen ^tiaitgct/ ABC, ijl bie $u 
sue auf 1»et bent rec^ten 9EtnM ge^ni^cliegenben @eU. 
t« ; BC, t>«t» i^ a^niid^m unt qj^itftc^ ItegenDett gtg'ucm 
ouf bet) bicfett SBinfcI etnfc^Iicgcnben ©eiten/ BA, AC, 
lufatnmett QUid). 

%h\it due A (luf BC bet $ee« 
penbifei AD : fo i^ (6^ 8. Suf.) 
CB:BA^BA:BD; fol^Udf 
(6, ao. 3uf. 2.) Cfi : BD =: E : F. 
9}un ifl att^>g(ei(ben ®c&nbcn 
BC : CD ==: E : G. golfllt* i|t 
(5, 34. ®.) BC : BD +bC is 
E:F + G. ai?unif»BC=i:BD 
•4- DC. j§'o(dti*i<tau<^£=:F<fG. 

C&ut an&erec 23etoet6. 2)d btegiguten C< V, G, &^ti« < 
Ik^ Prtb: fo ifk (6, 33.®.) E 1 F = 2 (BC ; BA). 0ttttt 
<fk (6/ ao. 3ilf. 1 .) a BC : a BA = 2 (BC :B A). $o{^ 
Uc^ ifi is, 1 1. ®0 E : F ~ D BC, : a BA. SiM ift oiti 
pti^tn @t&ntiett E : G s=: Q BC : □ AC. $oldtt4» i<i 




J 



• I 



• I < 



i 



M« 



C^u^it>'« &^ntmt 




fbtfk(5, ii.«OAB:DE= 
pFtBG; foffllicb/ ttenn won 
AGjifl)t,(6,i5 ®.)AABa 

scaDEF- Stmetijk, oul 
BC:EF=EF:BG,tJttbC5, 
lo.®.) BC:BG=: a (BC:EF). 

{Ran «>($, i.<S.) BC:BQ 

= /x ABC : ABG <r: A 

ABC : A,DiEF* goW ift. 

^ ABC :^ DEF = 2 (BC J EF). 

3 " f » I- 
^iflfattf eri^elfet / ba§, toenn (te9 ^^obe Shtieji 6C / EP, 
BG, pr^ottt«nitt ^b, fk( bte ctfte tuc tntMi t>tc(K>(te/ toi^ 
tec $rif ngef auf bet et^en su bem i^m &^nlt(^(t^ «nb &^n(t(^ 
liegenben ttimigel ouf bet i»(9teni toeU bewkfen tootben^ 
M BC: BG = A ABC : A DEF. 

JDcr 20. ®<i$. (ei^tfaf. 

' :re%ttfi(!^c totelfeitige ^iguteii , ABCDE, FGHKL, faf« 
^n ft4 tn d(etd) btele &^n(ui^e^ unb bett ganjen Sisttrett 
9(et(i^namt9e/ ^ttansel jetlegen. 2(u(^ ifl bie ^er^^ttntf 
^^nltc^ec bte(fektgec ^durett ba6 ^mt^^i bet ^er^4ft* 
nil i^ec ^(etc^nainiden @eiten. ^ 

etflet $6«tl^ * 

X>{efe giguten (ajfen ficb in 
0(ei(b biele ^idbe tctangef 
tectegen. ^ie^e bie !&iadona« 
(en BE, EC; GL, LH. S)a, j^^ 
wegen bet Ke^nli^eit bet $U 
8uc<tt(6, i.@) BAE=GFL, 
ttnbBA:AE=rGF:FL; fo 
f{nb (6, 6. ®0 bie Stianset 
ABE, FGL, gfeitbwinftig , folj(i<^ (6, 4. ©.) i^te ®eite»^ 
Dtopottionitt/ folgUcI) (6, i. @.) fte fe(b{t &(fn(i(&, 2>enw 




I 



M^ i^ ABE ±r PGL, tm» BEjAB^QLjt'Q.  ghiR 
lit «««.<<» a<^«H*feit bey gipwt (6, i. f.) ABC=FQH, 
tint AB.BGsa FG:QH. fjolfttt*^ ijt (i, 3. ®.) EBC 
= LGH, unt(3,33.®.)^B»^em)lBM7crt^ B£:BC 
::^GL:GH; folgfi* (6, 6. 6.) Ne ttiongd EBC, LGH, 
$(ei($n>tt^i^^ fvi^tfy. ($« 4* ®.) i$» @titea froportiontct, 
f oI^i(^ (6, 1 . @.) fie felbfl &^n(ic^. Ihrt gteic^eir ®(i|tM i^ 
<»U(^ A CED rv A HLK. 

Swe^itet ^^etK 

Siiefe &5n(t(&<it ^ctangei finb ben ganjm ^gucen prp)^o^ 

ttontct, unb jwaci^Nen $[(et(itt<untd (A6CDE:F6HKL == 

AABE:AFQl'^AEBC:AL6H=rACED:AHLK), 

' tihb bte 'Ski%hHni^ ber gmijen ^tiren i|)f b<t4 -^wi^^t ^f 

JBecf)titm§ t^rer ^(({(i^namtgen ©eiten. 

Bie^e bie ^ia3.onQteh AC, FH t fo ift t^egm ^t^n^feit 
bet ^iguwn (6, i. §> ABC = FGH,. unb AB:BC = 
FG: GH, folaUcb (6, 6. 6.) BAM 2= ^N^ gi«n ijV, 
ita* bem ttftm^fft^e, ABM=FGN. golgdtb i|t(</ 3-2. «.) 
au<b M =? N. 2)emn<K^ finb bie !lwA*5eI. ABM , FGN, 
d(«i<b«»tn^(id> ' 9(u« gleicben ©c&tbeit flab aiKb bie Stnan^el 
BCM, GHN, gtei^ttHufda.. gotglkfe «l (6^4.0.>AM:MB i 
=5:FN:NG4 ut* MB : »iIC qs:: NG j NH , W«li* (5* 
2**6.) (HI& bem (Bldcbeii AM : MC = FN j NH. gjan 

ift(6*i.@0AM:MCi=AAMB:ABMC=:AAME:A 

EMC,tt«b ba^e(5/.va.@.)AABEtA.BEC=AM;MC; 

obet <Hi* gieisbew @ci«^e»AFGL:ALGH:;sFN:NH, . 

S^^ Cs,iU eO aABE;aEBC= AFQtii^LGH, 
 «ber (5, 1 6. @.) vecncxi^ll a ABE : a FGL 55: 4 , 

EBCjaLGH. 3iel[)et man nun BD; GK: fo ift ««« 
. benfelben @c6»beB £^SBC t A^GH ^ aQE© : A HLK. 

go^H* iPCSvi I..®.) AAB£ jaFGL3~a£BC:.aLGH 

= A CED : aHLK ; f oJ^Kcb (S/i 4. «.) AJ3CDE : FGHKL 
,= A ABE : FQL. Sim ift (6, 1 9. (S.) A ABE : a FG L 

as 3 <AB : FG). §o(ali<^ ifk w<b ABCDE j FGHKL = 

»CAB:FG). ^ 

•^4 2J«# 



t.20: 







:AECD:aLHK; 
=AABE:aFGL 



Um (tfktn facile tie tpoiigtf 

A ABE : A FGL = a i^BE : 
GL) = aEBC;aLGH; 
unt> A EEC : a LGH = 

fl,(CE:HL)=:AECD:A 
LHK. goljjii*ifi(5,ii.®.) 

AABFcaFGL=aEBC:aLGH: 

f«>l0»«^ (5/ 1 2. 0.) ABCDE ; FGHKL 
== 2 (AB:FG). 

! ^ ^ auf tim iit Set emxifen I&$t« M ^ie Sec^^ 
fiif &l^n(td[>er merfdtigee Stgurat tai 3'>'>^<'<^< ^(<^ f^^Hu 
nil i^fftr gl^ctmaniigfn @flten i^, »v3) tbtn ^fieibe otid^ 
(6, 1 9. ®.> oon Sciangeht (nviefm toecten : fo i^ aUgenieiti ^ 
b(e S^ecl^Uqtg hfyxli^tt tttatAm^tt Stgurett bad 3i»ie< 

S»*9t«f3ttfa|. 

9ttmmt man (6, ii. 0.) )» AB, FG^ Me tritte ^^copvtw 
ttonailtnie O: f» i^ (s; lo. «.) AB- : O = a (AB : FG). 
JDd dber ik fkt^iitni^ einee getdMtnigm St^ur oiif AB, 
)tt bee i^t &^nli(bm tinb &^n(idb Qe^enbett auf FG, ba< 
Swtefae^ bee Sec^&(tntg bet AB ju FG Ht, fo folgt: bof, 
mnn br^ getabe £tnten AB; FG, o, i>topotttoitttt^'^nb; 
btc erfle AB jut btitten O fl(^ bec^fte ^ n>te etne ^etaV&f 
tttge gt^ut ouf be? et^en AB , ju bet t^t &l^n(i(l^tt ui^ 
pinlidf (itgtnben ouf bet jtiMpten FG. ^ 

©ft ai* ®<lfv le^tfaf/ 

^{e eittet unb betfefben $tgut ^ C; &^n(t(^en gerablU 
tttgen ^iuuttf A^ B; ftnbau^ einanbet hfjniid). 

^2)a toegen bet ffel^nfidbfeit (6^ i« SO bte gigureit A, C, 
iwotjl, alibie gtauren B, C, steic^winHig/ unb i^re &w 

teiv 



; ' 



mt^mi ^v4r 



ill. 




Kit, wtti^ uvi^fi^0t ®mM 
lies^eitV pcoporfioiiitt fitib: fo 
ftnb au^ i)ie ^iciuceh^ A/ 6^ (i^ 

I. 00 gleicfeibinf Us >' unt (5, - 

II. eL) i^re ©eiteif/ rpcld&j? um 
g!ei(*e ffiinW liegen, propw^ 
tionirt; fo(fl(ic& (6; i.@0 bie$igttr^ A; B, monber api^^. ' 

* 

feinb biei: 9««b< ttnieit; AB, CD, EF, GH, ptepor* 
donict: fo ftnb bte auf biettfelben a^n(tc^ bef(f)rtebcnfn 
i^nfic^ getabttntgeti Slgutcit/ KAB, LCD, MF, nM^, 
ou^ pci>|>otttonttt. Unb.ftnb bte auf t»i<r geicaben 14nt<n/ 
A'b; CD, EF,t3H,'i^K^ 6<f^c6enen a^nfl4)cn gctab*. 
(tntgeit ^iguten , KAB, LCD, MF, NH, ptropotfiohitt : 
fo ftnb fo((^e toiec $tta\>t SittMit <itt(i^ ptopottioittrt. 

, •fff»AB:CD:bXFt 
OH. 9hitt ftt(^ ntdn (6, 
11.0.^ in AB/ CD, bi« 
bdtte O, uttb iVk EF# GH, 
bjc btitte P. $o(«(i(& i^ 
(5, 11. ®.)CD:0 = 
GHiP,fol8tt*(5,»a.e.) 

' cm ^mn <6let^it AB : 
0=EF:P.  ghmijt(6, 
ao. ^f. 2.) AB : O = 
A KAB : A LCD , unb 
EFiP=MF:NH.Sol8« 
lt*l»(5/»i.<S.)AKAB 
:ALCD=rMF:NH. 

' @« (49 A KAB : A LCD = MF : NH, Shut f<9 
(6, 1 a, ©.) AB : CD= EF : QR , tjnb ><in< %im SR «»* 

l> 5 QR- 






I * 



us 



'Lif. 



^imtnti 




¥ 

t<i§ dlfo na<(> beat ecfttn 
S&<tfeAKAB:ALC6 = 

MF:SR. Solglu^i^Cs, 
ir.«,) MF:SR=iMF 

SR=sNH. Stun t|t> ttetl 

MFOiSR unb fV NH,e 

flttc^ (6, 21, @.) SRru 

NH. So(<|(t(& tft (foldeiu 

tet ee^nfoft) QR=GH, 

folgli*, »eUAB:a)=EF:QR, au(^C5,7,«.)AB?Ca 

s=EF:GH. 

2 « M f « f . * 
£)a| aSct in gletci^en nnb &^h(t(^en ^tgureit; SR^ NH, 
aud^ bie dletc^namtdett' @ett(tt^ QR, GH, dfetc^ fAit>, 
witbfo 6etotefm:  

©a SR fcer NH g((i(( unb i^nK*': fo j|l QHrOSsj- 
GHtGN, obcc (5, 16. 0.) ©etwecfefcU QR:GH = 
iS : GN. ffiSrcn nmi QR, GH/ ungleic^ , etwa QR > 
[H, folgli* ou* QS >G>J: fo ttite (6, io. @.) SR> 
NH/ tvdc^ej bem Sngenommemn SR=:NH toiktfpci^t. 
^olgHc^ (innen QR, GH, nic^t ungki^ \v^, un^ ftnb aff» 

r 

©te ©erl^&ltnig gleic^tcmHiger ^araflelogromme, AC, 
CF, tjl au8 ben ©cc^atmiffen \\u% ©eitert, BC:CG, 
DC:CE, jujammengefelt 

t (8« fep BCD=ECG> tinb BC, CG, in getabcc ?inie an 
dnanbii; gelegt: fo ftnb (i, 14* @0 aucb DC; CE, in gero^ 
Wr tinie«. fEtotjenbe ba» ^raSelodtemm DG. Sliimmt 

man 



•• 



, » 



i&^m^^i^K t3j 



tfidi mm itinHbr' ibut ^edte 

8tme K, mi nwc^t (6, n. ©<) 'r" 

■BC:CG=K:L, f«n«DC / 

:CE = L:M;f()tft(6»5.«0 B^ 
K:M=(KtL)+(L:M)= jr 

(BCtCG) + (DC:CE). gian t.- 

ifVX6, 1, e.) A(i:CH=BC /4- 



r— ^ 




. *> 



:CG=K:L, ut* CH:CF E < P 

rrDC:CE=:L:MA unb ba^ (5, aa^ €5.) a«Ks btm 
<BIei4>en AC :XF = K : M. %ci^jm ifr (5/ 1 1. «•>. 
AC ; CF = (BC : CG) + (DC : CE). 

-// JDer 24, €5o|. le^rfa|^ 
3r jebem ^Jaraflefojramme, ABCD^ ftnb bte urn bie 

^tagortafe, AC^ Jttcgeitben ^Jatallelogrammei ECj, HK^^ 

bem ganjen ^ iinb emanbet aj^tiHc^ 

2)<^ GF bet DC pawttd : fo A E -r 

ifi(i,2 9.0O AQFrrADC, 

APe=: ACD, DAC=:DAC; <3j 

bemiid(^ A ACD bem A^ AGF 

|ld<6minflig» 0hin t|t au$ gleti; 

<|?en ©cAnbcn AABC bem A 

AEF gkicbiDinnig. gotgficb ijt 

bjfl« fjarattdogramm ABCD bem 

^otaDelogramme EG gleic^tolnflis / aui^ (6, 4* ® AD : DC 

=AG:pF,unb CB:BA=FE:EA; fernet DC:CA=:. 

GF:FA, unb AC:CB=AF:FE; folglic^ (5/ 22. 6.) 

au» »em (Sleicbffi DC J CB=rGF:FE, 

Snbltc^ ift 4ucb/ tpegen bet ^ataKeainien EF^ BC, unlf 

6F. DC, (6, 2. @0 BE:EA = CF:FA, unb CF:FA=: 

DG:GA; folgli* (5, it. ©0 BE:EA=DG:GA; fofg^ 

fic& (5/ 18. ®0 rerbuii&eit BA:AE=:DA:AG, unb 

-(5, 1 6. ®0 t)erwecbfe(t BA : AD = AE : AG. 

2)emnacb finb in ben gleicbtoinffigen f^at^iOetogtammeit 
A?CD, EG, bie 6eiten urn bi^ gfeic^ SSinfel pto|W>feiD5 
nirt^ felftli* ift (6^ I. €0 ABCp f\} EG* Sttun ijt au« 




« 
* 



136 €it(Kb'«^SbiMiiibe ^ 

S^r jfcep gegefcene 3<j^fert; AB, CD, »efc^e nic^t 
g>rimja^(en ju einatifter fin&, ta6 9t6pte gemeitte SKaaf 
^ju fmben. 

Stfler Salf- ' ' 

®ettn wn ben gegcftenen gaj^len bie 
Htmte CD, bie grogerc AB genau miff 
fet: fo ift fie, weil fff au* ^\d> fefbfl 
innTet / ein gemeine^ ^aa^ i»en be^ben ; 
offenbar abet du0 ba« gtb§te / mii hm §r(f ere B<^&I ^ 
CD meffcn f anm ^ 

* Sweater SatL 



A 

C 



B 



« * *  



D 



A 

C 
G 



* « 4 * 



« * 



F . • . . I) 



Iffienn i»m ben gedebeiten 3<k|^^ 
ten tie HeineteCDi biegtbletf AB/ 
nid^t genau mtiTet, tinb man nimtnt 
iai ftleinere bom ®ir66ern immer 
loeg , bii ein SReft fommt/ toelcber 
bie nicfefte 3aftl t>or i^m genau miffet: fo ifl btefer 3tf jl ba< 
gi?66te gemetne 9Saa§ ber gegebenen 3<J&'en AB/ CD* 

^enit ba AB , Cp , ni^t ^vimiat^kw in einanber (tnb : fo 
fdnn obgebacbter Sleft (j,i. Q.) md^t bie din^eit fepn, tinb 
ift iiffo etne ^af)L {Run laffe AB oon CD gemefen }um 9te^ 
^e aE < CD ; un^ CD oon AE gcmejfen jum 9lefte bie 3a§| 
OF, melcbe bie nicbfte poc it)v AE genau meffe* 

2)a ^ierna* CF bie AE, unb AE bie DF mi§t: fo mifs 

fet CF bie DF, a&ec au* fi* felbft, folgJict) bie ^anje CD* 

.©a fernec CF bie CD, unb CD bie BE miffet: fo mijfet CF 

bie BE/ abei? «ucb bie EA, folgltcb bie ganje AB* 10em$ 

nac^ Ift CF ba« gemcine ^aa^ becAB, CD. 

• SEDace nun CF nid^t tf^t gt:6§ted gemeine^ Wlaa^t fo fp? 
f# G > CF. 2)a G bie CD/ unb CD bie BE miffet: fo 
miffet G bie BE, abet oucb bie ganje AB, fofglieb ben SRtfl 
AE* 2>a fcrnec G bie AE, unb AE bje DF miffet: fo 
miifet G bie DFi obet au(i bie ganje CD, fcfglicb ben 



? 



— T' 



• 






itacb merben AB^ CD/ i^on (eincr dt6§een B^^^I at« CF ge^ 
tneffeny ttnb tfk dfd' CF ibat groite aeoieine SRaa§ W 
AB, CD. 

^|)ietaul er^fOet^ tag eine 3a^I/ tpeld^e |mep Ba^Ietr mif^ 
frt, att<^ )>a« dt66te gemeine SRoag becfelben mefie* 

Si\r br<9 jiegebenc 3<*fet^tt A, B, C, tt>rfc^e ntc^t ^tint^ 
ja^Ien gu einanber ftnb, bad dr6|te gemfine 9}?aa0 jtl 
f itbert* * 

gSan ne^me (7, a* ®0 ffit A unb B l)a« gcSfte gemejnc 
.9laa§ D : fo miffet D entmebet^ auc^.C; obec nic^t 

'• Stjler SaU. 



A 8 B 6 C 4 

D 2 E'~ . * 



W^ti D auc& C: fp t^ D ba« 
gc66te ge^ddne 9Raa§ bet A; 6/ C. 

S)enn D ift offenbat il^ gemeinf ^ 
9[Raa§/ ® &i:e e< ntin mc^t ba$ gt6g^ 
tC/ fcuibern eine anbete 3a^( E > D: fo mftfite E, t9ei( 
fte.A.B/ miiTet/ (7/ a*'3ttf0 att<& beten gt6§ted gemetnef 
SRaaS D mefTeit/ ioelc()e0/ toetl E>D/ unmogIi<& ifl« 
^emnac^ toecben A/ B^ C/ ton fetner gi:6§etn 3a^ a«D 
^emeff^n/ unb ift alf0 D ba< gr&lte gemeine SRaafi bee 
A/ B/ C* 

gweptet Sa(f. . , 

Sftifiet abet Domett du6 C/ 

iinb.man nimmt (7^2,€50ffc:D, A ig B ra C 4 

C/ ifai ftr6§te gemeine ?Kaa§ E : ^ ^ ^ p 

fo Jft biefe« ba« gtfegte gemeine ^ ^ * 
SWaag bee A, B/ C 

S>enn ba A/ B/ C, nic^t f^rimto^fen ku etnaober ffnb, 

alfo poa icjjenb einet 3<^&' gemeffen roerben: fo roiifet btefe 



if« 9iil^'mkmtm 



t 

f 



A 18 B I* C 4. 

n 6 E ? F^ 



9^ (7/ ^* 3«f0 ^tt<& ^ie D ati 
ha$ sr6ite ^^meiite iWoag bcr A^ 
S; af>e« du<& bie G; fd^Rc^ D 
tint C* X)emna(^ (tnb D/ Q (eu 
ti^ ^imia^Ien ju einant^/ unb ^dM (7/t 3« ®0 ein ^h^ 

2)a £ bie D, unb D bie A^ B;, miijp^.' fb mifTet E bie A^ 
Bf abet au4) bie C , f olglic^ A; B/ C^ imb ift aifo ein gemeine^ 
9icia% biefec brep^ Sa^leii 

^hte mti E nicbt i()c 0c6gte< gemeined Sl^aagt fo^fe^ e« 
F>E. t>a F bie A, B, miffet, fo niiffet pe (7, a, 3mQ 
beren ixh^ui gemcined Wl<ia^ D , abcr aucb C^ f ofgtic^ (7^ 
«. 3»f0 tec D; C, 9c66te« ^emeine* SRaag E^ mi^^, »eil 
F>E, w.m6gfi.<& ifu 2)emna(t) njccben. A,. B^ Q bon fei^ 
ner flc66ecn ga^t al« E flemcjfen, unb i|l alfb E \>ai gci^te 
gemeine SRaag bet A, %,C^ 

t)iewu* et^ette^ b)fl§ eine 3a^I, wetcfee btey So^feti m^^ 
(itf , ouc() ba^ gt&§te gemeioe SXoofi betfelben meffe.^ ^ 

SIujC^ etfle^t man/ bag ntan f'fit me^ete Soften ba^ ^ti^fk 
te gemekie SRaag auf eben bie Ktt jinbe^ 

Sruc^ jebw 9c6g«rtj| A. . 



\ 



U 



eHnb bie be9ben ^a^fen ^ttin)a^len stt 
dntttbet/ unb man jetiegt BC in i^te Qhn 
i^eiten: fo ifl (7/ tL. ®.) jebe (Stn^eie bet 
BC ein S^eif bet A, folgfic^ ent^ait BC, 
St^eile bet A, unb i^ atfi» (7/ 4« 90 ein 8tu(( bet A 



A* - 

B « * 4 • « C 



3»ef 



F 



/ 



OiiMtttcl WM^ 



•n 



Sweater %aM . 

• 



A 

_ w^ 

JS * « • •' W 



A ' 

/ • 



SSDirb A i>on 6C genau demefTen: fo ifl 
C?i 3- ea BC ein 5()eil b€C A» 

SBitt ^ingegen A nic^t ton BC ge^ 
tnejfen: fo ne^me man (7, a.0.) &cp? 
^er 8(&§te^ geineitied !0)aag D , .unb* 
jcriegeBC in il^ce tec D gteicj^cij^cikv 
BE, EF,' FC^ S)a D tie A miffet : fo 

if* (7/ 3* @-) D, foJgficJ)' aii(^ K'b^ ^^^^ 

BE, CF, FC, ein S^cif Uv A. ^mnad> entl^to BC H^eife 

bet A I unt i^ olfo (7, 4« @0 rin ©ruc^ bee A. 

£F; etna;Ie9 $|etl: fo ifl aucf) bte @umtne bee ttftta, 
A+D, t>on bet @umme bet anbecn, BC+EF, bet 

. A ifk Don BC tin fo{<be? Sl^eit/ atd 
B ooH £F. ®o btele bee A giei^e 
Sf)eiie otfo'tn 6Q fo t>ieU bee D ileU 

, <be ^^C(l< ft*^ i* l^* 3et(e^t man 
tafin BC in bie bee A ^Iti^ntfieik 
BG/ GC ; unb EF in bie bet D gW* 
<ben J^ciJe EH, HF: fo ftnb jenw fo 
«ie(e, ali biefer. Shin i^ BG = A/ unb EH = D, o(^ 
liG + EH = A 4- D; obec avt bcnfdben @t&nben a«<^ 
GC + HF ^ A + D. Solglift) i» mk bee A al«<be t^eifc 

. in BC ftnb, fo ftieie bet A+D ^jleicbe %f^iik fmb inBC+^F. 
^0 oie(fa(b bemnacb BC opn A i(k, eben fo Vtelfocb i^ 60 
+EF »oo A+D; foIg(i(b ift A +P berfelbe ^t\l oon BC 
+ EFj, m A 9on £C, obet D oon £F. 

5Det 



A • • • 

B • • • G • •'', G 



» *- 

4 



<w» 



€Mllfo'$ fifofwitfe 



A « • • \X * • • 

c, 



@tttb jm<9 3<^^f^«/ AB, DE; Wtt jttjci^it «ttb«rtt> C, 
.F, tlnctUt) SSni^: fo ijl a«d^ bic ©ttmme ber ct^e«^ 
AB + DE, b^tt bcr ©umme ber anbern, C + F, bt^ 
, ttiMic^eSSpud). 

AB tft wn C etn folc^er Scu^^/ 
<i(| DE t»on F. ®o mk%t)^ik ber 
C olfo in AB/ fo tiete et>et^folc^et 
^ -^^eUe ton F finb in DE* Seriegt 
man ba^er AB in AG, GB/dU!l^et^ 
le bee C, unb DE in DH, HE, oW 
J^eile bee F : fo finb biefer fo oieie, 

toU jener* Stun if^ AG ton C etn fofa^et Zf)eil, M DH 
ton F, alfo (7, 5* @0 AG+DH ein fol*er :i^eil ton C 
+ F, aW AG ton C; abec ani e^en ben ©runben GB + 
HE, ein foicbeta^ ton C+F, <Ai GB to« C goig^^ 
licb ent^alt AB + D£ btefe({^en itb^ile, ober ift betfei^e 9t:u<6 

^ ton C + F, aW AB ton C , obec DE ton F* 

3fl eine 3«6Ir AB, i»oit «w«: aobem, CD, ein fotc^ia? 
$^eti, a(d ia6 ^eggenommene, A£, bom ^e$genotnme< 
mn, CF; (o ifl aud) ber 9le(l, EB, bom 3lej!«, FD> etn 
folc^ei: 3;^<ll, afo t>a« ©anae, AB, bom ©atijen, CD, 

<S«|«eine3a^{CG ' v? u 

A«t*t£*«4ii 



fo, baS AE, EB, ton 
CF,caelneri«XI>«l 

'pnb:fotft(7/5.®0 

• AB ton FG ein fplcbet? tf)^Uf aii AE ton CF, obec att AB 
ton CD; folglicb AB to« FG unb CD einetlej J^eilj folg^ 
ticb FG5=:CD, fotglicb/ wenn man CF weflnimmt, CG =: 
FD» 2)emnacb ifl becSReji E^ torn SRefieFD ein folcbet 5^etl^ 
ai« AE ton CF; obec a» ba$ @anje j\B torn ®an§en CD» 



^er 



C ...F ;d 

G ...... M «• K N . . H' 



©<T 8. ®ai ic^tfol. 

3ft «ne 3a^f / AB, toon einet on2)crn , CD, ein fotd()et 
SBruc^/ ot« bas SOBcggenommcne, AE, tcm SBegctenom* 
menen, CF: fo i(l aud^ bet Stefl, EB, toomfHefte, FD, ein^ 
folder ?btwS), ttfe tad (Uanie, AB, bom ©aitint, CD. 

@ege eitie Ba^ 
GH=AB;<«entJ 
^ait GH Don CD 
J>i«fe«)«n:i^eile,al«, 
AE »on CF. 3ec- I 
tegt ina».alfo GH in GK, KH, a\i tS)tiU bit CD, «i* AE 
in AL; LE/aM S^eiJe bep CFj fo finb Wefet $^eik fo t>i<U, 
di jenet. 

S>« GK ©on CD eift fol^ec S^il Ift, dl« AL wn CF; . 
cUt CD>CF: fo ift a«* GK>AL. Sftimmt man nun 
GM=sAL* fo i|lt GK eon CD ein foitljet 2^eil, oW GM 
©on CF; folgll* (7, 7. 0.) ^ec !Re^ KlK oom fRefte FD 
ctn fotdKC $^eUr di ^ie ^a*^ GK coft ter gangen CD. " / 

SDa femec KH ton CD eiff fo(<$er t^etf ift, aii LE tton ' 
CF ; abet CD > CF : fo ifi au* KH> LE. 9?immt man - 
iw»KN=^LE: fo Ijt KH ein fol*e« $5eil t>on CD, ait 

KN »ort CF; folgli* (7, 7- ©•) N*^ *»n F^ ««« fol4>»r' 
^eil, aWKHoonCD. 

©eninact* mt^&t MK + NH oo^FD Wefel6en $^ile,' 
oii GH wn CD. fSim ifi MK + NHrtrpB, niift GH 
=!: AB. S61^<4> ent^&It'bec ateft E6 Am bie^ibtn $^et(e, 
o^er ift betfelbe ^co(^ toom Stefie FD^ a(i M Qtonje AB 
wm ®attiett CD. , 



3^ etite3<i|t/ A/ to^n etti<« onbertt/ BC^ b«cf<(^$^ei(/ 
ofe einc btttte, D, toon einer totefcten, £F : fo i^ aue^ »et* 



^ • f 



C4ll 



€ufUb'4 ^immt^ 



/V • • * * ' 

15 •  • » Vl » » » » V^ 

EM \ 1? 



fyBe tkti\ 6ber berfeft^ S8ru<^/afe bte iwe^te^ BC, wn 

/ A ifl ein fofc&er il^cit loon BC; 
^i D fton EF/ unb e* fc9 A<D. 
^0 frieU bet A gleic&e S^eile alfo 
in BC, fi6 t)ieU bei: D gleidtjen it^clle 
(tnb in EF^ %ttU^x man ba^ec 
BC in We bet Agleid^enJ^eile, BG» 
CjC , ttitb EF in bie bee D gleicbeni 
J^eite, EH, HF: fo finb biefei: J^effe fo tiele al« jenee* 
2)a alfo BG=GC, unb EH=HF: fo tjt BG oon EH . 
entttjebet berfelbe %t)vX, obet betfdfce SBtuc^, at« CC Dort * 
HF. golglicb ijl(7, 5- 6. @0 BC ton EF enttoebec ber* 
felbe ?^eil/ ober berfelbe 85uu<^^ aW BG ijon EH, obtt 
aid A t^on D. 

> 

Sil tine 3<J^tf AB/bon efttet* anbetn, C^ betfetfet 
S5md^, ate einebrttrt^ BE; bon einerbtcrteti^ F: ft) tjt 
auc^ t>erw)ecljfelt bte er jle, AB,:bon bet btitten, DE^ cnt^ 
it^eber betfelbe !$^t{ eber berfetbe J&mc^^ aid bie jti^e^li^ 
C, bon ber biertert; F% . 

AB ent^&It t>on C biefelben 
ft&eile; aW DE »on F^ urtb es 
fe? AB< DE. Seriegt man alfi> 
AB in AG, GB, aid S&eile bee C, 
imb DE tnDH, HE, aW U()etfe 
bee Ft fo finb biefec fo Diefe, M 
jenee. t>a alfo AG oon C bee? 
fel&e ij^il, aid DH oon F: ^ ift.(7, 9. (y.)'t?erwecb(efe 
AG oon^DH eiUroeber berfelbe J^eil, ober betfefbe^^me^^ 
aid C Don F» giun ift aud gtelAen ©rimbcn GB DOn HE 
entmcbec becfelbe S^ejl, obec berfelbe Srucb, aid C t)On F* 
golglit^ ift (7y 5, 6» ®,) AB oon DE entmebee^ecfelbe,$&*il> 



A » . (j . . B 

V> V  » 4 •  

U i» ^ « • » flL » 4 ^ 4  JCk 



* * 



J • 



€>i<^fiiird -^ut^ 



Hs 






HE, ptec ol« C ton F. 

ISer^Jift jtc^ boB ©anje, AB^ jum ©dnjeii; CD, xtAt' 
'bag aCBeggenoriMwene^ aE^ jnm SBegaenomimnen , CF: 
 . fo terfealt fic^ aw^ D^rSlefly EB/ jumSlejle^FD, »te bo* 
d^onie, AB^ jum ©anjcn, Cl>. 

SDa AB : CD>^ AE i CF; fo ift 
(7, 2o/@0 AB ton CD bevfelbe 
$f)«U^ obet betfcltc 85cu(^/ aW AE 
ton CF ; f ofgft* (7, 7. 8- ®0 ««<* | 
EB ton FD b^rfclb^ J^ell, obec ber<>15^ fetu(!^; nl« AB 
ton CIX gofglic^ tjt <;7, ao. (SO AB.*GDt=EB;Fa 

- ®iiifc mi^me S^^jfen^ A^ B^ C, D^ wtporttonirti fb 
toer^alten fid; oUe ^ocbcrgtiebet , A + C, ju eiUen J^mter? 
gliebcro, B+D, wc cin SQfotbcrafieb, A/ ju «iiicw J^in^ 
tergtube, B» 

, S>a A:B = C:D5 fo ift (7^ 40, g.) A 
t«n B ein fotcber S^it obet 83cucb^ dd G 
, »on D ; folgU* (7/ 5* 6- ^^ «w* A + C 
ton B+D tecfelbe H^eil obcc S3ru$, <it^ A 
t>oaB, folsil*(7/aOv«0 A+C:B + D=A:B. 

S)er 13^ 0o|.  (e^rfal- 

^int bUt S^l^frtt, A^ fe, C, D, propottiimift? ^ f{ii^ 
fie auc^ perwecbfelt proportiontrt. 

, Da ArBifzrGjD; ,fo ift {^y aov (?.) A 
von B etn folc&^c ^l^eU obet S3rucb^ all C 
ton D, folgltcb au<i (7/ 9. ID. ®0 tJtt^ 
tx^ecbfelt A tort.C-eln ^Ic^t: S^cii obet 
IBnic^/ a« B ttn D/fof0li(|^ (7, 90v (SO AtC^acBiD. 



' •< 



s. 



■* J 



A 2 
B3 



C 4 
D 6 



A 1 
B J 



C 6 
t) 9 



{Dee 



/ 



. /• 



%vitl\Vi &tmtntt 

> , 

@inb me^tete Sa^fen, A, B, C^ mit iUn fo titkn ant 
been, D, E. "F, ^eot^ntt ptopottmitti fo {tnb fte atte 
^m (Sltiaten 4ptt>9ottionitu 

©a (5-/ 19. @.) A : B == D : E^ «nb 
B:C=r E:F; fo ift (7, 13. (^.) vnvotdglf 
feItA:D=B:E, unb B:£=C:F, folfls 
m (5/ II. 00 A:D=C:F, fo(3tt(^ Vtt* 
«>e*jefa;A:C = D:F. 



A 9 
B 6 

c a 



D 6 
E 4, 
F • 



^{Tet bte ©R^ett, A^ einc ^aff, BC^ ttnb bit 
3a^(, D, cine cmbew, EF,; nad) mnUr) S^*^^* f* 
miftet oertoec^le bte ©nl^ett/ A^ bte brttte ^a^i, B, 
unb bte ime^te^ BC; biebiette^ EF; au«^ noc^ ^ineric^ 

Za A in BC fo t>ie(m«( ati D in EF^ 
unb man }et(egt BC in i^ce @in^eiten 
BG, GH, HC, unb EF in i^te bet D 
dlei<*en J^eitt EK, KL, LF: fo jinb 
btefer fo t>ie(e , cAi jenec , dueb if^ BG 
: EK= GH:KL =r HC : LF, foigli* E . . K . . L , . P 
(7, i4.(S.)BC:EF=BG:EK. gftun 
ijl BG = A, unb EK = D. Demnacb iji BC : EF = 
A : D. ^ofdiicb miiTet (7/ ao. IS.) A bie D unb BC bttE0' 

^enn bon jtoe^en ^afiledf A, %, \t\n bte Aitbe(« 
bevbielfMtidtt fo flnb bte^dbucte; C, D, iUi^, 



A, 
B.G.H.C 

E i « K * 4 L 4 , 



it* 



©a C = A . B : fo' ift (7, 1 5. €.) ^ie ©m 
^it £ con A ein foi(6ec zi)til ,. ali fi oon Q 
fc>lfli«<* (7/- 1 5* ®) 1 Wn B cin fot*«t jj^eil, 
fll^A *on C, , SRun ijt, n>dl D=:B;. A, oud 
gfdcfech ©nlntien Eebti B ein fol^JW J0<il/ 1 
«(« A t>oRD.. Sold^tc^ i^ A t>oti C tint)' D dnn(e^ 
toJgli* 0=0. ' 



•£t 

A a ' B3 




»« 



i . •- 



SOB^Jtn «ne ga^/ A, jtt>«|> artbere 3«%!«t, B^ Cr •«:* 

teme(fatt9teii34I«,;B, C. 

2>aD=:A.B: fp t^ bie (Sinj^ett F Mn A 

ein Solibn ^iftii f <ii« 6 von D; M4) (7, 

»o. @.) F : A =± B : 1>. • SRun iMu« fl|!ci4»n 

• «!*«|)ieii:F : A. =^ C ;;E. , ^ffglM) # (5, 

j-iv @0 B :.D s=i.'C: £ ; folgli* ,(7,, 1 3* ®.) 



Fi " 
As 

06 E8 






. 505enh jtwe^ 3<J^'«ttf A, B, etne ititte, C, toetbtcffSftts 
9«n: fo*fi:^oltctt fid) bie ^'tobucte, D, E, wte bic toetbielf 

2)a D=:A.Crf)0 iji (7, 16. @4 w* 
D = C .A. 0lun ifteben fo E= C . B. golg- 
Ii(J ifl(7, 17. ©.)'A:B=:D:iE. 



A3 B4 

DI6 E| 



^ '@titb tner 3^^^"'/ ^ % ^/ ^1 Pf*>PW^i>tttit ; fo; tljl 
bod gjrobuct mi ben hx^nta ^ A . D ^ tern ^cbucee twW 
ben mittfetn / B . C , gletc^. ttnb ifl tai ^xtit>yx(t cmi 
ben hx%ixn, A . D, itm. ^robuctr and beii nitttfertr, B . C^. 
^bk^: fo fmb bte )>iet:3^(«n^ A,B^fG,0, pcepocttenftt. 



ffutU^'^ <Slm. 1 s ^ilc&;r. 



$ 



/. 



^{fer 



t * 



I4« 



fbxf&Vi (SUmeme 



, @|fe9 A:B=C:T>, onb 
A.DrrE; B.CirF: \t> i% 
'^% itgw A . C = G f«5V 



A6 'B4 Cj Dsi 

Eia Fj» Gig 



< 



f 7, 17.0.) G:E = C:D 

imbt7;ii^*®JA':B = G:F; fofflK* C5/.ii.60 0:6 

ssGrF, f»(ali<^(5. 9.0OE=F. " 

'4 5««'|f| A.'D = B . C, oDer, lUU^ wcl^«c €onfi«ft«aoiv 
RtS5 F; f» ifk tDkbenim C : D ;= G : E, wi^ A : B ra 
G:F, aJfo otu^ A:B=G:E, fftl«l«$.(5».ii. S.).A:B 
= C;P. . 



i. J 



/' 



|Jaburta«d'fce«4t»fetti/ A.'C, 6<c^Qiiafet<<itjo^ Met 
tnitttem/ B*, gUit^ Unb <fl bo* gJtdb»« a(i» b«ii 
Sugettt, A . C, bet fiuabtatja^f bee mttrtccn, B% gWc^: 
'fo ^n> bk b«9 3<*^^^ A, B,C, ptepoclienirt* 



» %- 



A 9 B 6 






*' ^ (g« f<9 A : B t=i B t C , unb raOtt fV|« 
B q?: Dt fo ifi Ott* A : B :;:= D : C^ 
folgiicb ^7, 19. ®.) A. C = B . D, abet 
B.D==B% fo(8(i{^A.Ci=:B». 

$4 f(9 A»?Ci=:B^ oJet, «a<l »otiifee"eon|h;ttett6tt^ 
A.C=B.D: foijklot^OiH A:B==I>:C^ o^Bss/), 
f^igB(^ A:Bs=B:C . 

I>t« ffeinjlen ga^Iett, CD, EF^ in einer l8n;^o((ttt#^ 
' meffen «nbm 3«6i[«n / A, B, welc^c bicf<(b« ?8erl§6Jtm| 






' s 



* ' 



1^6en, itac^ etnerfet^ ^a^f, bie «t!^ger^, Cp, bie 5t6|«rf, 
-A, uiib bie fleincre, EF, bie flcinete, B. 

2)ie ga^l CD ifi (7/4. ©0 <?nt»ebcc 
fin ?f>eil ebee ein ©cuc^ Don ber 3<*^f 
A» @efe|t e< tpare ba^ legtere: fo tra? 
re (7/ ao* (?.)' CD Don A ein folcbec 

SBrudb/ aB EF Don B* S^^^St^ "^^^ 
alfo CD in CG, GD^ o(« 2^eHc ber A, 
iinb £F in EH, HF, aM S&eile bcc B: 
fo' woren biefcr fo \Mi, oM jencc, unb e§ noate C(5 rrrGD^ \ 
iinb EH = HF, A(fo CG : EH = GD : HR %^\%X\^ 
ipire (7, 1 2. 6J CD : EF = CG : EH. 2)emnac(> »&/ 
fen in bci;felben 83er^&(tni§ poc^ Hetnere B^i'S)!^ ^G/ EH, 
qI^ CD/ EF, xoM^t bie Neinften finb. 2)d nun biefe^ uiM 
migK^ ift: fo fann CD fciniBruifc Don A fri;n^ unb ijl alfo 
<7, 4. ©0 ein J^eil Don A» ©etfelbe ?b*il ift alfo (7, ao.d.) 
iifi<^ EF Don B* Sofglit^ mifet CD bit A , iinb £F bie B^ 
ito^ einevlep ^iiQI* 



'A 

B ...... 

C . . . G . . D 

E..H.F 



s 



©tub mi^cte 3«^^"'; A, B, C, mtt e6<n fb tletei on« 
bctn D^ £^ F, 3(t(itettt ^top^rrionict : fo finb f{e «itt 
Oem <S(et<t)en propoctwnttt. 

J)a(5/ao.«0 A:B=E:F, unb B:C j A 6 D la 

=rD:Ej fo iji (7, 19.®.) A.F=B.E b 4 E « 

= C.D, fol8a4>(7, 19. ©0 A:C= ^ * 

D;F. Cj F< 



• « 



^rtmjal^len ju ftitanber^ A; B; ffnb bte t^^w^ wis 
fer aUeti3<}^^n^ toet^ie imt i^nen eipede^ S&er^km^ 



ft 3 



fdSren 






t4t 



eaiWi Slementf 



A 



B4^ 



A^ B5 



^B&ren A^ B, ni^ hit flciofleii in biefet 
Setl^a(tni§/ fonbeni/ too mbgUcft, flcinere 
C, D, brti alfo C : D = A : B; (0 miffet | .' 
(7, 2 1. ®.) C We A, unb D tie B, itacb ei^ 
netlep 3^^' ^* Solglic^ n)ivb auc|) £ bic 
A nacfe bee 3a^I C, unb E bic B nad& ber ga^f D meffei!. 
S)cmna(b t^ecben A, B, tugleicb t)on @inet ^t)l E a^mef^ 
fen, toelc^ed/ ba (k ^cimia^Ien )u elnanber finb, ntc^t mb^^ 
Ii<b tft Solglttb giebi e^ feine 3«^^i^>)/ bie fleinet al^ A, B, 
, ti>at(n/ un( e^ m&ffen A# B, bie fteinften in if)xtx fOfv^hlif 
piSfcpn. 

©er 24. ^a|* ie^rfaft. 

$>te fteinllen '^ai^lcn, A/B, imter alien ^ h)cf(§e mit 
i^nen dnerlc^SJerJ^altni^^aben, firib^rimiarjlen ju etn^ 
anbet* 

SB&ten A , B ^ n^c^t ^rimja^cu )u einam 
W; fo meffe ir^enb eine 3a^J, 'C, bie A, 
md^ D, unb bie B n«cb E. golglicb xoh ' 
te'C.D=:A, unb C.EmB, forgli* „D— E 
(7, 1 7» @.) D : E rr: A : B. ©enmacb tob t 
un m ber 83er^&|tm§ A:B notb fleinece 3a^eii D, E, ii>eU 
|be^ bem 9(ngenommenen tt)it)et(pcic^t. Sol^lic^ tinnen A, 
B, t?on feiner 3a^( gemeffen metben , uub fmb alfo ^irpio^f 
len iu einanbev. 

@{nb Jtt^ep Sa^ten, A; B, ^Jrimiol^f^" i" einanber: fo 
tflbie gay, C, n>eld)e eine toon be^ben,' A, miffet, eine 
^rimja^ ju ber anbern ; B; 

© aren B , C , nicj^t ^riniiab'^^ J* eiitJ 
anber : fo tourten fie Don einec ^afyl D ge* 
meffen* 25a alfo D tie C , nnb C bie A 
miffet: fo miffet aucb D bie A, aba: aucb 
bie B, fofgtic^ A nnb B, »e{c|)e$ (7, i2,@0 



A 6 B 
C 3 

D-r- 



timncg; 



\ 



< « 



»/ 



'^khtnm 35u(^; 



14^ 



unfiio^Iiel t^. XtemnoiCft ^aben B, C, teine Sa^l ium Qtmi* 
tun ^Mi<,- unb |inb dfp ^dmia^Ien ju einanW, 



■•r 



A* B3 

Cs 
D 6, 



C: foifl Qurf) ilf ^rojbuct^ D^ eitw ^^'^imjij^t ju ebert 
berfetbcn^ C, . 

SDaven C, D^ nic^t ^cimj^^kn ju einan^ 
bc«%» fo tpicbeu (J^ ooi> tmt 3«bl E 9«nef? 
Jfen, bafi a(fi> A, E^ (7, 25,®.) ^timjablen 
3u eiiiattbec toavcn, n>eil ei A, C, ftnb. Siun 
tneife E tie D noc^ bee $al)l F, ba^ alfd 
E^FrrD; folglicb wtnoge be$ anaenom^ 
^ menen E,F=A,B^ folglic^ (7, 19,®,) 
E : A =: B : F. giun finb E, A< ^ciniio^Ien jH cinanber^t affd 
(7, 23. @.) bie ficinften in folc^et a3erptrii§. ^pfglicb (7/ 
21. @.) miffetE bie B^ abet aucb bie^C^ fpljli* be^beR^ 
C, tt>el(b«** it)eM B* C* ^rimiobfeit ju einanbec finb, uft^ 
moglicb fft. S)emna£b Oaben C, D^ fdn gemeinee 3)?aa§, 
unb (inb alfo ^rimjaftlen ju einanber^ 

®inb iwep 3^2^?^/ A, B, ^rimja^(en ju einanber: fo 
ifl aud) ba$*0,uabrat; C^ bet? einen^ A^ eine 93^i«^j^^^ i^ 
bee anbetrt;- B* 

A a Hi 

C4 
0% 



@c^t man ^ =: D : fo finb autb D / B^. 
qjrimjoblcn.jw einanbet?| -folglicb A/ D, ^tim 
j(j^(en JU B, golglicb ift (7, 26. @0 A .D 
==: C> eine ^rim jal)( ja Bt 



* ^ 



(Sinb jwep 3^^^"/ A, B^ ju |cber y>m jwe^cn dnbern, 
C; D, gjcimjo^len : fo finb and) bie gJtobucce, E, F, mi 
ben erj?ern,wnb au3 ben le|tern, ^rimja^ilen ja einanben 

« 3 ' 2?a 



* * 



159 



fb^iVt 9Sitmmt 



\ 



£ 15 



B3 
D9 

F27 



. X)A A^ B/^timpfjkn %n C (tub: fo<(k 
<7/ 56* ©0 i^tr ^rcbuct E erne ^rimja^l ju 
C. 8u< eben ben ®r&nben ifk au<& £ eine 

f)nmial^len, f otgKc^ tf)f (7, 26. 60 aud^ i^c 
^trobuct F erne ^cimia^l jn £. 

(gtnb JW19 3^^^^"/ A; B, ^rtmja^fett ju etnanbec: fo 
ffnb auc^ i^re Onobtate; C^ D, be^gfcirf^en t^re SDBiSrfe^ 
E, F, tinb fc afle folgenbe ^robucte, tt>elci)c cntfle^en^ 
mtm man bic ju{c|t er^aftenen tmmet wiebet mtt ben if* 
flen 3«fe{^i^# A, B, bcrtief faltigt^ 9Jtimja^(en ju einanber^ 

SDa A^ B, ^rimia()Iert )u einanbcr ftnb, unb ^ ^ 
ji» =€: fo jinb (7, 27. €5.) Q B, ^Wm^ 
ia^Ien ju einahbec, foIgU(:^, »eit B'=:D, C 4 
(7; 27* SO nict)t nu^ A,D, fonbetn a\x^ C/ £ g 
P/ ^cimja^Ien ju cinanber. 

jDemnac^ finb A, C, ju jebet bee B, D, ^cimja^ten / f ofg^ 
lict> finb (7, 28- ©0 A*C=:E, unb B*D==:F, ^cimjo^ 
(en JU etnanber« 

©inb jwer) 3^^^^«/ AB, BG, gjrtmja^Ien ju etn^itbcrt 
fo ijl mi) beren @umme ju |ebet bon bepben etne ^rtm^ 
|a^I- Unb ifl bie @umme jme^ec 2at}Un f AB; EC, ju 
«n« toon 6e9ben etne93rtmia^f : fo ftnfe ftiefe ^^ben^al^j; 
tet/ AB; BC, 9^rtmja^(en ju einanber. 

€rfler tfeeif- 

(S^ fe^en AB, BC/ Vrim|a^(eit (u 
cmanbec. SBarm foI(te^ nun nid^t 
buc^ AC; AB: fo wutben fie ben 
einet 3^^! D gemcjfen* 2)iefe tt>utbe 
alfo au(^ ben Steft BC/ foIgUc^ iu$feid^ AB unb BC me^ 



A* 



* * D « *  y \i 

D — 



 . 



9ii^b«m ^4 



»5i 



c 



BS 



ftn, i»a^, totf A9/ BC^ ^n^o^Ierf |ft tin^n^et: ^/ 
6nin6glt(t ift* SDetnnac^ f)abm AC/ AB, fern gemdnc^ 
Sltaa^, unb ^'nb olfo/ au< gleic^en ®c&itbm (tt>er attcff AC# 
BC, ^cimja^Jeu lu . ewdnber* , :, "" 

9« fe^ AC / AB ; ^timickfjkn ju rinoftt^* .®4f m f(a|i 
^ti nun nic^t aut^ AB , BC : f9 »6rben fte oon etnet ^af)l 
D gemefTcn* £)ie{t t^dtbe ifffo dv4^ bte ®«mme AC / f o(gi 
(i(& }U9(etd& AC,. AB, meffen^ ttK(c^</ n>et( AC^ AB^fMm:^ 
io^len iUt etnanbet finb, unm6g(t(b ift. S>emnac& ^abeis 
AB, BC, fm $em(ine$ ^oaf/ uinb finb atf9 ^imjolflen }« 
einaifber* 

Sebe ^rhrtja^f, A^ ifl eme ^imja^t ju jjAof 3a^B| 
Itoefc^c nt(^t t>on i^r gemeffeti wirb* - . > 

SDciren A, B, ntc^t ^rintio^fen }tt emanber:^ 
fb tohUn fie t^on finer ^i)l C gemipfien, 
toeld^e olfo nit^t bte ^hi^t ^* S>emnd((^ 
iDttcbe B t)on C , abet mc^t ton A ^cmt^ti, j 
fbfj{icb ftnb C ^ A , tjetfc^iebene 3afylem fRufl mif t C bfe A 
Solglrt^ mfirbe A t>on einer ten i^c tevfe^iebenen ^cfjH C ge^ 
mefRrn , n>ef<be«, tteit A etne ^rimja^f, iimn60(t(j^ tft* jDeoi^ 
nad^ ^aben A, B, tm aemeiiȤ fKat^i imb fiob oifo 9^rtau 
|o^(cn }tt dnanber. 

SDBtrb ba« ^robuct, C, ani jweijen Sol^Ieti, A, B, tw» 
eifiet 93rtm jci^f^ D; gemeffe n : \o toxtt> biefe im^ eiiie bn 
h^Un ^a^Un ► A^ B, tnefTen. ^ 

WiffetDnic^tbieA: fofmb(7, 3i-60| Aa B6 
Uy A, ^mjo^cn jn einanber/ olfi^ (7/ > 

-»3. ©0 bie fleinften ga^Ien fti i^rer »et* ^ ^^ 

^^Hnif . 9}un n>erbe C ton D m^ bet D 3 E 4 
3a^ E ^geineffen, ba§ alfo 1>^E=: 0/ 

* ft 4 abet; 



r 



i 



152 



- / 






i> 



ttber m^ A .B i: C / unb bo^r (7, 1 9. ®.) 
D : A= B:E* golgli* wirt (7, 21.^.) 
1) bte B meffen. 

•Wiffet D nic^t bic B: fo betrfeifet mdn auf 
eben bie Htt , bdg D bie A meffe* - ©emnac^ 
ihHfn D etnc bci; br^ben 3«^ A, B; 



A 2 B6 
C12 

ft 

Dj^ E4 



A8 

B4 
€2 



. 3^t)^ iufammen$efc|te 3<^^t/ A, tDitb \)ort irg^nb eiiter 
^Jrimjay gcmeffen. 

2^a A eine {ufammengefelte B<^^( H^t : fo tDtcb {le 
l^on einet 3«f>^ B gemeffen. 3fr '^w'* ^'^f? B eine 
fJcioija^ : fo ifl bet ®a§ ftor* 3^' obet B eiwe 

Ittfatnmengefei^te 3^^1- f^ ^i^^ f^^ ^^^ einec 3^^! 
Cgemeffen, n>el4>e, »ej| B bie A miifet, aucb bic 
A meffen toirb. S^ luiti C eine $timio^( , fo ift bee @a( 
flat* 2^ Qber C ipiebetum eine )ufammengefe$te 3a^t : (0 
(oifen fid^ Dertg^.@cb(4fT( f ortfeien ^ bii man auf eine f^iinu 
|a^( fommt; n^efdb^ bie n&(bft^ 3"^^^ ^^^ i^^'/ fi^^gltcb auc^ 
bie A miffet- ^enn fame man nie auf eine ^tim/iai)!: foi 
i»fitbe A oon unenbti^ welen tmmci: fleiitem unb f leinnn 3a^^ 
ien gemejfen, n>et<b^« abet (7, 2.^50 bep "^a^t^ nicbt mog^ 
Ikb t^* S^ttfU^ >^^S ^<^)^ itgenb etnmal auf eine $t:intial^( 
fommen / toelc^e aUe t^ot^etge^enbe 3<^()(e\i , alfo c;^^ A, 
mejfentpirb* • 

(Kin anberer S5ei»etg. 

Unlet ben ^a^Un, melcbe bie iufammengefe|te 
3d^l A mejfen, fep B bie Wcinfte. SEBace; nun B 
Mtu iufammerfgefe^te 3<)^t fo mucbe fie t)on eihec 
3a^l C<B gemelfeu; n>e|cbe fplgljc^ aucb A miffet, 
fiegen ba< $(ngenommcne ^ ba§ Bfcbon ba^ fieinfte 
9^aa§ i^. S)ein"acb .fonn B feine iufamipcngefefte 3^^ 
-fepn ; urib ijt a(fo eine ^nrnja^C . 



A 9 
B3 



-t 



^iibtnUS S5uc^. 



^S3 



A5 B4 C| 



 Scb^Sf^fef, A, ifl entweber fc(6'fl eine ^rtmsd^t/obet 
toivt toon trgettb einec ^J^imja^l gemeffctt* 

£)enn A tft enttoeter eittte ^csmja^I / otcr eine ju^ 

fammetisefe^te 3^W/ ^^^^ w^''^'^ aWbann (7, 33. ©0 
ton irgcnb einer ^imiof)! geme{{!en« 

©ie flemflen ^af^Un ju ftnbcn ^ \x>dd)t mtt me^ern 
^egefcerten S^^fel^"/ A, B^ C^ emeilei) S)cr^&(tnig ^aben. 4 

\ ., grfier ^aff. ' " ; 

®iiib A, B, C, ^rimia^Ien ju cinan? 
Wr: >fb (tnb (le (7, 23. ®.) tie ffeinften 
in foIc()ee SBer^iltnii 

Sweater §alt. 

®inb A, B, C, nii^t ^rimsd^^ 

len }u einanber: fo nef)me tndn 

<7/ 3*'® J <^ 8ti§te« gemeinel 

^9Raa^ D, SW^t nun D bie A, B, 

C , nacb ben ^<it)ltn E; F, G; fo 

'tverbett A, JB, C, ton E^ F, G, Mdf 

bee ^af)l D gemelTen. Sc^^sli^ f^^t> 

(7/ 18. ©0 E, F, G, iflfberfelben 

S3ec^&(tni§/ n^ie A^. B, C, abp (ivid> bie fleinf^en* 

' 25enn tbaten anbm flcinere, H, K, L, »d($e alfo bie A^ 

By C, noc^ einerl^ go^l M meifen mugten ; fo npt^rbe M au^ 

bie A, B, C, niffen, unb M^H= A fepn. H^un ift E.D 

= A. gofgli* wire M. H=E.D; fofgli*' (7, 19* ®0 

E: H=iM:D. 0lttnHtE>Hif i4ub bdKi: au*M>D. 

2)cmnacb ^4tten A, B, C, ein jemeine^ SKoafe M gv6|ec , oW 

tae 9r6§te 9)}(ia§ D, tteic^e^ umnD<)li(& ift. S^^'d^i^ i^^^^ 

^^«inbefa)et^iltni§, A^B, C^ f eine f leinere 3d^len ^ M E^ 

,F^ G/ tt>el4^c olfp bie fieinften finb. 



A 6 


P4 


• 


m 


D» 


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Ej 


F4 


G5' 


H — 


& — 






Mr- 


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154 



Cuffb'e QfMKttte 



\ 



, y 






A J B4 

C 12 



©ie Wetitfle 3ay ju jtnbeit, m\^t fid^ toon i»e9«i 

' ®int> A^ B^ ^cimid^lMt ju dnanter^ ttiib 
man ff|t A.B=C: fo tjl C We gefu*^ 

©eim l)a A*B=C, fo ift (7, 16. ©.) 
^uc^ B . Arr C, iinb C n>icb tow A^ unb 
B gemeffen. ®ate nun C nic^t tie Rein^e 
ton A, B, BUffbacc 3al^ : fo fc9 e« etne no<t> | 
ndneteD/ unb D »erl^ t)ott A noc^ ber 3a&I jP/ t)on B 
. m^ bet 3al)t F ^emeffen, bag alfo A.ErrD, unb B»F 
i=D. fo(9«i& A^E — B.F/fofeHct) (7, 19. @0 A:Bri 
F : E if^. 9iun iinb A^ 6/ .^rtmp^ien }u einanbet, dtfo 
(7/ S3* 60 bie ftein^ia in \tM^ ^et^&ltni§, fo(g(ic(^ toirb 
(7, a T . ©.) E »on B gemeffen. Slun war A 3 =rC, -A • 
TSzrrD, alfo (7/^8- ®0 B:E=:C:D* Slber E »irb ooil' 
B, folglic^ «* (7/ 20* eo D »<>» C gem«Ten, We Reincce 
fion ter st6§ern/ toe(c^e« unrnM^^ if^« ^emnac^ giebt ef^ 
toenn A/ B, 9rtm)a^(en ju dnanbet flnb> Mne opn A^ B^ 
meltate 3a^(/ UKlcbe Reinet alf C i^ $o(g(ti^ ift C bie 
fteinfte m i^nen me6b(tte 3a^l. 

3tt>e9ter §atL 

, 6inb <&n A, B, nic^t ^ria^a^Ien \ix eitt^ 

unbec , unb man fu^t (7, 3 5 . '®0 We ftein^ 

ten Sa^Icn ^^ E; in bee gjec^iltnij ton A 

juB: fogiebtA^E/ ober B * F We gefufi^te 

©enn ba,A:B =F:E, fo {ft (7/ 
J9, 00 A • E =B . F=C^ folglie^ lAgt 1 G — H 
ft<^ C oon A unb B mejfen* ' ®ace nun 
C nic&t bie fteinfte oon A, B; mefibare 3al^{: fo fe^ e« eine' 
no(^ fleinete D/ unb D i^ecbe iwn A nac^ ber 3al^( G^ 

ton 



A 4 

F2 



B6 

E3 



c 

D 



12 



I .  

I 



>0n 6 Mi^ h€t S^l H gemefRn ; ta§ alft A . G == D; un> 
B.H = D, folgfic^ A-G=:B.H, folglic^ (7; 19. 6.) 
A:B r=H:G m: Sim »ar'A:B=F:E- Solgli* i{k 
(5, ii/@.)F:E = H:G, * sRunhoacenF; E, he flcinftea 
ga^Ien in fclc&et ©erf>i(tntf  Sorgfie^ »ivb (7/ ai. ^0 Q 
t>on E gemefTen. Blun »ar A •£=:€, A»G=D, alfo 
(7, 1 7. ® E : G = c : D. met G ©let) loort E ^ folgli* 
(7/ 20* @0 D toen C gemeffen; bie flemere ton ber grogenv 
ml6>t^ unm6g{ic^ ift. S^etnnacb giebt €« aufiec C teine fleU> 
iKre ten A^ B^ m(§bate ^^f)l, fotglitb tft C bie (kinfte. . 

^ttb bon im^en 3<^^(ert/ A^ B/ etne ^cS^, CD, ^ 
meffen : fo ttitt fie auc^ bon ber mit be^ben tne^bortit 
ttetnjleit ^^l, E, gemeffen* 

9B6rbe CD ton E ni(!bt gemef^ 
fen: fo bliebe^ n>enn E bie CF 
mm, bei? SKeii FD<E. 2)a 
nun A, B, bie E melTen/ nnb E 
We CF miffct: fo meffen A, B, I 
ducb bie CF; abet au4> bie ganje CD; fofglic^'ben Sie^ 
FD<E, tt>elcbe^, toeil E fcbon bie fleinjie mit A, B, megi^ 
Ixive 3ab( i% nic^t fepn fann* Sotslic^ mu§ CD ton £ qtst 
mefTcn ttetben. 

r I 

^te fleinfle Qofji iti finUn, ttefc^e ftc^ ton breiKH qu 
^cUmn 3a^{ett , A, B, C, meffen lagt. 

®u(bet man (7, 36. ®0 bie ffeinftc mit A, B^ mefbdte 
^at)t t>: fo ttitb fbt(t>e entn>ebrt ten Cgemeifen^ pbcc 
ni<<?t. ' 






I 



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^n\V6 Sfementt 



B4 
D li 

E — 



®frb D »cn C gemrffen; fo ift D ^ -^ g ^ £ ^ 
tie mit alien trcpen A, B, C, megbare 
3af)f. ©ire pe nun nicfct auc^ bie 
Wcinjte : fo fep e§ E < D- 2)a olfo E 
bon A, B, genteffen mtrb : fo n>lrb fie 
C?/ 37- ®0 <^^^ ^0" D gemeffen, feie Reinere uon bet grS^ 
fevn, mld^ci unmoglic^ ift So%U4> ift ffine fleinere ali 
D, fofgtic^ D bie flcinfte mit A^ B, C, me^bare 3a^L 

Sweater %all 



Aa 



B3 
D6 

E 12 F 



C4 



®irb abet D imbt ton C gemeffcn: 
fo fu(b^ man (7, 3 6. ©.) bie fleinfte 
mtt C, D, me§bate 3^^I E, »elc&e bie 
§eftt(!bte ifr 

JDenn ba A, B^ bie D meffen, unb f 
D bie E miffet: fo mcffen aucb A, B, bie E. giun miffet 
^ Mdf C bieE. gofglicb \^ E eine mit A^ B, C^ megbare 3<J&I* 
L SQittmitt E nicbt audi) bie Keinfke: fo fe9 e^ F<E* , Sa 
-alfo F »09 A, B, gcmeffen tohtic : fo mugte (7, 3 7* ®.) F 
au4) t>on D gemeffen mecben^ abet au(^ t)on C^ a(fo t>MiD^ 
C; foiglicb (7/ 37* @.) oon E, bie ffeinece t^on bee grogcrn, 
toelc^ej unm6g(icb \% Solglic^ ift (eine fleinere al^ E, fofgttc^ 
E bie f leinffee mit A, B, C, me^bare 3«fyl* 

JDer 39- @a^» ie^cfaf- 

Sine 3«^t; A, l^at einen bee ^af^l) B, boa toelc^er fie 
gemeffen mirb, gleic^namigen ?^eft, C 

(W toecbe A t>on B -nact> ber ^af)l C ge* 
mefTen. SRun n^irb C ton bee @in^eit D 
nadi) fic^ felbft gemcffen. golglic^ miffet D 
bie C, unb B bie A, obec (7# 15^ @.) 
X>ttxvcd9ic\t D bie B, unb C bie A, nacb 
einetlep ^af)U X)emnac^ ift C ton A berfdbe !t^ei(^ ati 
D ton B. dlun ift bie Sin^ett D ein ber B gleic^namtser 



A la 

B3" .C4 

D I 



@ie6eitt(« Suc^*, 



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%f)til Don A. £)einna(^ ^at A ein^n bee B glei^namiijm 

Sfbe 3a^(, A, twrb- ton bee eiitem i^ret: $^eUe, B, 
gleidjnamigen S^fel/ C, ^cmeffen. 

2)a B em bcc C "glf Ic^namigec j^eil ton A, ou^ 
bie @inf)eit D ein bci* C ^leicbnamigec ?&ei( oon C 
ift: fo ift B oon A'eitt fo1<^cf S^etf, dW^D wn C, 
S^fsBpt mirt C tion p,unb A ton B, ober (7, i s^O 
rertt>e(^(eic/B t^on D, nnb A.tion C, nac^ emcr? 
ftp 3^^'/ bemnac^ A tfori C gemejfeii* . 



A iz 
B 3 

1 

D I Z 



,. ..35ie ffcinjlc untet all^n gd^tcri ,, tt>cicf)e bie geseSenen 
$^eile, A, B, C, l^aSen, ju ftnbcn* 



-^5 



tt^ /. 



G ;^ H:^ 



B# 
CI 



^ .2>t€ ^a^en D/E,.F,'f^pen ben g^scfeemn 
%f)f^lm Af B^ C^ gldc^ndmi^ &n^t mm 
niw (7/38* ©0 bie lleinfte mit D, E, F, 
me^bote go^l G : fo ^aK?/ 3 9* ®0 G ben 
Jo^ea B; E^.F; glei^bnotntge, JoJgJk^ bie 
gegebenen S^eile A, B, C. ©are nurt G 
nicbt awcb bie fleinfte 3a^l , bie fofcbe 2^eile 
f)^tut fo fep eg H < G. , 2)iefe ft^S^be j^ilfp, (7, 40. @0 ton 
ben i&cen H^eilen gleicbnamfgen gdtl'eit , alfo bon E, D, F, 
g^fffen ; toeIc^<« > »eii H < G , n«bt m6g(tcb i^* S>em* 
nact^ ift (eine ffeinere 3a^( a(« G, f^(i^ G bie eteinfkeda^l^ 
n^elc^e bie ge^benen ill^eile / A; B^ C^ ^ot 



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B IS C It D 27 
F— G— H — 



iDer I- 0a|* leferfal* 

iwCe^rere ftettg proportiontrte S^^Ien ; A, B, C, D^ i>ott 
keften bu Sugerfleii; A, D, ^rimia^Un ju einanbet ftnb^ 
pnb bie Heinffen in f^ter 93er^SItni|» 

S[)&re biefei tiid^tt fo|e9en 
f((inc.ce E/F, G, H, in ber^ 
(ftfren 85er()ilmig, olfo (7/ 

14. (SO au6 &em (Bidden 

A;D=:E:H» 9tun ftnb A^D, ^Pnntia^fen }tt einait&et, 
dlfo bie ftetnf^en in i^ter Set^tnig* S^Id'i<^ ^<it^ (7f 
21. ®0 A bie E^ bie sr6$ere bie fUinere^ n>e(c^e< unn^fi 
6(6 if^* T>mm6f ftnb in fotc^i: I3efl^a(tni§ feine an einaii^ 
^t^an^enbe Ba^fen iffeiner^ ol^ A, B/ Cy D/ toelc^ olfo 
tie fleinjien fr^n m&fen« 

- fSZe^rete flettg vttpottitmittt Ikiiifie B^^t^ in time, 
g^gefien^n $8erl^^tni^ 511 ftnbf tu 

jDie segebene $et()&Itm§ 



fep in ijm fWnfken 3^^(en 
miijebrucft A : B. ^ SWan 
t>eriHelf altiac A, B, mit A ; 



A 2 B 3 
C4 I>6 E9 
Fg Qia Hig K,ii7 



B.mit B; unb et^a(te nacb 

bet Ofbnung bie ^wbuctc C, D, E; femec Dewelfiltiae 

" • • -^ man 






J ^  

mctnC, Df %, tmt A; EmtiB; mi^ftiMie mistier £M« 
nung'We fJrofeiictelR^ G^ H/K: fo fm^ C, B, E^ btvf^ vai>: 
F; G; H^ K^: mev ^ettg ptopotttoiiitrle Q^fle Safest to de« 
gegebeiien^SJer^&taiif A: B; itnb matt futet ^ »emi man cictr 
fo fortf&^tt; beren immer mej^rm^ fo^ tid man mOL f 

^enn ba A.A^rbC, A*B=:D, B.Brr eV fr iffc' 
(7/ i7^0)A:B=;:C:D^ Unfe(7/18.®0 A:Br=D;te, 
%lt!ft C 5a 1 1. ®; ) C : D = D : B. 2)emmi« f!nb e/ 
3)^ £; »c€'9 fteti0 propotticnitte ^a^lcn in. (e^ Set^altnif 

A:B; * ^ 

a)Af*«iir A.C?=F/ A.DripG, A.E=H, B.K 

z^^i fo ni (7, 17. ®.> C:D=F:Gy unb (7, t8. «0. 
P:E:==G:Hy A:B=H:K, Slun »at C:D=D:E' 
=? A : B. golglit^ ift F : G = G : H = H : K. Z)mnaify' 
0n& F^ G^ ,H; Kf oitt fieti^ propbttiomcte 3a^((ti tit bte fdtvf 
^tonigArB. 

2)d| fie mn imc^ bfe fFiimftcil M f *¥k^ fb betoiefen : ^a 
A^ Bf Utnm(»n Ba^n in ifytn fSttf^hm^ fint): fo;^ 
fie (7/ 20. @.) ytimja^fen ju etaonbei:. Stm i|l A.'A.- 
ssC, 3.B=E^A.e=F, B.E— K. ^olQiid) fitd' 
(7, 29. @0 <»uci> C un& E, F unb K;' $cimjat)len ju cia*' 
anUv. golsHcb ftnD (8, i. 0.) C, D, E, fowo^I, aW aa^' 
F,' G, H; K, tterig pceponiwiiiitt fMn^e Bo^im In Ut 9Je« 
"- "A:B. ; 




, ^ietaul !K^(t/ taS tie iufet:^ »ott trep ft^ propocs 
tbiiirteri T(eitt^c!n Soften £l»a(tate>^»i(m i»iet«i aftec SSifasf 

SSton mel^rern fl^ttg ptopatttonttten Hetnflei^ B^^^^r ' 
A; B/ C; 0^ finb Me &itfir|ieiv A^D; 9)i:i8)a(#m lu em^ 
anbm ^ 

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,. ^a|* ^fiifsa^e. 



a1d=? ;iaftmffe, A:B, C:D; E:P, '^titi ttf 

dfo w' ^^'v^*" segeBett; man M ga^fm jiHbett, 
21?. f emanberlangcnb bie f(tin|l?tf in bm aeaefct*:. 



- ^ tic f leinfte tftir 
jj, C, me§bate3a^I, 
/ iintcdmcJFeAbieH 
n(»«& «M« be? 3<^^ 



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' flt4 B bif , G ;■ ttnb D. bi^ K, nac^ etxr n' bet Jo^i; al^ C W G  
^ fo miffeuntwebec fe bie tL, obe'c ni<f>t.' ' "^ "'• "'■ • ' • ' •'' 

(g« meife E We IC,- un& noc^ e6m ''feet ^a^r ouA F 



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Skt^^JS; tie I^ C^ ita((i einabD ga^l mefftn: fotjl? 



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.^t miffct: /o f«j 

(7,96.(^.) M We 

fldnft^ mit E, K, 

a(^ E fcje M. goJalid) ifi (7. 13. ©0 H : G = N : O,. 
iiBl>, wdl A :B = H:G, ou<6 A.B =rN:0. 9hm 
- ift au^ b<nfel5fn ©ifinfceri C:D = 0:M, mi E:Fr= 
M : P/ fo^flli* Pn^ ^f O, M, P, an einanbec^angeni 
tn ^en ^egefxnm S3ec][)lhntf[en. Sfbec au(^ bie fleinften. 
JDeno »iP«^ tteinere, Q, R, S,T: fp»otcA:B=Q;R. 
Shin ftnfr Af B,*tir fletnften in i^cer ^<t^hlttt\%. $blg(t($ 
tpict (7^ ai» @.) R «>on B gimejfett. 8Cu« gici^jnj ^riin» 
^ a)ieb R au<t> t>on Cgenicjftn. SStvm toac G tie fldnf^ 
Uttt B, C, megbdce 3a^(. gotgU* tpirD (7, 32, @.) R t)on • 
G g^iMffw* ^« '<* G:R=K:S. Sor9li<t» roicb S »wi 
K a<in<ffe»/ <*"^ auct> ©en E. 8lun »at M J>ie fteinfte 
witE, K, itt#«c S"^'- ^otsfi* »'ii> (7' 37- @-) S won ' 
l^^emeffen, fcie fijtipece ©on, tet , ai%w , «wl^e^ i»nm69^ 



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Q3«til;«6(e 



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B IS C 18 
G4- H6  K9 ' 



^mf A : B ime9 flmifte 
^^E^F; d^ona (Si 

ttirte f (cjj^e Sa^it G, H, 
^ u«b f^ fort immer @iiic 
m^tj hxi man fo i^ielej, L^ 
Kl^ N, O, e^alt^d* A, B, C^ D, ^itb. ^' \ 
; 2)a E, F, ^dmjal^ten ju emanbei; ftnb, abet'E.E =±:t3,' 
r-F=K^ E.G=L, F,K=:0: fo fint (7.29.®;): 
Q^.unb K; aUctf L unb O ^rimao^'en ju dnanber* '9futt* 
ffnb A, ?, C, D^ wnb e6eiT fo \>\tlt L^ M, N/^O^l&tig^pto^ 
plortionicte fleinfte ga^lert rn einec unb bccfelben Bec^fittif/ 
dfo evftcve ben legtecn, jebe fur ftc{>, nac^, bet Scbnuhg ^l^y 
^—\l D = 0* golglii^ ftnb dnc^ A, D, ^rimjd^toi jit- 
einanbet* - • %. ,. .. r -? 



■« * 



N-^fQ. 



 tSJle^rm SSct^Mtntffe, A:B; C:t), E:P, '^nfe tir 
tien ffeinflep 34f«« gcgcfccn ; man Mi S<j|(f n |i«l>«n> ^ 
wclc^c an einanberlangenl* bief(ein|lf «• in ben gegefct*-- 
ncn ©ct^aitniffcn ftnD. 

G Die ffeinfte rtiir „ ^^ v.3<; f'A? .^.5. f • o 
B,C,me§bare3a&J, ** ^ ^ ^5 Kao,Lja4,..! 

unbcdmeffeAbteH 

n0(&<b«n^e?S^^I^ , ^. .. ., , , 

^ «|| B bit G; unb Dbi^ K.iiac^ eben becB4^i;" ai« C bl< G:. 
fo mm enwcbet £ t>ie ft^, obcc ni*t:' '" - ■■"■' ^ ' '' ■.'' ''' 

e« meffe E bie R> «nb no* «&fe '^<c '^a^f anc^ F 

2)a^;.J8, bit I^ G^ ita* eitiRi(9 8a^l mefftnt fo ifk'. 
(t/ 13' ®0 A:B=H:G, Sun if* aul aWW @Jw.tt« . 



*en <i:D=:G:K^ iHi> ¥^:F=K:U S«feli<ft (If* H, 
6^ K^ L; 4n einan^r'^angenb m ^n ge^&enen S^et^jAltnt^ 
• fen* 8I6er auc(? bic f leinjten* 5Denn toarcn fleinerr N, O, 
Yf Q: fo toice A:B=:N; O* SHun fmb A, B, bie (kiiu 
flen in faJc^ec S5ecl^altm§-  golgli* wicb (7,- 21. 6.) o 
ton B gemeifen. S(u$ eben beni @riinbfn tpirb O.oite^ ton 
C gemefen* ^ Sitin n)ac G bie fleinfte mit B^ C^ megbatt 
3a§l golftiic^ toirb (7, 37. ®.) O t)on G gemeffen, btf 
fleinere i^on bet 5r6§em/. welclK* unm6g{icb \% 25emna(^ 

* (Job in ben gcgirbenen 33er^altniffen feine an einanber^angen^ 
\iz 3o^len fieiner, oX% H; G, K, L/ tpdcj^c alfo bie fleinften 
feyn m6jfem 

' ©fttii E bie K 
tttcbt miffet: fo fi^ 
O7, 36»^.) M bie 
Heiiift^ mit E, K, 
tne§b<i^^ Sol^f ; unb 
. f* mejf€^« bie N, 
G bie O, na(t>e&en 
bee >3a^I, al« K bie M; tinb F bie P nac^ eben ber 3a^(^ 
ai^ E bie M. golafi* ift (7. 13. ®) H : G = N : O, 
tinb, weil A : B = H : G, duc& A; B = N : O. Sliin 

* t0 au« benfelben ©rfinbeii C:D =:0:M, unb E:F zr: 
M : P, frigiifiji (tnb N, O, M, P, aii einanber^ongenb 
m ben gegebenen ^cl^lhniifen. S(6ee aueb bie fleinften* 
S)eno wfieen tteinere, Q, R, S, T: fo ware A:Bi=Q; 8. 
SRun ftnb A^ B;*bie^ fleinften m t^ret SSer^altnifi. Solgfic^ 
toirt (7^ 21* ©0 R t>on B gemejfen* 8lu§ gleicben @run* 
^en iDi^b R au^ Don C gemefTen. 9iun n)at G bie fleinfte 
pit B, C, megbace 3a^L ^o(gli<6 witb (7, 32^ @0 R feon 
G gttneifen^ Wxxl ift G:R=:K:S. $o(g(icb n>irb S ton 
K gemeffen; (d>er aucb t>on £« 0}un toat; M bie fteinRe 
iliit;E, K, m#arc3a^L goIgli<t> tt>irb (7/37- ®0 S »on 
M gemeffen; bie fljeinece t)0n. bee . gr%t;n / t^elj^e^ unmog^ 

Stttlib'^ OrUm. IS ®A((^»« i ii4^ 



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Ci D3 E4 *F3 


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G6 H15 Kao 



Igl&itnif A : B (toep . fin^fte L 
^a^ E, F ; aK^ann (81^ 

nicte flei#« Sa^ft G^i * » 
^ uv^ f* foct inumr;^ | 
ine^t;, ^\i man fo/^ ^ s^ 
Kl, N, O, ec^Jfi i« f . e 
j^ 2>a E, P, T/| o « 

<Tn^A^.•' ^:E = 

aljp - J-. afiun ift C . D 

-^' ., iinl)E.F=B. Selgfic^ 

^(7, i7.a^A:L=G:5~^:H, un^L:B = DIF 

;=:H:K; fofglic^ (7, 14. ®.) au8 t^m (SXti^txi A:B 

=6: K. giun ift (6/ 5. ^0 G: K=r (G : H) + (H :K) 

;= (C: E) + (D ; F). ^ofgfic^ iji au(^ A : B = (C : E) 

-|-(D:FX 

5>«r 6. ®a;|. ic^rf^f. 

5DBcnit toon me^rcm flcti^ ptopotttomrteti 3#^n# A^ 
B, C, D, E^ bie erfle, A, nic^t bie iwe^te, B, miffet: fo 
totrb aud^ kinc berfelfceir irgenb ^ine bcrtoii m^en; 

tiic^t bie bcitte, bie 

bcitte nict>t bie oicc:? 

te, unb fo meiter, 

miffet, ift ojfenbau; bag ofret ou(& bie A nic^ «te C mifet/ 

tt>irb fo bemiefen: a»aiifucbe (7/ 37* @0 We ©etl^oftnig l^ 

A,B, C, in ben flcinften 34lcn F^ G^ H^ bdg alfo (7, 

14- @) au0 beitiCBfleicbeii A:C=F:R 

2)a A:B = F:G, a&er A bie B nicbt driffet; fo mif^ 
fer au* nkt>t (7, ao. @0 F We G, m^ ijl aifo (7/ 1, ©,) 

X* 



4^ 



A 16 B 24 C 36 D 54 E 81 
F4 <j6 H9* 



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aa^.^^; 



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> fen i^ etiuin( 
.SDus to^t J 
tjc^t Me C 
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A$ Kii LtS B37 
£4 H6 G9 . 
Da Fj 



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MW^ bit $>»(%»:. 

fS&t( A' n\(i>p iy. 
<id4> ' feine tec ii&cisen / alfo > 



1* — 

I B. 



A. Kut iln^tn 



j^glid^ inu$ A tie B m^en, tptm fie jt>>.. 



'^^ Stati VMt 



^L:B; 



; 0ettn j»tf($.eft jwep ga^eit; A/ B, etragt nritttttt . "^ 
•po«iDndid^(ehyC,D, fqtien: fo foUen bereit c^mfo^u ' 
jwifc^eh jwep anbre Safe^f «/ E, F, wei^ tttit j<tim, a 
B, einert<9 58ec^Mtnig ^flfb^n. ' 

3" ^tt tBct^Wtmf bet A» 
,Cy p> B , «e^roe man eben 
ffo iwte .( 7, 3 5> .©. ) fleinjie 
-aa&tstt G, H/ K, .L: -fo finb 
<8/ 3. ©.) G/ L^ ^timja^kn 
jpi einonbec, unb e8 ifi (7, 14. ®.) ,(ttt6 t>et» <01eicb<^ 
A:B=G':L, dfo, roeif A:B=EtF, ,<i^c^ G:L== 
E : F. golglt*^ wirt) (7, 2 1 . @.) E eon 6 , F wn JL m^ 
etiutfe^ g|<i^( 9eni«tfen> SBun toes&e na^ .ttstfef&ep S^l^ 
M »on H^ N fion K gentefl^n, ^o^f^ ,0nb (7/ 20.^. 
<»«( »3.€.)E/ M,N, F, in lW»(ifl^6tt,SQei;fe^tt>fy v>H0f 
ff,K, h, io^li^ aiR^ »ie A, C, D, jB, fel^lic^ ,afl(^ fi«.ti9 



A a §4 ©$ JJa^ 
G^ Ha K4 L^ 

E J >|,6 Njia Fa^ 



/ . 



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i6« 



€i^it»'« €r«mntte 



.A 6 B 30 
Li5 
Ca E5 D3 F4 
G6 H15 Kao • 



li(& fft* S$emn<!(^ ^nb in ^en gegebeitett ^etg^ftniffeti; Mfte 
<«i . ematiber^afigenbc go^Jeii fleimt; aW H, G, K, L^ mtt 
<|^ a(fo W f tein^en f?^n mufTen* 

^te <8«r^offm|i jwe^t §Ia<^enia^fcn , A— :C.l); 
B=E.F, ijl aug ben SUcr^aftniffen iW©ettcn C:E-, 
D;F, jufamm^ngcfc^t. • 

5n fcen gcgebenen iOer^iftitiftn 
C r E , D : F, fucfce man (8, 4. ®0 

' on einantrec^angeitbe f(einfte 3o^« 

' len G, H, K , ,Do§ otfo C: E = 
<5:H, unbb:F=HfK. SJuc^ 
fepE.D = L. sjiunjftC.D 
=r A , unl) E . F = B. gblglic^ 
•ft (7/-i7«"2|d A:L=G:E==(5:H, unDL:B = D:F 
=H;ji; fotglic^ (7, 14. ©.) aU6 bem (Bfetdeil A:B 
= 6i K. Uiun iji (6, 5. @.) G : K =r (G : H) + (H : K) 
= (Ci E) + (D : F). %^\^ii ifi auc^ A : B = (C : E> 
+ (D:F). 

SEBcnn Dtn mc^rcm ftetig ptopotttonimn 3«^n, A, 
B, C, D, Ey bie erfle, A, ni^t bte a«)«9te, B, mi^et : fo 
tt>icb aui^ Itine becfclben trgenb fine ba»oa meffen: 

25afj bie' jroe^te . . „ # 
ni(^t bie btitte, bie 
bcitte nicbt bie oiccf 
Uf unb fo weiter, 

miffet, iftoffenbac; bag obec <itt<^ bie A m«^ Ijie C aiifet/ 
witb fo bewiefetu. 3Rait fucbe (7, 37. @.) bie 8ec^&(tntfi D« 
A, B, C, in ben flcinften ^a^ten F, G, H^ bd§ alfo (7, 
J4« ©.) au6 bewKSlcicbeit A:C=F:H. 

2)a A:B = F;G, obet A bie B nttbt drtfet; fo mi^ 
fet <»u(^ iM<t>t (7> 3Q. @.) F \Ait G, «tib i(l alfp (7/ 1. ©.) 



A i6 B 84 C 36 D 54 E 81 

F4 HG6 H.9 * 



1 V 






®n^; 



«..i 



4>«3 



, len iyueinantxc. go(^*-«il#?t (J, xa. «.) Fiuitti>icm; 

* Sitt« »« F : H == A : C. ^olgfid^ (7; *o. €.) rtiffet A 

• nicfetWe C. /, ■. ... 

. €(ttf (ben tie ^ toiti) 6etBiefen , Pa^ , toftut A pit S |ii(^t 
'iiM aiiA f?ifte t>ct anient it^enJ) ei«K ^aton mejfe. • 




^ ?(Benii t)e« me^cettt flettj woportionitten ga^im,; A, 
-Jl/C, ao^^tte K^e, A, bieUfte, P, rtlffct: fo .n>tt.b:j}e 

^i^t A' m<|>f l|e B jncfi j • . . 
' 401: fOj »6c3)e|ie (8/ $.@.) A.a .♦ ^4 .. Cs , P x4 
^ttc^'feine tec fibtigett, alfo | - 
'fi<a^ ni^t PniefFm/«»et((e$ tern l^en^mntemii toi$ecfpni|^. 
^8lidS> «iu| A W B meffett, ttenn C«e M* D miffet. 



r 



"^ ^ettit iroi^^tti jwep ga^cn, A, B, einig* mittrere^to* 
".potttonaljd^lehyC,D, fallen; fo faflen bercit efcenfotoicle 
'jTOtfc^en jwci) anbce Batten, E, F, ml^ mCt jencn, A, 



A a »4 © $ 18 J$ 
G^ Ha K4 L8 
E$ ,M6 Njia :Fa4 



3n tet a3et^>iltmi bet A, 
,Cj D, B, mi)m man eben 
,fo tAAe (7, 35;. ©•) fJei#« 
-3«&J«'» G, H, K, .L: .fo fmt 

,(8, 3. ®.) G/ m>"«ni<'f)'<« i ^ ^f.j.*. ' 

m e^nantec, «nb e« iji (7, 14- ©•) fii^ ^^ m^mm 
A:B=G':L, alfo, .roeif A : B = E : B\ ,a^* G::L = 
E : F. gotgtit^ Witt (7, 2 1 . @.) E uon G^ F tjon I- no* -^ . 
tin<«^ 3<»^l gemeffen. Sfun »«6c n«* ,te«Tel&ejt Saftt 
3^ 6on H, N »on K gemc^fen, $(^(& ,|Jnt (7/ ap-.^' 
#«ib 13. ®.) E/ M, N, F, |n l»«ifel^6n,f3etS&flrtHtey wk G/ 
jl^, K, Ly fol^Ii* .a# tPie A, C, ©, B/ fo.l«^ .W4> MtW 



* — 



V-!? 



1' 



/ ' 



i64 



^tu^'i efdttOtte 



• J 



|u einanber finb, cintge mittlere 93roportiona(ja^fert, C, 1), 
fatlen : fb fatten berm eben fo titk imifc^en jebe ber ba)s 
bert 3<^^f^rt/ A/ B, unb bie ®ii(^eit, E. - ^ 
3n bee SDer^Sltni§ bet A, 



A8 



B«7 



Cia Dig 
E I • 

Fa Ga 

H4 K6 L9 
M8 Nis OiS Pd7 



CjD/ B, ne^me man (8/2^00 

juerjl jwep fleinfie ^af)kn F, 

• G; bann btep H, K,L; unb 

fb fovt immet 4line me()tr/ 6id 

man fe tiele M, N^ 0/ P^ 

^at, oW A/C, D/B, pttb: 

fo ift offenbat/ 'ba§ F.Frr 

H; F.H=:M; G^G=:L; G.L=Pfep. 2)a ouc^ 

M, N, O, ?i fo»ol^l aW A, C, D, B> bie ffeinjleii Sa&len 

in einer utib betfelben Secl^&bni^ F : G , ftnb / unb be^^ber 

Sten^e gleicb ift: fo muiFen jene biefen/ jebe fiir ftcb^ nac^ 

bee Otbnung, ^(eicb/ atfo M = A, P =:B/ fepn. Stun 

ift (7. iS. unb 2o^ (SO E:F=:F:H=:H:M. golglic^ 

i^ aucb E:F=F:H=:H: A^ olfo jwifcben E, A, {toey 

mittfere ^tctotH^f^alia^kn F, VL fRm ift a\xi eben ben 

@irftnbenEj3G=:G:L=:L:B, alfo jtoifi^en E, B, jioep 

mittlere. ^rop^cttonaljabten G, L« !Demna^ ftnb smtfcbeii 

ber $inVit E , unb jebev ber bepbcn %af)Un A , B ^ fo oiele 

mittUvt fJropoctionatia^fen , ali imifcf^en A unb B* 

bte ®nl^ett, C^ etn^e mittlere ^roportionaija^Un foOen: 
fo fsUen teren eben fe 9te(e itoifc^en &tf 6e96en 3<>^(ii/ 



A, B. 



3wU 



«.. 






^5 



 |4(en D, E, unt> F/G, g<c» 
- net f^D.F = H; D«H 
' = K; F.H==L. ®e«j 



A 8 Ki2 Lts B»7 
E4 H6 G9 . 
Da F3 
Ci 



' onb C bk fin^ett : <f « iji r 
C7/ 1 5. ®0 D . D =: E / anb D . E = A. 9ul {leic^tn 
®c&nJ>e« ij^ F. F=: G, tint F . G=B. ^ 

©a «ffo D.F=:H, D.D=E: fo ift D:F=EjH. 
Sba aa^ F.F=:G: fo ijt D:F;=H:G. Sofgfic^ iffc 
E:H = H:G. ; ' 

^ 2)af«merD.E=:A,D.H=K:fDiftE:H=A:K; 

«fct D:F = E:H, folgfic^ D:F=: AjK. fftviti mat 
.F.H=L, alfo (7, 18. 0.) D:F=:K:L.' golgli* i(f 
A:K=K:L. 

SDaenMk^F.GrrB, F.H=;L: fo i(l.H:G=L:B; 
«6<cH:G=D:F, for8ti*DtF=L:B. 

S>enltuK^ ift imiefm, b(i§ D:F= A:K = K:L = 
IhB/ dfo J^, K, L, B, f^ig ptopocttonitt fint^ fof^fict i»t« 
f(^ A/ B, ft i>i«fe mittfere |>copoctioiMiia^(en/ tUt itoif^it ' 
C/ Ay tttib jtoifi^n C/ B* 

gwift^en sti»«9 tUtabratio^Uti/ A, B, f&Kt ®ne mtttt6: 
re ^i;i>p(>rtiona(aal|(. Unb bie S^n^&Itnrg jtoe^et jClua« 
bratia^(en, A, B, ifl bo^ 3n>i(f«^e b<c SSe#(tm$ i^cer 
@etten, C;D. 



A4 E6 B|9 
. Ca Dl 



t«f«9C.D=E. 0hmijtC.C= 
A/ D . D-= B. iSo(d(t^ ijk (7, 17. 
i8.«.) C:D'=AiEr, twb C:Di= 
E:B, fo(8li<( A:E=E:B» 2)eou | 
aa(^ iit^ A, £, B/.fiett0 pcopocHonict^ unb iwi^en A/ B, 
ift (Sin»«Htt(ere $copi>ctiono(}<k^( E. 

. 83 3»<9* 



\6ff 



mma 



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•/ 



— .• « 



A4 B^ S^ 



Sweater $^eit 

t>(t A> E^, in ^etigcr ^ropottiM : fo 
IPA:B=:2CA:E). Sltm todc A:E 
= C : D. Sol9li(^ iji' A : B m a 
(G:D)* . 

ia^ien, A, B, ifi bod S)ce9fd(^e ber^ev^ittiif t^cer®eU 



) 



A8 Hti Ktg fiif 
E4 Fe Gj 



Clt 



fcwE=Aj fttnetD;D = 

G/ dfo D.G:=B; ent)« 

ll4fe.D=rF/ C;F=cH, 

D ^ F =r K. goldli^ t{l 

(7, 1/. 18;®.) C:D=iE:F; C-D—FrG; E:F== 

A;H} C:D=H5K} F:G=rK:B. gofgtj* ift C;Blk 

=r A:H=5:H;K=K>B. 2>ettjna* jint A, H, K/B, fte* 

iig pceporttoni(t> un6 itotfc^eii A, B/ jn»(9 truttlete f^copec*- 

fed A,H,k,fe, in ^etigw ^roperti'en : f6 i|l A:S=r 
3 CA.H).' giun war A:H=:C :D; gofgfi*^ ifir A :B=: ' 
3CC:D); ^ 

- • * 

, ^xi% mel&me flatten ^ A, B/ C/ fletlg propottfbhirh 
fo fittb ifere iCiuabrate, D/ E> F; %e 50Bdcfef, G, H^X 9 * 
Uttb jb fort dlle ^Jrobiicte/ wel^iJ entfle^eri, tfeett'n bte jtt^ ' 
te|t ift^altiten t^i h trfl 9ebadE)teit 3a^Ien nac^ ber Orb^^ 
hung beme(fat it^t »erben> auc^ ^etig pcopotttottirn 



» 'k 



/ » 



•* fJ^I '^ ., A a B4 Cs 

A.L=m; ^* ^8 E16 08« FiJ4 

^.Lr=N; Gg Mi$ N33 H64Ti2g Q3s<i K51J 

'>fecnetB.C| ' 

r=0, B.O = P, C*0=rQ: fe ligt ^i^ ttie Jttfcot 6« 
wlifen, ta| D; L, E^ fo mo^f/ <>(« G, M/ N, H^ in bee 
fUtx^hitm^ A : B ; uni) E^ O^ F^ fo mi^l, <di H, V, Q, K^ 
. in let SSet^&ttni^ B : C, ^ettg propocttomct finb. .SQuti. 
ijl A :% = 6 : C. Sotdttc^ itRi> etfUt4> D, L, E^ unb E,. 
O, F, fewic* G, M; N, H, unt> H, P, Q, K, in elnette^ 
tBet^^tnt§i ^t>tiUd) ift (j, 14. €.) au8 ^nt <Siletcipett 
D : E.= E ; F, unb G : H = H : K. 2)emBo* (inb ble 
l^ttdbrate TS, E, f / ouc^ bie SSB&cfe( G, H, K, ftetis 9x0* 
poctionjjt , ' 



fOfteffen etnanber iDudbcatja^feit, A^ 6; fo meffleii 
«tt(i^ tinanbet t^re @etten / C/ D. Unb meffen etnonbcc 
bie @etten/c) D: fo meffett auc^ (tnoni^ei: bieiOiuabcat^ 
i^^Uit/ A, Bt , 



- liiJiep CD = E: fo finb A, E; 
B; fti^i pcopoctiomtt in bee 93et^(t» 
nil C:D« 9Uin ntigt A bie B, o(f» 
is, 7,.®.) au(^ lie E^ unb e< ifl A : E 
==C:D. Soigne^ (7^ 20. t.) migt du^ C bie D, 



A 4 Eg Bx6 
Ca C4 



1^ A/ E/6, ^0 ptopoctibttitt in bee SJet^Mtnig dT), 
«|f» C:D=:A:E^ unb C bie D migt: fo mul au4) A bie 
E, foP(^ (8/ 7. ©.) o»(^ bie B mcjfen. 



84 



©er 



\ 



N 



1^ 



Culfib's QfattMHte 






etnanbft ihre (^ittn, C, D. Unb mefTen etnasiber bie 
<S>cxttn , "C, D: fo meften au^ cinoiibiv bie Suitf^a^ ^ 
Un, A; B, 



H, D.FzrK: foifloffnw 
bat; ba§ fotool^f £^ F^ G, 



AS Hi6 K32 B64 

£4 F8 G16 

Ca D4 



d« aucb A, H, K, B, in bet 
9ittf)hUm% C:D {letig proportionttt ftnb. Shin mt§t Abie 
B, alfo (8/ 7- ®0 au(b bie H, unb e« ifk A:H=C:D* 
golglic^ (7/ ao. «0 miffer mic^ C bie D. 

3»epter t^eiL , ' 

, ' Sa A^ H^ K, B^ ftetig propottionict in bee S^tl^i(M§ 
C:D, dfo e:D = A:H, unb C bie D mijfet: fo muft 
mic^ A b\t*H f f oiglict^ (8/ 7* ®.) avO) bie B mefTem 

JDer ^16. @fl|.' le^rfflf 

!0{effen etnanber mc|t duabtatja^fen; A^ Bt fb meffeti 
a«ct) etnanber nic^it i^re @eiteti, C, D. Unb meffet} tvfi^ 
onber ntc^t bie ©eiten ^ C; D : fo meffen auc^ etnanber 
nid)t bte iQuabtratja^fen , A, B. . 

(£rf2itc&. A mifiet nicbt bie B. GoOtf 
nun C tie D meffen; fo niu§te (8/ 14«®0 
«ucb A W B mejfeiv gegen ba$ Stngenommene* 
gofglic^ fann C bie D nicbt meffem 

StDeyrerte. C mifTet nicbt bie D* ®oflte nun A bte B 
meffen: ^ m&gte (8/ M* ®0 <tti(( ^ bie D meffen ^ %t^tti 
bd^ Sngenommene* Solgltc^ fann A bie B nic^^t meffeit* 



A 9 •Bt6. 

C3 D4 



^et 



A8 
Ca 



B27 



' Wtef^ etnanber mc^t €u6tf jQ^Iett/ A^ B: fb meffftt 
<Htd^ etimttber ntd^t i^te @eitf n / C^ D* itnbHneffen etn^: 
anhet ntcf)t btei@eireii/ C^Bx fo nt^en aud^ eitianbep 
nic^t bie Subifjaj^Ien, A, B* 

€rpc&. A milTet tiic^ bie B. s»&|e 
nun C bie D: fo ma§e (8# 15* ®0 <)ucb A 
bie B^ gegen bad Sngenommene* $o(gttcb 
fonn Cbie D nx^t meffeii^ 

5weV^n8» C migt nicbt JiieDv SRiie nun A bie Bt 
fo mage (g, is* &*) ciMd> C bie O, ge^ed ba« Kngenomttenr^r 
gotjiicb (anil A bie fi ni^t tmUm* 

gnJlfc^en jwep a^ntt^e gfSrfjen jo^fen, A, B, fillt ©ne 
tnittlete ^ropottiortalia^f. Unb bte SSer^aftnt^ jwe^er 
fifen!t(f>en §tac^enja|{en, A, B, tfl ba6 ^toiitfa^^ ber®er# 
l^ltntf t^ret diek^tnamigett @eiten« 

gcjler $^ei(* 

@« fep AzrC.D, unb B 
=E*F: fo ift, »e« ArvB 
(7, 21.(50 C:D=E:F,tinb 
iPem^d^jeUC?/ 13.©.) C:E 

s=D:F* SRuttfe9D.E=G; alfo (7, 17. ©•) C:E= 
A:G* 8oIa(i*ifkD:F=A:GjaberattCbD:F=G:B^ 
fpIgUci A :G=r G:B« 2)emna(b finb A^ G, B, ftettg ptiM 
pottionitt'; alfo ift jmifc^eii A/ B, Sine mtttCeve ^roportio^ 
na(ial^(. 

"» Sweptet j^eif. 
U« A, G/ B, lietig proportio\titt jint|: fo tjl A : B rr 
s (A:G). Shin mt A:G=:C:E=D:F. golglk^ ijl 
A:B = a(C;E)=2(D:F}* 



A 6 G 12 B24 ' 
C a D J E 4 F 6.' 



t 5 



©er 



 

mtttlete 9^oporiicna(ia^(eii ; unb bic 9)erl^(mt$ jioeper 
^nliclKn ^^rperja^Icti; A^ B, i^ ba« S)rc9MK ber SBm 
l^teni^ i^er gtcic^namigeii ©etteiu 

g« ff9 A = A30 N60 O I20 6246 

C.D.^:,un^B= „^ »* , 

F.G.Hrfoiii, *^ ** " **** 

»«lArvB,(7, Ca D3 E5 F4 G6 H 10 
ai.«.)C:D= 

F:G, unb D:E=G:H, obet vcnvecbfcfo (7/13.C) 

C:F=rD:G MntD:Gr=E:H. 

(S«fe9 C.D=K, w^ F.G=L.. Sttun Ifl C:D= 
ViG. Soi0<<(^ fwO (7/31. e.) K; L; &^(^ gl^^lnia^^ 
fen, iSo(0Ud> ift (8/ 1 8. ®0 iwifc^ K^ L, Sine mttittt 
)^CQpoctiona(}al^( M , oifo K: M := M : L. SHan ift (Uu^ 
^m ^eteeife b«d tor^etge^enben Sa|<< M=D.F; nnb d 
wot C . D = K. Solglit^ ift (7, 1 7. 0.) C:F= K : M; 
l^tmnadf (inb K, M, L^ ftettg pvo|Mrti»nict in t(v S(c^&tt« 
lijgC;F=D:G=:E:H. 

getnrt f(f9E.M=:N, H.MrrO. SRim ift A= 
C.D,E = K.E, tinb B=:F.G.H=;rL.H. gorsfic^ 
ift(7,i7.®0K:M=A:N; E:H=NtO; M:L=: 
0:B. Slun war K: M = E:H = M: L. SofgKt^ ift 
A : N = N : O =0 : B. Z>emna<^ finb A, N, O, B, ^0 
f^topottjonict in btt S^ec^&ftnif C:F, alfo jtoifii^en A/ B, 

fba A, N, O, Bf fuUi ptopottioRirt fnb t fo \ft A :Bs:^ 
3(AtN)* Sftuii »4t A:N2=:C:F=D:G = E:H. 
golgli<& ift A : B = 3 CC : F) s= J (D : Q)s= 3 (E : H). 

/ 



A 8 Ci4 Bijj 
Ds £3 F4 (j6 



 ' Set 20^ ^«|. l^lrfaf^. 

" Slinmt man (7, 35* ©0 in 
ter Sec^&Itnig A:C ^ie tkinften 
Soefen D/ E, baf alfo D:Ez= 
A:C; f«J »lr6 A \>dn D, unb 

C D.on E , nac^ cinectep 3^^^ flemeffem Sbiefe fep F : fo i^ 
F. D = A , unb F . Ez± a t>mm^ tfi A eine jgl&c^eiM 
ja^f > beven fieiten D , F, - ^ 

$a A:C = C:B, fa ifl dti* D:E=i=C:B. ^offlficp 
toitb auc^ C t>0n D; tthb B bon E^ nac^ eiiterlep 3<^^t S^^ 
meffen- .2)iefe fep G: fo ifl G*E=B, folglic^ duc^ B 
cine gli$enja|>I , beren 6<|fen E^ 6» 

*^aF-E=C, uttbG^E=B: fo ifl(7,ig:60 F':a' 
trr C : B = D : £♦ gplgtic^ fmb (7, 2 1  90 A, B, ht^nli^i 

gi&c^enio^lem 
$v6tr)^0ti\,A, B, stoifd^ftt welc^e jt»e$ ritltf fere ^tO» 



' Sl^mt man 
(7/ 35. ©0 in 

^cAfC,I)/bce9 



A 24 C72 Ti 216 B648 
. E r F 3 G 9 
H t K t N 14 1 3 M J O 74 



E, F, G: jjoltnb (8, 3. fe.) ^ itt§et^d.ftet;f(rt6«n^ E/ G^ 
yritn)a^len )u eiiMtt^ec^ auc^ (8/ 20. ®.) &^n(t(|)e ^(St^eni 
$a^(ett. giunil(9 E=sH.K,Gs=L.M: f» et^cHrt, ui 
E, F, Qf fletid txopoettfDitkt finb in tec aSetl^Minig HtL^ 

2)d E; F; Bf tit ber l9er|Riftnig &ec A/C^ D^ 6le MnfMii 
te ift (7/ H> ®0 4U8 ^cm 0Mm Et GsA : D. 9hiA {tn» 



/ 



173 



f^utCxVi &tmnit 



El F3 G9 
Hi Ei N24 L3 M3 O73 



E;G^f|rim}al^^ I A 24 C 72 D216 B64S 
lim itt einall^er/ 

ttt i^rec a5et^ 

Ii(^ toivb (7/91. 60 A Don B; D Don G; nac^ einecfep ^cd^l 
gcmelfen. 2)icfe fe? N: fo jji N.E = N.H.K = A. 
2)emna<^ tft A eine ShvpcHo^i, beren Geiten N; H; K. 

S)a E; F^ G, tie fleinften ga^fetf in tier Setl^&(tnt§ Ut 
C, D; B: fo n>ir& C Don E; B Don G, nac^ lineriep 3a^( 
jemeffcn^ J&icfe fe? O: fo ifk O.EnrC unb O.G=0. 
L«M=:B» S^emnac^ ift auc^ B eine S6cpetia^(; beren 
©eiten L, M, O* 

SDa abec N*E=A, O.E=C: fo ijt (7, 17. €5*> 
N:0=:A:C=E:F. Jftun ift E:F=H:L=K:M. 
%ol$m ijlH:L=K:M=:N:0- ©a nun H, K^^ N, 
lie Seiten bet A^ unb L, M, O, tit ®eiten ber B; fo (tnb 
A^ B; &l^nlic^e &bxpttiaf)Un. 

Sfl toon brep flettg proporttonirten Saj^len, A; B, C^ 
Weetjle, A, eine iOmabratjal^I: fo i jl au4 t>ie btitte, C, 
ctne jQuabratja^L 

• 2)a jtt)if(*en A, C, Sine raitttere fjro^ I . ^ ^ p 
^•ttionaljo^I B ijit fo ftnb (8, 20. ®0 I * ' 

A; C^ &^n(itbe glacbenid^Iem Z>a nun A etne £luabi»it|a^C 
ift: fo ifl att(^ C eine 6uabratia^L * « 

• 

311 t)Ott but: flettd propocttomtten 3o^^></ A/ B^ ^,"0, 
bte (t{l(; A; eine ei6tfja^(: fo ifi oujftte t»terte/ D, eine 
Q^bifia^L 



3k|ces 



xy \ 






A^ B 12 Cig Dfl7 
e/Cf fo piib (8, a I. ®.) A» I>/ *^nl«*« SSVperja^^; S>« 

' 3ft *o» S»<9 3«^^^n / A, B, »<l(^e ftc^ »te iQu«bt<tf« 

< au6} tie anbte eine jCuwbtatsa^l 

©4 C, D, Cruobrotja^len frnbt fo (tnb fie 

^art^Si&<i^eRi<i^. SoidU(bif^C8/i8.@.) 

iwif^en C, D, @ine mittlere ^ropoctionaU 

)a^(. gjun ijl C;D==A:B. ; g«lflli* i^ 

<8;8. ®.) mi(b »»#«« A, B/fjne mtttlete ycopoctJoiMU 

40^1^ S>a nun A eihe £luo^tiatsa^( ijl: fo ift (8/ 22.'@0 

bu^ B eine £lttabtat)a^U 

. • 

3jl t>W! j»e9 ^a^Ien, A, B/ »ejc^e fw^ wie CuBifjo^ 
(engC; D; i»er^a(tett, bie eine eine ^ti^ifja^l: fo i{l au^ 
tite anbre etne (Eubifja^L . ' 

S)a'C, D, eu6if)o^(en: fo 



A4 
C16 



B9 
D3C 



A^ E12 
C64 



Ft8 Baj 
D316 



finb {te &^n{i(be $&cp(rja^(en. 

golslicb finb (8, 19-®.) *»•* 

fe^ C/ D/ |tt>e9 mittiete ^eo^ 

l>ertionaIja^Ien*| Slunifl C'jD=: A : B, goCglit^ ftnb 

(g, 8. ®.) au(i itoifcben A^ B, jtoe? tnittlece ^topoctionoU 

ga^Ietu «?l fepen Mefe E', F, ba§ alfo A, E, F, B, oiet fte# 

dg ptvpotttonirte Sa^ien {inb. 2)a nun A eine Cttbifia^f ifk t 

fo ift (8/ as, ®.) anc^ B eine Subi^a^t. 

7(e^hli(^e S(&c^enia^(en/ A, 6, )>tv^Um ^^ wiiCimf 



•1^4 ®i«ib*« ®<ttwnte H^a f^\^. 



A 6 C 12 
Pi Ei 



/ 
F4 



pub: fo ifl (8, 18. 00 Jtoifc^n i^- 
/^inen Sine mitjtlece^ ^ropottionafja^t 

5D(efe fe? C^ tmb man ne^me (7, 

35. @0 in itp ^eir^altnit ^jfc A, C, B, We Wditflett ga^ten 

P, E, F, bag olfo (8, 2. gufO D, F, iQuabtatjajiIen , unb 
^D:Fs=: A : B» S>emna(^ j^er^olt^ fl^ 4/ 6^ pii S^m^vau 

'Stefittli^e ;^6rf>eriafefeti, A, B, feer^ftn ftc^ »ie©i«^ 



Aj6 C*4 O36 B54 

E 8 F12 (S18 H?t 



, ^a A./B, a^nli*eRJr^ 
;i>^r ja^Ien ; fo (inb (8/ 1 9 . ©0 ^ 
jt»if*en l^nen itt>e9 mittfere 
^copoctionaljailttt. 2)iefe 
' fe9en C, D, unb man ne^me (8/ 2. 60 in Jber JB^r^iftnif 
l^ccA, C, D, B, bie flcinj^en Sa^Iert E, F, G; H, ba§ dfo 
(«, 2, 3«fO E, H, feuWfja^en, unb E:H=A:B, Spe.w 
'iiac^ t^er^lten fic^ A, B, «>ie €ttWfia^len, E, H, '^  ^ 



li««JSI.^«lL.< 



«EMf(iy# 



•* 



'«7l 



I II ' > H I H 



r 

I tntmtti fBui). 



'T>^ 



Def !♦ ®o|* Je^cfaS. 



A, B/ ijl eine £luabrotjol^L 

6« f(9 A . A =: D, offo D eine Ou<v 
>Mtjft^t. gtun Ift A . B z= C. Solgli* 
ijtC?/ 17. ®.) A:B=D:C. fftun pnb 
A, B, &^n(i(^e gl&4»ens4I(n. go(a(i(& t|i 
(g, i8.®.})wifc&cn A; B, mt t>a^ti (8/ g. flS.) otK^ )mi> 
fcben-C, D/ @ine mtttfece ^o^octionafja^f. 2)<i t?un D not 
Qm^tatio^, fo i{i.(g^ 32. @.) au(^ C (ine daa^atja^f, 



A 6 B54 
D36 ^324 



/• 



^totxf Sa^Ien , A, B, btten ^o&uct, C, eine iClua^raf* 
ja^l ijl, tint) o^ulic^e ^lal^enja^Ien* 

(S« fe9 A « A =: D/ alfo D eine Ouabt^t:: 
Sa^ Stm ifk A . B = C. Soigticb ift 
(7^ 17. ©0 A : B =;: D : e. Slun ftnb D, 
C, Dualbrat)a^(en / olfo and) &^n(ic()e ^lacben? [ 
}a^Iem golglic^ ift (g, i8. @0 in)tf(t^en D, C, unb bai^ 
^et i%, t. @0 att(^ iitoifcb^n A, B^, @ine mitUere ^copor^ 



A3 B la 
D9 C36 



# - 



f>«J5 



«7^ 



&if(tb'i etrnmu 



A 8 B64 

D4 C2 .£1 

= C:D = D:A. 



©er 3. Cat. Jeljrftff." 

©a« ^rpbitcf ^ B, aM eincreubifja^I, A, in fi(^ feftft, 
ijl eitte (£u6if ja^L 

"Die ©eitebifc CoWja^ A fe? C, urtb 
C.C = D, folgli* (7, i9.@.) C^D 
= A. Sttxn ftp £ (te Stn^eit So(g^ 
K* ti*(7/i5.«nb2O.g0E:C=C:D, 
mtb E:C-=D: A. gdfglicb ijt £ : C 
iDetnnacb finb i>9ifc^en tec dtn^eit £ unb ter S^¥ ^ V^^ 
mittlere ^coporttottafial^Ien C^ D. SRun tft E : A = A : B» 
So(g(i(& finb (8/ 8* ®0 ouc^ Jtoifc^en A, B, ixotjf mittleet 
.^toptttiomliafyUn* SDa nun A eine Subtfia^f tft/ fo t{k 
(8^ 23. 00 au(^ B eine Subifja^L 

©er 4. ®«l- ie^rfaf. 

^« 9^tobu(t/ C^ au« 5n>e9 Q^ubifja^Ien/ A^ B, t(l eittf 
igubifia^L 

e« fep A. A=D, a(fo (9, 3, ®0 D 
cine eubif )a^(. 0}un tft A . B = C golg^ 
Ii(^ tft <7, 17.©.) A;B=D:a Sim 
pnb A^ B, ^nb\{iaf)Un, alfo al^n(i(beS5ct)fr^ 
ja^len. golglidt) finD (8, 19^ ®0 i»ifcben A/ B, unb bd^et 
(8/ 8. ®.) aucb iroifc^en D, C, pei^ niilttete proportionals 
jablen. £)a nun D eine Qubitia^l, fo if); (8/23. @0 <ui(^ 
C eine Subifia(^* 

€tne3a^(^ -B; bte mit etner (Tubifjo^f^ A; t>ettote(fi^(ti^ 
(um ^obucte/ C^ eine Subifja^f ikbt; tfi felber eine Stu 
fcifaaCl. 

(g« fe9 A . A = D, affo (9/ 3. ©.) 
D eine Subif ja^(. Sim tf)r A . B =r C. 
SoI«(i* iji (7, 17.®.) A : B = D : C. 
Siun finb D, C, €u6tf)a^(en/ a(fo if)nU6>e 
Sbtpwii^ktu SoIflit(i> foSen (8/ 19.6.) {wifc^tn D, C, 



A 8 B 27 
D64 C316 



A 8 B27» 
D64 C216 



J > 



poctionafja^en. 2)a nun A €m^nbitiif)t, fo fft (8^ 23 v®0 
au4^ fi eine ei^fjo^L « 

^ ©nc 3^60 A, betm tiuabrof, B, eine SuWfia^tgiefct, 
ip fefber eine SubifiafjL 



A 8 B64 C512 



@«fe9A.B=C, a(fo(7,i9*(l.) 
C eine Subif ja^L 3tun ift A . A =: 

B. golali* ift (7, 17* ©•) A:Br=B!a SRun pnb B, 

C, Sttbifja^fen.* golgli* finb (8. 19^ ®.) Jtvif*en B, C^ 
itnb ba^et (g^ 8* ®0 oucb jmifcben % B, jtt>e9 mittiece ^r^^ 
pettiomUa^Un. S)a nun B tint (Svib\tial)U fo ifl (8/23.®.) 
(suc^ A eine Qubitia^l 

15a* ^robucr, C, am tintt jufammengefelten ga^I^ 
A, in jebe ga^f, B, ijl eine ^btpet-jay^ 



A 6 B7 C4a 
D3 Ea 



^d^ A eine jufammengefelte^^^&I if^: 
fo »irb jte (7, X3» SO tjon icgenb einer 
^a^l B^ nact^ fr^nb einer $af)l E ^ ge; 
mejfen, bag a(fo E JD = A ift !Ba 
nun A*B?r C: fo iji £• D . B=:C Demnac^ ift (7/ 1 7*90 
C eii^e 5t6rper}a^l , beren @eiten E, D^ B. 

©er 8. @«|. ieferfa|. 

^pb »>on ^c Sin^t an mel^tjere ^c^kUtif A,, B^ C, D^ 
E/f, fJetig proportfonirt: fo ijl jebe jwepre, B^ D^ F^ 
eine 0uabrat3a^I; jebe britte, C, F, eine ©ubtfjo^I; jebe. 
jed^^ttf F, eine Ouabratjal^I unb Subif ja^I jugleid^* 

Z)a J : A 2= I 
A:B,, fo n>irb t A3 B9 Ctj Dgi. £243 F7a9 
(7^ ab. €0 B I ^ 1 

i>mt bee A jnac^ eten ber 3a^(; al$ A i^on bee Giii^tt/ oJfo 
nad> bet 3a^I A gemeifen, foTjlic^ 4^ B = A. A, a(fb B 
eine Cluabtoiia^L Sim |inb B, C^ D, {ktjg pro^ottionirt 






« » 



lit . * iMWi ®Mitmt 

• - / • - . 

'£)emita(^ ftn6 B, D, F, Quabtat)a^en. * 

Va att(^ I : A=B:C, fo mcb C ton B iiac$ ber 3al^(A 
gemeffen/ fotgUc^ ift A.BrzCrr A. A. A/ alfo C eine Su^ 
tifjalljl. -^un pnb C; D, E, F, (letig proportionittj Jofc^J 
lt4^i^C8/ 23* ®0 F itne (Subifta^L S)emnac& fiitb C^ F, 
CuMfja^lem SRun war F ou^ erne Cluabratgo^U Solgtic^ 
t^ F eine Ouabtatsa^I unb Cubtf jd^I sv^fcic^* 

@nb toon bet 6in^dt «n mel^cere 3^^f^«; A^ B/ C^ 15/ 
E, F, fletig oroportionirtt fo finb/ tt)enn4>ie erjli^ A, tine 
jQuabratiay i(i^ oUc fol^enbt Ouabrotsa^en* Unb, 
toettn bie erjle; A, ein^ (£ubifia^( ijl> aUe folgenbe Su^ 
fcif^Q^Un. 

S)a6B,D, 

I A4 B16 C64 D256 £10^4 R4096 

Ijpt im tootigen ®a|^ 6en)iefen ioocben« Od A^ 6/ C^ (lettg 
proporttomrt fmb^ unb A eine 0uabratid^l ift: fd.i|t Ctt# 
:i2. ®.) aucb t: eine jQuabcatja^L 2)a B, C, D, ftetig pvo^ 
portionitt (tnb^ unb B eine £luabrat{o^( ift: fo i^ (8; 2 a* ®0 
<iuc^ D eine Ouabtatid^ll @ben fo tfi ber S&eioeid f Ac attt 
ibrige* 

2)a6C,F, 
@ubifia^(en i A 8 B ^ Cs 1 2 D4096 £3 3 768 F26a 1 44 
finb , ift im 

tovisen ®aQe bcmiefen tDocben. ^a i : A^2:A:B; fo tpit^ 
(7, 20. @0 B t)On A nacb eben l^er 3a^, a(;$ A t>on ^tc 
eftn^eit^ dlfo nAcb be9 3a^( A gemeffen, ba§ alfo B = 
A • A. Shin ift A eine (iubitiafyU So(s<i(^ *!* C 9. 3 . ®0 



F,£lttabtat' 
^a^ten finb 



4 - 



B cine iufntvif)l S)a ;nttii wO^ A^% C, Hi, ftetig )>ro|>tt« 

tionirt ftiil^/ ft ift (8^ d3* ®0 I> ^ii*^ €u6ffja^. «u( 

^ ^ri<&ea ®(6nbcn i(t £ eine ^uhxtvkf^U »n^ f^ f^^t ^Qe fok 

I • 

r 

(Sittb ton bet Sin^eit on iml^rere Za\{tnf A, B^C^0/ 
£^ F, fletig ptoporttVmrt: jb jtitb^ toetia bte etfle^ A, M« ^ 
lie Quobtatia^f ifi^ mit Huinofyne febtr jnoepten^ B, D> 
F^ aQe t&brtge aud^ Mite Ouabrar j4i[^(en. Unb, mettii bie - 
erfle, A, fetwe (Eubiiia^ ifl, mit'Huimfitnt jeber bntten,; 
C, F, ailc 66pi$e aiic^ Wne Subif^al^Ien. ' , 

. «« fep A feme I 

Quabratja^f; a&er, \ i A a B4 Cg D16 £32 F64 

nxfun ^imb^ii^f C ) 

etne £iua^catsa^L Stun id A:Bz=:B:C/ unb (9/^* ®0 

B eine £iuQbtat}a^« Selgficb t>etl^alten fid^ A, B/ toit £luai 

btat)a^(en/ unb ftn^ a(fo i^nlicfce^^fic^enja^teit. £a nuii 

B eine Quabvatjal^I ifl/ fo ift e^ aucb A^ gegen ba€ ffngt» 

fiommene* ^olglieb ift C feine £tua&ratia^(, 9f>m fo toicb 

HfxitE unb bie ubrigen betoiefen* 

Sweater %all 

€i ft9 A feine ^ubitiaffl , , ain , n)enn ej mig(ic^; P 
tine Subifja^C. Shin ift B:C=rt;:D^ un^ (9/ ^. (50 C 
eine (Suki()a^(. Solglid^ t>er^d(ren jt^ B, 6, n)ie Cubifja^ 
fen^ unb ftnb alfo &^nQc^e kbvpt^fiif)lm^ fol%lid^ t^B eine 
iubitiaiiU Stnn ift t: A=:A:B, ba§ a(ff B wn A nacft 
tec 3a^l A demefien »itb^ alfo Bzr A • A ift %o^i^^ i^ 
(9/6« &.)'A eine (ivibitict^^ gegen ba< Sngenommene* 
So(d(i<b i^ D feine «ttbif ia^l 9bta {b toieb ^ Sfmeii f6c ' 
bie d^ngen d^^^^t^ 






/ • 



f 



1 

9 



y ** 






iU 



^m'i ^umm* 



• / 



@inb toon ber Sfti^eit drt me^mtgayen/ A, B^ C, Df 
. fletig propDrttomrt: fo wiffet lebe betfelben, A, eine nyei*' 
ter frfftenbe, D^ ttad) einei: ber gwifc^en ja^en/ B, C 

t)a i:Ai:^C:D/ f o I 
I9itb A t^0n bee (Sin^eit/ i A3 69 C27 Dgi 
uttbDD^nC^unb (7,1 5.00 

9ttVPtd}^\tC i>0Tt berCin^ity nvb D Don A/ nac^ dneiftc 
l<9 3<^^t gemeffem 2)0 nun C Don ber (gfA^eit nacb ber 3a^ 
C gemeffeit toirb: fb wfrb auc^ D ttm A nacb ber Sn^t C^ 
atfo na4) einer ber3al^en B, C, gemeffen. 

@inb UOtt bet ^In^lt an mc^terc 3a^f«n, A, B, C, D, 
^etifl pcoj)ortiomrt : fo t»irb febc ^timja^t, E, welc^e bie< 
f«|te, D, miffet, a«^ bie etjle/ 4, meffen. 

^age E ni(^t bie A; 
fo »atcn (7, 31. @0 
A/ E^ ^cimaa^Ien j|u 
iimn\>ex. <ii xottte O 

ton E Md^ bet 3a5I F gemejfen, bag W© E . F= D; 
duc^ »it?b (9, II. e.) D con A nac^ bet 3a^l C gemejfen, 
ba§ dfo A . C i== D. gor^li* Ift A . C = E . F ; f oIjHt^ 
(7, 1 9. 6.) A : E = F : C. mm wof en A, E, ^imiaf^ 
len ju finanbet, alfo (7/ 23. ®0 bie Heinften in i^tet aSec* 
l^&Itnig. Soldfi* miJTet (7, ar* 6.) E bie C, ba^ alfo, 
ttenn t>it$ nacb bet Sa^l G gefc^ie^et, JE . G'= C. 2>a 
abee (9/ n- ^.) A.B=C, fo ifl A.B==:E.G, alf* 
A : E = G : B. Sftm waten A, E, ^tiwia^rcn jn einan* 
bet, affo bie Hetn|ien in il^tet tBet^iltnig. Solglicb miffet 
(7/21. @.) E bie B, baji alfo, wcnn bied na* bet 3a^( M 
Sefcbic^et, .E.,H=B. ©a abetA.A—B, fo ift fe.HL 
:iiA.A, alfo fi:Ai=A:H. Slhin waten E, A, ^ttm* 
ga^fen au einanbet, alfo bie Weinfieii in i^tet ©ct^attnig.- 



A4 
E2 



B16 
Ha 



G64 
G32 



Ds56 

F128 



t9it)erfptt4t Z^emnat^ ift e$ fciifc^/ bog E ttic^t tie A meffe* 
getdfi* miffet E Wc A/ .- 

^ Obigec SSe^tei^ ift b^t n^m(i(^e fht- jebe onbre ^pdrnja^t/ 

iwJc^e bi$ O miffet* 

^  ' ,'''*.. , •• • •  ,  

V ^' ®tnb *on ber'®n^tt an m^mi Sa^len, A; B, C^D, 
fletig >tcporttomrt ; fi>nnrb^,»ennbieer|le,A,eme^rtm? 

jn^t ift; bie (4^^if 9/ ^^^ ^^<^ ^^^ i^ '^^^ 9^toportion bor^; 
^rgielenb^tt 3ailm, A> B^ C^ geinefCen, 

einer-3a&l E, ^n>e((^e. ^ s .E;*^' H^. 4Br^ W^-^ * 

mit ftriner bet ^ai^lm 

A/ B, C, emet»9^t/ gdnejfeni'Jf ^^^ btjcfirl^ne f^rimjoftf 

nac^ ift E einV jufamiiicrigefe^te 3!a6L unb tpirbalfo: (7^ 

36. •©,) wn irgenb einec ^cimjoj^ gcmejfm. ^ci Urn 

'^ nu? A ft^ti; writ efc^ anbre; bdEbie D^miffirt^ Vitleb'We 

' I^ / :f cIgUi* (9, 1 a. fe.) attSdb bie tjtin t^t Veif*iebene^cim^* 

§a^i A mefi'en mugte ^ #eb||t$ tftituf^gfic^ Ift. ZHrmnoijJ^' iiiif^- 

fetAbieE/- * * ' 

(88 m^e E bie D ndc|> bet 3tjfyf F, (b iff F mit Ifeinet ber' 
3al^Ien A^ B; iC, imtx[i}), wetl (bnj* eiite biefet 3a^rt We ly 
ni<* bet Ba^l E'tneffen mlt§te/ fM^ (9, ii/®J 

eine bet ^d^fen A, B, C, tie D, tia(<) eiit^t biefet ^fjlkn *{^' 
fet/ E mit emet biefet Sa^len einetfc^ mSte, gegen bie ®ot^ 
cfirtfe^ung. SRun tt>itb tbiebet, i^itMt^m, bitok^n, taii F 
fritte |jtimja^l fep, ttnb ba§ fte>on b?t A 'gemeffen wetbe* * 
^ ^(t alfo E*F=D, abet aucb. A-Ct=D> (0 Ift E.P* 
rrrA.C, dfo (7/ 19* ®.> AiErztJ'zC. ®a abet A ' 
bie Einijfeti fo miffet aucb F bie C. Jiefcbie^et bie8 uoc^ 
ber 3<^^(G/ fo toitb auf a^nlit^e 3(tt^ n>ie i^ot^et; betvie^^ 

SR 3 im 



•v. 



> 



182 



QM(ib'< CSUwmtt 



As 

E— 



B25 



-C 125 
G — 



D625 



tcrSal^ini A, 6, et^ 
«erf €9, auct tafi fte f et^ 
nef>rtmial[)(fe9, unb 
^a| fie Don A gemeffen merte. 

2>aalfoF.G=C, otor oti^ A.Bz^C, fo i(k A.^ 
=F,G, offrA:F=rG:B. 2)a «bec A bie F mtffet, f0 
i^et aw^ G bit 6. Ocfis^tf^et tte« md^ Ut ^ H, fo 
tokb tmt tctfyin bmieftn, t>a% H oict^t nit A cinerfe^ ift. 

SDaaffoG.H = B, dbcroitii^ A.A=:B, foff^G.H 
= A.A, olfo (7, 2o. €?0 H: ArsArG. t>a aUt A 
hit G miffet, fo mifet att(& HtitA, eine Mn i^r »etf4H(» 
^e ^tmiaf)i, mid^* mmbgfid^ tft SDetnnaib f^nm Dimi 
fewer anbem Qi0, ou^er Doit A, B, C, demefen toetbeiu 



Ba 
E 



A 30 

C3 DS 

-. F-~ 



^te mtt gemiffen ^ttmjol^fett; B^ C, D; tmgSare ffeCn^ 
fie 3^^^/ A; tt)itb nur bott biefen unb (eineti onbem 
5)r(mia^Im ^emeffeft* 

Hi t^etbe A, toefin ef m^slic^/ notft 
Mn eitiet f^nrnta^ E, toebbe mit fet^ 
net bet denannten finerfeip^ i^, ^m^ 
fen» 2)ieil fleft^e^ nac^ ber ^af^l F, 
ba§ dfo E.F=A H^. tfhi» toitb A 
ton ben ^timiaf)kn B, C^ D, gemeffen. 
33* $iO bon btefen enttoeber £ oberF ^tneffet. Sinn toxax 
tie oon be9 $rtmial^Ien B,C,X>0 tttitecfcbiebcne ^timioJ^l £ 
Don biefen nicbt gemeifen Merben. So(j|IM> t^irb F^ melc^ 
Keines, <iM A ift^ Don i^nen gemeffen^ mld^ci unm&gUd^ 
Gratt fnibet; toett nacb ber S^ociniifetuni fcbon A bie tkm$ 
fU mit B^ C/ 0/ meg6<ire ^af)l \% Tkmm^ fonn A Mtt 
f einer ynm)ai[^( auger B/ Q O^ gemefiVn n^erben^ 



SoffiR^ toirb (7, 






I 



A 9 B la Ci6 



9leiiitt#d IBoil^i i8i 

@tnt> brcp flctt§ ptop»rttomrte ^oi^tn, A, B, G, iik 
((einfim in i^cec ^e«^a(tnt$: fo tfl bie @itmme tswi j« 

!igcfHtci>» SMmintman(8/2.@.) 
i«M9 3a^(eiiD£, £F, wtl^t inbt^ 
a^Sitnig t>ee A, B, C, ^k ndoftea 
(tnt: fo i^ offintbac, bog DE.Df: 
== A, DE. EF = B / £F .- EF = C. »« (7, 44. ^4 
i)% EF, ^tm^a^isK ju em«nbw itnb: fo ifi (7, jo. ©.) 
. SF eine ^cioijo^ f»mf)i )» DB, aI< anc^ {u EF. 9ttm 
if^ DE cine ^mia^ }u EF. ^o^lic^ fi»t> I)F, DE, ^tiu 
la^fm itt EF,forgIi(|> ift (7. 26, @0 DF'.DE eiiK ^tttniaW 
iu EF; folaji* (7, 27. e.) au* ju EF , EF» 0hm i» 
(2« 3 , ©.) 5F . DE =^ DE. . DE + DE . EF. %$im ift 
DE;DE+DE.EF ein« ^rimja^J «» EF.EF, ^ abet 
«<»(j>f«>i3emDE.DEc=A, DE,EF=B.* EF.EF=C: 
ff ift A -f B cine IJrirn jaW iu C, / 

^tpcytena. ^cm fb beweifet man^ bag 6-i>C(|M; 
^"iwio^Uu A (t9. 

SDcttter^e, 2)a DF eine ^tnid^ }«. DE tub }tt EF 
.»«; fo iji (7^ a6. »7» ©.) aw& DF . t)F eine ^ciroja^I jtt 
DE . EF. SHun ifk (»,. 4.. @.) DF^DF s= DE^DE + 
EF . EF + 3 DE . EF.. ^tl^m ift DE . DK+EF . EF -h, 
2 DE.EF, (^^t Qvuif (7, 30. @0 DE.DE+EF.Ef-i. 
DE.EF •nb.DE,DEtJ-EF.EFVin« ^timi^l ju PE.,EF; 
t>aJ ift A -i- C eine f%imiaf)i ju B. 

@|ttb ittcp 3<»^f«o/ A/ B, 9Jtiini<«^f«n jw cinaribor, fl> 
ftilbt ed JU bepben feme tittte ^copectioDatia^f. 



A5L B8 C 



., <S^ fe^,, nienn e& msslii^/ eine btit; 
it C, fllfo - A : B = B : C. SRua ^nb 
A/ B/ ^timja^Ien ju einanber/ a(fo (7, 93. ®.) bte tMnt 
pti in t^cet Qec^&itnit. SofsKcb (7/ »i« 6.> tniitt A. 

3» 4 ^'f 



t84 &im>'i eUmmtt 

tiii> B , tod^ti tern 9n%(Muaotata \ 

m^crfpntt^t Z)einfia(l) ift ni^ A:B=£:C, olfio t<m 

ttiitt |>ri>|^0ttioiialia^l la A^ B* 

©inb toon me^rern (ktig ptcporriomrteri 3^¥^/ A/ B/ 
C; D; t)te iu^erflen ^rtmia^Ien ^u einanbert fo ^tebt ed 
iu bet erflen, jtix^ten unb le|ten feiite bterte 9}ropDitu>^ 

inoghd>, ane ttette | ' 

E/ olfo A:B=D:E; fo t|l vctxvcdj^ (?/ 13. S.) 
A : D = B : £. aittii ftnb A, D, ^nmsal^fen {u einanber, 
<>If<^ (7/ 33. 00 bie firtnftm m t^cer Ser^oftntfi* Sofgli^ 
(7, 31. 00 miffet A bie B- 2)a abet A:B=B:C^ fo 
mtffet B b(e C , f ol^ftd^ miffet au(^ A bie C. 2>a abet B : C 
=rC:I>, fo miffet C bie D, foIs(i<b miffet aucb A bie D, 
^et ati4> ft(b felbft/ fo(9tt(b miffet A bie A unb D, n>c(4)ej 
bent Sfngenommenen toiberfpricbt Z)einna<!b ift nicbt A : B 
= D. : £ / aifo f eine otette ^topottionolja^ iu A, B, D. 

S>tr 18. 0a|. Unfiaht. 

(Si flnb j»ep 3^^f^/ A/ B, gegeben , man fbtt etfor^ 
fd^eu; ob ed mbglid; tfi; eine hvitu 93roportiona(ia^i ^u 
i^jnen ju finben. 

'^ ©ie gegebenen 3a^(en A, B/ (mb hihoeber ^nmiaf)ltn }» 
etnanbet/ obet nic^t; 31* ^<^* ^P^* f''^ 9^^^* ^^ (9/ ^6. ® J 
f eine btttte f}topotttonaI|abL ^ bai ixovftt : fo fe9 B • B 
=:C , Stun miffet entmebet A bie C^ obet nid)h 

^tflet $a!l 

flUmeffeAbieC, twbjtiat I . «^ y^ ^ 
w^betga^tD.balalfoA.Dj^* ^^ ^^ ^36 
= C = B*B: fo ifi(7/20. ©•) A:B = B:D, forgli^ 
I&|t fi<^ )tt A^ B cine britte fyto{>ottionaIia^i D finbem 

3»e9^ 



»* 



/ 



f 



f 



S5ut^. iff 

V 

A6 B* D— Xiis' 



girtt rt feme britte ^ropottio^ 

imlja^L Seitn e< fep^ tpentt e< m^^tt^; )tt A, B; eine brttte^ 
^ ^ropi>rtio«aljd5f( D/ a(fo A : B =rB : D ; fo tohrt (7, 120, i®.) 
" A. D = B ;B r?: C ^ So(d«c& miffet A tie C nac(> ber 3<i()I 
f^ D;. t))el(^e^ bem Sngenommencn tDibetfpti^t Zkmtta^ 
gie^t e« ^tet feme btitte ^vopovtionalaa^t iu A^ B* 

r S# fhtb btit) 3afjleit, A, B^ C/ ge^ben , man fofl tu 
fpt^en^ 06 e« m^ilic^ ifl; erne t>ierte ^i^oportionalia^t 
)u i^runitt fiitbett* ^ 

S)te gegebenen Ba^feti A^ B^ C iinb etittoebev ftetig proper^ 
tionivt/ obetntcbt ®ie fc^n {u^cft flettg proporttonirt ^ fo> 
ftnb bK aitgecften A^ C etitmebet ^vim}d^en ju eiiumber/ obec 
nicbt. 5ft ba* Srfte , fo giebt e^ (9, 17^ ©.) {u i^nen lein^ 
tictte ^ropottionalja^v 3jt bat^Utt, unb inan . mac^t 
B « C =; D^ fo tniiet enttoebet A bie D/ obet tu^t« 

-^g^meffcAbie ^8811 C 18 - E 27 D^ifi 

t«t 3a()l E, »«a&o{fe A.E=sD=B.C: f» ift(7, 19. «.) 
A:B=C: ^, fof^lic^ Ut^ {t(^ |u ^ B, C cine t»iette q^tiM 

pottienatia^l £ fin^en. 

 ' ~-  ' 

gicbt e« )tt A, B, C feme loiecte ^copoctiiMialja^f. 2)enn efif 
fei>; Jbenn e« mSgllcb / ju A; By C eine »ierte ^ropoctionab 

^fji E, olf^ A:B=C:E; fo lit (7, l^.C.) A,E= 

B , C =:D. Sol9li<t> miffet A bie I) na(tf bee 3a^l E, toefc 
^ci bem Stigenomnienen tDiberf^ctcbt. S^emnac^ gtebt ed in 
bieffm galle fei|e tiette-^t?opoctjonali<i()l iu A, B, C 

SK 5 ®in^ 



•. 



r 
/ 



/ *' 



if6 



^umsfi eimtmt 



ftetift propmtipmct, unb man imic^l BX=::D/ fia mirti auf 
2i^n(i(ie SSeif^, t9te tot^iit^ Sej^igt/ Ifaa§^ mcfts A Me D mif/. 
Utp tint mtete |>cei>orttmuiIi<i^( in jinben mi^^lkft i#^ miof^m 
atop A nu^l bit D miifet ^ f^etf unmpgKtb i^ 

Die SKenge bet g^timja^Ien ifl stiver, ate ^be jjeje/ 
6eite fOlenge berfetten^ A, B, C . ' 

aiimmt man (7, 2 8* 00 bie mit A, I ^ ^ B ^ C j 
B, C, mfgbate f teinfle Ja^I ^D, unb fe|t ' « .0 n ir 
bie (Sin^eft DF fyinjn : fi> tjt EF enttw* ii.^11 . i» 

bet eine^cimia^l/ obec ni#t 3ft ba< Q^tfte: fo tf^}tt ben 
— *; — ^cK^i^.^c*.^ A « ./^ ^i "^ -eEF ^tniudtfomA 



As B3 C7 
EJ21D.F 



(7/ 3 J. @0 EF ton icgenb einet^cim^ 

^^( G gemeffenw S)i€fe G t^ mtt (ei^ 

net bet? A ^ B , C , etnetle^. S)enn n>are 

ffe e«> fo tonrbe fie £I> meffen^ fd^ii^ 

ba fie EF miffet, aucb ben. Stefl DF mefen^ ttne go^t bte 

(Sin^eit; mltbe« nicbt m&olkb tft Zjemnad^ ift bie ^tim^^ 

^^ G mtt fetnet bet A; B^ C/einetIe|); unb ift alfo (u ben 

0egebenen'|Mm)a^(enA^ B^ C, eine neue G j^njugef ommen. 

Die @umou )ib<r Silence getabet ^a^Ietv A^B^^C^^D^ 
ifl eine getabe ^a^l 



A4 B6 C2 Dft 



2)a iebe biefet S^^^l^n getabe 
tft: fo ifk fie; foigti^ omb bie 
ekmmt attet ; mit bet 3n>e9 t^eifbot. 8o(d(t(i^ ij^ C7# 6, @.> 
bit 6tfmme eine getabe ^af)l 

©er Z2. @a|* lefetfaf 

©ie (gumiiie jebet getoben SKen^e ungerabet 3al^(m/ 
A, B; C; D, ifl etfte getabe S^^I* 



2)a )ebe biefet 3al^(en unge 
tabt tft; fo et^&it matip mm 



A3 B5 C7 X>9 



ton 



I 



tatif Batten , becen eumme alf o (9^ i» i • ® •) getate ifr* ^m 
gelglic^ mac^t ^ (9; 2 1 * @0 mil )en^t ®iimme ettif gerabego^L 

/ ©te &\mmt febet uitgeraben SWenge ungeral^er ^a^i^ 
Un, AB; BC; CD, ijl eine ungerabe 3<»^I* 



1 



aftimmt man t)Ott CD bie (Rin^eit A5B7CSEiD 
DE, fo ifr ber Wtfr CE flewbe: 2)a | "^ 
tittnf9, «2V€0 AC getobe, fo tjl (9/ ^i- ®0 an* AE gc^ 
rabf; f olgdc^; mm bie @in^eit ^in|ufoimrtt; AD «og£tabe«. 

lUi 

©te ^tfetsenj, AC, jtoepet gcwben ^o^fm, AB, BC,. 

2)a bepbe ga^len getrabe <tnb/ fo ifl jebe, | a 6 C 4lEr 
jiflb ba5« att<^ <^K ©jffetwj nit ttt 3»cp | "" 
f^iUbcx, Soli(i4> # frft^e apiffeniii (Me gccabe B<i^ 

$)ie'Ciffct<n$, AC;^tti«r gcraben unb tingcrabeiiSa^f, 
4 AB, BC, ifi citw vng<rat» 3<»^I. 

0ltmme mmt »on itt- m^tvaim ^d^l { a TC > D 4 B^ 
B( . »»e eCn^it CB, f^ ip b« tRfft PB flt^ f ^ 

taU, folsli* (^, a4. «.) AB -- BD r= AD - gecobe. 
.9{iiniBf iiKM ^iecbon tie tt»!^t CD> f* ift AC imgetabe. 

^i« $4i|f«rett|, AC, jwepet unsewben 3«fefeii> BC, 
" AB^ i(l eine getobe ^afefj 

Siiimmt man oon bet un^ecaben 3o^{ '^Ia4C<^DiB~ 

bie tin^eit BD weg , fo i^ bet fReft AD f 

f getabe. SRun ift ou$ $Iei<bein Qtunbe CD gerabe^ Solslic^ 
ift (9, 24. ©,). AD — Ce^ AC eine gecabe ^U 



w 



MU 



rt 



AB, BC, i^ cine unaeraCr 3<^^L 

P6 9eri»f^ f0%fk&(9/ ^4- &) DB--BC=:DC in&c. 
Jl^oil ^ir^ tit.Cn^ AD/ f^ ifir ACctse tmgcr^^i^ 



Da< fj^htttf C, mi cttter miAeraben 3<^ ^# ^ 
tie ^erabe^ B^ i(t ettie grrabe S^^f* 

2)a A.BrzO^ (b beflc^ C mt^ fi» Me 
len tet B sleic^en ^^Irn / aM in A Sm^ettcn 
0nt. Z)a nun 6 dne gera^e ^afyl, oifo C 
tit Bummt ^tta^tt ^oJ^ffen: fct i^ (9/ a i. 9.) 
G dne f eciibe 3dl^l. 



A^ B4 

Cl2 - 



tj^^ekte imj^erabe 3a^(* - 



Aj Bs 

CIS 



2)a A.B=:C; fo bef^e^et C ata ip tft^ 

■ifn. bet B gUdti^tix ^Im , M m A Sit^ti^ 

ten finb. SDa num A^ B^ ungecabe ^o^Ien^ 

«^p C tie 6timnie einec uoderaben S^tenge 

cmgerobef 3al^ten: . f^.. ijit (9/ so^ €^0 C fine iti^mte 



©ie ungetabe Sa^f/A, bie eine getdbe 3a^f, B, mtffet^ 
miffe( auc^ beren Jg)&(fte* 



(8« meffe A We B nat^ t)er 3a^f- C, fo 
Ift C nic^t ungerabe* 2)enn wate bieS, fo 
w&re A « C = 6/ bie @umme eitiev Vi^^i^ 



A3 B12 
(aten 



r 



(finmtti ?&a^. 1 &9 



« 



A3 Bs 



tahtn ftenge mndcra^ei; S^^f fol^litl^ (9/^)^ 9^0 nngo 

.©U unfterabe 3<J^^f A, bje ju einctga^t^ By eltte^iin^ 
ja^t ijl, ijl auc^ ju bercn ©oppeltem, C, eine ^^rtftiiol^L 

bee, fo tDurbeir fie f>on icgenb einet ^Ctf)l D 

gemefTen/ melc^e ungetabe fe^o mu§, meil A 

tttifetabe i% 2)emnad[> tnii^ bit un^exaU 

3a^ D bie gerabe C, fo(g(tcb a»(^ beeen |)&(fte, iai tfl B; 

atfo miffet D bie A unb bie B^ gegen bai VngenomtneaeC 

SoIdK^ ^^ '^z ^/ ^t^Na^kn {u einMbec. * 

Tttle bttr4> fortgefe^ S^erbowelimj Hon btr 3»e9, A/ 
an entjianbene 3^^^^^; 6, C, D, finb nut: gerabemd 

gerabe* 

©ag fie e« ftnb, ee^eOet | ^ a ^ . B 4 C 8 D 1 6 
otrt bee (Stttfte^uTtfl biefec { 

Sa^lett. abet fie f6nrteit avt^ nit^tS dnbert fepn. ©enn ba 
fie Don Ut (Sint^it an ftetig proportionitt finb , tinb na^ bet 
Sin^eit bie nScbft^ A eine $cimi«^( ifit: fo (ann (9/ 13; @0 
fetne bet ga^len 6, C, D, Don etnec anbem 3<tl)( ^nf et ben 
mber ^topottion i^c botge^enben itmt^en toetbem \ 2>em$ 
na<lb n>ecben bie geraben Ba&(en B, C, D, nttv dm getabeit 
Sat^kn setneffen; unb finb tfifo (7, 8^ ^0 nut derobemol 
gcrabe. 

\ ®«e3#/ A, beren J^a(fite,ttiijerabeifl, ijl mir gt? 
rdbemal nnsetabc^ 

©a' 



V 

1 



i' • 









f 



- — » 






X9O 



iSv^Vi €(emehte 



\ 

y 



fiiiMll^ciiier ^etobm 3a^l ^meiTen totrb: fo ift fie | . 
<7, 9. 9.) QtxcUmai ungerobe. (Sie fann a&et dut^ nittt 
mibcc< ff^it* Tfcnn toatt A gera^emal gerabe^ fo wfittc 
fk (7# 8* 90 ^M ^ner geraben 3a^l natb einer geraben gol^i 
Semefni/ foigKc^ «u(^ i^re $a(fte/ tpelc&e^; n>eilMefeufv ' 
fittaU ift, nic^t fepn (anm golglic^ ift A nw sefateml 

Sine gerabe 3al^(^ A^ bte nic^ butd^ fortgefefte 9)er^ 
boppefung bon bet ^vm^ an enrfhmben^ bereti Jglalfte auc^ 
iti^t ungetrabe ifi/ ifl fomo^( gerabenml gerabC/ old auc^ 
^erabemoi uttgetabe. 

Z)a6 A getabemot gerabe fep^ folgt (7, 8- @.) f a 12 
tataui / ba§ i^re |)alfte nt<^t tmgerabe ift« @ie ift I 
aberauc^ getabemal itngerabe* SDemi; ntmmt man ton A 
tie $&(fte; ton biefet tbieber^bie f^iUh^f unb immer fo fort': 
fo f ommt man )ule(t atif eine ungerabe ^a^l , bon melcber A 
tia^ einer geraben3a^( gemeffen mirb* S&me man nicbt.auf- 
fol^c 3a^t/ fo mj^te man auf bie ^mp fommen, unb bann 
to&rbc A, wiber bie Sorau^fe^utig , burc^ fortgefe(te S3er^ 
boppebing bon ber 3<oeQ an enlftanben (^pn* ^mna4> t(k A 
a»^ gerabemol tmgerabe^ 
* 

@tnb mel^rerf '^(x^txif A, BC, D, EF, (letig proper^ 
tlonirt/ unb man nimmt bon ber jmepten; BC; unb bott 
ber \t%Xtxif EF, ber erflen A gfei<^e ga^Ien GC, HF, xot% : 
fo berl^a(( ftc^ ber 9te(l bon ber iKot^ivx^ BG, jur crfleit 
Safel, A, toie ber Stejlbon ber {i%K^nf EH, jut (Summe 
aUer bor^erge^enben '^<x^zx(f A, SC, D. 

« fep FK=BC, unb FL=D. S)a a^ au<!& FH 
= GC, .fo ift a^ejt HK=Kcjt GB. Sflun ift^EF : D = 

D:BC 






^Sii4 



«»« 



Ag 
Dig 



D:BC = BC:A; «tt<»FH = Ar 
So(0li(i 1^ EF:FL = FL:FK=: 

FK:FH, fMdfk^ (5/17. «•) ge# 
ttermt EL:LF= LK:FK=KH 

:FH, folgli* (7, 1 a.®.) KH,:FH 

=r (EL + LK + KH) : (LF + KF + 

HF). g^un ifl KH=B6, FH= 

A, EL + LK + KH=EH, unftLF + KF + HF 

A<t-6C + D. 8olgU<^ ifk BG : A = EH : (A >!> BC 
+ D). ' 

1 

Cfttmnit tfidn fo t>tele ^on tec €tn^(tt an fi<;t(d Dettop; 
V<(te 3o^<fl/ 1/ A/ B^ €; I^ 6ii teem ^umme «tni 
^ttmsa^I; £/ wtctn: fo ifl bod ^robuct; FG, OM fofc^cr 
^umme^ E; unb bee (e|ten jenec 3o^<«7 ^/ <tne i»ott; 
(I4«btflc Safer. 

9}tninn rmii veR E an fo t>ie{ 
ftettg t)ecb»7pe(te 3a|fcn E, HK, L, 
M; aK 3a^(ett A, B^ C, D, ftnS: fo 
ift te, 33. ®.) Aue t>em (G^td^ 
.A:D±=E:M; fofgfi*(7,i9.®.) 
A.M = D . E = FG. gtl9H(t 
miffet M bk FQ na(6 bet Ba^I A; 

ba< ifk/ nacb bee B**'^/ ^§ Alf' 
FG= 3 M Ilk, folgli* E,HK, L, 
M, FG; wel(^ aUe bunt) Secbop« 
peUtng t>on einanbec entfte^en/ fketi^ pcopoctiotrict ftnb. 
Sftimmt man mtn pon ber jtoe^ten HK, n>ic aiu^ 9on bee («^ 
ten FG, bie.ber eefien E ^fMitVi Sa^Ien HN, FO; toeg: 
fr ift (9/ 35®.) NK:E=:0G:(M+L^HK+E;. 
S)anunNK=£, fo tflt auc^ OG=MH-L'i'HK-f-£. 
Sba abet FO=:E, unb £3= i^A+B-f C+D, fo 
ift bie gante FG= 1+A+B+C+D + E+HK + L 
4- M/ unb wirb »oit aden gemeJTen. 9be( au(^ 9011 feinec 

an' 



A 2 

B4 
Cg 

D16 



£ 31 

HiLNJi.K 
L 134 
M 34g 

F 31 Q 465 f? 






J9» €Mi^itkmnu ^Smaa^u^ 



A « HJLNJLK 
B 4 L124 
C t M344 
D 16 FgQ^sG 



jD€9^ ft Mtkf^ vnn 
« «i(fic^ i#, FG iM r ym«i{ies, 

gid^ OMEky ft?/ «id ii ^ftfd^dfe 

£:QrrP:D. Stmiiraft i, A,^ 
C/ D/ fMi pftfmfimHit/ «* A 
fiiic ^^wuffitfUf ta^ oih (9^ i3« SO 

Mti A, 6^ C, «H» m^ M« P gcMfdi «R». Sfltgiil 

(7/ 30. 9^.) Q OK^ 9M E fnnciini. 2)a ^cr 

10^/ fi<§JI* (7/ 31.6.) E,Q,Vcini|oifai 

f04IJ4 (7/ 33. 6.) MeflnBMM i^Sn^&fiiif : ^ Mt» 

(7/ 31. 6.) P *M E, Mt D M« Q m4> coKik? 3^1 fe; 

nKink Kw wii^D »#» tarn «a>cn 3«l^(/ ott mb A, 

etaM mit B, dnctfep. Z>a mni B; C, O^ aiA E, KH, L, in 
(itKtl(9 tkr^JUtnit, fo ifi otis t>rm (Bkid^oi B:D= 
E:L, fo ifk (7, 19. e.) B.Ls=D.E=Q.P, fofgfii* 
(7, 19. €5.) Q:B=L: P. D* alfo Q mit B (iit(rif9# fo 
ifi «tK^ L flrit P niKt((9 , tDefcM ^eui andcnommciKii , o<i§ 
P mit fdoet ^et 3a^ A, B, C; u. f. to. dnnkp fep/ n>i» 
trrfpvb^t SD(0ii<^ wirfr FG »on f rincr m^fm 3a^( , ott 
ton toi often gei^u^ten gemeffen. Stun n>ac FG ttn oben 
trbot^cn ittfoimiKn gfoic^. %9i%\y^ \fi FG eine Mlfft&Btige 
3«^ 



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tttf liri € 1 1 me ttte 

Stinted Jfett^ 






■ii«fii«MM»i 



6 t f I 4 r u tt 9 e ti. 

l.SZrdtttorr^ftfutraWte i©r&|cn ifeciielti, toddle febtt einem 
' ' tonb botffeI6cn SOJaage deWeffen wetbcn ; 

a. j|ttc6tttttlicn(ui:dbel[e o6cr> fit ttelc^* ftn^ ^at fern fl<? : 
,. jltettied 2Jlaa| fJnben la^t. . 

^. <Bel:<ibc JLmteti i<nb iii g3>6!«nj eotfUmnftieabeO 

to>eniR i^ce iQuabctite boh einem unb bemfelben ^a« 
i^enMU^ 9eM<f^it mrben i 

4. '*!»* pdt*rtM»»cdii*»«ttifiiwM d&e% teciin ftc^ sat 
bratefrtben (a^t. 

himtnenen getabeh Otitic unja^ftge anbete «erabe 
i^fttcft tntrteJxt ebmoiettfurabel bbrt irtcofttmenfuf 
tabel finbi Uttb Jwot emJge foitoo^ in, Sionge a(« 
^^tehi/ 6nbm abet blo^ itt ^btenj» i£s beige 
•■ * ba^et biefe aA9eiib|nt)tine getabe '£ime ratt^rtal ; , 

S. '^u<j^ bte^Weic^f i^t eitttoeber t« ^Sttge unb ^otenj, 
obet blog in ^Otini tomitienfuVobel ipinb^ foUett 

y. 3t*<ttJ0ii4«b(Jt/ bie i^r ittcotiatenfurabel ftnb. 

i. 3^actoital letge outi' bod iQuobcat bvt angenorttmi; 
nen .£inie; 

(Iuttt6*« f (em< IS 9^a<6(;. * Kt 9.?(u^ 



:/ 



■> 



X94 tu^Vi €femefite 

9/ ^ud^ tt^od fol^em iOtuabrote comtmnfuraSel iff, foil 

ii» }(u(^ (ott \MiwUf Wtl^ etfitfl tttationalen Staum 
yotenjin^ irrattcnal ^et|eh/ namlic^/ menn ed 
€tn £iit<*fiK"^ , -feitie etgeiw @«ii^ obff^ noetin e^ 
eitte anbere gerabltmge gigur ifl , bte gerabe £tnk, 
beten ^mbrat bkfer ^ut g|ef^ ^.'^^ 

genbe* lateinifc^ei C fe^n* ^a« 3^i(feen umg^efc^rt 
(U) be^eutet tncommenfurabefe @v6§en. jft bie^ 
f?m3eict>ert ein Strict ang^^angt (^-) Ccr>^ fi^ 
bebeutet bic^ / t>a§ bte gerabett Sinien k(og in-|)otetii 
commeitfiitabel ibtt tiiccainKn^c4bei f!!ib* . . r 

** ©ie fltt«|)tfcben ®icter f lyrev ttiil)' aXcyov fajf^n 0* 

nicbt beffei:/ aB burc^ r^ttonat trnb trratlOftal 

ottlbnscfi^/ titsc mu§ man ^teft $(n«br6cfe m Ux% 

. @infie ne^meit/ bei; in c^ig^en Srfiat^i^gefi ^(fiiatt 

befHmmt iff, unb fie ni4)t ttpn S'^&kP/ frnbetrn nur 

, . i^on gerabm irrnea^ twn benen Mog ^iej; bU ^ebi? 
ift, in fciefem 6mne ge&rau^iem ' 

*** Juviftjui^ fijnn tarob Pottflj u&?i:ffe§t tt>etbetH »ot^ 
mUt man d6er b(p§ \>i^ imptt ^^mjn obfr bai 
£luabrat/ mx^tdf^n mu§. ivv<zSnct foU tabei: bureb 
poteti5iren au^gebtutlt/ ^nb Don £itiabrat(^iten 
gefagt werben; ba§ ntoUcb t)&neinjr Smij^^ betea 
Cluabrat einein gewijfen Diauwc gfew ift/S^fngi 
werbe, bic ?inic poteiijtre biefen SRaum/ 3>n 
SluSbcurf, eine Jinie poten^trt irber cine iioe^t^, 
b^ifi^ ba« CitKtbcat ber erften fibertriffe Hf Ouab vol 
ber ^me^ten urn eioen gemifTen 9taum« 



©er 



\ 



Dt 



@mb>swcpungtei^e©i;&gen, AB, C, gcgeBert/^tiitti^ 

matt oimmt t)oa hex gtB^ern, ^AjS/ tnel^r afe fcte ,$aift^ 

, weg, t)on »em Slejle tpiebeti me^'rxil6 bte^affte, unb 

fjj immer fort: fo jfontmt man irgmb ei^mqf auf tU 

ncn SKejl, v»elc^er ffeinet: ifl, a(S bte geaeberte fieinei:^. 

SRo^e^ tK>a< immer ong^, ton C dn 

SBietfac&rt DE, n)el*«« jana^ft > AB ifi, 
mtA t^eHe folc^e^ in fdne Dec C gfdcbe $^ei^ 

le, DF> FO, GE. S5on AB nimm lee^c 

4l« We phlfu BU, w>n temfRefte AH 
^ ine^r att bit ;^affte Ht, imb fcif 6 fo fett, 

ti« in AB fo t>iete ttbfc^nitte AI, iH, HB, 

<il« J^eile in DE^ finb. 

, 2)a alfo DE > AB ift, ^b t>on BE 
tpenigei: d Wbie «^iiff te EG / t>on AB aiet 
inebc nU bie |)atfte BH meggenoittmen 
wirb : fo ifi bet CRefi GD > AH. Slun 
»iirb ton GQ bie |)tofte GF, ten AH aber me^r ott bie 
^4lf te HI , toeggenommen. gof glicb ijt ber iReft DF > A ., 
obec, toeil DFnrC ijt, C>Ai, folglic|)' ber 3tefr 

Ai < a 

Jl 

«uf &&nli(i»e STrf »irt bee 6a| 6e»jefeft, toenn in AB 
immei: nut tie ^ft« toesacnommen i9trt)> 



I 

Ht 



•F 



* G 



Bi Cl El 



\ 






3»e9 ungietc^e ^rifett, AB, CD, ftnb', tomn 6fl> 

SKefl bad t^m n^^ SSoiii^ti^^m^e itmu mifjtt,- itu 
coronienfii(aM» 



0i a 



> I 



$B)aren 






If* 



€iiW*€kmmt* 



A 



B 



Ct 

F 



^jtos ^ iigflA (in soHtitti 9Uui%, £• 
3tni aKft Me fldnne AB bit DF, tof 
»(r9UflFC<AB,inibMce 3Ufl FC 
aufe Me BG, ba§ »(» dtef AG<FC, 
«ab fo f oct, M< ein 9te^ AG < E bamt. 
SaEMeAB^ Mb AB bie DF ouiet: 
f» nigitt E bk N*, abttaa^hU ganje 
ED, foidik^ ben Steft Fa 1^ «ffi» E 
bte FC, nnb FC b» BG mifftt; f^ nnilet 
£ bk BG , obet dwib bie gonie BA , f olg; 
fitb ben fUt^ AG/ dfo ba< @c6ficce E bal Sfetnete AG) 
aoefcbetf . undi6g(i<b i^ IDeanuu^ ^dbeit bi> Scbfot AB^ 
CD/ fern gcineuuf 9ltaa|/ tmb fiiA fdf^U^b incodmenfinrabd 



&1d 



$dr jn>e9 gegeSene commenfuYaSefe @(b0«t/ A6^ CD^ 
ba< dt:6|te geinctne Wtaa$ ju jtnben. 

gtjter §oif.. f 

®enn bie fletnet^ AB rie gt&iere CD mif^ 
fet: fo tfk fie/ ami fie autb fub fel6(i mtfTet/ 
Ciii gemeine< ^aa^ fur be^be ; abet avujf bai '^ 
^rbftC/ mH ttm gr^cce bie AB meffen 
fann. 

Ar 



Bl Di 

Senn AB bie CD ro^t mHfet: fo nrafi/ ft>d( btei' ®xh> 
fen- commenfacabei ^b/ be^ niebec^olter Sffiedna^nw be« 
^leinern »om @r6§ecn/ enbiicb ein fRefl ba« t^m nocbfi 
l^or^erge^enbe genau meifen. 9i melTe ninificb AB bie 

ED/ 






«n 



A, 
F 



E.. 



I 



TED, fcaff^«efiCE<AB; CEnwire ' c. 
^ie-BF, bag t)ec Sveft AF<CE5 ttnt> ntm 
mcifeAF Die CE ; frifl AF M.$c% $«* 

©con ba AF We CE, unb CE bte BF 
^niffet : ftpmiffet AF ble BF, afax <xu<b ffc^ 
fdb|i/fi49H* t>U SlS^e AB. 2)a alfo 
AF bie AB| unb AB bie EQ «iff«tj fo 
xom AF bift ED, abet «a^ W CE, fijfg^ B 1- Bl <S. 
li* b«e saiije CD, 2>emna* miffet AF . 

pie AB fltt^ CD, w^ ift ttlfi^'beten ^m^m ?Rwl; ofee 

- ©eringefe^t, etl^p, mo. in6|tt4i < ei'n gtJ^et^ G. SJa' 
G We AB,. unb Ajg Ute DE wiJFet: fp mtffct G bie DE, 
obe? au* bie gwje CD , firfgfic^ ben SReft CE, 2)a orfo 
<i bie CE, untk CE bie BF wi^et : fo mfff?( G bie]8F, obec 
(iu(b bie ganie AB," f^fglii^ ben SReft AF,, alfft ba« @t66ete 
G ia^ Sleincce AF, »ef(^« unmiftll* ijl. ©emnac^ ^aben 
AB, CD, fein gemeineS SIRaag, ba« go^ec al« AF »4to 
folglid? ift AF il)r <it6§^ef 0W«W« 5Ra«S« . 



^ t 



3 V f a ft 
|>tecau$ (t^ettet,, bag «iiie ®t!if(x. wei^e iti»(9 ®c6gett 



gfic bxt^ gegeBene commetifwaSeU. ©t&g«n# A, B, C^ 
bad 8t^(^ 9«metw SRwl 4*^ f<«*J«n« 

giimm (10, 3, ©,) ffic A .u«^ B ba« gcJfte gemcinc 



9i| 



QSffletf 



^ V 



^ i, 



i , 



198 



^yitiVi f^Ieitieote 



?!Riffet nuh D auc^^ Wc C: fo Ifl 
D offenbar ein gemeiwe^ SRaal te? 
A, B, C ; abet aud) fcd^ grbfite. 2>enn 
e$ fcQ , mo mc^ttct)^ ein noc^ gt&ge^ 
xeS E. ©a E bie A, B, C, affo bte 
A/B, miffet; fo miffet (10, 3 • 3ufO 
E aud^ bie B, ^0 ba« 9r6^ere£ 
fc^d ^leinere V, totUfti unm&g^ 



I 



 1 



1 \ 



 r 

I  •  

p  I  r 



A3 CDS 



• 



1 



4 [ 3wf9t^«^ S^H* 

SOWfiet abet D mcbt bie C: fo 
fu4c Cio, 3. 00 E ba« 9t6§te ge? 
meine SKaafi bet C^ D, itiet(t>e« 
bann ba^grbgte gcmemeSRaag ber 
A, B, C, ifn 

SDenn ta$ (^emeine 3Jlaa§ bcc 
eommcnfurabelen (^vogen A, .B, Q^ 
tniffet A, B; a(fo (io» 3. 3wf.) 
auc^ bercit gtogte^ gemeine^ ^aa^ 
D, abcr aud) C, fptgtic^ C tmt) 
D# f»el((^ ba^t lopmenftiraW \Q C D E F 
finb* 

gjun f)abe man E/ ba« gtJgte gemeine Wiaat ber C, D, 
gefunbem 2)aEalfo bie D^ unbDbie Ar, B, miffet: fo 
tniffee H. bie A^ B, aber w6^ bie CT, unb ift alfr ein gemein^ ^ 
SJIlaag ber A, 13^ C ; abet* auc^ ba8 gri§te* 

25enne«fe9^ too mSglicf)/ ein no* grft^erei^ F* SDa F 
bie A, B, affo (10, 3. 3uf.) bie D rtiiffet; abcr ail* We. C, 
folgli* C ttnb D: fo miffet F (10, 3. 00 auc^ bie E, bie (* 
gt6§ete F, bie ftcinere E , n>elct)e« unmfcgli^) ift\ S)emtiac^ 
l^aben A, B, C, fein gemeine^ ^a<x%, ba$ grogec/ al6 E, 
wave. 8f^;JJ4> ift E i^c ai:6|te« gemeineS gRaa§. 



• * 



•r 



3($lM(d 



*9? 



\ 



' 3 It f a |. 

^\ttavii,t\!iizM, ba§ cine @t6§c^ .iDcfc^e, l)reQ ®«6irti 
giijfer, au^ ba* gt:66te gemein^ SWaa| tc^felbeit meffe* 

Huf a^n(ic()e 9t;t ftobetinan oiicf) fuc me^rete @co§en boS 
gjogte geiwiii^ SRao^^ imb ^fnt)et auc^ ^cvouf obi^^n 3tt^ 

3a^(?n ill eirufnber. • 

« S)a A^ 6/commenfuta6#( f|ti^| fb ^obtw (te 

trcjenb cia gciDLciiKA- 5Waag C» 3f* lUin C irt 

A nacb brr 3<:if)f I>/. in B ^^^^ nac^ ber'3<i^ 

E cnt^alfrn : /o ift C : A = i : D unb &arc& * + 1 

Umfe^rung A:C=?p:i, auc^ C;B=: 

I : E ^ f (t[g(i4) au& ^cm <&ie)4?en a ;B z;= 

D:E. 



I 



A C B 

®th^f A, B;. welc^e ficfj »te ^a^fen, D,. E, ju eim 
Attber \>e4a(ten , finb commertfurobel. 

' J^cife A in fo i?ieU gjcr^e. i^eUe, al« t«L 
D Sin^citen pnb, unb e« fep jebtr berfet 
fcen = C. gf(j*e tt^) C ein folc{^e« ©iefe. * 
faci)e« F; <A^m £ f^^eiteti ftnb« 

Sa alfo A:C=D:i, unb C:F = 

i:E, fa rft due Detn (Bleicbeit A:F 
^ D : E. SliKti {ft nac^ bee Sorati^fel^uns^ 
A:Bs=D:E^ Solglic^ijt A:F— A:B, 
fi>ldti* (5/ 9- ® J F= B* mtt C miffet 
We F, alfo Mif bie B ^ ober aue^ bie A^ D 5 E 3 ^ 
fDlgli^ A unb B. ^mnoc^ fin^ A, B^^ 
c^mmeofutaWt . . 

•SI 4 €in 



V 



AB C 



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• i 



• t 



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see 



ttam'i €((m«ttfe 



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1. 



AB 



I 



C 
f 



F 



/ 



S5^i(e A in fo tide s\ci^e ^tiU^ali 
in D (Jinl^eiten jinb ^ unb ti fe^ 4*^f b^«^^ 
fielben =r C, , 2)cmna4> ift C. : At= i[ ;D, 
Run ift na((^ bet ^prdulfefuns A; B = 
D : h« SoIdUc^ i{^ ^'ue &etti <Bletc^eti 
C: Bsr I :E, fip^ t mifpt feir £^ oifA 
auc^ C^ie B / a^( and? btf A; folgttc^ A 
tinb B. ^ettpac^ finb A/ B^ cpmmenfu^ 
tabiU 

^^ierauA erj^ettet^ ba§ ^^ tpenm jme^ So^ten^t 
D^ E^ unb tint ^ttaic iink A, gege^en mot^ 
ten , erne anbere gerdbe Sinie; F^ ^efunben 
loecben f 6nne , bag D : E =r A : F fe?* ©u<tt 
man nun jwifcl^en A; F; eine mtttlece ^topot^ 
tionalfime B : fo ^tti^Ut ffc^ (6, 20. gnfO bie 
^\ivx auf A^ iu^bet t^r ^^nlic^n unb a^nlic^ 
*bcfc^rie6enen gigui? auf B^ »ie A:F, <ilfo am|> 

P9 ?4 

Ibmn t>er5ie(ten |le fK^i tDte go^en^ foiD&ceti 
fie (la^ 6, 00 conmienfui?a6eI j gegen b«« Ib^flieij 
liommene» 



V 



A B 






|5«^<« ^tt«^t 



SOI 



tfec^ofteo f tint) tti«niw<ttfU?a^e(. 



\ 



fl< ft* (iO| 5, ^.) iwe 3a^w; segen M flng?? 



r- 



5 . 



^k iCluabtau d^rabet in ihu^t commcttfutaBekt £t 
t\«en I A; 6, V(t;^a(ten ftc^ me OvabtaUa^Ien ; isnb Oua< 
bmtf f n>eld^e fid[> i^ie Ouabtatia^Un bet^lteit; ^a6en In 
^&nde (ommenfu¥4f^U ^eiten^p A^ B^ ^in^esen bte Oua 
brate d<i:<ibj0r in fian^f incdmm^nfut<(Mer £inien, A; B/ 
ber^Iten ft^ nid^t n^te Ouabrotia^ff n ; unb Ouabrate^ 
m(c^ jtc^ ni(f)t n^ieOuabratia^fen ber^atten^ l^aben nt^t^ 
in ^inge fomnwnfura^ele ^eiteni A, B^ ' \ 

6inb bie gerab<it i'mm A, B^ 
tu t&ti$e (ommfnfurabe{ : fo i^et^ 

3)enn A, B, ts^rftaften^t^ (i o^ 
5."©.) toit 3<>&l^ C, D^ obct 
edift A*:B.= C:p. mm ijit 
(6, 20, @0 D A • C3 E =;= 2 (A : 
B) unb (8, 1 1, SO C^ :0^ =; ^(C:b). gplslic(> (ft Q 

^>£m attbefc^ 25eweik ®o A nB , fo ift (i o, 5, 0.) 

A;B=C:r)* giun fe? C» =E; C,D=S:F; P' =:G; 

3J 5 «'f«^ 



I 




C4 



D3 



E16 F12 G9 



ac^i 



^SttSi^ Qfeamtte 





C4 ' D^ 

Ei^ Fi3 G^, 



«(fo (7/ 17. «.)'K:Fr=C:D, 

ift(d, 16. ®.) ou(& A:B = D 
A : A X B. golgli* lit D A, 
:AXB=E:F. Siunifiebeh 
(0 C:D = A;El:^F:G = A 
XB<DB, Sotglict iji «U8 

Uin <Bidcben aA:pB=? 
E:G5=C^;D'. 

3ilnA:nB=C^-D% foiftAnB. 
. 2)ewt e« ift (6; 20. ©0 n A ; n B = « (A : B) unb 
(8, II. ®0 C^ :D' = 2 (C:D1 Sinn ift dtiftenommen, 
DA:nB = C*:D*. g^lgfic^lp A:B=xC:D, fi^Ifilic^ 
(10, 6*©0AnB. 

l£m anHftttt Bewcrt. Sf* DA:DBr-:E:G, »ii§ 

C'=:E, mb D' =6, <*tt* C.DzzF; fo pnl> (7, 17.©.)^ 
E, F, G, ftetig propDrrionift in bee ©ct^ilmi§ C:D, ba« 
ift, EjF=F:G=C:D. JRtin tfl (6. i.®0 AjB= 
•QArAXB, au* A:B=:A><B:DB, alfoDAjA 
XB=AXB:DB. S^oTglic^ ijl DA:AXB = E:P 
=:C:D. giun nxjt nA:AXB = A:B. g^lflli<j> tfl 
A:B = C:D, folgticf^ (iq,6. 60 AnB. 

5>ritter $^eiL 

@inb A/ B, ni4>t in Witge commenfura6eI ; fo Dct^aftfR 
ft^ \i}tt Cluabratc ttic^t n>ie^ Siuabratict^Icn* 2Denn tv&re 
bieS, fo mftfiten if}ve ©eiten A, B^ in 2^nge couimenfUi^abd 

58iertet $^etU 

ai^^r^alten ftc^ bie Ouabrate bet A; 6; ni^t tok tlxkahvaU 
an^icn: fo finb if)re ©eiten A, B, nicbt in S&nge commenfit^ 
rabel« 2)enn n)6re bie§ / fo tnu§ten [\6f ^f)tt SinahtaU toit 
C^uabratjal^ten oev^altf n ; ge^en ba< Singenomwene. 






Sl|iM« JM« Vii 






Sfui bm Set^iefenen et^etbt^ baf dOe in t&n^e ttm&m^ 
iuvabtk iinkn and^ in ^enj comtnenfutaM^ aber mc(>t KtQe 
in potent commenfurabete Sinien auc(> in ihng^e commenfucof 
M gNdi^ " ^ttnn cti)c&ttf Z)d§ nict)t M^ in Sai^e tncommen? 
furabetc jEinten audi in l^otitig incon^fnenfiicabei , abcv ait in 
$oten| incommenfittabele £inien end) in ^dnge ificomnnenfuraf 
bet jjinb* dl&mlut) 

il» 2)ie £luabtate atkt m S&nge «cmmenfttta6efer Sinitn 
De^dtcn fic^ mie £Uta^atiof){e^./ affo mie ^aiiUn , mb 
^b alfp cpmm^ucabel* !£)eiiina(t> ftn( foti^e Sinien 

>^ ni(|ft b(&| i'n.i&n9e, fonbemiiuid^ in $ot«iii commenfu^ 
tabeL * 

^ d. @inb Sinien in ^otenj c^mmeniM^akf^ fo tttt^Uegi 
(tc^ i^te Cluabrate trie ^al)Un ; alfo entmeber mie Dyo^ 
ttati<!f)len^ obee fcbkcbtf)tn tbil^ {toe^ dnbere 3a^lem 
3«» etfktti^afle jinb biefe iimtn, fil^- bit 6eiten bet: 
OtMbrate^ av^\ in San^e, im jme^ten aber nic^^t in 
Sanfie commenfucabeL S)enina4> fmb bte in ^etcnt 
cmnmenfurabelen )!imfp nicbt mmtt, fonbevn nnxcli^ 
, * batm atic^ in S&nge commenfurobel/ tvenn {t(^ i^ce tlnas' 
ttatt mt Quabtatiaf^kn tttf)alu\t 

3. SQicbt ^ in ianit Incommenfurobefe Slinten finb an^ 
in ^otenj irtcommenfucabel ; n>eil ?imen in <ipotenj com^ 
menfiwabriV abec in Jange incommcnfutabel fepn fonnen*. 

4. Mtin potent ii\€onun^nfurabe(e 2i«ien ftnb aucb, in 
Sange incommenfutabet^ ©enn tohvtn (le in Singe 
cammenfucabel/ ip miften (te aucb in *]>otenj cj^mnteu^ 

^ futabel fepa; segen ba^ angenommene. 

SBetm Wtt>ier propottionirten @r&fcn| A, B/ C, I), 
btecrfte A, bet jwcjjfen B| commcnfurabet ifl , fo if! ti 
auil) bit bntu G. Ut mten D; ijl aber bie^erfte bet. 






/ 1 



i 



&m'« ekmmtt 



i 




jBMotfli mtmufiai^ttuMf fi> ift ^ wi^ btc fecfttt 

f^altm (if ffab (lo^ 5- S.) We 3*ft^ 
IfiU .3hBi tfk A:B=C:D. ^afj^ 

Int/ imb ^ tt^i^ (io«6«6.j a«d^ 
0inb A/ B^ titcouniuiifiiioM ^ fo. 

Bfl^en. 3hmtfkA:B=C:D. gols^ 
Iu( t>d:l^aftcn 1t<^ oai^ C, D, nU^t 
toie 3a6ien, ttiib (hib dfo (lo, 8.6.) 
^tb iiicoiinnpi^oMt 



^ fi C D 



2)a in Un dcit^m<ttfctfn S&(fm (8/ 96, 0.) ta»»fh( 
tD^rben, bafi i^nltd^e Sf^c^so^ieit fi(^ toie £ltuibtat}ol^lei| 
Dcr^dten; itiib ba§ 3a^(en/e btefnii loie dua^ratja^en Dm 

(tc^ ^(&4^<tiP^t^i^ / ^^^^ @etten affp nni^C iMreporrio^ 
ttirt ftnb , ftd^ n\d)t tote Cuabtat jcr^f en ber^atten^; n>etl 
fie fonfi a^nlic^e Sla($en{a^len fe9Q muften^ fieg^ bad Sfau 
^enomnien(. 

©,C? I It 0«4 3(ttf8abe/ 

3^ ^^^^ ge^e&enen geraben Zinit, A^ {wep anbfte ju 
f nben^ bon benen bie etne t^r Mo^ in i&nQtf bie antoert 
«ber Jttgle^ in ^J^otenj iticommenfurabe( ifl. 

i^(2U^, SRtnmi. }n>e9 3a^en B^ (^ totld^ ftc^ m^ 
t»te £luabrat}a^Ien oer^dlten ^ f dgltcb .w&^nlicbe St&cbensal^^ 
Jen flnb, unb mac^e (10, 6. 3uf0 B:C=n A:QD; fo 
(inb. A/ D; ^(p| tn S&nge incpmmenfuraftel* ^ . ' 



* Ibrtri ha RjC=n A:nD/ ^ ^ti^oiU 
ten jic^ Q A, D D, fo v6\i B, C, m*t wit 

AUO. • ^ , ^ ^v 

5wt^teii6* Stimm }tt)if4)eit A , i) , bie 
taittfere ^cpportibnaOinie £ : fo ftnb A^ 5^ 
in Sange tinb ^ouit) iu^feiib incommenfd^ 
rabelv ' 

t>iiM W AiE!*!i:E:D> fo i^ (6^ 26. 
3ttf 10 A : D =;± D A : a£» goIgH* ffiit 
(10, 16. @;) D A/ DE> fOv»te A. D, m 
comiilenfuirabd* ^mnac^ ftnb A, E^ in*^o^ 
tenj/ folglicb C' 0^9* 3^f* 4.0 au4^ in (aagt B4 
UKommenfutaM^ 



^0$ 






f 



@t6^m, A> B/ fete emec.imb bet;frf6«ti ©c^e^ C, jswvw 
tMtijasa6e( flnby^nb etnonber ijtlbft i^mnleitfuta^fv 

©wn bd A n C/ unt> 3 h C ^ fo pttf^tAun 
fk^ A^ C^ fottto^l, ali Bf C, wit Sa^Iett. €< 
fepb^tt AjCr=D:E^ tinbC:B=iFjG^ 
unb jndn negate (8/ 4- <S$0 M beil ^i^rnn 
Ser^tniffen dn etnahb^r^andeitbe ^a^Un, H^ 
K^ L^ bag olfo Di£=±H:K^ unb F:G 
= KlL, 

*  

JDd ^ A ': C =t l)-: £, Itnb t) : E =± 
H:K; foifk A:C = HiK. 2)a «iw& 

C:Bi=iFtQ^ ttnbF:Gi:K»L; fo i|k 
C : B :±i K : L; fo(gU<|| dUS ^€0$ 0iU* 
cbcit A t B£=H t U S>einna(b ber^«U<tt 
^c^ A/ S; «»ie3a^ii/ tmb finb alii» cemneitf ^ 6 
flirobcL K 4 



A c 



B 

F« 
<5S 



H4K2L5 



4 • 



r • 



» 
» J 



lotf 



Stm^ (&mtntt 



/ 



©ft t^'^a^. ie$rfa^. 

3^M9 &th%tn, Af Bf ton benr n bie etne, A, dnet unb 
berfrtbni 0r2^e/ C, commenfuraSef, bit antcttf B, ahtt 
tticommmftiro^I tfi/ fmb mcommcfifuiiiAbel 

til oitt^ C n A« Soigtict^ tpare 
(lo i«. C) aittt Br\C; gc? 
0eii ba$ fbtgrnoinmnir. 2)fin^ 
M^t(lfti4^t!AnB, folfllut^ tfi 
AUJB. 



i4- 



3fi bim iwe9 cMitmenfurifbefn @ro^en, A; B, bie tiii^p 
Af irgenb ciner @th%e^ C, incommenfurabe(: fo tflauc^ 
bie anbere; B^ ebeti be^el^eti; Cf iticimimenfutabeL. 

* OefirlSt, e«t9&teBnC Stan 

ifk atic^ A n B« $pfgf i^ toate A »■ m r • -i. „ ^ - 

(lo^ i2* ©0 AnC; gegm ba« 

Sn^efi^mmcne. 2)emna4^ ifi vki)X C ' ' * 

BAC, foIgUc^ iji BuC. B »   / r , 

£ e ^ t! f a f . 

ju ftnben^ itm wu t>id bte ^th^tw, AB, iibtt bitMmttf 
Cf. p»te«jii«. 

Sefi^ceiftr 66»r AB Dm ^I6« 
f rei« ADB , tcage (4, i . @.) in 
bcnfelfern MeADi^C, un^ jte^e 
DB: fo ift t)B taVSkcIangte. 

t)fnn ba (3/ 3 1. 0) ADB =r 
(R. , fo ifk (i, 47.0.) D AB — 

□ AD =r D DB J folftli4> , fdt AD := C ift, Q AB — a 

Um 




• « 



1 » 



ge^ittf SNI. 



itOf 



' [Urn I^in9<9m bt&£tnie ^u ffnbirt , ' bmh 0dabrat Deti 
Sluabratcn bee ec^ben AD, BD, jwfammen glei^ ifl; »er?^ 
' fafercman:<rffo: 

^an fegc AD, BD, untet elnem vt^Un 5®mfef^ ADB,* 
iit einanber^ unb jiel^e AB; ba bann (ly 47* ®0 □ AB;:=i! 
QAD-fODB. 

* ©inb biet getiibe 2imctt, A, B, C, D, proporttomttf 
.itttb eg |)oteniftt bte et^e. Ay fib«tr tie j»€i>tef B, urn ba« 

jOt^btat;.einei: ben; et()en in £ati$e ieitmebes commieiifu^ 
, tMelnob^\ncj^mn]m tim, E : fo pbtenjitt. aut^ 

bie bcitte, C^ iiBei i)ie toterte, D, irm be6 6-uabrat tmt- 

tittMitttn in £artc[e im jer^en §oUe commeiifurabeTn, tm; 

j»e9tc« dber iftcbtpmenfuribeln £m^^ * 4. 

^ ?)a AtB=C:D, fo ifi (6, - 
ttfi.;3wf0DALO.6 = aCtD 
D. Slun ift angtnoiQmen D A 
rroB+DE/ rfnb OC=:a 
D + QF. gorfliw* iflDB + p 
E :.n B lit: a D + tt Ft dD, 
fofgli* (5/ 17- @0 B^creiiiit d 

E:DB — dF:DD, folglicb 1 A ^^ J^ A i, 
(6,aa.®.) E:B=JtD, alfo ^ JJ E ^ C X^ 1^ 

(5/4*®0 umgetelftt B:E:±:D:F» SKiun ift anamoim 
tnen A:B ±=: C:D. golglicb il* (5/ ^^^ 60 au& bem 
^letcfeeil A:E=±C:F* gdgHc^ (to, io.e.)itrtl) €,!?•, 
eitttt)eber comm^titaftel ob«r fiKomtnenfutabef, tiat^btm t« 
A/ E, jtnb* ^ . 

SGBerben jtbep commenfurabele &tb$m , AB ; CD, ju^^ 
fammengefelt: fo tjl b48 ©dnje, AC, jeber i?on &et;b(?tt 
ccmmwfwrolet tlttb ifl ^d ©ariaei AC, einetr t^on 6f n 
beti/ AB, comtmnfura6ei; foifirsb bi^be commfnfurabeL 



N • 



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 - 



*. / t 






k * 



SOS €itfli>y tUniMti .  

fet ir^eafc eine ©r6§e D Die AB^ BC^ - ' ^ ' ' 
foIgiU^ atu^ iKi^ @anjc AC, oifo attie £Li 

>ir9. g0%Ii4>i(iACfo»o^UerAB^ 
oU BC c^moicnfiiraJ^el 

StM^tcm. 3fi ACnAB^ fi> miftet ir^ me er6|ib 
D bie AC^ AB; f olglic^ anti^ ben atefl BC, after oUc^ Me AB; 

^afo bepbe. S^^U<^ M AH; ^^f tmamfMM, 

it)er 1% 6a|. ie|rfa|* 

^etben $t»e9 inrtdlmertfutaMe ©rft|ell/ AB> BC> 
jufammengefelt: fo ifl &a« ©anje^ AC> feber Wit beljbert' 
incommeitfurabeL Unb t(l tQ^ ©onje/ AC^ etitet boit 
bepbeit; AB, incommenftmibel:: fi> finb bepbe incomihen^ 
•furabel. / 

i£tfiUdi. (6t fe? A< ^ g ^ 

UBC, ®aren nun AC^ #— — * — »  — - — ^ 
AB/ nicbt ittcewmenfuw^ , P , 

brf, > tttiffet Jrgettb eirt^ 

^rbfe D We AC, AB^ Wgftc^ aucb ben ^eft BC, dlfo M; 
BC. 8M0ti<b Wflren AB, BC, commenfttrabef ; i^^cn t>ai 
Sngeftommene^ 2^na<!b toirtben AC, AB, ^on fetner i^c6§< 
semefTen; itnl f!nb alfd incOmmettfttrdfteL Kuf at)tii^t tvt 
loirb bett>iefen > ba§ AC, BC, incoipmenfurabrt |lnb^ S^em^ 
nacb ifi AC fomdl^I bet AB, att BC inct^mmenfura&e^ 

3tWVtert6» (S« f^ ACu AB. aWirett ttuii AB, BC^. 
titfbt ineonunertfuirilM/ fo mtfet tr^eitb eine @r6§e bje A6/. 
BC, fo{g(itb ^u(b bd^ @anje AC, a(fo AC, AB, toeUbe bftt 
^et eommenfurabd ftiibj gegen D<tf Sngeitomihenei gofgliii^ 
^nb AB/ BC, ine^nlminfiirabeU 

^itb on <iit<t; d«taben iinit, AB/ ftrt 9t«<t<m^t, AD/ 

if* 



S^teit f&tt^ 



ao9 



if! taf^dU mttt Mn t)on tern Sneiourfe d«ma^t«^ K^ 
fi^rittten fo{c^?p filntc, AC, CB, ent^aften. 

2>eim ta AD = ACXCD, 
6(ec DB ein Duabcot/ dfo CD 



CB. 



CB: fo ift AD = ACX 



. ^ ' "> I———— !■ I. I . I „liil l 



€5tiib jwep unc^(eic^e gerabe Stntctt; A, BC, gegeSet^ 
tit^ wirb etH bent toierten $^eife beg 0uabraM ber f (ei^ 
itetti, A, glcic^e* Stectangef an ber gr^^ern, BC, entwotr* 
fen, ba^ beffen Stgan^ung nn fluabrar ifl, tmb bte ge^ 
tttarf)ten Tibfi^nttte folc^er £tnte, BD, DC, in gSnge c oim 
wenfurabel jtno : fo potenjtrt bie 9«*^ere, BC, urn bad 
jQuabrat einer iii^t in l^onge commenfurabetn £tnie, iS^eP 
fcte fleinere, A. Unb wirb, n)cnn bte gr5§ere, BC, urn 
bag Cluabrat einer t^r in fiange commcnfurabeln Unit 
iSber bte ffeinere, A, potenjtrt, ein bcm bierten ^Ijeife-beJ 
iQuabraW ber Meinern, A, ^Ui(i)eB Olecfangef, an ber gr^ 
^ern, BC, cntworfen, beffen ©rgahjung ein fituabrat ifl: 
fo jtnb bte 9emad)ten Tlbfc^nitte folc^er iinic, BD, DC, 
in ZanQz commenfuiabeL 

erfter $^eiL 

fjolbirt man BC in ' _b p 

E,.itnb ma*t FE= — "^ 

ED : fo ijl aucbBFrr: A 

DC- 2)a ("2, 5. @0 • ^ 

BDXOC + DED 

= aEC; fo i^ ouc^ 4 (BDXDC) ^ 4 O ED = 4 O^^ 
EC. SJun ijl.na* bet ©orauefesung 4 (BDXl^C) r= 
P A; abec 4 D ED zr Q DF, miU ED = DP, unb 
4 D ECzrQBC, n>ea^ ECrrBC. golglt^^ jftQ A+ 
QDFrirpBC, fllfoQBC— □A«:DDF, 



E 



D C 



•■■<■ m 






^ettMRte 



»« win BD nDC^ B F E D 

fr ijKi o, 1 6. ©0 «u<* - — •": — "* — "^"*- 

^ BCoDC. giunwac A ^ 

DC = BF, olfo DC •"■ • ' 

:DC + BF = i:2, 

dfo (lo, 6. ®.) DC A DC -I* BF. ^blgll* iji du4 (i<iA 
ia,@.) BCoDC+BF; fo{3(i* (lo> i6. @.j BCn.DF» 
Semnac^ potenjitt tie Qti^eti BC> um ba$£luat)rdt einee i^i 
in f (inge commcnfiiiMfcdn ^inie "DF, ibcv bU Retnete At 

®a 6«9 t>«t torigerf Sonfituctibn QBC'^dAiSrn i^C^/ 
dfb BCnDF: fo ift (to> i6. @.) BCnl)C+BF. 8hitt 
ijt BF=DC. ^olatt* iji BF+ DChDC/ alfo (lo, 12.6.) 
BCnDC, fergK4>'lft (lo, 16. @.)aJi* BDr.DC.^ 

' ^ ©inb Jtoe^ Uh^feic^e gerdbe iJuuert , A , BC ^ ^cgeBen^ 

unb tt>irb em bem tjurten 'J^cile bed Quabcdt* bcr f leu 

netti/ A, gletd^ed SteCtcHlgel drt bee itb^zvn, BC, enttt>or^ 

fen, ba^ beffett ^cgart^uttg eirt iCiuabrat ifl^ uitb bte ge^ 

ntad^ten 2i6f(^nitre folc^et 2iti{e, BD, DC^ in Satrge in^ 

commenfura6e( fmb t fo ^oten jitt bte 8t6g<re/ BC^ um bad 

• Cluobrat einer i^r in fiange tncomrrtenfurdbefri fitnte fiber 

bie fteinere, A* Uttb tt)itb, tocm bie gt&^ere/ BC, um 

bad jQuabrat einer t^r in £ange incommenfutabetn £tnte 

fiber bte fieinere, A, jwtenjirt/ etn bem bterten ?^ei(e be* 

• Cluabratd ber f (einer n. A, gleic^ed SRectangel/ an ber gr6^ 

^ern, BC, entworfen, beffen gtg&njung ein Cluabrat ifl: 

fo ftnb bie gemac^ten ^bfc^nttte folc^er £inte, BD, DC, 

iti ^ange tno)mmenj^urabei. 

Srjler $^eii. 

SBirb aOed / noie bepm Dorigen @a^e , conftruirt ; fo toith 
" ouf i^n(i*e acl betPiefen., ba^ D BC — D A = q DF* 

JDa 



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 * *\ 






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1 



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Se§'nf<« 55u4- 






txintrttBDODCJ 



BCu DC. aiun ift 

DC = BF> alfo DC » '■ V 



 I 



tPC+BFmia, • 
' inO) ba^ec (lo, 6. €5.) DC' t\ DC +BF. goIgKc^ {ft (i6, 
14. @.) BC U DC + BF, fergfic^ (i o, 1 7. 0.) au* ^ie 
iiJ*i^DFUB.:» il>^ttact> potenjirt biegcDKere, BC, um 
ba« Siia^tdt ehi(t il^t in ^ange tnc^mmenfucateln {ime./ DP, 

%(i notb becfffben €onjteuction Q 8C •<-' D AssQDF, 
ftlfoBCuDF, fo i^(io, 17. ©.) BCuDC+FB. Run 
iff (10, 6. ©.) OC+FBnDC. golgli* ift (lo, 14. @j 
BCuDC/ folglict (10, 17. ©0 dtucl^ BDuDC* 

'5)d ti®/ ^.; Sttf:) gejeigt tx^otbett tft; ba§ bie ftt ^Attje 
tommenfutdbffen finiett du<:& dBemdt irt ^oteit) comgienfuraf 
bel /' obec bie lit ^otenj tomm^futabelen Slimeit ni4)t tmmt( 
jttuc^ in Vingc eommenfurab^I firtb> foribern in Jange en Weber 
tommet^urabet , ober incomm^nfurabd fepn F6nnen: fo erf^eft 
let/ bag (10, 6. @0 

i» (Sine ^erabe Jinie; !t)ctc6^ bef dndW0mntttt« 3t^*0j? 
nallinie id ViCi^ conioi(enfurabeI ift/ tational, tinb jenet 
in 2ange unb $oten} jUgkic^ eommenfutdbel ^^ige* 

^ »^ t)<!i% eine bee dn^endttim^men >)t(»tiond{(ini^ in ^d!^n| 
eommenfurabele !int^/ n)enn fte e^ nttcb in Singe t^ 
rbcn fo ^eige; aber (Denn fte i^i* in Sange incommenfui 
tdbel \\x, tdtiondt unb jenei: blog in.^btfn) ^nmienfui 
Vabel genannt n^erbe^ 

A ©«* 



s^ia 



^Rfc'«€(mwte 



i 




3ebed untct; ratiotiokn ttt iaii^e ccmmenfma6e(n Su 
nien, AB, BC, ent^ltene SRectangef, AC, tjt rotionftL 

^ad^t Don AB ba< Ouabcat 
AD- 2)a AB rational/ fo $jt au* " 
(i o; 8 . S.) AD wtionaL 2)a AB 
nBC, unD ABi=BD, fo ift BD 
nBC. giimift(6,i-0OBD:BG 
=:AD : AC golglicb ift (to, ' 
1 o. 00 AD n aC* gittn t»ar AD tdltonaL ^ot^fic^ i^ 
(lo, 9* dO aucb AC tationaL \ 

' ^ebes an etner <in$enommenen StattcnaUtnte, AB; tt{U 
worfene SJtationalrectangel, AC; giebt etne rationale ber 
Qngenommenett StationaUinie in £&n$e tommenfurabefe 
SBrelte, BC. 

SRa^t man Don AB ba§ €ina^ 
trat AD/ fo ift fo(c^e« rational/ 
folgIi<^/ toeil AC rational (lO/ 
9, «0/ ADnAC^ 8lttn ift 
(6,i*©0AD:AC=DB:Ba 

^olsiic^ ift aucb DBnBC/ alfo/ toeit DB=AB/ ABn 
BC. mm ift AB rational* ^olglic^ ift aucb BC rattonaU 
^mm<if ift BC rational/ unb ber AB in ^ange ^ommen^ 
furabeU ^ ^ 

£ e ^ n f a f * 

^k Sinte, A; iDelc^e etne Sn^ationalftgttr potensitt/ 1^ 
trrattettoL 

©enn »ire A rational/ fo tohtt a. , 

(lo, 8* e.) D A/ alfo bie biefem > 
£luabrate glet^t^e gigur rational ; ge^en bat 9ngenommtne» 




SDet 




3^bM mut tcttipnoilm h{o^ in ^outti commenfutdbe^ 
len ^itikt!/ AB^BC, eut^altene Stectangel^ AC^-tilicta* % 
tionaf* 2(uc^ t^ bie ^nte; rozl<i)t if>iii}m SKaum ipoan^ 
iitt} itmmal^ unb ^ei^e tnebtailitiie. 

SDJIfK^t man ten AB tdi £lua^ B <; 

brat AD/ fQ ift fofi^e4 tationaf/ 
lofgli*, »ei{ ABn:-BC, eUt^ 
ABWBC/ m\> AB=BD ift, 
JJD UBC mutt ift<6; u 60 
¥D:pc=rAD:Aa goIgK* 

ift AD u AC/ fofgjlicbf i«>et( AD C(itiomtf/ AC irrotioti^l. 
Sofglitb ifi: (lO/ iri« @0. bU Siiiie/ t»e(^ ^endtmim AC p^ 

S)iefe'S!ime ^t\$t be«n>esen tne^iallitfie /. tDeif i^t tiAci^ 
Itat im fUtctanid AC/ obet ABXBC^ g(ei(!^/ fpl$(i(b 
fie bte mtttlere ^roporttonoaim^ imif^rh rctttotto^en in Unit 
fncouimenfucaftekn ^inien AB, BC/, t ji^ i^ 

3n)f9 gerabe £itiien| Afi^ BC; t^er^often ftd^ toittai 
Ciuabtrat ber erjlen jti bcm ontef be^ben ent^enm 
SRectangef* 

3Racb< baj Ouabtot ber A6/ unb toOenbe t>ai fKcctansd 
AC: fo ift ACzrABXBC, unb DB = AB. 8lun i^ 
(6/ 1, e ) DB:BC^D AB;AC. %oi$m \^ AB:BC=; 
DABiABXBC. 

2>4S bem Ouabrate bee SKebioUinie;. A^ gleic^e mr efe 
tier attgenommettett Slattonattinie, BC, enttDorfene SRect^ 
an$e(; BD; gtebt etne rationale bit c^tnommtmn Station 
noUinie in £&it0e incommenfarabeU ^eiie/ GD^ 

O 3 ^ «« 



814 



€ufflb^ f&tmmt 



Q 




A 



e*f«9DA=rGF= 
GFX f-T/^ag alfo, n>ei( 
A mtii<A (16,22. 3uf.), 
 GE, EF, cationol, blog 
in ^otenj CDmmenfutab^ 
ftob, ' 

fe|ttn9DA=:BD, dft 

, >ie IRrctangel BD, FG, • 

flUi* unb glcicbpinRtg fint; fo Ift (6, 14. <S0 BC:EG =5 

E F.: CD , otfe (6; 2 «. @.) D BC : D ' • G = a EF : D ( -D, 
ghJn fmb BC, EG, rational , alfo a BC n Q EG. golcjlici^ 
ill (lo, lo. (g.) QEFna CD, foJgU*, HQ EF tatio* 
flial, ou* a GD',. alfo. CD rational. 

2>a. mU EFO»E(j, EFuEG, au* (10, 22. ?eftnf.) 
EF:EG=aEF:FEXEG; fo ift (10, 10. @.) QEP 
UFlXHG, sRuniftFEXEG=;raA=D(:XCB, 
m\> na* Obigem p EF n Q CD. golgli* ift ( i o, 1 3 . ©0 
. D ( D U DC X CB, at^un ift (» o, 2 2. ee^nf.) D CD : DC 
XCB=DC;CB, golglicb ift DCuCB JDenma* i|t 
©C motional unfe bw CB in ?ana( incommenfurabel, 

f 

Sffbe einet 5Webta(Itnie, A, commenfurafcefe 2m{e, B. 
<jl auc^ mt aKebiaKinie, 

@« fe9 We fRatio^ 

Minnie CD^ mt> an 

berfelben em ton A 

l^otenjirte* SRectangeJ 

CE entnjQcfen, xoeU 
.*e« (10, aj. ®0 

bie rationale bee CD 

in 2&nge incommen^ 

furabdc aSceite DE 
• giebt S« fep feme? an berfelben CD em Don B poienjitte« 

aiectangel CF enttpovfcn, »el*e« bie ©rette DF giebn 

^ ^ Da 




'4- 






*i< 



O A = EC; unb pB=CF, gelftli* ift ECnCF; abtt 
^ (6, !• ®0 EC:GF — EI):DF/f9J9lic(> (lo, lo. @.) ED 
oDF* Sfiutt mv DE rational unb t>e?.DC in Unit m 
commenfutabet* Spla((4) ift (i<>/ U* ®*) DFcalionat unl 
bee DC in Jange iiicommenfuf«beL 2)emnac^ |tnb CD/DF| 
rational^ blo§ in ^oteni cwnm^furaM/ alfo (lo, ai2. (S,> 
CF utationAl/ abcc Q B = eD><QF/ foj0tt(^(io,a2*@O 
J^itvatipnali vnb dn^ ^3f?cbiallini«^ 

3 Ufa I. 

trabef tft>. dui^ mtbial fep.; tofiKbie £ifit«9 ^^n^eb^e beybe 9l&itf 
fne pot^nitren/. ()(q§ in $x)te9i coniiitj^i^fufabel finb^ tinb eine 
betfetben, folgficb auc^ bie anbere, rnebiaf ift ®<j* abe? 
(lo, 19. ©• anm.)' oon JlRationallimen aefo^t tDotbcn^ gjlt 
aucb. t)on 3)lrt)iaHinien, bag namllc^ iebe ciner SSebialRnie coniif 
nienfucob^k. ?inie aucb mcbial unb jen.ec entwebec in ^nge unt) 
^pt^ni ^u^ieidb^ pb^r Wof iji ^otenj (ommenfnwbel ftp?, 

\ Qebe^ imter mebiafen unb in fiange commenfuta6eIe» 
Jinicn, AB^ Wt. ent^altepe Stectansel/p AC, i|l mebiaf. 

SUdAe t>on AB b<x« £iua? P JB C 

' btdt AD, todcbef alfo mebia( 
ift. 2ja ABnBC, unbAB 
=:BD;feiftBCoBD. SRun 
ifi BD ; BC=AD : AC, gVtg^ 
Ud> ift aucb AD n AG^y folft- 

' Ijc^, ba AD m^WU <^u4)t (iq/. 5^4.. ^\xQ AC mebiatt 

■« ' . • . ' 

, Sebe« unter m^biakn Wd§ in 93otenj commcnfuraBe^ 
(eit£uuen,AB^ BC, cmfjafteneDlectanget, AC/ ijl ent^ 
Weber rational obet mebiat, •, . . 

4 ' SRa^^c 




^ 
( 



\ 



Mi 



Ciiilb^e tfmthtt 



E^ U IK 




AD. lit, fb frnb 
Mf fe mtttol. iRuti D 
f^ &ie dtAttoRob 
linie, FG, (gin 
en becfelben ent^ 

%t{, GH, gcbc bie ©ceite FH; ein an HL entworfeneJ ^tm 
fRectangd AC gklc^S fRectangd LI <l^ec bee SBt^eite HI; 
Ufib ein dti ( M entiiDerf ene^ bem iDuabtate 3 h g^(ei<^§ ^t<U 
«nse( MK bie SSceite IK: fo ftnb («, 14- SO FH, Hi, IK, 
4xi ftwajbet 8inie* 

2)a bie Sluabrofe AD, BE, mcHal (inb', fo (Inb <iirct> bie 
I^Uf n gleicten fRectangel GH, MK, mebiaf, folgtiifc, ba FG 
rational, i^re SBtciten FH, IK, rational unb bcrFG in ianc^t 
incommenfucabel. 25a abec AD p. BK, alfo au* GHn MK, 
iinb(6, i.©.)QH:MK=i:FH:lK, fo ifl (10, 10, ©0 
PHnJK* 2)emna(* fmb FH, IK, rational, unb in ialige 
commenfucabel, folglict) ift I;H X IK rational 

2)a BD=AB, unbBCrrBl^: fo i^ BD:BC=AB 
:BN. mm ijl (6, i- 00 BD:BC = AD:AC, unb AB 
iBN = AC:BE. Solglicb ift AD:AC = AC:BE/ SHuit 
ift AP = GH, AC=: Ll, BtczMK golgti* ift GH 
:U=;L1:MK, folglicb a«c^ FH:HI=::H1:]K, folg^ 
fi*(6v 17- ®0 FHXlK=nHI, folgli*, ba FHX 
IK Yotionat, auc^ DHi/ alfo auct) H) rational 3(1 nun 
HlnHL, ba« ifi, HinFG, fo ift Ll rational 3^ ai>et 
HiUFG, fo ftnb H1,HL, rational b(o§in ^oten) comment 
tttrabel, folglict) (10, 22* ©0 LI mcbial ^mnacfr i^ Ll^ 
tad ift AC / enttoebet ratioogl ober m^i^ 



^er 



••» 



f . 



»»T. 



^.ait«bta((«, 'AB| d^ectc^ft cmfOlebtated/ AC, ttt(|t 
urn ein 9tattona((l. 



E G H 



■■^1— III II i. y^  II 
* 

c 



 



D 



j6< fep^ toenn ef 
tniglic^; DB; tetUe^ 
bccfc^tt§ oon A6 u&i^t 
AC, tationaL Suc^ 
fep bie Stalionatltme 
EF, ttnb oft becfelbeit ^ 
fin tern AB gleic^e* 
fRectangd FH enttoot^ 

fm, toe((^e< bte Sreite EH ^Mt; ^ep^on aber Hi Im 
AC 0(6% !Rectfnge( FGtoeggenommm; ^a% dfo DBcs 
IH^ alfo, toeU DB a(i tationat andenomsnm ift; aiu^ IH 
rational Ye9» 

I)a AB, AC, mebid, fo pnb au* FH, FG, mcbia^ 
foIdIt(t, ta eine (Seite £F national, bte anbetn (Setten £H^ 
EG,. (to, 123. 00 auc^ rational, unb ^tt EF in Jinge in* 
commenfurabeL ^a aiitt IH felbfV, tinb eine (Seite Gr^ 
bd^ ift EF^ rational: fb ift (10, 21. ®0 bie anbere ®eite 
GH rational, unb ber EF int&nge commenfurabel ; fofg^ 
licb, mei( bie SRationallinie EGuEF,, au* (10, 13! SO 
EGuGH. SKun ift (6, u ©0 EG:GHz=rnEG:EG 
X GH. golftii* ifi (10/ 1 o. 00 D EG U EG X GH. 
0iuniftnEGnaEG+nGH, n>eil be9be rational unb 
EG X GH n 2 (EG XGH). gofglict^ ift (10, 1 4. ©0 
nEG^^HDGHUaCEHXGH), alfoaticft (10,17, ©0 
D EG + □• GH + 2 (EGXGH), ba« ift (1, 4- «0 
DEHuDEG+DGH; foIgU*, wetlDEG+nGH 
rational , Q EH , a(fo au<l^ EH irrational. Sftat^ Obigent 
dber n>arEH rational, toeld^ed einanber miberfpriebt. %^\^s 
\\^ fonn DB xM^t H^imX fe^n, unb ift ^ irrational* 



O 5 



©er 



■••■• 



« « 



4 

Der at, eii|.' Hnfiihh 



^e ein fKaticMlti ent^alten / jir finbcn^ 

r (8« fepen A, B, itott) tj^^ ^ ^ 

tionde 6(o§ in'^otenj corm ^ * "^ 

wenfuwbde 8inien^ 6uc^( ^ ' ' 

(6, 1 3. @0 s»ifc^n bcplJtix B 



' » 



^e mtttlete" C, unb (6« \)i,, „,,,■. r 

J 2 • ©0 }u ben %xrcj^ A, B/* 

C^ t)itt?terte ^oportiona((imc D; ta tann C, D^ tnetiat 6{$| 

in ^cten) commenfttrobet ftn^^ tint C><;D tatiQnd ift« 

Cenn bd A^ 6^ rational Mo§ in |>otmi commehfutaM 
'fntt: fo ift(io, 23* ®0 AXfi=: D G mebial, alfo am^ 
C mefciaL 2)a A:B = C;D, alfp (^0, 10. @:) C^ D,, 
b(o§ in .^otenj commenfu^abef ^ abet C mebiat^ fo t^ (id,^ 
fl4* 00 ouc^ D \XiZ\m\, Z^^mna^^ fitnb C^ D^ mel>ta( f)lp| 
in $oten^ commenfutabe(^ 

2)a A:Bz=:C:D, atfa(5/ 16. ©Oprrnjiecb^li A':C 

:^B:D, abet auc^ A;C — C:B; fo ift C;]5i=:B;D, 

foigtt* (6, 17. e.) a B=:cxDf foiaiK^^ h q b ««i 

<lwiat| au$ CXO wtiooitf^ . •, 

* . B^^9 mebia(( 6(o§ in ^ptenj commcnfuraMe ^tnien^ 
tie ein SWeblate^ ent^alten ^ ^u jtnbeo. 

««fe9enA,B,C, .. 

>tt9 wtipnate Wo§ ** ^ " ' ^  . p  t 

in ^ptenj. comment 1 p ^^ 



B t-* 



€Rtabe(e£inten» 6a^ 

*e(6,i3.S50j»i« 

fcben A^ B, bie mitt* C *— — 

leteD, Mnb(6, 12. £»,.-.« 

«50 «tt B, C, D, tie - 



•iertc 



/ — 



• 



^3«^ii«l ^M^ 



«if 



Iwj commenfurabel fJi* ^ unb D >< E mebial IfW * 

' S)a A^ B^ ratiotta(.6Io6 in ^otenj lomm(nfuca6e( ftnb:^f4 
i|t(i'o, 2?, (SO AXB=DD, folglic^ au<^ D mcbior. 
IW BA-c, un* BjC=cD;B, fi» ifl (lo, lo. e.) D'^E, 
«bec D »ebw{^ f^f^Iic^ (lo, 24. 6.) duc^ E tnebiol. lDftn« 
fUK^ {tR% D, E; uK^tol b(0g in^oten^ CQi|tin«nfucabel. ' 

25« B';C5rDiE, olfp (5/ »6. e.) »m»e*felt B : D 
=:C;E; ahtt auc^ BjD=D:A; fo i(i DjA=C:E, 
folglij^ ^, 16. ©.'J AXC=DXE/ folglii*, ta ^ol 

- fine i^iuabratja^l ijL ' 

©e^e jtpep 3a^(€n| AB, BC, bie jugfctcb 

ffttweber gerabe t*et itngembe finbt 2^a 

' irift in bepben S6ll?« ber SRe|l AC (9, 2 4* 26^ @.) qtvait 

^ift; fo »«be AG in D fymtlC (§i fepn abet oucb AB^ BC, 

o^nlicbe S(&(tenjo(}kn'obet: Ciuabyatia^ten ^ aii bie 8(ei<bfaU| 

'it)nli*e glicbcnjaf)len fmb, fo ift (9, i. @0 AB.BC etn^ 

iDuobrotijat)!, 5)anun (2, 6. @OAB.BC: + CD'=:BD% 

fb finb alfo jweij £luab5ptjat)len AB^BC unb CD^ g?funbett| 

beren ©umipe eine Ouabratja^I BD ' ift, * ' , 

5ur^Q/ ^Utani ec^ettet; bag jmep Ouabratjd^(eit BD* 
tinb CD' flefunben iDorben finb, bnen UnterfcbicbHBXBC 
, pl^bann aucb ewe 0"abratja^( ift , wcnn AB,^ BC, a^itlicf^^ 
gl&^nia^Un finb ; fonft aber ni^u 

N » 

^weti iCludbRitja^(en 4u ffn^eit/ Uun ^immJtinit 



A 5 D 5 c 8 B 



\ 



91 



/V 



y 



i^6 



fmih'i mmtnitt 



AB*BCdne£lua&cot^| ~ "^ 

^1)\, CA' gerobC; iinb in D ^Mtt, felglk^ AB^BC-f- 
CD^=:BD^ ®ic)> nun bie (Sinl^eit D£ Aeggenommeii; 
ta§a(fDAB.BC+C£*<BD*; foifl AB.BC+CE* leb 
lie &ua&tat}al^L 

2)enii to&re tiefe fihnpmf eine Quabratid^; fo t»ite be^ 
fm Geite entto^er gt6§et/ Dber eben fo grtS^ ober tkintt, 
«U B£; »el(be junac^fl Dot BD t^Dt^et ^e^ ®o§ abet 
feine^ Ofon biefen brami m^gticb fe9i toirb ouf fofgrnbe !(ct 
bemiefen. 

i. g«iftnicbtAB.BC+,CE'>BE^ Z)enn bie natbft 
$c6^ete Cluabratja^f nacb BE^ tft;. todi, ficb bie Sin^eit nid^t 
tl^eiten (agt; BD^, me(c^ abzt fc^on 9r6§et aU obgebac^^te 
Cumme fft. 

a. @« ift tticbt AB . BC+ CE ^ = BE ^ ©tttn fe|t mot 
(GA=: 2 DE, bem ^toitfad^n bee ©in^eit^ fo ifi, »e« AC 
= 2 DC ift, GC = 2 CE, ba« tfl, GC fn E f^aWitt, 
folglicb (2, 6, (SO GB . CB + CE» = BE^ iBWce nun 
AB.BC+CE*=rBE% fo »&re QB.BC + CE' =:AB 
.BC+fcE% folglicb GB=AB, tt>elcbe8 tinm68li* ifr- 

3* (8«iftnicbt AB.BC + CE'<BEV 2)enn fegt man 
AH = 2 DF^ fo ift HC = 2 CF, ba$ ifl, HC in F f)aU 
Krt ; fotgKcb (2, 6. 00 HB. BC + CF^ = BF*. 9dhtt 
nun, baBF^ bie nic^ft fieineue tluabratjai^l oocBE' ifk, 
AB.BC + CE^=:BF% fo »*te HB.BC + CF^ =AB 
. BC + CE % »el<be« unmfcglicb ift. 

©emna* tarn AB.BC -|* CE^ feine Quabwtjal^I fe^n, 
iinb e^ ftnb alfo gme^ Duabratna^Ien AB . BC unb CE' ge 
funbeit; beren ©umme feine Dttabcatial[^( i% 



,y 



©cr JO. 0a^4 3(uf0abe. 

Si»e9 tatxonaU Uo^ in gjotenj cpmmenfurabefe Stttien 
jti ftnben, bon benen bte gr^fere urn bad iCtuabrat etnet 



B«|nt«$ ^vt^* 



44^ 




CJ_EJJ> 



(S« ^9 AB erne 9lati^n4l^, 
littie, lln^.(Io, 29.3ttf0 CD, 

tenUntcrfcfyieb CE ftine auo^J 

♦ratj<3^1 ift lleftee AB b€^ 

fc^rcibe ben |)a(Mc€i« AFB^ 

liia*rCio, 6. SuQDCrCE 

:£= D AB : D AF/ trage AF 

cin , tinb jie^e FB : fo ftn& AB, AF, We gefuc^ten SRationaJ^ 

limen f mi FB i|i bie bee AB in Jinge commenfurabele 8inie/ 

aim betren duabxat bie AB £bei: AF potenjitt ' 

SJcnn ia D AB:D AF=:DC:CE, alfo pc& tt)ie 3a^m 
WC^oIten: fo ift (lo, 6.@0 Q ABnD AF, tmb ba Q AB' 
^tionat, ott* QAF, alfo ouc^ AF rational, obec i»eil Q 
AB . b AF fi* tticbt TOieduabratja^Ien oet^alten; C10/9. @0 
ABuAF* ;^emna^ ^b AB; AF, «^iona( b(og4n potent 

jmmtnenforabel 

* I 

.. «tt« DCtCEzrD AB: n AF, fotgt auc^ (5/ 19* ®- ttn> 

I, 47- ®0 jutficftcljccnl) DG:DE=n AB:n BF, abet 

DC, DE, aucrt)tatja^Ien, folgli* (10, 9. a®.) ABnBF, 

Demna* tft, toeil (i, 47- ®0 D AB = D AF + Q 3F; 

al^ D AB — DAF=aBF, bag ®efu4>te gefunbem 



3n)e9 rationale 6fo^ in ^etenj comnunfutaSele ^intett 
jtt finben , t)Dn benen bie grb^ere urn t>ai JCluabrat einet 
i^r in Satige incDmmenfutrabefm £tme &bei: bie fleine* 



<: X 



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V 



*i( ■« 



• I 



' 1 



1 



2iii 



^nWi .^Itmtnti 



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C9E 4D 



e j fc9 AB dne fRationaffb 
nie, unb (lo, 29. ?e^nf. a.) 
^ CE, ED, jtoep Quabratja^Ien^ 
beren ©umme 'CD feitte Dua^ 
bratja^l ift Uebifr AB be^ 
fcl>veibe itti ^albfcei« 4FB; 
miJcf)r(io^6. Suf) DCtCE 

= O AB 5 D AF^ ' unb i^ht 
FBi fofinb AB^ AF, bie gefuAtett SUtionaffimeii ^ itnblF*8 
if): bie b<r AB in ¥ange incomnunfurabele Sinte/ itm betett 
r^udbiat bi^ AB p &t>er AF potetijitit. 

JDenii mdrt bewdfet; tt>ie im tttiitn @<i§e/ b<i§ AB, AF/ 
rdtfonoi b(o§ in ^ot^nj commenfucabe(^ finb* !&d iittn DC; 
: CE !=: D AB : D AF, alfo C5/ i 9- ®- <inb t, 4f. @0 ju^ 
t^cfi^ei^reti^ CDiDh—rDABtDBF; Abn CD, DE^ 
feine itluijbtfttjd^brt (inb t ft ift (i 0, 9. @.) AB u BF. 3)emif' 
na* ift, n?eil QBFJrzD AB—QAF, btf« @efudS«e 9^ 
foiibem 

§Ql6tt jn)e^ detaben&nien, AB, BC, bet^Sft fic^ bU' 
ftr5gcre 5U1: ffeinern, Itoie ba8 JXecteitgel unter 6e9lKit 
jum Cluabtate bcr Hetrtetm 

, ©enn mocbt man tort BC 

ba^ £luctbrat BE, tinb oottetk^ 

\bet baci ^atalleloatamm AD * 

foift (6; i*@0 ABj,BCi=s 

ADrBE.. giuniftAD^AB 

XBD = ABXBC; toeil " , 

BD = BC. gol3li4> ift AB : BC i:=r AB ><BC : D BC. 

B^^P tnciiaU Uo^ in ^otenj commenfutaScIe £tntett 
' Jil ftnbert, bic (if\ dtdtionaUd ent^aftert, unb bon benert. 
bic c\vhf^cvt um t>a6 Cambrat einec ifyt in Hitge tommem 
furabefcn Stttie )iber bie tieinere pctenjirt* 




\ 



^^m ^#r- 



tn 



A. 






■•■Ht 



— * 



A; B; gme^ totionafe 

1^ blo§ in ^pteni comment 

^ furoi^te Stnieiv t^<>» ^ 
ften,t>ie 9r6§ece, A^ urn 
(a^ CUta^rot eineir iht 
in J^infle commenfiiras 

Ji^fen ?inle, &*€^tic JPteitiere B D^tinjith Wad^t (6/i3* 
i2.©0A:Cr=ieiB^ un^C:B=fi;D^ fcag dfo AX 
B — QC^ unb CXD— DB:,fO fhti? C^ D, Die gefuc^^ 
t^n Sinien* , 

• '2)«im ts4 (id> ?ii.^.) AXB mebiat ijl^, fo ifi on* Q C, 
«Ifo C mefciof. 2>a CXP=DB/.ttnt>^a B tationd, fo 
ift auc$ CxD totienof. 

2)0 frtrtec (r<J| 3i» J^ttf.) AiB=t:AXB: dB; abif'. 
AXBtirnC, unbDB = CXD: fo iftA:B = DC 
:C><D; abet m^, (io> ^t. {e^nf.) C:D = QCtCX 
. H, folgHc^* A:B=rCjDy bflf aff6 C, D, fo »f< A, Bf 
blt^ in ^otenj ^omm«nfui!of»eI fini^ -, f olglftct) / tvdl C meUalf 
«nii (i9,a4»(S.) D.»cbiaf tfi. IDettiftftC^'finb C,D, mrtid. • 

Sti«A:Bt=C!D^ folgt d«* (t&, t$; ©'.)/ tfl§ C nnt 
hai Hua^tat tintt i^c in ^ange c^iftnienfuta&ettt finie iibtt iit  
D pot«niict, tPtit bafTelbi i^ift^tn ^/. B, @t<ttt fint>et. 

$(uf hi^vix^t Iftt fintet man auct) ^(efe SinUtt; loenn bte * 
gt.6§ece um taJ QucSrat diter if)ir in Sdnge tncommenfura^e? 
len Sink &6er bie fleinere )>0ti^niiee# f^ ; intern man A; 6^ 
ff> ntmmt; ba§ ti^ A urn bad tluabrat einet \\)x in San^e m 
commenfurabeleri 2inie uft^t bit B poteniiirr* ^ 

r 

Ik 

S «TI| It f |. 

;' ©on bW9 d«abeft tmn, AB, BC, CD, lwf|i(f fic^ 
, %xt e)!fle iur.brttKeti/, me tod 9l(ct(ltt0e( (ifitei; b(j( ix^tn . 

. «nt> 



iU 



4Mflb*< efciMiu 



tettten. 



H G 




9ttf AB emc^re in A 

4k AErzBC, ttfib {ie^ 
^ hirc^ E tie EG mit 
AD, inxdf ftf C, D; Me 
BF, CH, DG, mil AE 

fatcM. 

2)a (6, I.e.) AB:BG = AF:BH, ntib BC:CD = 
BH:CG; foift ati0&em<BlctcfKtt A6:CD— AF:CG. 
ftun ifl AF=ABXBC, toett AE=:BC, unb CG — 
CDXBC, n>eil CH=AE. golslic^ tfi AB: CD = AB 
XBC:BCXCD. 

* 3^e9 mebiole Uo^ in ^^otenj commenfuraSele ^nien 
^ ftnbett/ bte etn Wtttiaiei tnt^alttn, unb bon beneti hit 
^6gere urn bad iCluabrat einet i^r in Han^t cmnun^ 
tabeln 2inte &btv bie fieinere potenjirt* 

A ; B/ C; brep rationale 






.f»(o6 in ^otenj comment 
fttcd()ele Siniett/ 9on be« 
lien tie A um iai Civa* 
ttat einer i^r in Sange 
commenfurabden {inie 
Mtt bie C potcnjitt. 
ana** (6, 13. 12. @.) A:D=:D:B, «nbD:B=:C:E, 

tag alfo AXB=DD, unb BXC=DXE» fo P«> 
D^ ^f tit ^fucbtcn Sinien. 

jDenn ia (10,32.0.) AXB metic^ fjl^ fo tf^ an^ 
DD, olfo D meWaf. iDa (6, i. 0.) AXB:BXC = 
A:C, <i{>ecAXB = DD, nnb BXC=r:DX E, fo 

|jkA:C=aD;DXE»«^w(»«>/3i.««K-JaD;DXB 



r» 



y I 



2&ut|^. 



i3{ 



4t* ifi (lo, I a. <S*) D^le^ fpfeKct)/ ba D mebial, auc^ 

» (iQ/ 24. (S.) £ m«Ua(. 2>emn9(<) 0nt> D;E^ met>ia( U0§ 

in ^otett} MmmenfumM. grrnec i^^ tpeU BXCrrJ^ 

Xfi/ «nl» CiOf aa- @.) BX C jncbia(, aw^ DX? 

meWdt. . . 

Su< A:C=D: E Wat att* (iq, 15. @0^, tag We D 
tim ba$ Cuatrat einet i(>t in ihngt cemmenfiirabefen Srnt^ 
&(;<( bie^E poteniirt;ii^hl boffelbe jmifc^en A, C^ 6(att fn^ek 

2ttimetfung* 

Huf &l^n(t(&e ^((tlinD^ mdft du^ W^ imxtxi, mm Ixt 

gr5f ere um \>ai Ouatrat etrvee ii^t in {ange iitcommenfutrabe^ 

fen £inie uber bie fleiftere potenjiren foU ; intern man. A; B^ 

fo nimmt; bafi bie A urn \>ai Cluabrat einer il^i; in Sange iiM 

^ cpmmenfittabeten 2inte &6er tie B potenjirt 

€rj?er Se^nfaf. ' - 

3^t(et man tn etnem red^ttvtnKtftetL ^rtangel; 6AC, 
atid bee ®pt$e^ A, b«^ ted^teh^infeB auf tie gegetu 
ilbetUegenbe ^ite^ BC^ einen ^tti?mt)\U\ , AD; fo tfl 

. I. CBXBD==nABj E ^ 
»cil(6, 8.3uf.)BC:BA = 
BA:BD. , 

«. BCXCD=DAC; 
tpei( BC : CA= CA : CD. ■" 

3. BDXDC=aAD; 
tD«i( BD : AD = AD : DC. 

4. BCXAD = BAX 
ACj wett (6, g. (S.) BC:AC==:AB:Ap. ^tx auc^, 

«ttBieif / wenn man bie 9lectange( CE ^ AF; befc^retftt / jebe< 
Ijccfdben = 2 A BAC, foIjKc^ C{:=AF, ba» iji, BC 
XAD=ABXAC iji. 



r .* 




'. If a(Itt'« (Sitm. IS eft(|*^ 



» 






22^ 



etSib*i Witmtme 




9Btit me fcrabe Sintc, ab, tii unqin^ T&^^^wttt 
At, £B, «ef[^nttcm: f» ter^ft fi<^ bee grileceTttfi^, 
AE/ iutn Aetnecn, £B, imc bai 9tectongeI untec MV gaiu 
}eit unb bem ^ri^eniKSfd^mtte ju bcm untet bet ©mjeti 
iinb bem fleinee n TLb^nittt. 

flta<^ Mn AB bol fiMbnrt AD, y\ g g 

vtib tie^c buRl^ E nit AC obee B3D bk 
EF fMtttttd^ bof «ffo (6,^1. ®0 AE 
jEB = AF:FB tfL Shm ifi AF = 
BAXAE, ttnbFB = ABXBE, 
t»ei( AB = AC = BD. So(«li(b ij% ^ 
AE:EB=BAXAE:ABXBE. ^ 

©titter Xc^nfaf. 

^ieb htx^imtr) miieidftn gecaben ftmett/ AB, BC, 
bte tUinttt, BC, (in D) ^olbirt : fo ijl bag Slectongel un-. 
ttt be9ben bag ^»ppe(te beg Steaan^etg untec bee ith< 
fern / unb bet ^a(fite bet fteinetn. 

(8rti(bte in B i«$ ^tts 
penblfe( BE, ma4>e BE = 
6A, unb »o((enbet)ie %\t 
jut;. 

2)0 DB :DC =r BF 
:DG; fo ift oetbunbett 
BC:DC±:BG:DG,fo(3* 
«(b,»ei(BC = aDC,«uc| 

BG = a DG. Slun ifi BG = AB X BC, toeil AB = BE ; 
MnbDG=ABXBD, »eiIBD=DC, ttnbAB=DF. 
Sol0(i(& Ifr AB X BC = a (AB XBD). 

., Qwv9 in ^otenj tncommenfuroSeie £inien ju ftnben, 
tie ein §Dlebia(eg ent^Iten , unb beten Oualmite lufanu 
men ein 9ta(iona(e« au^nuK^en, 




. y. 






' 3«§itte« 95uc^^ 



227 



»/ 




eO AB,BC,gn)e9 

rationale 6(o§ in 

^otenj commcnfu' 

tabtltiinmf ton 

tencn bie AB unr A 

fca^ £iuabrat einec 

f^t in S&nge incommenfuta^elen Sinie ji6cr bie BC potenjirt* 

e* tt>etfce BC in D ^tbiit^ unb on AB (6, 28. ®0 «n bem 

oictten U^eite be« D BC, ba< tfl, bem D BD fllei<be« 3tect^ 

angel entttorfen^ toelc^ed ein Quabvat jur (Srs^njung f)at, 

unb ei fep bad unter A£, £B. Sefct)tet6e &6cr AB ben 

|)aIWrei« AFB , ecricbte in E ben ^penbifel EF, unb iie^e< 

AF, FB.: fo finb AF, FB, bie wrlangten f iniem 

 Htm wmb^e in Sonftruction ijl (i o^ 1 9. ®.) AEuEB, 
SRun ifl (6, 1. 0.) AE:EB=BAXAE:BA><:Bfc, <A<t 
(10, 33.?e^nf. 1.) BAXAE=nAF, unb BAXBE 
=rDFB, aIfoAE:EB=nAF:DFB. golgli* ijt(io, 
10. ®.) D AFUQFB, alfp jinb AF, FBj in ^otenj lncom» 

®a AB, dfo au<& DAB, tatfonal; aitt (1,47. @.) 
D AB= n AF+ D FB : (b Jit D AF + Q AB tationaU 

<Dafccnec (10, 33. ?e^nf. i.) AEXEf=DEF, mh 
no* tern Stajcnominenen AEXEB=nBD: fo i^ EF 
=Bb, olfo BCrraEF, folsli* (6, i. @. t>Ut 10, 33, 

ee^nf. 3 AB X BC = 2 (AB X EP) / f «fd«* ; »«l ( » ", 
02. ®0 ASXBC inel>i4^ atu^ AB X EF mebial; fofflUc^, 

Weil (10, 33. Je^nf. i.) ABXEF;=:AF XFB, avdf AF 

X^ webid. 

S)cr 35. 0a|* 2ruf5a6e. 

gwep m^wenj tncommenfutaBete £tnien ju ^nt^eti; 
bit tin fKattonaleS ent^aften, unb bmn OMabtote jt^ 
fammen ein §t^e&ta(e0 aufmad^ett; ^ 



X 



238 Sttfltfe*^ &mmt 



(Si itptn (i o, 

)«)e9 meNale b(o§ 
inf^otetii (eminent 
furabele 8inien ; 




WeeinSHationalei A FB Z C 

' cnt^altcn,unbt)cn 

(eneit Me A6 itm tai Cluabtat einev i^t in Sange incommeiu 
furabclen ?inie uber tie BC potenjirt (S« jBccbeBCin fi 
J)albict, unft an AB (6, a 8. ©.) em bem b BC gleicbej 
aiectangel AFXFB entwocfen, fceffen Srgonjung ein Siixat 
teat ift. 85ef(*reiee ubep AB ben ^albtmi ADB, eccicbte 
in F bm ^erpenbifel FD , unb jiel^e AD^ DB : fo finb AD, 
, DB, bie t)eclangten imtvi. 

2)eRn t^ecmoge bee Sonfttuctipn iji (lo, 19.®.) AFuFB^ 
folglic^ (6, 1. ©• unb 10, lo. @0 BAXAFuABX^F- 
Siun ift (10, 33. Je^ttf. ij BAXAF=n AD; unb AB 
XBFf=DDB. golalic^ ift □ AD u Q DB, alfo AD 
U-DB, 

^1^ 25a D AB melSial , unb (i, 47. ©0 D AB =; n AD+ 
*I] DB : fo ift audf Q AD + Q DB mebiat 2)emna4) tna^- 

4)en bic Ouabrate bet: AD, DB, jiifammen ci\i aRebia^ 

(e^ ani. 

, 2)a fetnec m^ in Sonfteuctlon AFXFB = QBE, nnb 
(10, 33.«<&nf. I.) AFXFB = aDF: fo iftBEi^zDF, 
dfo BC rr 2 BE = a DF ;. f olgli* AB X BC = a (AB X 
DF), fol8«(&ABXBCnABXDF; fotm, »«II na*. 
Utt gonftcuction AB X BC rational, m<i) AB X DF to* 
tional, fofgli*, wc«(io, 33. ie^nf. i.) ABxbF=AD 
XDB, au<^ ADXDB cational. 

* 

3i»e9 tn 5Jo(eitj ittcommenjutofccre iimm jit fnbtit, 



* 



J 



S(^ttt(« $U(^; 



i^f 



f 




FB i 



3j. ®0 AB^ BC, 

}it)e9 mebiale Mo§ 

in ']Joteni commea^ 

furabele ?inien, tie 

dn SRebialcd ent^ A 

fatten, unb ton be^ 

nm bie AB urn bag Duabrat einet i$r in ?&nge incommenfu^ 

tabe(en Unit &5er bie BC potenitrt« Sdicb nun baf Itebrige 

tote im oorigcn @d$e conftntirt: fo finb AD^ D6^ bie 9tt^ 

tan^Un {intern ^ 

, 2)enn ba AFuFB, fo ifi AD ;^DB; unb ba Q AB me* 
bial , ft) ift auc|> D AD + Q DB mebial 

2)a au* ^iec BC = 2 DF, fo ift auc^ AB X BC = 
2'(ABXFI>)y W««*/ wil ABXBC mcbial, au* (10^ 
24. 3uf.) AB X Fi> mebial. SUun ift AB X FD =: AD X 
J>K Solgli* ift.aii4>ADXBDifbial< 

2)a ABUBC^ aber BCnBE, fo iji ABuBE, fotgfid^^ 
(6, u e. unb iQ, lo. ©0 D AB u ABXBE. SHun ifk 
nAB=::nAD + nDB;UnbABXBE=ABXFD = 
ADXDB- gofglicb ift D AD-hDDBuADXDB. 



85 n 

ten t>ur^ H^ 3u^menf(|ett entjie^entett 

St)er 87. 0a^» lelfetfo^ unb Stflatung. 

^iCtbet) jwep Mog in 9)otenj commtnfutaSele 9tatto« 
nalltnien, AB, BC, jufammerfge^: fo iji bie ganje, Xc, 
irrational/ unb^et|e 23tttcmta(cv ^ 



V 2 



2)(j 



w 



r 



^ 



%%• CNfik*'^ 



. JE>«^ABA.BC, a(fo AB _/___ 

UBC, unb (6, 1. ©.) AB k B' IS 

:BC = ABXBC:nBC; 

fo i(i (lo, lo. ®.) ABXBCUDBC. Shm ift (lo, 6. ®.) 
ABXBC n 2 (ABXBC), ttnD-(io, i6. «.) Q BC n 
D AB + O BC. golsli* ift a (ABXBC) U Q AB + 

DBC; fo(9K(^ (lo, 17.©.) oetbunOen 4 (ABXBC)+ 

DAB+QBC, ba« ift (2, 4. «0 DACuqAB+dBC, 
fo(d(i(^^ w<t( D A6 + D BC tationd/ Q AC^ olfo au(^ 
AC itrattenal, 

5GBerben jwe^ 6fog in. ^tcnj wmmenfur^feek SRe* 
btaffinien, AB, BC, jbu ^in Stationafed entfeoften, jufanu 
tnettdefel^: fo tfl bte gcttt^e, AC, tn;at(onaI; unb ^eife 
bte erfle 23ttiiebta(e. ^ 

2>aABuBC, unb (lo/ 

i'3.®.)DAi + DBCu ^ g— ^ ? 

a (ABXBC); fo ift x>m 

butiDen D AB VD BC + 2 (AB XBC) ba« tft (2, 4* ©•)' 
OACu ABXBC, folgK*, »eH AB XBC Mtional, Q 
AC , dfo auc|> AC iccaticnd* 

S)er 39* <Sa|* lefetfal unb erffarttng. 

SQBerben jwei^ 6(0^ in ^J^t^nj commenfinraSele SWe^ 
btaUinicn/ AB, BC, bte ein SDlebiafed ent^otten, jufam^ 
mengefe^t: fo ijl bieganje, AC, irrational, unb^et^c 
' bie swe^tc 25ime^wlc* 

@< fe9 DE eine dvatfonolflhie, unb m, 6erfel6en eitf bem 
Cluabrate ber AC g(eic^e« fRcctangcI DF = ED X DG, 
be^Sfeic^en ein ben £]juabraten ber AB tinb ber BC gfctc^ei 
fRectan9e(EH=EDXDH, entworfen. 

5Da(2,4.®0DAC=DAB + DBC + 2(ABXBC), 
^ fo iji HF = 2 (ABXBC). Shin fmb AB, BC, dfo Q 

AB, 



^' 



9t|il^ ^lu#« 



tft 




AB, D BC , «*« ««* 2 (ABX 
BC), nwtioC. golgfi* finb flud^ 
EH, HF, mitioi; folgli*, »«>ett 
DE Mriotwi,(io, 23. @0 t>H, 
HG, rational unb tecDE in ?im 
gc incomtn(nfUta6<^. 

2)a ABvj EC, «nb (6, i. @.) 

AB ; BC == D AB : AB X BC ; 

foiit (10, io.«.)DABuAB 

XBC. Sftun ift a ABnD 
AB + D BC , tinb ABXBCn 

a (ABXBC)." ^iM ift D AB + Q BC U a (AB X 
BC), t.a«»fr/EHuHF, |iifeli*au4>DHuHa 

2)emna* (inD DH, H(5> wtienal IJIog i«' ^otenj com. 
mcnfutafxt. Sotgfic?) ifi Cio, 37. @.) DG iwationol, fofe* 
(i*. toeitDE rational, (10, 21. ®0 EDXDG/ t>«« ijt 
DF, tia« ifl D AC, alfo oud^ ACitrational. * , 

eafiib neftnt W<f< «in|e brtwegen tie jwrptie2^ltl^*fer^ 
»^ ABXBC ^ier mrtiat, n{*t, wie &^ »« Dotigwi, f«* 
ti«nat i#/ »nb ti«« SJUWafe bcm fRationalen ikw^fte^. 

<£)C{ 40.^04 ie^ffaf unb gtfUtung. ' 
gSetbm s»«) in 9)oC«tj incommenfuta&ele £inten,: 
AB, BC, bU ein SWefefaU^ m^aitm, unb bewn £iuas, 
tirate jufanunen ein UlationaleS wmadjtn, jufammm* 
gefeit: fo ifl bie ganie, AC, ittationot, unb ^ige b^?, 
gtogew >rattonale. 

©0 ABXBC, alfo au* . ,   , ' 3 , 

Cio,24.3«f.)2(ABXBC) A P *^ 

niebta(,a&«aAB + DBC - . 

Mtjonal: fo ijt 2 (ABX^C) U Q AB + D BC, fotgU*^. 
(10, 17. 0.) a AB+ aBC+ 2 (ABXBC), bo« i^ (2, 
4. ®.) D AC u n AB + a BC, foJgllc^, weil Q AB + p 
BC tational, QAC, alfo au* AC iwatioriJrf, 

^4 ^^"' 



' * 



/ 
7(nii>tr!ttit9. 

(Si^flib nentit Ut(t Stnie be^toegen tie gtcgcre jfnrdtto^ 
Itatc / n>dl bai t)en Ciuabraten bet AB^ BC, qki^e IRatto^ 
lia(e gr&get i^, ali ba$ Soppette iinteir AB, 6C, tnt^aiunt 

SWcbiale* 

2)o§ been fihtt fo fep ^ mtrb «|fo temirf(fn : AB; BC; foiu 
nen nii^t gW* fcp/, tt>eil fonft D AB + Q BC4=: 2 (AB 
XBQ, foJgH* ABXBC rational t»hvt, gegen bic ^i^t^ 
au^fei^nfl* (?# fe? ba^ . ^ p r 

^er AB>BC, tmb BD "^ |. 7 < 

r=BC: fo ifl (2, 7.. e.) 

DAB + bBD — 2(ABXBD) + nAn, t)a« ift, »eil 
BD — BC; DAB + nBC:p:2CABXBC) + nAD^ 
•folgli* D AB+DBO 2 (ABXBC). 

Jt)e» 41* 0a|» lel^rfaf tuib grMiruns* 

?©erben jt»ei) in ^oteni ittcommenfurabele Eititett^ 

J^B, BC/ Hi tin Stat jona(<6 ent^lten , utib beceti £iuat5 

brate ^ufammen m WlcbiaUi M6tmd)et\ , p^mnunge^ 

'fr|;t: fo ifl tHe sanje, AC, trrotto^ital , unb ^cige t^te tin 

2)a D AB + n BC me^ . . ' 

Mai, abn 2 (AB XBC) ta^ X HB 

tionallft; foiftDAB + D 

BC u 2 (AB X BC), folgli* (2, 4. (25. unb xo, 1 7. ©•) 
l«rburt&cn n AC U 2 (ABXBC), folgli*, ta^il 2 (AB 
XBC) rotiortal, p AC, alfo AC irrational 

tltnnterfung* 

(Sttfiibed nennt biefe Sinie be^megen fo, ns^cif t^c Ctuabrat 
{ti^epen Sidttt:en jufammen gleic^ tft, oon benen bie eine r<M 
tipnal; bte anbere mebial ifL 



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Bellntti !Btt($« 



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SBerben jmeo in ^Jotetti tncoiiimenfuraSete fiinien, AB^ 
BC, beren jduabrate jufammen ein 9J?ebia(e8 an6macf)eh^ 
unb bie em ?0lebiale6, ba« jenem incpmmen[ut«6el ifl^ 
ent^affen, jufammengefeft : fi>iflbie flanje, AC, '\xi(x-. 
tionaf; unb \t\%t bte jmiy ' 

• t« fe^ DE eine tRaHo^^ 
naflinie unb an berfelben 
(i/ 45* G.) ein ben Dua^ 
btdten bee, AB, 6C, gleU 
<be« 3lectan9dDF=ED 
XDG, betgletct^en em 
bem boppe(ten unter AB, 
£C, ent^altenen IRectangel 
gleicbed Biectangel GH = 
EDXGl entworfcn, bog 

atfo(2,4-®.)DH=a 
AC i^ 

• 2)a D AB + DBC mebial unb =DF i(t: fo ifl aui^DF^ 
ba« ijt EDXDG, mebial, foIgCi*, »eil DE l»tionar, * 
(10/23* ®.) DG rational unb ber DE in Wnge incommen^ 
furabeL 8(ud gfcicben ©citnben ift aucb G( rdtional unb bet 
DE in Singe incommenfutttbel 3lun ift Q AB + Q BC U 
3 (ABXBC); ba« ift DFuGR golglic^ iji (6, i* 0. 
unb 10, lo^SODGuGL . 

S)eninac^ finb PG; GI, rational bIo§ in ^oten} tommen^ 
fftcabel, fofglic^ ijl (10, 37.®.) bie ©inomiafe DI ircatit)^ 
nal, foIgJicb, noeil DE rationaf, (10, 39* ®* Sfnm.) ba< 
Slectangrf DH, ba$ ift Q AC, fof^ric^^ AC irrational. 

' Ttnmerfung; 

7M Urfacbe ber SSenennung i^ n>ie be;^ ber torfsen {t^ 
me« ^ag( aber bte bif ^er abge^anbe(ten fecb 4 ^rrationak 
linien Uo§ in btejenigen 2inien, ober SRamen^ tooraut fie 



134 '. ^taSkr$mammt 

m t toiBWigif ett •0^01/ Mti^ yoAtf/t mcMi Ommi, ipM 
tn ben folgen^ @i(ai gcicidt, UuA ebts fofgo^a Sc^iu 
' fill v^awt^^ta i{t 

fo 9«fd)nitt«n, oaf AC> DB : fo4jl Q AC + q CB> 
DAD+QDB. 

E. 2)aAC>DB; '  I r 1 . 

f» tft ^ wenn ttan 

DCwegnimmt, AD>CB; o6«r AE=rEB, foI^Hc^/ toemt 
•tan AD t»>n Aff, unfc CB wn EB tDrgntmnit; DE<EC. 
•£)(t)ina(^ lieden bie ^uitfte C^ D^ nttjfdt^ mit Mm ^i6t« 
tuRgf punfte E. 

t)a (i, 5. ®.) AC X CB+nCE = dEB=ADX 
DB + QDE; obec p DE < q pE: fo ifi ACXCB< 
AD X DB, flffo au* 2 (ACXCB) < a (AD X DB). 
•0iun ift (a, 4. ®.) D AC +,D CB+ a (ACXCB) = Q. 
AB= D AD :*- D DB + 2 (ADXDB). gotafit^'lft Q 
AC+pCB:^aAD+pDB. 



T)fe SBmomwre, AB, ragt ftc^ Uoi in ©nem ^unffe, 
(;, in t(jte Qflomen, AC, CB, aetteflert. 

®ir< <Jit anbewt ^ D r* n 

Vin* D m6gtt*, bofi ^- -i i: 5 

fci<2l6fc^nitteAD,DB, 

Wtionai Wo§ in «Potenj commenfuMbd wawtt, fb i^ojfen^ 
btte ni(6t AC=:DB, »eil fonft auct> ADssBG-, folglie^ 
AC : GB.= BD : DA, folflUc^ AB auf bfyj^n fct in D, 



-g^^wi ^IK^ 



tss 



JDcftUMKb ftegen bte ^unfte C, D, ungieict^ toeit 6otn ^alM^ 
tttngipunfte, , golgtt* ift'(io, 4a. M)nf.) □ AC +DQB 
>DAD+aDB. giunift(a/4. ®ODAC + □CB^- 
a (ACXCB) = D AB = D AD+nDB+ i(ADX 
DB). . gofgii* ift (D AC -f Q CB) — (Q AD + Q DB) = 

a (ADXDB) — 2 (ACXt^B). giun fmt> WeQuabratf, 
^0 4a(^ becen Untnfc^ieb, cationd. Solg(t(^ i^ aixd) bee 
Untetfc^ub bee fRcctanget cattonal/ wH^ti, tveil fletnebiaf, 
(lO/ 27. ®0 i>nt96^t(^ ift SDeoitUM^ fann bte 9tnpnia{( 
AB in feinem anbeen ^ttnfte oufee C, alfo bIo| h bem.ISi^ 
nen ^mttt C, in i^ee Siamta jeciegt nerben. ; 



r 



S>et 44* @<t|« le^Dfaf* 



D 



B 



J)te erffe SRimebtdc/ AB, fiigt fi6) Mog in Slnem 
!g]it«t!fe, C, itt i^te Saamett; aC, CB, jetlegen. 

SBate ein anfcewc j^ . 

^unft D mogtict, bag •-^ 

We2f6f*nitte AD,DB, 

mebide Mog in ^otenj commenfutaWe unb eitt fRotionaldi 
cnt^attenbe ?mien »icen: fo wire wieber 2 (ADXDB)-^ 
2 (ACXCB).= (D AC + D CB) — (DAD-f- dDB]U 
golgfi* wSce, ba bie JRectangel catiiwial/ auc^ betrUntets^ 
fc^ieb bcc Suabrote cationdf, tt>ef($e«, weH fie mebid, (10^ 
57* ©•yunmiglict;^ ift. ©emna* tann bie erfte Simebiofc 
Blog in finem ^unfte in if^re Stamtn jetlcgt toerben* , * 



I * 



/ JEDec 45* ®«i fe^tfaf. 

IDie jtw^te ^tmebtofe, AB, tSgt ftt^ bto$ in ©item 
§>untte, C, in i^re Sf^omin, AC, CB, jeriejen. 



K^ft 



i3« 



^uflWi &lmmt 



D C B 




. ®&fe cttt 6nbtftt ^inft 
D mbg^xd^, ta% AD, DB, 
mebfdl bto§ in ^oteii} coim 
SQenfurobel (inb/ unb ein 
SReMalf « ent^af ten , bo§ 
obctni^t ACzrDB, fon^ 
tern Mtb ictiiotanif^mi 
AC>DBfe9: fotfi(io, 
42-.t«^nf.)DAC+DCB 
>DAD + nDB. • 

- (g^fepEFmeSRatlonat^ 
Bnie, unb (i, 45- @0 an ^ 

betfdben bic Slcctangd El — Q AB, EG^D AC+DCB^ 
unb EK=:n AD + DDE entwerfen, ba§ alfo, tt>enn man 
«EG ten El »egnjmmt, HI= 2(ACXCB). n«b, wenn 
man EK eon El wegnimme, LI= 2 (AD X DB) iji- 

SDa (10, 38. ©• 16* ©. 24. 3tif.) D AC+aCB, afn> 
aucb EG, ba« ift FEXEH, mebial, abec FE tatienaU 
fp ffl (10, 23* ®0 EH rattcnal unb becFE in 8ange incotwf 
Qienfurabef. $(u^ g(eicben @tfinben ift au$ HM rational 

tinb bet FE in ?inge incommenfucabef. 

• 

S5a fecnec (10, 38* ®.) AC, CB, mebial bfo§ in ^01*114 
eominenfucabely alfo AC u CB, nab (6, i. ©0 AC : CB 
±= D AC : ACX CB; fo ift (lo, lo. @.) Q AC u AC 
XCB, giun ijl (10, 16. ©0 D AC n D AC + a CB^ 
ml AC n. CB, aud? 1ft AC X'CB n 2 (AC X CB). 
^olgtict) ift D AC + nCB u 2 (ACXCB), iaijk, EG 
uHI, folglic^ (10, 23* ©0 aui Et^ u HM* $etmia(^ 
ftnb VM, HMl, rational blog in ^otenj commenfurabeL 
golglicb ift (10, 37* ©0 EM cine SJinomiale, bie in H je^^ 
fcbnitten ift, ! 

i 9luf eben bie art wirb bcwiefen , bag EL, LM, rational 
({log in ^otenj commenfurabel ftnb, alfo bie S3inofnia(e 
EM auc^ in L sefc^nitten , ba§ nic^t EH = LM ; n>eif 

(10, 



I 
\ 



' (10, 42. ft^O D AC + D CB > D AD+ □ DB, <i5ec 
DAD+nDB>2(ADXDB), aifp urn fo me^t Q AG 
+ D CB > 2 (ADXDB), hca ift EG>LI, mb l)a^er 
EH>LM. 

Demnac^ tohx^, mm ftc^ tie itttt^U SSimebiale AB attftf 
C ouc^ noc^ in eincm onbertr ^unfte D in il^ce Stamen nevie^ 
gen lie§e , tie ^inomiale EM in jt^ep oetrfc^iebenen ^unf ten^ 
H, L^ in i^ce Stamen jerieflt, »elct)e« (lo, 43.®.) umnoji 
1x6} i% SolgUc^ fann tie )me9te SDimetiale AB tlog in @t> 
nem ^nfte in i^i:^ Stamen ieiriegt n>erten» 

 \ 

©cr 46. ®at^ ie^rfaf* 

®ie gt&fete Stratiottale , AB, lagt ftc^ bk^ in Cmem 
^unfte, C, in i^jre Olamen, AC, CB, ierlegen. ^ 

@efe$t, e« ware ein M-- ^ DC B 

AD, DB; in ^Potenj income 

menfurabeirmt/ ein SRetioH en^tAten, tint t^te CluatcaM 

jufirmmen ein Stationale^ auima^en* 

©a (2, 4- ©0 (D AC + D CB) _ (n AB + O DB)= 
2 (AD X DB) ~ 2 (AC X CB); abec jeiiec Unterfc^iet 
rational ^ n^eil tie Ouattate {ufammen rational ftnt : fo vohvi 
auct tiefer Unterfc(^iet rational , n>e(c^e$/ n>ei( tie St^tanget 
ipetialfint/ (lO/ 27.0.) ni<&t m59lict ijl. golglic^ fanu 
tie 9r6§ere 3>^rationaIe nic&t in einem t>on C ©erfctieteneit 
$unfte/ alfo tlog in tern @inen ^unfteC^ in i^re Stamen 
terfegt »erten» 

Die tin Stationafeg unb SJlebialeg ^orejijtrenbe, AB,, 
U^t ftc^ t(of in Sinem ^unttt, C, in i^re ^amzn, AC^ 
CB, ierlegm, 

®efe«t> 



( 



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• 



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«3t 



(Ei<fRb'< ®emetite 



I \ 



D 

—I— 



B 



Qkfelt/ etf m&re nod^ eiti j^ 
ttiibctet ^unf t D mfcgli*, bag   
AD/ DB, in ^otcnj income 

menfurabcl ftnb# eki fKoitionafod ent^afteti/ unb i^re Quabroi 
le iufammen ein 3Ret)ia(e« dttto<MNm 

5Da (2, 4- ®-^ 2 (AD X DB) ~. a (AC X CB) = 
(D AC+nCB)--D AD+D DB); aber jener Untecfcftied 
tationol: fo tt^are au4> biefer Unterf(^teb rational, todct^e^/ 
tpcil We Quabtate jufammett mebial (inb , (lo, 27* 6.) n!<^t 
in60(i(^ ift^ S^^S^ic^ ^<^>^i^ ^^ ^i>^ 3tationa(e^ unb SRebiale^ 
fpotenjicenbe blo§ in (£iqem f^unfte in i^te SRamen lede^t 
tpctbem 

"Die jwep SDlebiale ^oten jitf nbe , AB, Vof^i jtc^ Mo^ in 
ginem ^unfte/ C^ in i^re aRamcn, AC^rCB^ jcriegen. 

(Sefeijt, e« ftp nocb ein A DC B 



LH 




cnbevec ^unft D m6glicf), 
tig AD, DB, in ^otenj xxk^ 
commehfurabei (inb, ein 3)le; 
biated ent^alten, unb i^re 
£2uabtate jufammen ^auc^ 
^in^ebia(ed au^macben^ n>e{i 
ebeS jenem incommenfurabel 
<ft;aucbba§nicbtAC=DB, 
fonbewi AC > DB ifi. 

(S* fep EF eine Slatibnal? 
linie, unb an becfelben bic SRectangeh EG = QAC + n 
CB; HI =i ^ (ACX CB); EK = Q AD + p DB ent^ 
»orfen: fb ift E1=D AB^ unb LI = 2 (ADXDB). ^ 

Z)a nacb ber Sorau^fe^ung D AC + QCB^ folglic^ au(^ 
EG, ba« Ift FEXEH, roebial, aber FE rational ift: fr 
ifl(io, 23. @.) EH rational unb ber EF in 2ange incoo^ 
menfurabel. Su^ benfetben ©rfinben \^ auc^ tiJM rational 
tinb ber £F in {&nge incommenfurabel^ ^ 



/ 



BffyiM 35iftJ^. 



^39 



2* fetner a AC + D CB u a (AC X C'B), hta i^, 
EGuHl: {d i(i (6, i. ۥ unb lo, i<^@0 EHuHM. 
^mna^ (inb EH , HM ^ ^ationdl blo% in $otf li) cotiimenfu^ 
x^btU %olil\d) ifi EM eine S3inomia(e/ «t)ie in H i€c(egt ift 
@5en fo n>ic6 bemiefen/ M fi^ ^^^ in L jedcgr fep^ fo ba% 
nic^t EH rr LM jft. ©emna<t n>&W/ wenn (ic^ He jwep 
a)}6bia(e ^otenjitenbe AB / augec C noct^ in einein anbtm 
^unheD in i^ce Slamen jetlegen (iegC/ bie S3inomi(|ie K\f 
in jtoe^ Dctfc^iebcnen jpunften, H, L, in i^ne SJleincn jeclegt/ 
mei(|)e« (iO/43.,(S0 nic^t m69lic^ ift. Solglictf famt 
AS Mog inSSinem $un(te in \f)vt diam^n iei^icgt t9evt>en« 



dErflaruttde^ti 



brat timt ifyn in ihnQt commettfurabel^n £tnit 
, ilber ben ftetnern potenjttt/ ^i^t 

bit erfie 3titomtaIe ^ n>enn bet Qtb^ctt ^avxt timt 
tm^enommenm StattonoIUnie in ian^t incommetM 

furobet ijl ; . 

.2. bit iwcgtt ^incmialc , menn berflcinereOloirte; 

3. bie brttte JBtnomtdC/ n>enn f einer ber bet)bcn D^amm 
fi>lc^er OtationafKrHe in ^qnge cwnmenfurabiet tjl. - ' 

4* ®ne ^tnomiale ^tnge^en/ bercjt gr^et$r Sf^amc um 
ba6 Cluabtat tthet, t^m m Sange incommenftir^be^ 

ktt £inie^6et ben flHnetn potenjirt , %igt ,^ 

' bit xnerte 23momtale ^ n>cnn ber 8t6^cre Oltame bet ' 
andfnommenen Dtationalfinie in Sange cemmenfu^ 
wbef i|l; * ' 

• ' 5*. tie 



I 



»4» ^btSlb't €kmmu 

own f»^<r 9t<itiofM0iiit< in Haa^f comaunfera; 
MifL 

^ erfie ^nomiole |tt fmbm. 

AC,CB,>€«w6iim* "^ 

nu AB i»at p BC, E » S ? 

«6rr nid^t }a AC, (ie 
'9ct^iUm% ton.Qmf H*——— 

fe9 D (iite fHa^MMmt, nnb EF etnc bcr D in iaa^t temi 
mtHfucaW* ?ttiie, fenwr (lo, 6. ©.) AB: AC=dEF: n 
FG; fo if^ ^ dtt<£Ftiii( FG iufatwnengrffgte EG^ie tvfte 

©enn ba AB : BC = Q EF : Q FG, fo ifi (ro, 6. €5.) 
OEFnDFG, a6« EFnD, a(fo MttonoJ, folglic^ anc^ 
FG wtipnal; ab« (lo, 9. 6.) EFuFG. 2)emna4» fiiA 
EF, B'G, Mttonol tlof in ^uui c»nim<flfurabd. gefgiit^ 

<l* (10/ 37'®') EG ««< ©jnomiole, 5wen Slomen EF- 
FG, fint>. . 

«u« AB : AC = D EF : n FG , wo AB > AC , folgt 
«U{^DEF>nFG. (g^fepta^ef OEF — aFG=a 
H: fo ifk (5/ 19^ 3nfO 5ttriJcH!e^ten& AB:CB = qEF 
:aH. SRuo DM^aiten (i* AB, CB, »fe duattatjc^en^ 
QolgK^ we^aiten fict au* n EF, p H, wie auatfotja^fen. 
J jgolalic^ Ifr (10, 9. ®.) EFnH. 2>emna* petenjict EF 
After FG vmpat Ouabcat t>ec i^c in ihn^e commenfucoMen 
H; un^ cl tnav £FnDi folglic^ i{| £G bit v^t faino< 
4nid((. 

•5Dec 



^le jwe^te SBinomioU jtt ffnbeh. ' 

AC, BC, tewn ©um* jj , ^ , 

ne AB jwat |tt CB, jr (T 

«{>ct ni(fet iu AC, We E ' » "^ 

4e9 D etne fRationatti# 

t&ff vaA FG cine tet D in 9&«ge commenffltadefe Unit . in* 
lOT (10/ 6. 3ofO CA: AB = nGF:a FE; fo tft W« ttiU 
:GF; FE, jufammengefelte GE bie jwepK SSmomwIe. 

©erai ^ C A : AB =± D GF : D FE , fo t|l C» o, 6. (&) 

'DGFnaFE; atetGFoD, alfo wtionol, fol^it «u(^ 

' FE tatiwial; abet (10, «^ @.) GFyFE. ?)emna^ ^ 

GF, FE, wt»n«i ^o& in ^tenj C9mroenfufa()cl» golg* 

'li<$ ift (lO/ 37* ®0 £G <in( Smom^f bmn SBomcB 

<»F^ Ffi. 

«tt« CA: AB =r O GF r DFE, fctgt bjircfe Umfe^ 
VUng AB : AC=r OEF : O FG , n>o AB > AC , aJfo aviSf 
'C3EF>DFG. t«fe9n«nOfeF — nFG=DHt f» 
if* (5, i9.3Mf-) 5Uriic»el?feiiO AB:BC=: DEFrQH. 
law wt^altm fi* AB, BC, wie iQiwDtatja^ren. • §ofcili(^ 
»et^Jten^««*pEF,oH, »te Quabwtia^Cnf; golg* 
|i<^ i(Kix>,9. ®.)EFnH. , ©emna^* pirtfnMct EF &6<r 
FG nm btt« Quabwt bo? i^r in Jinge wmiyf nfucaWn H, 
imt' e< toof G£nD. SoIgfi($ ifl EG bie jtpepte l6ino* 



5 



^e bittte !&inointa(e |u ftDb<fl* 
0Mfii('« $(«in. IS ^i^ ft ; / SKimii 



• 



» 



I 



' \ 



.^43 ' &am'i &mintt 

leii^ AC, CB, becen D 8. 

6ttOime AB jtoat ju ^ , 

GB/abiernicbtjuAC, -'^ ^ . jj 

tie a3er^aUni§ ton K>-  H " * ■■' * 

ftuabratja^Icn J>obe ; ^ ^ 

tWgteicCen cine ttiue ■*• 

ga^l D, »d*eu>e* .... 

>ep etne£iuabtatja^Ife9, n<y6 juemetbec brpbett etfttft bie Skr^ 

^MtniS t>on £luabratja{)len f)fibe. ^ludb fe^ E eine fRatii^nak 

•finie, unb(iO; 6, 3uf.)DtAB±rDE:nFG, brtglci^cH 

BA : AC =r a FG : D GH ; fo ift bie a«« FG, GH, jiifadl^ 

mengeffltc FH bie britte SBinemiale* 

. 2>ennbttD:AB = CjE:DFG; fi| ift D E nDFG, 
folglid;^/ m\{ £ rational, auc(^ FG tattonal/ aber (iq^9« ®0 
.EuFa .V ^ 

©aBA:AC2=nFG:D6H; feif^OPGnnGH/ 
ifMglicb, toeil FG rational/ aud^ GH- rational/ aber(iO/^ 
9. @0 FG u GH. 2)emna* finb FG , GH , rational blo§ 
in potent commenfurabeL ^olglicb ifi (lq^ 3 7* @.) ?H einc 
85inomiale, becen SJamto FG, GH, ^ 

gftacb be^ben obigen iproportionett if* (5/ ^2, ©0 4M 
temfBkicbciiDzAC— nErDGH,fol9li*(i6,9.®-) 
' JEuGH; fernerift, toitt BA>AC, aiic& D FG > D GH. 
€« fep bafter DFG— D GH rrr D i; fo ifl (5/ 19- SuP 
3liriicJM?rcfil> BA : CB r= q FG : n 1/ foldli* (i o, 9. ©•) 
FGn K ©emnacb potenjirt FG ubeij GH nm ba« Slaabraf 
ber i^r in Sange commenfurabelen \, unj^ e< n?aren FG^ GHf 
ter £ incommenfurabet: fofgUct^ Jft FH bie britte 9ino# 
sniale. 

^iOierte $iitotma(|iii finbem • 



<» 



• » 



ttHsmi 



-— p. 



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\ 



Qil^tiJBn^ 9$% 



i 



ite AB iw feitw t^on K CI 

»e9i>m >« «erf)^tmfi E« — ^  "  ■' . ""■ " ' "" ^ 
i>on a«d6ratia^ten ^ti- wj ^ -^ 

U. ««* ff? D ttnc " 
IRatwuafKntc / un^ EF 

tine ^ D in l|nse tommcnluvAMe Sivre, ftvner (co^ 6. ^ttfl) 
BA:AC=aKF>aFti; frifi We A«« EF^ FQ, i^m? 
n^^fe^ £G tie oietit Sinemtdfe. 

' 2>etm<ra«b«c1J»pottionfol8taEFnnFG/alfb,t^ 
feFnB, unfc I> wti^nol, dut^ EF^ alfo iw^ FG ratlon<Jt 
«ber (10/ 9. (5.) EFuFG* ©emno* pnD EF^ FG, xatm 
nalWi in ^otenjiCommenfutttJel; foCgfic^ i<l (lo^ 37-®*> 
P;G etna SBinomide, Itten SRamen EFy FG. 

gerttct folgt au« t>cc ^op^rticm , tw) B A > AC , t)of □ 

EF>aFG> tg«fe9 6o&etDEF-^nFG=raH: f0 

•tft 5uriicFfebrei«> BA:B(:=:rDEF:aH, folglt* (lo, 

9. @0 EF U H> Ibttma^ pethiiitrt EF i^c FG om ^< 

imibcat l>in; i^ in Skge incDmntenfUro^tot H, in^ e< ukre 

;Fn Di So^Im^ j^ EG 4^ie Diem ©mt>mi<rff * 

AC, CB, t>o:en ©wnw^ |>i . ,  

5bie 85?r^atmi§ wn Quo? E i — ' *  

«nib FG «t»e (ec O in 

tlm%* tormnenfiirobrte tinle, fernw tio/ 6. Bh^O CA:AB 
:=ra GF I Q FE; fj ijl tic^ofK QF^ FE, )»(iMRmtn0ef<«tc 
EC »)( ^nfie «ii(v;iiiia(«. 

(2 a * SDdin 



%u 



Sumf ^ mmtati 



■» > — 



A^C4B 



E 



F 



Q 



a^ 



f  '  < 



portion folgt/ »it w>Ci j^^ 
^ baft GF, FE, totio? 

ikT tfWftn ^cteffrTBttr?- 

menfurdbetftnb/ fllfo(V9i 
.37, @0 EG eine JBino;? 

roiale ijt , beren SRamen 

<ff, FE; fetttct"*, *a| aFG< QER. «« fei^bi^et a 

EF-^dJ6=DH; (oift ttmpchl?rt unD 3uriii$arl>iF 

ren^ AB;BCr=nEF:aH, folgttc^ (10, 9. ©,) EFU 

|H*/ 2)ejn.nac^ poU^tt EF urn M.£iaabrat ^er i^i: in im^ 

^e incDmnienfttcq()e(n H hbex FG^ unb (< toiu FGnD$ 

'folglic(^ ift EG ik funfte S3tnomia(e^ 

. . .©iejec^gte Sinomiale ju ftnbeti. 



AJ2.dAB 

D 13 



E 



—4 



F». 



G 



H 



^AC,CB, fcereniSumme 
.^£ iu feinct Don beaten 
JbU S^ei;ji)aitni§ von £2uo^ 
bratja^ien ^abe^ be^glrU 
. (t^en eine bvitt; 3^^! I^/ 
ipelc^e n)eber eine £lua^ 
Drotio^l fe9, noc^ jii etner 

bet bepben erjien bie ©er^Jftftig Don Cuobwtjal^fen l^abe. 
aucb fep E eine'Stationallinie, unb (10, 6* 3ufO D; AB =: 
DE:DFp, bef8lei*enBA:AC:rrn,FG;nGH; fo 
ft) bie aui FG, GH, iufammengcfe|te FH ^bie fecb«te ©i* 
nomiate 

^nn aui bet* erft^n proportion folgt, bof PG rotionof, 
aber Eu FG ; unb a\xi ber in>e9ten/ boi GH rati^nol^ mi^ 
FGuG»; folglicb (10, 37. ®0 FH eine SSiinomiak fco, 
/bfren SRamen FG^ GH» 

S%a4) bepben ^$rop»rtionen ift oiid teift (Bleic^fi 
D : AC = D E : D GH , folglic^ (i o^ 9. ©•) K u GfcL 

i4 • ■«♦ •llMiy 



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V ^ 



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a*« 



VikS ^ D FCi > D GH , writ AB> AC, - ^ \*xi lki|ec 
□ FG — d "GH =='d I :' f<^ «ft 3uW€ft<f^lfeiil> A8 : EC 
*£='□ FGrD'/. 'foffffit^ Cio/^^ ®') PG u J. ; vJDraina* , 
^tftiiiet FG'uDi bW tluahrat^t** '<^ *b W«ae incomawnfui 
»aWn 1 fiftcc GH , 4Hib efroarcn FG, GH, ba EittWin* 
»«ifttc«6eU g(}(ftfi#iaFHblfcft*|t<»H»«W<. , ,, 



CI 



.t.' 



Sfcgt ntfltt i»«!^ iGtUfObrate, AB^ B<5;' an einattber, bag 
DBltiit BE, foleacf^ (u <4- ®> a«^ f'B mit BG in p<* 
rabit ginie {(f|, junb iM>fl«nb«t bafi-^aratfelefltdmrt' AC* 
fo tfr AG em; £iuabmt^ unb 'bk |5«Hf.atle(o9ranim DQ 
jtifff(%«>fR"^.tKl?wtm AB, B(?'^ ba& ^^ataUdogMttim - 
DC oW jmifc^ai«iL£uw««at«ti AC^ .^^^ ^U intttl«« 
9J,ropi)rt]kttaI0&(]^e, ; ' * . .' .. • 

.. 2)enn ba DB 3= TB , unb BE==i 
BG; fo iftDE=FQ, 3bm j|fc D 
DE = AH=rIC« tn^FQ=?:Ai. 
= HC. §o(9li<b ijt AC «lri4» .. 
feittg ; a&et au^ ted^twinf (ift^ f ol9« 
lid^ ein £)»iabsat» A 

'ft. e« iil AB :DG =sDG:Ba ?)mt» c« ijt FB : b6 
i= BB: BE. 3lun (ft (6/1. @.) FB : BG = AB : DG^ 
^inb DB : BE == DG ; BC. Solglic^^ % (5, 1 1 . (g.) AB ;DG 
^DG:BC. . ■' 

r 3. «« ift AC : DC =r DC tBC. ©enn ba AD r=DB 
r=lG, «»bi:H=BG=GC, fo ifk AD:D[^1G:GC; 
a(fo wcbunbat AI : DI= IC : GC Slun ift Alt Dr= 
AC:DC, unb iC:GC=DC:BC. %A^ i(k AC;DC 
srDCBC. 




•■ 






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^viHWi €(«nmte 



1 - * 



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(♦ •• • J 



©enuntet emer iXationaUime^ BA, iinb bet «rflett SJii 
ttomWe, AD; «nt^tt«iie» JRwm, ABCD^ wtcniirt eittf 

«« fep bie frfle SSmomta* 

le AD fee? E in i^te Bta^ . ^ 

men jeriegt, unb AE.* tef p^. i- '? Q 

37* ®.) AE^ ED/ rational 
Wcl| in ^ot^ eomnwojiivaij" , . , 
1^e(, au^ ift bee ff^l^^t 
tXatm AE ber fttarionaJfe B 
Itie ^E A tn Singe ^ommenfu^ 



y t 



tabet; unb AE potenjict uin 
hai Ciuabrat einet it^t in 
S&nie commen^icabeleB tinjie ^4 
fiber ED* 




•^tmmm^ta^ 



» * - ' . #< 



i*-r-*- 



M 



N 



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o 



e« fe9 balder ED in F 
f^albirt, unb (6^ 18« @0 efri 
fRectimget,= | D PD rr R 
D EF, befen Srg&nlung ein 
Cluabrat ift, an ber AE enttt>Drfen; bag dffO/ t^enn AG 
XGEf0l(be« JRcctangel iji, (lo, ig. 6.) AG, GE, in 
Sdnge epQimenfurobel ftnb» 2)ut4> bie ^unfte G , E , F, 
lie^e ber AB^ober CO bie GH, EI, FK, patutttef- SRa^ 
(2, 14* ®0 bie auabrate RM ^ AH, unb MP =: GI;. 
lege bepbe fo an einahber, bag LM mit MN, fofgiicb and^ 
QM mit MO in eiiier geraben tinie fe^ ; unb ebUenbe ba< 
|}ara((el0gramm RP: ^o ift foI<!be# (lo/ s4» te§nfO etn 
ibuabrat 

fRun ift gu bemejfen,. ba§ LN ben Stoum AC potent 
iire, unb a\xi rationafen blo% in ^otenj cDmmenfnrabefit 
einien LM, LN, jufammengefe^t; folglicb etee SJinomio^ 



^ 



 ' 



AG : EV == EF ; Gfi, folgli* (6, i. d) AH : EK =; 
£k}-G[/ fo(9(<4^ EK tie mittlece ^topoi'tio«d)[^^ }n>U 
fi^ AH tint) GI; alfo,«c« AH=;:.KM, GI= MP, 
dtti^ ^i^ea KM «nb MP. IRun iff (to< 54. ieH'O ^i' 
<^4 au(^ LQ,  Soigli^ tt> EK ::= LQ. IRun iji, jtt>ei{ 
(i, 36. ®.) EK=FC, unt^(i, 43. ®) LQ==ON, au($) 
Fe=ON. SoT3H<t ifl EK + FC, M ift EC = LQ+ 
ON. 3iUB mv AH:;;=RM, unb Gl =r MP. golg* , 
li(^, if: AC = RP = Q LN, 2>cttma(^ potcnjitt LN ten 
SRohibAC* 

Swcvteita. 2)a AGrtGE, aifo (lo, i4. ®0 AE 6e9f 
fcen commenfutabef/ unt nac^ }^ S3orau^fe|ang AE n A6 : f9 
^ {inb AG^ GE/bec AB comhienfurabcl/ al)c rational , fo(0.f 
lic6 auc<) (10, 2o* ©•> AH, Gr, ta^omi, unbCio, lo. (SO 
commenfuta(>e(* Stun ift AH r^ RM, un\> Gl =: MF, 
gol^ m RM^ MP/ ba* ift g LM = p MN, ratW 

fial uitl) cotnmettflif abei 

©<t(io, 37- ®0 AEuED, c*eeAEnAG, unb ED 
nEF, fo i(t AGuEF, frfgli* AHuEK, ba€ ifl RMu 
LQ. ^uit ift RM : LQ = OM : MQ/ Soljlic^ ift aue^t 
OMUMQ. ba^ ift LMUMN, folgKcfe (tnb LM, Ml* 

Mc§ ift Potcnj comttiefiftirabeL 2)emna* ifl: LN, 
n>e((^e ben fRaum AC potfujirt, aui jmep tattonafen Mo§ hi 
^ohn} commenfurabeieti ^iniett }ufamineit9efe|t,, folgti^ CiO| 



^en mtter einei: SfUttoitoKinte, BA^ unb bet ^mi^tm 
SBintnmkf AD, mt^altmett Dtaum i ABCD, potenjit 
bie er|ie Sgtmebtofe^ • 

/ 

a 4 €oni^ 



V V 



#4t 




/ 



BntctfcM^t/ tap l^ifr bet 
ISrtttrrr nomr ED tcr 

StotmiaKtiiir BA in tonse 
cramifofitrtfM tft. Siul^ 

boi LN ten SUiuB AC pe^ 
icoytc 2)0^ tf^ not iiocb 
}» brtMifm , bof LN mtf 
mfMalm Uei in f^otmi 
commenfutaMm tintni, 
LM/ MN,2iifaiitinrng<f(|t> 
m» M LMXMN cin . 
ttottotuiM/ difo LN bt( 
crfie Simcbtole fcp. 

lErfiltcb. 2)a (i o, a?. 6.) AE u ED/ «»« ED n 
AB: f0 ifi (lo, 14, ©.) AE u AB* Sftun ift AG nGE^ 
#if0 (inb (io, 16. &) AG, G£, In AE coamenfiicabct, 
tinb/ ti!ie AE, auO^ ratbaoL Sofgftc^ fmb AG, GE, btt 
A B ta £ange incomiiieii^rabeL t>€mtia^ fmb AB, AG, G£, 
fatuma( Uo§ in ^otctti comtnei^iirabd, fofgft^ ^b (10, 
23* ®0 AH, GI^ ba« ifi RM, MP, folgtid^ ain& LM, 

MN, mc^toL 

Iba AGnGE, fo ifl AHnGf, b(i« i^ RMnMP, ba* 
tfl D LM n D »>IN* Sol 0ft« fmb LM, MN, ttf potett) 
ccmmeifftirabrL 2>d AEuED, abet AEnAG, imb 

ED n EF: fo ifl AG u EF, foJ^li* AH u EK, bd« \^ 
RMULQ, ba«ifiOMuMQ^bd^i^LMuMN. gols^ 

fi(^ finb LM, MN, bl«g tfi pottni ccitimettfiirabeL 

^wtftcne* JDa PE bet AB, EF, commenfucabef, fo 
finb EF, EI, ccmmenfurabel nnb rationaL Sorgltc^ tfi (10, 
ao. e.) EK, ba« ift LQ, ba« ifk LMXMN, rottcitol* 



«t 



V gd^Mted .lSi|<^r 



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1 




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1 




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!SD€mnd<^ ift LN, (Dfl^ ten SR««ii AC ^ttti|(rti^tsi 
ff»t9 )mc\>i^ M96 in ffo^i cpmmeti^aMen Sinkn,.. 6if etil 

bie erfie 23mieOtaIe« 

JDer 57. @<»|» l<^tf«f 

©«tt unt<t tinet SRattonaHtnte, BA, unb b« brittw 
l^tnotniole, AD, cnt^altcnen fKaxita, ABOD, potenjtit 
bu jwevts 25tmebi4le. 

t^cfle^ten 6a|f, f«> mttb aU 

Untetfc^iel)^, ba§ ^iec fet> 
fierbeirnamenAE^ED^ , 

tec SRattonaQinie BA in ihn^ 
ge commenfurafcef lit. Slttc^ ' 
toirb n>ie tafelbft bemiefetu 
bci6 LN benSRaum AC pc* 
tenjire, unb mie im oorigeo 
©a^e barget^an^.bAg LN 
ou« mebtalen blog in ^0^ 
ten} commcnftttabelen Sinien^ 
JLM, MN, ittfammengefeit 
,fe9. S)a^ec ift nut nD(t> ju 
bemeifen, ba§ LMXMN 
icin SRebialei , iilfo LN bit 
ime^te S3imebiale fe^. 

2)aDE bee AB, bai ift, becET, incomwenfuwl^ef; abet DE 
.nEF: f0 ift EluEF. Sfhin^tnb El, EF, totiopaf* gotgli* 
(tnb EI, EF, tatienal b(o§ in ^pten) cpnnnenfurtfbe(« %e^\\^ 
,tfk EK, ba« ift LQ , ba« ifl LM X MN, met>iaU 

2)emnad> ift LN, tDetc^e ben Stoum AC poteniitt^^ltoit 
gmep mebialen 6(0^ in ^otenj ciimmenf«tabe(en tinien / bie eitt 
Slebidle^ ent^iilten, sufamfnengefe^ti fcflgUc^ (lO; 39. ®0 

tie 3wcvi^2^»nc&ia(e. 

ii 5 ®^« 




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^Sitm4 mitimu 



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' ^<tt tintet etriet Stoftonaffinw, BA, unb txt t^tmeif 
^inomtafe, AD, ent^ftenen SRaum, ABCD, potwtjirt 
tie gt^ete SwarioMe. 

€onfh»iict man wte int 
^5.®a^/ fo tpitb allcj wit 
pott, i^((> Slit brm Untet^ 
fct)iebe, bag bet gto^ere 
Tlame AE, weHec l^ier 
9let(t>fatf« be r 3totienal(mie 
6A in Sange comntf nfurabd 
ift, up j&aS duabrat dnee 
i^ti) in ^Snge thcommenfutdi 
teUn tinie ibec ben flHnetn 
. £D pot«i}itt/ foIglicbCiO/ 
X9i(S.)AGuGE4Jt«tt(^ 
witb/ nne in ben vorigen 
(5&|en, bewiefen, bag LN 
^en 9laum AC pelenjitt 
S)a^erifl nuc nocb^trbmei; 
fen> b<4j.M, MN, tooroit^ 
LN iu(amm«»a«fe|t i|l, in 
%tteni incowrtenfurabeJ |1nb, unb dn,g»ebiaW ent^tei^ 
obec i^K Ouabrate iufommen ein tKationalei aulmat^eiv dfo 
LN bie gcfcfiere 3rrationa(e fe?. 

Da AGUGE, fo,i|i (i, 6. @. unb lo, lo. ©.) AHu 
GI, ba« ijt RMuMP, iai ift, P L\f U q MN, fofgUc^ 
LMiy-MN. 

5Da AEr|AR,fo i(» AI, bo«*|i, DLM-hD MN,Mttoit4t 
JDaDEdAB; ba« ijt, DEuEI, obcr DEnEF; fo ijt 

EF U EJ. £ienMKKt> flnb EF, El , rational 6log in ^t«n 

«irthmenfurftb<l. Sotdtit^ rji ( i q, as. 0. ) KE = tQ = 

LMXMN wieDioi. 

SJemno* ift LN, wdtbe ben 9teum AC potenairt/ aai 

.y»«f in ^oteni tncommenfutabdn dnkit^ bie m 3)i(bi«(«* 



1«M*I 



-J 



B^tti 




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ft)1t 



titSjfdttett, unb' hmn ChditM plbrnmiii ^ Sldtb'iwflWt aft* 
fetfi^, jnfamweiigefe?!; fdaltc^ (ro, 40. ©0 We ^oge# 

re 3frattori(kle» * ^ 

'*''5Jtn unter *(tKf 9lat»ttdlfime> BA, uttbi>€r fStfftett 

l>ie <tn atotionalcg uttb SKebiat** ^^tenjitenbe* . 'i 
eonjteuitt man xoit im 

bod, nttt baf.l&iier be? tto> A 
netje name $D n AB» 

9i\x4) toii^ / nHe m ben Dotrii 
geitf ©afen, benlicfeti/ ba§ 
LN beji 9laum AC potent 

iu benjeifeti, bag LM, MN, 
in ^ofep} incommenfucobel • 
ftt^/ unb dnStationafei enty 
]^afte«/ abec i|j;(f turabrate 
jufammen ein^TOebialrt mife 
in«cben> alfo' LN bic ein 
{Haeimtdle^ ttnb ^ebtaie< 
fjot^jitenbc fep* 

25aAGuGE,foiftaucb 
AHuHE, ba«jn aLMODMN, ©emnac^ ftnb LNf, 
MN ^ in ^otenj incommenfurabeL - 

2Jd EDnAB., abet; AEuED: fo tft ABuAR ©emsj 

iiacb ftnb AB, AE, tationd b(of? in ^otenj cmnmenftirabeK 

gof^Kcb ift Al , ba$ ifr D LM + Q MN , mebial , ^ 

. 5)a DEnAB, ba« ifiDEoE!, unbCEnEF: f e Ift 

^InEF; dbetElvat'dnat; fol^IicbCro, 20. 60 EK,ba« 

ift LQ , ba« ift feM X M N , ration^. 

J)emnac^ iji LN, n)i»lcbe be'n !Raum AC petertjitt/an* 
jwep in' ^otenj incommenfucabcten iime ; bie iin f^atitma^ 




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ftvi^^ &mtaitt 



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\*4nf^ 



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^ttoti(de8 urtt> tTic^talcd pot;ett5tr(:t»^ 
®trt*iniate^ AD^ ^tte^fteiien atoiiw^ ABCD^ poteiiitit 

*a§ ?flec Jetneri>6ri bev* ' a | G 

^ertnamen bet BAinJiritg "• 

%t commenftttiM i|t. 9(uc^ 

iDtrb, mie in b^n tporigeit 
jgi^eii/ feetoiefen^ b<i| LN 

ben Otaum AC poteniirt 

S>a^eitft tHttnoc^itt bemeU 

fen, bdg LM, MN, m^oi 

ten; ineommenfurobet finb^ 

itnb bag j^re 0<^abrdte ^u:^ 

fsimmen ein fBtebiafc^ aujif 

nifi^b^n^ fte felbf); abet eift 

jenem incommenftimbetei 

S)tebia(ed ent^alten/ offt LN 

bie i^me^ 3)tebia(e ^tenjt:? 

^renbcfe^. . 

' txk GA u GE ^ fo finb LM ^ MN^ in ^otcnj incommen^ . 

©a EAUAB^ affo EA, AB^ rational blof in fjoteni 

commcnfttcabel finb : fo ift (10. 22. @0 AI^ ba* ift Q LM 

^OMN, mental 
' . 2)aEDUAB, ba« ift EDuEI, abet EDoEF: f<>ifk 

EIuEF. 2)emRad^ j^nb El, EF^ cati^nat b(o§ in ^tent 
* ^commenfurabet SblgUcb ift (lo, 20« ®0 £K^ batf ift XQ, 

boi; ift LMXMN^ me^Mk 




,A 



[ 



'^^tti' ^w^* > 



»s> 



2>nnn(U& i0 LM, oelt^e ben Stoim AC pottv^, mt 
)»e9 in ^tetit incomnieiifiirafrrilm iiaitn ,. ixcen. jDuabcaii 
{uOMnmen «tn 3R(bid(<« <iudnt(tc(>en, unb bie .fetbft etn }e* 
iKm : iiKoitmenfura^etrd 9S<i>i<i(e# ent^attni/ ^ufflnamrngf* 
(r|t^ fotglic^ ( lo, 4B. ®.) I-N btt ^gpcy tlleOtale p«# 

I S« ^ n f a |. 

^ac^t won toon '«nct: getabeitXime, AB, wrgWd^e^tS* 
f^itte^ AC; C6 : fo finb teceit Xhtatcot* iufammeti $r6< 
^tjr a(^ ba« tibvpelte, untec' i^n«n cti^ftene; gtectongcL 

' ffl[^i«>AB faif)^dl6iw: DC 

foi|i(2,5.@.)ACXCB Ai ^—42 ^B- 

•t-DCD=aAD»f«l«< 

m AC X CB < a AD, foI$(t« tni<^ 3 (ACXCB) < 
a D AD. jftini ijt (a, 9, <S0 D AC + D CB == 3 (a Ap 
.4- D DC}. $«(sH(^ ili □ AC 4-a "8B > a (AC XCB). 

etner SKartonolIinie, ED^ eniwotfene Slettangef, I3efG^ 
^at jur SBtdre , DG; tie er|le SBiniMniale. 

*ft flti^e ai«ttit; StnDE 

€nt»etfe oKtir tie 0\ectaii<|el, ™ 1 i 1 S 

DH = Q AC, uivD IK = 
qCB: fo if*, n>eilQ AB 
r=DEFG(a,4.@02(AC 
XCB)=LF* sWan^dt ^ 



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mit LK A&ec GF parallel: 

f» iji ACXCB = tN=MF. 0)ttn ifk )» (dvttfhi : 



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A 



^ .< 



»S4 



l&im'i Mimmt 



®a AB eme 0iho«i#fer 
f6fi«6(iO; 37- @0 AC, 
CBf rational {4ofi in ^o^ 
tms coinmenfttta6e(/ alfo 
D AC/ D CB^ rotionol tint) 
C0mmeni^rabe(* ^ofgUet ifi 

(10/16. ®0D AC + D 
CB fomtfl tern CTaC, al* 
Q CB ccmmenfucobfl/^Ifo 



/^i- 



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D- 



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H K N 



pAC+pCB, \>a» ifi DK, ta< tfi EDXDL* tationo^ 
abet ED cationiil; fo(g(i(^ (lo, 31. @.) DL iati*na( un^ 
n DE. . " 

<Da AC; CB; cdtionol Mof in ^oten) (0mmenfata6(( (tiA : 
(b ijt 3 (ACXCB),>a«i^ LF, t>a« ifi KtXLG/ oNt 
EDXLG, mebial, fo(g(t(t^(iO; 23.,®.) I-Gtationalunfr 
u ED. §Rim ift &ie «0tationa((tme DLnED. $olg(t(& i^ 
(10, 13! ®.) DLULG. SXmnfl* (ti* DL/LG, wtionol 
blo§ in $oten) commcnfurabri, offo ift (10, 37. @0 DQ 
«ine 3niomta(e. 

' ^vot^m», P"^ DG tie eefk tBin^mtde fe9» 

2)a ((p/ 54. Je^nf. 2.) D AC : AC X CB = AC X 
GB:aCB,.>a«ijl, DH:LN=:LN:IK; f«>tft<d; i.®») 
DI : LM = LM : IL; felgiic^ (6, 17. «.) DIXILrs 
Cj LM =r ^ a LG. 2>a fernw D AC n D CB, ta«ifb 
DtlnIK: fo ifit (10/10. ©.) DInlL. 5Do fgnwr (10^ 
60. Je^np D AC + nCB> a (AGXCB), bai- ifi tX. 
> LF: fo tft audt DL > LG. Demnac^ iMtenjict (to^ 
18. @')t>t^I^l' um tad iQuatcat einec i^e in S&nge comt 
ounfucdtelen ^tnie ibn tie JLG. Stm watm awt DL; LG> 
tati«na(; unt' DLnSE. ' Sofa(i(^ i^ DG tie erfte Qifw 
ntale. 



I^tt 



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ym^^b^ 



fif 



^, anetnee€tatit»na{(inter ED , jtittwocfmc Slectangf^ 
HEfG, ^at %w SSreife, ri(3,,.rbw jiw^te SBinomiak. .. 



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MtwwMHwa^^ 



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titai mc.bepm 6 1 ..Safe/ 
i{!t ju beroeifen 

JBftiomiate fcp. 
SJfl i^B tie erftf S5Jme^ 

ij^te ^iamen AC , GB , m^r 
ttal b(o§ j^t ^oKnj cem^ £ 
menfutabel/ unb cnt^atten 
dn 9lati(ynal^«» 2)tt ^ier^ 

tiife* D AB+DBC, btf« ifi DK, ba« ifl EDXDL, mei^ 
XmU fo iff, n)eil ED cationdl^ ouc|> (Jo^ aj* ©0 DL to* 
tioiial unftUED; Shin ift ffmcr 2 (ABXBC^ ba^ ifr 
LF, ba^iftKLXLQ/ baf« 1ft ED X LG/ rational, alfo^ 
(lO/ 2K ®0 «uc& LG tatiDual, unb nED, gofgli* ifk 
(10, 13- Ig.) DLuLG* SDemna* ftnb DL/LG, tatiop 
nal btofi in potent ^@Hiiaien()iu;aM/ offo ifk (!•, 37, ®0 DS 
fine 23iiioimalc4 

25a (10, ^o. 2«l&nfO D AC +13 CB> 2 (ACXC^ 
ba« ift DK > LF; fo iji auc^ DL>LG. 2)a D ACn 
OBC, ba«iftDfinlK: fb ifi auiib DIniU SnbKcft Ifk 
aucb BIXlLrxDLMrr^pLG. Jicmnflc^ potenjirt 
(fd^ 18. ®.) bie DL urn bad duabrat einet i^c in 2^9i» 
" iommenfucabefn Sinie itbet bt« LG. Stun t9M LQ o £Dv 

^oigiicb ii^ DG bit ^nTcytc 29mcifna{e* 



•* • •» 



^ct 



»5« 



^Attii iSkmmt 




SM beat 0nafbtate b<r jDCQfm StoMtwdf , AB, ||» 
^, ON ciiter 9tari0iM0imr^ ED, entwocftac 9l«ctwf4r 
I^FG, 1^ jm 9rdte, DG, tie DctOe ^iniMitale. 

9tad> tbm in CMftroc; ^ 

tioii/ loie b<9m 6i.6a§f, At- 

fMVOi, tai DG (inr 

fhiwimate fr^- 

2)0 AB iie in»C9tt Sk 
mMtfie i^, fo, fiab (10, 
38* 60 ii^te aSamfn AC, 
CB, mrbfol Mo§ in fMm| 
c^mmenfttrabd/ un]> ent^ol^ 
fm dnSlfbiaM* ^ alfo 

OAC+qCB, Ni« ifiDK^ ba« ifl EDXDl'f mcbWt 
f0 ifl, ii>dl ED tattmia(^ aut^ (10, 23. @0 DL tationaf, 
itnb u ED. Shin tfi du^ ^enfei6en Oc&nteii mulft LG ta« 
tioiial, tmb u ED. So^dli^ Hnb DL, LG, Mttomif mib bet 
ED in ?&n0e tncommenfarabil 2)a (6, i . ®.) AC : CB =: 
D AC : AC X CB, obft ACuCB: fo ift att<6 D ACU 
ACXCB, dlfo ait(^ D AC .+ n ClAJ 2 (AC X CB), 
»a« ift, DKu LF, fo(9li« auc^ DLuLQ. Z>emiicKt fin^ 
DL, LG, rational Mofi in |>pteni c^mmcnftttafrel, a(fi» ifk 
(10/ 37. ®0 DQ eine 25momta(e. * 

. * 5^=^:'^^^ / ^^§ ^^ ^<^ ^<^^^^ Sinomiale fep» 

auf tkn bie Set, toie im 6 1* ®d^/ roitb seft^Ioffen, baf 
DL > LG, auc^ bag DI n lU @lei*faa« ifk DI X ^^ 
j=a LM=: \ D LG* 2>emnac& potenjict (10, I8. ®.) 
bie DL urn ba^ Ouabrat einer il^t: in^Sange comtnenfurai^eleit 
Sinie uber bie LG« SRun war n>eber DL nocb LG bee ED 
yxi Sange connnenfttmfre^ %iA%\\^ x^ DG bie X>x\%Xt ISm 



?Dec 



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■I 



%^m ^h4 



tif 



^* bem Duabrate'&et gfA%mn^natmcit, AS, gku 
1^, an etner dim&mUinit, ED, ent»orfeite, SXectang^If 
DEFG, ^at jut Sbtmf PG/ t>iit>i^m SSinomioie. 

Sla<S> eben tec Sonftruc^ 



tion,. xoit fcepm 61. ©a^e, 
:lff }tt bemeifen : 

<£r(JIt<b,ba§DGrine 

Kirromiafe fep. , / 

JDa, AB tie gtige ^c^ 
rationale ift: 4*^ ftnb (lO/ 
4o» 6.) i^e SBamen AC, 
CB, in ^oienj.incommett^ 
futabel, i^ce.finat^tate itt^ 
fainmett mac^en ein Station 



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nate«au«, fi( felbft abec ent^aftett em WteikUi. 2)a alfo 
□ AC + nCB=:DK: fo <ft DK = ED XI>L rational^ 
alfo (x o, 2 1 . 60 DL ratiottal min ED. auo ift 2 (AC 
. XCB); ia^ijiLF, tn« ift ED><LG, mebial; a^erED 
4?atii&nal , dffo (10 23.©,) LG rational utib U ED. golg^ * 
li* ift DL O LG. 2)emnac6 finb DL , LQ , rational 6Iog til 
^tenj cdrtfmenforabcL Stlfo ift (10, 3 ;• ©0 DG tine JSw 
nomtaie. 

^p?e^cne, bag DG't>ie »ierte I5in»mlafe feij. 

Suf H)itli(ie Stct^ wit in ben oocigen (^i|en/ mtcb ge^* 
fi^lofffn, bag DL>LG, w«b DIXlL=aLMi= | Q 
LG. $lu(t> ift &iet Q ACUQ CB, bo« tft DHUIK. ge%* 
li£& DIOIL.  ^cmnac^ pofenjitt (lo, 19. @.) We DL unt 
ta^ ^uabrat tine? ifyv in ^ange incomnienfurdt^efrn Sinie (tbet * 
t>ie LG. Slttrt mat PLnED. So(a(><^ tf^ I>G bie vUttt 

23ttiomtaie« ' 



tfftttib'^ (Sum. 15 ^A(^w 



dt 



®(r 



; / 



U9 



evtfXb** VUcmmtt 



Iboi bem Ouabtate bet ein 9tattona(e« unb fD7ebia(e< 
fjwenjirenben, AB, gleidje, an emer 0lationaKinu> ED, 
ttwotfene 3lettan«el^ DEFG^ ^t jur SBreite, DG, t^ic 
f&nfite Stnomiale. ' 



Ak 



-•B 




tten, mt bem 6i» ®a|e/ 
ifk )tt 6e»eifen : 

erfilicb,ba§DGeine 
9rnomiale fe^* 

Zki AB bie ein Qtotiono^ 

fe< tmb 10)ebia{ed ^otenji^ 

renbe ifti fo finb (lo, 4i» 

®0 tl^re SRamen AC , CB, 

in ^Poten) tncommenfutaber, 

unb ent^alten ein 9tation(M 

Uif i^re Ouabtate }ufanmien abet ma^n ein 0)tebia(ej aui^ 

{E)aalfoDAC + aCB/ba«iftDK, ba* i^ ED XHL, ^ 

mebial: fi) ift (lO/ 23^ &.') DL tational unb u ED. 9tun^ 
Mft a (ACXCB), ba« ijl LF; tational; alfo (10, ai.^.) 

LG tational unb o ED» gotgiicb ifl DLu L(i 2)emnoc^ 

(inb DL^ LG; tational blog in $oten) commenfutabel/ aff^ 
,ift (i<>/ 37* ®.) DCj eine 3inomtaIe. 

§wevtm6f ba§ DG bie f&nfte fdinomiafe fe^* 

2>a/ tt>ie im Sotigen betoiefen »ttb/ lai DI XILrr: 
D L^I, unb DIuIL: fo potenjitt (ip, 19. ®.) bie DL 
um bad Sluabiu^t einet i^t in Sange incommenfutabelen Stnie 
^bet bie L& 9lun toat LG n£D. Solg(i<& tfk DG bi< 

f&nfu ZittomMk. 

. ^4 bem jQuabcate bit jtoe^ STtebtale ^otenjtrenben^ 
AB; ilei^e/ an (innr 9tat(onaUini</ 10/ entworfmc 



*■. 



1 



«59 

SBinomialc* 

Wa(& tec ConjhucHon 

fen: 

€cff«cb,fea§DGeme 

SBinomiafe fey* 

S)a AB tie swef SRebta^ 
le ^oteniirenbe ift ^ ft ftnb 
(lo, 42*0.) AC, CB, III 
f^oteti) incommenfttcabel , 
tinb i^ce £ltiatrate {ufam^ 
men madden ein ^Sebtdei^ 




H K N 



fte felbft aber ent^olten ein jenem tncommenfurabe(e$ WlAm 
M. S)aaIfi>DK, LF, mebial/ aberED rational: fo finfr' 
(lo, 23» ®0 DL; LG, rational unb ber ED in 8in<je in^ » ' 
commenfurabel. J)a au^ D AC + Q CB u 2 (AC X C R), 
ffl^iP: DKuL]^ folglicb auct) DLuLG. S^emna* pnb. 
DL^ LG^ rational bIo§ in ^otenj commenfurabel / alfo if! 
(10, 37» ©0 DG eine 3inomiaU* 

5tdivref!e/ t)a§ DG bte fe<b«te Sinomtale f^9» 

©a/ ipie im SSortgen be»iefen toirb, bag Di XIL=3 
LM, tinb D^UIL: fo potenjirt (lo, 19. @0 bte DL nut 
tai iCluabrat einer il^r in Son^e inc^mmenfurabefen time 
Abet bie LG. SHun »at toeber DL, ^o4> LG, bet ED 
in t&nge commenfurobeL 'pof0(i(b i^ DG bie (^c^dte J&if 

nomialu . 



Sebe einer S5irvcmia(en, AB, in gSnge'^tommenfuroBefe 
£tnie, CD, ijl auc^ eine S5lnDmiatt/«nb bet: Otbnunj 
iiacf; biefelbe, .' * 

8fi ier(l# 



men AE, EB, jet* ^ p 

legt, unt> jwar AE A'' — ^ — : ' P 

tfc gr6§ere StAtne: 

fo (tnb (lo, 37. @.) AE^ EB, t^tional Wo§ in ^ofcnj com* 
menfurabd. ^a<i}e ( 6,. la. ®. ) AB : CD = AE ; CF, fo 
ifl au* (5/ 1 9» ©0 EB * FD = AB : CD j folsKcii, »«( 
ABnCD, ou^ (10, 10. @.) AE nC^, unb t$ nFD; 
folglici), »cil AE, EB, rational, oucfcCF/FD, wtionat 
Sftun ift (5, II. 0.) AEjCF=? EB:FD/a(fo (5) 16. ©.) 
vetiaotdbikU AE:EB = CF:iro; unb ba^t, »«l AE 
n- EB , au* CF 0_ FD. golgtic^ ftnb CF, FD ,, rational 
Wo§ in ^pt«ij comraetofurabtl, alfo ift (lo, 37. 6.) CD eine" 

- ^xm^tcns. 3f^ AB enttwfeec tie etfte ober jwepte ober 

tcittc 85inomJflIe^ Da* ift, poteniirt, in bee ?)uoportion 

AE : EB rr: CF : FD, bie AE mniai SXucAvat einci?, i^r 

in ?anfle ,Cwnmenfura6e(en Jinif nbct EB, linb iftentwcl^c 

AE obec EB obec feine Don bepb^n bee angenomntenen SRa^ 

tionallinie in ^Snge, commenfurabct : fo potenjirt (lo, is.@0 

cnd^ bie CFurit bdi jludbcat einec i^t in ian^^ comtnenfu^ 

twbeln «nie nbtt FD , i^nb e« ift in eben bee gefge. entmebec 

CF, obecFD, cUt feine t)on bepben folcbep 3lationQHinie 

in iatiQC commenfurabel ; folglic^) CD iuglei(() mit AB ent? 

»ebec bie ecfle, obic jwepte, obec bfitte SSinomiafe* Stun 

. tt)irb auf a^nlic^e tfct bemiefen, baf CD juglei* mit AB 

entweberbieoiecte, obee fiinfte, ^obee fe*«te SSinomiale fc^ 

golglid) finb bie Sinomialen AB, CD, bee Oibnung nac^ im^ 

wee biefelben* 

• . JDejr 68. @a|. (e^rfa|. 

3<t»« etnet 55tnieb»oIen ;. AB, ^^ fiange ceramenfuro* 
6«le fiinte, CD, tjl auc^ «mc ^imebiafe, tm& bee Ort^ 
nuttd poc^ tiefeI6e. ' 



'•► 



!»■ 






96r 



A 



-J^  



•■-1 



toictee A6 bep £ in 

jerlcgt: fo finb (la^ ^^■'^"^ ' ' CD 

, 38. 39-®-)^E,EB, ^ 

AB : CD'= AE : CF, alfa (5. 19. @0 aufi^ EB j FD= 
AB : CD. S^'Qli* if*/^ »eii ABr\CP, mi* AE n CF; 
ttnbEB n FL); folgUcfr ftn^^ tt>cU AE/ EB, tnebiaf, iu^ 
(lb, 24. 0.) CF, FD; mcJ>ial, gtun ijt (5, 1 1. 16. ®.) 
AE : EB = CF : FD/ lln^ ba^r, weif AE^UEB , 4iu<^ 
CF^FD. S^fftHcb fmb CF, FD, mebioJ M06 in ^tt^nt 
ro«imcnfura5ej , alfo ift (lO; 38* 39- @0 CD eiae23lfm# 
feiale. 

5wcvtefie* au« bee ?pioj>ortien. AE : EB=CF:FD 
fclat (5, 1 1* @. unb 6, j. @0 D AE : AE X EB = Q 
CFtCFXFD, folgli* (5, 1 6, @0 Wtwecbfelt Q A8 
:nCF=AEXEB,CFXFD; folgti*, meilQAEo 
DCF/ aucb AE X EB n CFX ^p. 3ft n«n Afi enttoe* 
beu bie crfte; obet bie jwc^tt SSimebiale: fo ift (10/315. 
39, ^0 ^EXCB cntweber vationd, cber mebid. golg* 
lic^ ift aucb CFXFD in eben bee gcfge entmebec tationot 
obee mebtdiy foldCi(!^ CD}ttg(ei* mit AB itnttcebec bie erftis 
' obev bie jmepte iBimebiale- 

• 5>er 69. ^ag. le^fa^. 

3ebe ber gr&^etn 3«^t^^*i^Jwite, AB, in Sange cemmeit^ 
furobele iiinie, CD, ijl; auc^ bie 9r6^ere'SrwtionaIe. 

<Se (ep AB in il^rc - xk 

SRamcn AE, EB, ^ ^—M^ ^ ' 

^ jerieftt : fo finb fojcbe F 

(10, 40. ©0 in ^0' Ct — — * — — CD " 

ten} incomtnenfura^ 

fcet, ent^'aften ein SRebialeS , i^te fiurtbeate jufammen aber 
ina^en ein 3iationale&^ Mi. ffta^ eben bee Sonftmctien; 

SR 3 • »ie 






/ ' 






h6x StM'i 

BMelmSSorigw, [ft ^ i ' ^ 

AB:CD=AE:CP • A. ^ . Su 

= EB:FD;f*t8« ^ p 

«♦, »«( ARnCD, Ci — S il> 

ottd) AEnCF/ unt> 

EBhFD; Watt*/ »e« AEu-EB, ouC^ CFu-FD: 

a)a t>crweckfclc AE:eB==CFrFD, dfo (5/ 18. ®.) 
Verbun^en AB : BE =r CD : DF; f« tft (6, 32. (25.) Q 
AK"tDBE=:DCD:DDF. {Run Witb efcen fo 6e»ieM 
M D AB : D AE == D CD : D CF. golgti* ifi (5, 24. 6-) 
DAB:nAE + DEB=n5D:DCF + DFD, alf» 
»e«»ecbj<lt D AB : q CD= a AE + qEB: nCF+ 
DFD; folgtt*, toeil DABoDCD, au* QAE+aEB 
n D CF + D FD; folgli*, »e« Q AE+Q EB wttonol, 
«uci) D CF + D FD MtionaJ. . 

«uf J^nll((>c act ifl ou* 2 (AEXEB) n 2 (CFXFm 
folgti*, »e« AEXEB mebid, a«(^ (lo, 24. 3«f) CF 
X FD meWal. 

JDemnac^ ijl (la, 40* 00 CD t)ie fltc^ece 3ttaHotiafe» 

JDer 70. 0OI|- leferfa|/ 

^ 3«be ettiet eiit 9lattortafe« unb SKcbialed ^c^Un^xttm 
-fcen, AB^ in iaitge commettfurabele fiirtie , CD, ijlout^ 
tine ein $Kaiiona(e« unb SRebiated ^^otenjitenbe^ 

CJfepABini^te ^ ' ^ 

Stamen AE, EB, - ^ &— *-4* 

{eriegt: fo finb fok ^ 

*e (10, 4i*<S0 in Ct— ^ iD 

^oten) tncommenfu^ 

tabel, unb ent^alten etn SRationafeJ , i^te Cluabtdte }ttfami* 
men ahzt ge6en ein SRebiate^. Sldcb eben-bet Sonfttuction, 
t»\t im aJorigen, n>irb auf &^nlt(be 9(rt bemiefen, ba§ 
CF ;j- FD , aucb bd§ a AE + Q EB n D CF + D 
FD, unb bai AE X EB n CFXFDj fotgli* D CF + 

DFD 



f. 



Q FD mebid, ttnb CF X FD ?AHeiM(. Ibtmna^ -^ 
(iQ« 4 1. eO CD ^ie ein tRaUonoIeJ ub(^ SHe^ale^ iptteitf 
iitca^e. - . 

' ',1  = 

3ebe einer ^ep S)?ebtafe ^tenitrenben, AB, m 8Sm 
ge commenfurafectc ZinUi CD^ tft, audE) bte 3»e5 SDlebioi 
le. ^otenjiccnbe. 

^mtvk aE^ EB^ ^^^^ . — =Si^ 

«e (lo,, 42. ©.) m ^' ^— * ' — r-'-O 

tobri; ua^ i^e £hsabrate {ufommm mtk^eit dn 3)tebia{eft 
ou6,| fte felbft ober ent(>ilten etn jenem titca9tm(nfufiabt(e<> 
SRebialcl Siad} eben bet Son^ctii^n;. toie m^ovi^tUfi 
mb ouf J&nUcbe «rt bewiefen^ baft CF^-FD., unb baft 
D AE + D EB n D CF + a FD, au* AE X EB r\ 
Cf XFD, bag fctgli* Q CF Hr O FD mebial, au* CF 
XFDmebiafunbUDCP+aFDv 2)ettinai&. ift (10^ 
4^.^ ©•) CD bie gpirp SRebiate ^atoiiitenbe^ 

^utc^ bie 3uf^u)^ttte»re|und ctite^ 9taciiHiafen ^ AB^ 
mt timm ^.e^iokti;. CD^ entfle^tt \)ter 3ictfatk)nanU 
nim^ entmeber bie'sBtnomiafe, obec bie erfle ^mebiale, 
obcr bte Oftb^tt ^vvatimak^ ober bie ein jKatiottatei 
unb ajJebialw ^Jote^jitenbe. , * 

*, 8« fep nun AB entmeber gcoger ober Weinet ol^ CP, fo 
tfl)ti beiDeifm, t^a% bie {tnie; meicbe ben jufaminengefe|teii 
jRaum^ AD^ peteniict^ attemol eiheber Diet g^nannten 2lti 
VationoUinieti fs:;^ 

i 



-*. * 



9<i4 



Cii&'< StaMttr 



f(9 ¥E mt 9tati0fuillitik/ 
»i*EG = FKX£H = 
AB,«*HI=FEXHK 
=rCD« St)igiu» tft^ ipcif 
AB tottmtolf oiu^ EG ta^ 
timial; ntib (lo, 21. ®0 
EH rattraol/ mib n FE; 
f eni€t^ totA CD mt^iaf/ dttc6 



E HK 



A 


C 








' 








■^ 

» 













B » FGI 



HI nubial^ ttnb (lo, 33* @0 HK tiitfoiKd nnb u FE. 3>a 
CD mebtal; abcv AB rati^nd; fo tfl ABu CD^ te# tft, 
ECUHI; folglii^, »etl(6, i. ©0EG:H1 = EH:HK, 
m(^ EH U HK« Z)emna(^ fmb EH^ HK /6lc§ in ^otrn} 
commenfttrabel / alfo ift Oo, 33. 6.) EK fine S^inoniafe.^ 
ITiM^ift, n>eilAB>CD, l)d«ifiEG>HI, ou* EH> 
HK« 9tun potenjitt tie EH enttoeber urn ba^ £lnat)rat dnet 
il^r in t&nge commenfutabe(en ober urn ba< einev intommetu 
fbraMen 8inie fiber bie HK* .» • 

3fl M Crfiere, fo ift, toeil bie gtigere EHnFB^ 
EK bie etfte ®inomia(e; ftlilid^, ^eil FE rational (10, 
55« ®0/ ^ie Sinie^ toeld^e EI^ ba« ift AD, ^tenjirt^ cine 

J&momiale. ' 

3ft ba« 5wevte, fo ifl, »ri( bie gt6§etc EH n FE, EK 
ftie i»iert(9inomi<)(e; fo(glt^, wril FE rational (lo, sS.&Or 
tie (inie, toeic^e EI; b<a ift ADy. poteniitt; bie Qth^cu 

(S< ft9 AB < CD« SH^bann ift, bep ootigec €onfhucHoR; 
0U(i>£G<HI; fo(g{i(^ au(|> EH < HK. 0Utn poteriiict 
Mr HK entttebei! urn ba< Ouabrat einec i^r in Singe cotm 
. imnfurabeien obec urn ba$ einec incommenfucabeien 2int( vibtt 
tit £H. 

3jk 



' I 



• / 



3e^nt(0 lBo(^* 



96s 



mu K 



. c . 








^ 


• 

• 


• 


\ 





B 



I> F G I 



weiltie Hetnere EH n EF, 
EK J)ic jipepte 5Binomi(Ae ; ^ 
folgttct); toetl EF rational; 
(lo, 56^ ®0 biCv^ime^ toeb 
(j())» EI; ta^ ifit AD; potent; 
jiiit; tie etfie TSUnic^ialt. 

3ft >a« Stt^e^; f<> *f^/ 

ftjeil Die fieinere EH n EF; 

EK Wefunfte ©inomiale; fofgficj^; toetf EF rational; (10; 
59- ®0 Me JiniC; bel^e EI, Da$ ifl: AD; potenjirt, tie 

^t*c^ bie 3«f<a«tnienfe|un9 jwepcr incommenfurabej; 
ler SJZcbialen; AB; CD, entflc^en bie bepben fibrigen 3^^^ 
rationalftnien: entwebet bie jwcpteSStmebiale; ober t>it, 
j»ep fDletriale 93otenjireribe. 

®« fe^ nun AB enttoeber gtiger ober fleiner alS CD, fo ift^ 
ivk bmeifen; bag bie imie, n>e(c^e ben jufammengefe^ten dlaiim 
AD potenjirt; allemal eine ber bepben genannten ^i^rationaU 
fimen fep. 

erfler "Sail 

««f59AB>CD. fRad^. 
eocigec Sonjhuctton finb^' 
toei( AB, CD, meDial, flU* A ' " C 
EG/ HI, meJ)tar; fotgfi*, 





nxil FE rational, (lO/ 23, 
®.) EH, HK, tationaf, unb 
1>fr FE m Wngc inconimen'^ 

tag ift, EGuHr, abet ^ •'^ 

EG : HI =^EH : HK; fD ift EH U HK. 

IR 5 ijk 



F G r 

2)emnd4) {inb 



»6S 



^Wi ®mimi 



E HK 





nttlift,wei(AB>CD, N<^ 
ifliEG>HI^ou(«EH> 

HK, 

a^lin poten}itt ^ie EH 
dStwetcc urn &a$ Cluateat 
eiiirc i^r in tinge commcm 
futabden otec un iai timt 
incomnKnfwabeten Sink t^ec 
kieHK. 

^ ^< <er(iere, f» i^, i»ei( nxtet EH n*<^ HKnEF, 
EK tie teittc 9}inomia(e; fo(g(id&> weif flF i:<ttt»nal^ (io« 
S7. ®.) tie 8inie, ntelct* EI, tai ift AD, potenjict, bi^ 
Swe^te 25ime&ta(e; ift to^ 2(ni>ete; fo ifi ^K tie fe^Xte 
^inomidtf folglidi^ (lo^ 60. 0.) tie 8inie, toel<^e AD )>o< 
t(n|itt« tie jtve^ tlle&ta^e porettsirett^e. 

Sweater $«t(. 

(S«fe9AB<CD, fowict 
«ttf i^licte «« 6e»iefen, 
ta§ tie Slnie, n>«lcte EI, ta« \ 
i(l AD, poten^jtt, enttoetee 
tie {wepte ^imrtiate; otec 
bie )toe9 SRetiak ^otenjicem 
t>efe9. 



EH K 



L C 


 








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r 


— i^ 











■/ 



B , JO FG I 

3« f a f 

£)ie 93inomia(e / ttitt bie auf jte f olgenbeti ^rtdtiotKiKmien, 
fint nic^t qlir Don tet ^ebiaten; fcnbecR aiic^ Don einon^et 
friftfi/ untecfcbteben. / 

^enn hai bem puabrale bet SRcbialen gfetc^e an einer 9ta^ 
tionaUinie entmocfene SRectanget ^at (lo^ 23. ®.) Jtit Syrette 
eine jenec incommenftttabefe dtationaUinie ; ba$ bemCliidttote' 
ttber bet* 93inomta(e gletcbe (10, 61.. ®0 bte er(te Sinomiale; 
ibdJ bem iDuobcate bet erfien ^imebiole gteic^e (lo, 62 « ®0 



»  



tie itoe^te SMnommfe; bd< >etn Doateate tet tn^tflm 9tme^ 
btoie gjiddft (lo^ 63«^(S0 tie britte SMnmmak; ^i bem 
Ciudbcate bee ar6§ern 3cwttonaIe gleic&e (lo, 64. 6.) bie 
Dierte SBinemiafe ; bad bem Chiobrate bee ein Dtationaled unb 
SWeblde* ^otenjicenben flld4)e (10, 65. 0.) bic fi^nftc 83i< 
ficinia(e; bad itm Cluabrate bet yeoep S^ebtale ^otet^itehbea 
(i o^ 64>* 60 aletcbe bie itd^itt ^mmak^ 

, T^txma^ untecfc^eiben ftcb bie genannten ^rrationaffinteti 
tort bee etften^ n)ei( btefe ))tc fScette etne fRationalUnte giebt^ 
»on einanbec fe(t)^^ toeit (ie {u S3teiten IBinontftlen tern tet< 
ft^teben^n OcbnuR^en geben* t 

Tfnmetfuitg* 

SHe Sid^etide 3(6^anb(ung t)jDn ben butt^ 3ufammenfet^ns 
entfte^enben fec^d St^^^tionallinien beftej^et aud fieben ^gai 
bett; obet Sbfcbnitten ju fecbd @&$en. 2)et er(ie 9(bfct)nitt 
(37* 38. 39*4o.4i*42.®0 ieiftt \>tn Uefpcung ober bfe gu^ 
jfammenfegiiiTg biefer £inien ; bee swevre (43* 44. 4S»46. 
47. 48*®.) ^e3er(egun9 in einem etnjigen ^unfte^ beebrttte^ 
(49* 50. 51* 5^. 53* 54» ©0 tt>i^ biefe^d ©inDmialht Qts 
funben weeben; bee vxettt, (55* 56. 57» 58* 59* 60. ©.) 
totlcbe ^(tationattinicn ben untee einee fXatienaUinie unb beti 
t^fcbiebenen Oebnungen bee S3inomia(en ent^altenen dlaunt 
potenjieen; bee funfre (6i» 62* 63. 64* 65* 66. @.) bie 
S^eeiten ; loelc^e bie i^een £luabeaten s{eict)en an einee Sto^ 
iionaUinie entmoefenen 9lectangel ^aben; bee (ec&srt; (67* 
68. 69.70. 71. @.) ^a^ bie i^nen commenfueaWen Jinien 
ton gfeicbee Slet ffnb; bee flebcme (72. 73. ©.) f^6t it)t:m 
Uefpeung nnb Unteefct^ieb fe^e finneeic^ ia itoepeh @a^en )tu 
fammen* 

a(^o(^ ift jn bemeef en , ba§ bie C)ilf te einee jeben 8Iet ^^ 
t^ationallinie^ tt>elct)e folglicb bee ©anjen commenfueabel i{l| 
cben bedl[)alb auc() eine ^^^tationallinie ocli bei;felben $(et iep, 

- Son 



V * 



«6g . &Kl^i ^fmtme 

9tn bet 

fed}^ ^vt alien alUnittL 

. ^IBtfb Mtt einer StattonaOmu^ AB^ etne anbere, t^ 
Uci% in ^otenj tommtnfatabtit , BC ^ wciisenomineti : (» 



t>a ABLffeC, un» a q 
(6,i.*.)AB:BC= V^ i^ 



2(pocotm. 



^ B 



DAB:ABXBC;f» 
i^(io, 10. 6.) D ABaABXBC SRun ijiCiO/i6.©.) 
D AB n D AB 4- D BC, oucjn AB X BC n 2 (ABX 
pC). golgJi* ift a AB + D BC U a (ABX BC). SRiitt 

i|» (»/ 7. ®.) D AB + aBC=2(ABXBC) + a 
AC. goJgli* ift (1 o, 1 7. ®.) D AB + D BC U n AC; 
fe\iU^, toeH O AB + a BC rational^ D AC, olfo avdf 
AC / ictationaf. 

 m 

JD«f 75. "Sail. £<^tfa| unb Q5tf(at«nd» 

9Btrbt>on cinec SWebiattthie , AB, erne anbere, BC, 
bie l^'r Mo^ in ^Joteni commcnfiito6e( ifl, unbmttt^t 
(in $Kationa(ed tntiihlt, we^^tnommm; fo ifl bee Dtefl, 
AC, irrotionat, unb f^ti^t bie erfie l11et>iaIapotonie. 

®anAB+DBC AC B 

nwbiol, atec 2 (AB *" — '"^ : • 

XBC)tatJoffa(:fo 

Ift D AB + D BC vj a (ABXBC). (Run ijt (a, 7. (S.) 
□ AB + D BC = 2 (AB X BC) + D AC. golglc* ifl 
(i o> 1 7. @.) 2 (AB X BC) U q AC ; f ofgKcfe , wtit a (AB 
XBC) rational, QAC, alfoau(|>AC, itcationaf. 

©et 



I 



' I 



■S^te< SJw^. 



^^ 




^irb/\?Dn met 9Jiet)ia({inic , AB, eine anbere^ BC^' 
tie iljrblo^ ia ^Jotcnj commenfurabet i(l, unb mtt i^ip 
tin aJtebiofrt ent^olt, weagenpmmcn: fo ijl: bee Slefl, 
AC. irrational; unb ^ei^e bie iVPtytc tneOtalapotome* 

i§i fep eine SJationallinie . A (^ 

ij) , unb an berfelbcn D h, 

ba^ift IDXDG, — Q 
' AB + b 1>C./ be€{jleicbcn 

pH;.baeiftiD><r>F;^ 

2 (aBX'BC) etttn>ot?fen, 
'bag alfo, xo^U (2, 7* ©.) 

n AB+D BC=:2(AB 

XBC) + nAC,FE, ba« 

ijtlDXFG,=nACift , / 

.2)a a AB + b BC, ta^ ifl DE, mebial: fa iji ( 10, 
.. a3- (2.) DG cationd unb u ID* 2>a AB XBC, alfo au*. 
a (ABXBC) mebia!: foift DH mebial, alfo(io,23V@0 
DF rational jinb u ID. 

* £)a AB, BC/ bte§ in ^otenj coramenfurabef , alfo AB U 
BC : fo ift (6, I. ®. unb 10, 10. @.) Q AB U ABX'BC* 
' Sinn ift (10, i6. ©0 Q AB n D AB +aBC, unb (10, 
6. J@0 ABXBC n 2 CABXBC) goljH* ift D AB H; 
D BC u 2 (ABXBC), ba« ift DEUDH; foiglii*, wett 
(6, !• ©0 DE:DH = DG:PF, aud> (10, lo* ©0 DG 
UDF. 2)emnacb (tub DG, DF, rational blo§ in f^otenf 
c0inmenfura&et, fpl^ftc^ iftCio, 74. ®,j FG eine Sipotome ; 
folglidb ; toeit ID rational, (10, 21. ©.) FE, ba« ifi p AC, 
alfo AC, irrationdl^ 

Jt)er 77* <^a|t ie^rfal unb (g.fflij:utt0* 

SDBirb bon einer fiinte, AB, line anbere, BC, bie t^j 
irt ^Jptenj. incommenfurabel ijl, unb i^re JCtuabrate jut 
fatnmen iu eimm 9tattonaUn, ba^ IdofvtUt tf^i urtrer 

ifencii 



\ 



) 



Hjnm mtfyiitmtn 0tec(an$ete ahn ju dual ^Aidm 
taa^t, wegsenommen: fb ift bee 9tefl, AC, inrattono^ 
tmb ^et^e bit tleinetc ^rrottoiMle. 

JDa.QAB+D yj ^ C jj 

BC ratioiujf, abtt . ' " ' i  t 

2(ABXBC)ii»* 

biof : fo Ifl D AB + D BC ^ a (ABXBC). 0hiii ift (», 
7* ®.) D AB+ D BC = 2 (ABXBC)+a AC. $•%* 
m «f^(io, 17. @.) DAB+aBCvjyDAC; fofsfi^, nx 
Q AB + a BC tatio|a(; Q AC, affo aud9 AC, imlioML 

S)er 78. 0fl|. le^rfo^ unb €ffr4euii0. 

?©itb toon efner jeinU, AB, cine anbere, BC, bie il^e in 
gjotena incommenfurabcl tjl, unb t^re iQuabtotc iufam« 
men ju etnem fDtebtalen, bad ^pptltt bet untec tj^cn 
ent^(tenen Slectangefe obei: gu etnem gtarionaTen m«it, 
wegjenommen: fo tfl ber 9te|l, AC, trtarionaf, unb ^ctge 
bte mit einan l^Umaim tin ni^Uik» iSax^ <Stf 
ben't>e. 

JDoDAB+nBCme* 

bla(, after 2 (ABXBC) A C Jft 

Mtional: fotjtnAB+ ""*- — "* 

O BCu 2 (ABXBC), mm (10, 17. 0.) au((> QAC 
U 2 (ABX BC); forgftc^, tpeit 2 (ABX BC) todonof, 
D AC, d!fo du(^ AC, ircationot; 

5tnmetfutt0. 

(5tt«ib nennt.biefe Sinie AC beiwegenfo, writ, na(& etnet 

%U(^n Sonjiniction, »ie tm 79. @a|e, oetgrk^en mit a. ». 

7. ©a$e, ba« bem Q AC gleicfte sRectangel mit beni Stationo; 

Icn 2 (ABXBC), eitt mebioIeS @<wje^O AB-t-nBC giebt. 

S)er 79. 6a|. iefetfaf unb grff&cuitg. . 

§©lrb toon etner 8cnte, AB, euw anbere, BC, bie t^ in 
gjotenj immmnimfitl tjl, ifere Ouabmte lufommeit 





s 

lu rinem aR«bi<rf«tt/ tmb bo« S)o»i«Ite ber unt« t^iwn 
eht^ftenen SHectanflcIS 9leici)faUd ju etnera gjletialen 
»wd)t, tt)a« abet |m?m incomtnenfurafeel ifl/ weggcnora* 
mert: fo tjl fcer IKefl; AC, trtdtlonal, unto ^eige Die tnit 

( • 

IS< fep eine fRationaKinie 
ID^ mV on berfefben DE, 

AB + D BC , entwdtfen, 
ffiMrb nun bai^on DH , iai 
iftmXBF, =a(AB 
><BC) noeggenoihm^n : fo 
i(i(a/7*®0 t>er9lef^FE, 

AC* ©emnac^potenjictAC 
>en3lciumFE» 

2)a D AB + D BC, ba< ift DE, m*ja{: fo ift (lO, 
a3,@0 DG wtiond unbUiD* @ben fo ift, mil DH 
meblai; ati* DF rational unb M ID, ©<i Q AB + D BC 
UaCABXBC), olfo au* DEuDH; abet DE:DH 
1= DG : DF; foift (to, lo. ®0 DG U DF. ©emnad^ 
finb DG, DF, rational ^to§ in ^otenj commenfurabel, fofg^ 
ti* ift (lo, 74* ®0 FG eine SCpotome; folgli*, n>et(^]D, 
hai ift FH, rational, (lo^ 2u @0 FE/ t^* i^ D AC, 
alfo Mdf AC, irrational. 

TCnmetfttitg. 

(Suffix nmnt tiefe 8isie AG ^^tvegm fo , »ei(^ naS> tec 
Conih;udiln t)tefe^ ®a^<; t>tcdH<^en nttt 2. m 7. ©age, 
fcaS t>em d AC gfeidOe DTectangd FE roit tern SDleWafenDH 
=^ 2 (ABXBC) (in mt^idUi ®aiiie P£ ss O Aff -f- O 
BCgiebt. , 



^ 



\ 



lOtt 



•• r f 



a 71 &i0ii'i &mmt 

' 2(rt bie 2(potDme, AB, fiigt jlcl^ ttur etne eittjige Station 
tiallinie, BC, bie ber ganjen AC, btog in ^Joten^ comment 
furaber ifl. 

mttitf rffugte A, B 'CD 

^6^ an AB noc& eiitc * — ^ — i " ' ' ;; •— « 

anbeteBD, fp ba§ 

(lo, 74- @-)*AD/ BD,ig|HMiaI Wog in ^otenj commenfura^ 
Ul tt>^rem 2)a (a, 7. ®.} q AD + D DB = 2 (ADX 
DB) + D AB, unb eben fo D AG4t 0BC=2 2 (ACX 
CB) + DAB; alfo bee Urtetfc&uf ber Ouabcate fiber bir 
fcoppelten SRectangel bei^berfeitS gfei* ifr, namltcb ba« Q AB: 
fi) ifit and} x?ef p^ec^jelt ber Ueberf^uf toon D AD + Q 
DB fiber Q AC + D BC bem Ueberfcbuffe Don 2 (AD X 
DB) fiber 2 (ACXCB) gW*.; folgli*, »eil jener Ueber^. 
fc^u§ rational,, aucb liefer Ueberfcbug rationai; melcbe^ n>eil 
(10, 22. @0 bepbe Olectanget mebiol pnb, (10, 27/®,) 
atnmoglicb. SJemnacb fugt ficb an bit apotoiiie AB feine an^: 
fcere ber ganjen Wo§ in ^otenj cpmmenfarabele Diarionallinte, 
fluger ber einsigen BC* • - . 

S)er 81* @a|. fei^tfa|. 

%n bie erfle SWebiofapotome, AB, fdgt ijTc^ nur erne 

rfinjigt aJtebiaffinie, BC, bie ber danjeit, AC, 6fo^ in ^Jo^ 

terii-commenfural&e( ijl, UHb mit berfe(6en ein SKatiortai^ 

leSent^dlt* 

. ®efe|t,i?«ffi9te A B CT> 

(tcb nocb eine an^, ' — -■ ' ^ ^ 

i>e<# BD an AB, fo ,. . 

ba§ (lo, 75, ©0 AD, DB, mebial bfog in ^otenj^commeii^ 
furaM macen, ttnb ein SKatipnaleS entl^i^tten.. S)a ^ier tpie^ 
ter ber be^berfeitige Ueb^jcfcbui ber£iuabrate fiber bie bap« 
j>eften Svectangelba* D AB ift: fo ift^ieber ber Ueberfcbug 
t>wi D AD + D DB fiber D AQ + Q CB bem Uebetfcfcuffe 
wn a (AD X DB) fiber a (AC X CB) a(eic{>j fclgli*, 

»eil 



\' 



BiW^ ^^* 



»7J 



nal; fotldifti, mil i>ie Quadrate meMal ftn6^ (lo, 27* 3.) 
iiniti&dU<^ ift Z)emna4) figt ft(^ on bte erfte Stebtdapoto^ 
mtf AB^ feiiK anbeit SRebiaUinie^ bie bet ©anjen Uo§ m 
tpoten) commenfurabel ifl / unb mix becfdben ein 9(atioitaM, 
em()aU, auftijribcceinjigen'BC 

^n bt( itovfti 3){f btaIai>otome/ AB, fft^t ftc^ nut tint 
trnm 97tebia(Umc/ BC, bie ber donjen; AC^ b(o$ m 99^ ^ 
teni commeiff^tobti ifl/ ittib mit bei:fe(ben ein S0lebia(i< 



A B 

# t " " 



CD . 



K H 



>i»'< I ' 



' ^ I'l I 



M 



' 



'^« 



K 



a 



®<fe(t, e< f&ftte 0^ nod^ e(nc anbece 6D an AB^ fo («§ 
Cio, 76. @0 AO; DB^ tB(^ia( Uo§ tn ^outii comtnenfucdv 
6c( w&ccii; tmb ein atetioM cnt^ieiten. . Stan fep eine 9Uu 
ttoteOinif FE> wA an Detfd5en EG; te« ift FEXEL^s 
p aC+OCB entworfen. flBitb nun baoon H6; ta« ifk 
FEXHL/ = a (ACXCB) »e8d<n»mmen : fo ift 6«t 
igteft EK; t><)« ijk F£ X SH, =r Q AB; «ifo poten)i(t 
AB ben IRaum EX. mxb tnW^ El, t>ai ift FEXEM. 
= a AD + QDB on b« FE entwocflfn: fo ift, weU SK 
== D AB , bee (Reftijl =r a (AD X DB). 

2>a AC, CB, mebiai : fo ift Q AC + Q CB , ba< ift £^ 
mebial , f oldfi<^ (lO; 33. @.) EL t«tional tmb U FE. 2)a 

<ln(lib'< (f tm. 15 «A<^. # a (AC 



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«7# 



^fib « (Sltmme 



A B 



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EH 



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2 (ACXCB), Ja« j(l HG, mebiaf,. fo j,t HL tationat 
unbUFE* auc^ ifr/ wei( AC, CB^ bloj m ^])otenj comj 
' menfuraM (titb, AC u CB; fol^liet), mil (6, i. ^.) AC 
;CB=:DAC:ACXCB, (lo, lo^ 6.) au* D AC u 
ACXCB* mm tfk (lb, 1 6. @.) Q AC n D AC + □ 
CB , ttnb AC X CB n 2 (AC X CB). golgfic^ ift D AC 
+ a CB U 2 (AC X CB), »dft jfi EH U HG} foIsHcfe^ 
tt>eilEiG:HGi=EL:HL, (lo, lo. @0 <mit ELu HL. 
Semitac^ finb EL, HL, ratioiiiit b(o§ in ^oten} tosmetifui 
ra6et, folglic^ ifl (lO; 74«@0 EH (tne apotome , etnbie 
fi((^ HL f6gt 9htn mtrb tbtti fb bmiefen, ba§ ^c^ arxdf 
HM an fie fuge; totld^ti, n^eil HL unb HM bet ganjeit 
M^S in f)oten} tmnmenfuraM ftnb; (lO/ 8®* 60 unm6gli(^. 
ift, S)emndc() ffigt ftcb nn bie jt^e^ee SRebidapi^rome feine 
cnbete ^ebtaKinie, bie bet^onjen bfo| in ^Potenj comtiieiifku 
rabel tt>ave, unb mit berfefben eirt 9l€bia(e$ ent^ieftC; aufet 
bep eiitjigeh BC* 

' 5(n bie Hmm ^vtatiomU, AB, fdgt ft^ ttutieiitc ctrti 
jige girtie, BC, bie ber flan jen, AC, in g)oten j incommciti 
furabct t jl, berett iOluabrat mtt bem ^uabrate bcr gan^ett 
etn Stationafed oii^Mad^t, unb bie mtt bet danjen cm 
Slectongd wrf2o(t| beffcn ^oppe(te« mebiot i^r 



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^kHtft^ikf •' n^. Ii ' *'! - T CD 

tej(^.».9<^ dPt,..,..' ^;: ,. ' ..".'  r — — ^ 

, ahJecffiDanAB, : :. 'I ..': ..;. . ..,. ,,„. ,.. , . , : ^ 

ftit^l (io, 77. ®.) At). .p^,.«iJoffitt,(n(t6m.mcttfm'ai&cC 
-b AD + Q.DB »»tl6na7;uni)'-2CAl)>3^p3B), nieDlaT .lj>aj 
lcn» . fSim .ift toitiit bit Uc6ftf<^u§ ^brt D AD H- Q UB 
^6'^ d'AC H-pCB fo'gcol, aK ' ^ct . Ueljecf(^u§ bolt 
,fl rADX Db) fiftct i- (ACXCB);"fbt8ffdp/ t»eil bet m 
itti4)v% Itt Qmbtatt Mtionaf/ <nt(tl^ b«^ Qibecfc^u^ Dec 
fc«ppeltftt IKectangri tatipnoii io«((^< p nxit (iefe IRectttit; 
-ge( mefeii^fmb; (10. 27. ®0 unm6'9H£& ifi. 'St>J«K(^ fSgt 
fk^ on tie fletnete ^cijdtiortale nw -tie-itnjlge* lO&eii' befc^vie* ' 
6«»eBC« , 

-^Mtt bi« mit cirtftn JKatioiidlen eirt Web(ale« ®<Jt^e®e* 
fcetvbe, AB, ffigt ji^ nt»<^ «'n'^ cinjigt 2ini^, BG^ bic see 
gntiien/ AC, in ^J^tcnj iitcommertfui-aber tfl/ betenDuo* 
brfifmtt bcm £lud&rhfc bet gaftiieo em S(?iebia(e6 ou«» 
tba^t;  Uttb bie mit bit 9«n$en tin 'plktangci ent^ljiU, 
tjeffen Doppeftes tatiohrtrt(i.  • " . / 

';.0efeftt^e«00* A B .. .> ' " ' •■■ . ClS t^^ 

irit*nod)«nean« ' ..,.. ' "■' " '' '   '  ' . ' '» r 

M (16, 78. 6.J At), 156/ tn ^olertj JnwmmenfuMM; 
a AD+Qt)B mcM, unb2(ADXPB) wtisaiflC 0atert. 

0l«n ifk wiefiet fe?t ^e6«#u6 opn g AD + d DB. fibct 
lb aC 4-'a CB fo gtoS, <jf« Set Meberfctufi Pon a (ADX 
CB){i6cc"aCACX^B); Mailed, weft 6ec Uctetf*ii§ t>ct 
JHertanjel rational^ aiic^ bee Ue&crfc^ug bn £luabtate cati^i 
rtat; wehtie*/ »ett ftief^ £hi*bc<jte ratbiaf finb, , (10,27.®.) 
jmmSjfi (ft ifr. '%H^\\ f ^fl* f»* «*» ^'"^ ^* ""^ Otctttonafeit 
dit niebia(e« ©onje ©«&enb« , AB , riu» ^'e einjtge *6en 6«i 






^ 



»7< 



«tifHbi» mmmt 



TCn bte mtt etttem 3){ebia(en em mebiafed ©anje ®e^ 
(enbe; AB, ft&gt fH^ nitr eine etn^i)! £inte, BC, bie bet 
iatt^en^ AC, in ^l^otetti iAcom'meitfutabet tfl ; bcren Cim 
brat nttt bem jQuabrate, ber Aon^eit ein tDlel^idled au$mac^t^ 
ttitb bte mit ber gartjett e{n9lectafi9erent^&U/beffettS)op$ 
pdM fttebial unb |[eiiem SOlebiaUn incoQtmenfurabei ifl. 



' • - / 



A B 

' p 1 1 II 



CD 




« 

@<Uiit, ti ffigte itcHoc^ (im <in&e» BD on AB, fo bog 
.(lo, 79. 6.) AD, DB, in $otei^ tncommcnfttcafiel, Q aD 
+ D DB mlicA, otM^ 2 (ADXDB) ntebial unb {ugtei^i 
tcoi D AD + Q DB incomm«nfuta&«( whttn. Stun ftp 
eine tKotiMtaninie FE, unb an betfelten EG, tai l|l FE 
XEL r = D AC + D CB entwotfen. tDitb nun bovon 
HG, ba« ift FEXHL, = a (ACXCB) weflgenom* 
men: fo i(k bet 9tefk EK=nAB; olfo potenjitt AB ben 
SRaum EK. mtt enbli* El , ba< ijk PEX EM / = Q 
AD + a DB, on *et FE entwocfen: fo ijl, weii £K = 
D AB, bet 9{e(i HI = 2 (ADXDB). 

2)0 a AC •(- Q CB, ba« ifk £0, mebid; tibnT£.tas 
timd : f» ifk EL t<iiion<il unb u FE. IDa s (AC X CB), 
tai ift HG, mebiaf/ fo ift an<b HL totiomrt unb U FE. 
SRun ift D AC + D CB U 2 (AC X CB), b<i< ift £G U 
HG, alfo ELu HL. $olgii(» finb El, HL, rational Wo§ 



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bi VoWfi) comtfKiiritcftl^^ f^fi0 «fk C(o,'74* 6.) EH dnc 
Vp^tome^ an Die ftct HL f&gt SRuit toitb eben fo 6e»tefen> 
bat ft(t) ou4 HM an Oeffige;' n?e(c^e<^ mdrHL unb HM 
trr ^Mjeii &Io§ in ^oteii) c^mmcijfataM iit^^/ (<^/ 8b: &) 
iinmMi<t if^. $o($(ii4> fiflt fi(() an bie obige AB imv bie dif* 



•* ' t' 



^ r f 1 4 r It ji d • II 

bet 

fec^^ Of^nutl0ett t>on 9l?oioiii«m 



i: €iiie ^poiMie^ on bte ftd^ eittt 2titte fil^t ^ fo ba|i.bte 
goAje au$ be^bcn befle^ettbe £tme^ ttm badOuabriOt 
eiheif % in 2ange comm^nfnrAiefen Sinie^ i^bet bte 
an^e^te lyDienjirt, ^t bie (t:Pe flpotome^ n>enn 
fp((^ gonte ^itie ^ism dnfmommenni SUtumottts 
nie rn ^inge commenfurabel ifli 

&. bie $wevte 2fpotonie^ mnn bte ongefftdte 2mte; 

3. bie britte 2(pci:^me/ »enn feiite ton bepben fofc^et , 

Stationalftnie in £&n0e commenfutabet \S^. ^ 

4. '<Sm^ ^tpotome^ an b^e fic^^etne Sinie ffi^t^ fo ba§ bie 

^Mit ani bepben befle^enbe Sinie^um bodiCtuabtat 
einer il^r in ^nge {n^ommenfutabelen £inte, i&ber 
bie angefi^te potenjiti^ |^eift bitoiertr 2(poroitie, 
n>enn fblc^e ganje £inie bet ot^enommenen 9tatio:? 
naKtnie xn San^e commenfutabel ifi; 

%. tie fiinfbe 2(potome; n)enn bie andefS^te Sinie; 

6. bteie^teSfpotome; n>enn fetne bon beoben fo((^ee 
StationaHinie in £&n^ (pmmenfHtabe( ifi* 



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tinb BG dne an^ 

fttwW. Sftimm ^-Xi^J," 

}tt)C9 Oo^i^^^^^/ BD^ EF, ^Mn ttnterfid^tfb FD feitie 
JDuattarjaW fe? « ««^ »«*« ED • PF = D BG : D GC , i^ 
^ft BG -^ GC = BC We (t?fte Sipoti^iiie. 

: Senn e$ i(k BGn A« iiiib hol^ee.tatimnl tRrni foI# 
•ii< obieef ^i^ortbtt (i o^ 6* @0 O ¥1G n D GC §ol^ 
|i(^ ifi/ mdl £3BG Rational, aii4> □ GC, aif& GC, r<itio^ 
fiAt; abet (ro, 9, ^)vBGuGC SDmtm^ ^ BG/GC« 
rdttend f>(of bv^^onnj ((iiHiienfbra6e(pfdgiic^ t^<io^74«@.> 
BC eine ap^iome* . 

SRun fie9 a BG r- DGC 3p QH, f» i ^ iiai^ oUg^r 

||rcportion, 3.vruc^^el^rent> (5/ i^M} DE:E3F^DBQ 

^ ^ : Q H ^ f olgli* (i o, 9. 00 BG n H, $^emnac6 p^tenjin 

We BG M9V W$ ^uabvat einti; i^t in Sange commenfui^a&elm 

iinic H fiber We GC^ mi^ e^ i«a* JJGoAi f«I$ft<^ ijl BQ 

@& fe?^ t)ief onj^etifunmene 9latioM(inie A/ Jimft Ck} ^nf 
^rttiece Sinie t^ec A jri Jang? eomtwnfurabel, ^mm tplcb^if 
^«9 auo^tfatjo^fen,. DE, EF^ beren Wn«tf(*ieb DF feine 
lauabvatja^f fe9> Mb ma^esFRtDEsrrQ CG:QG8; f» 
i(t 5Q^.GC« EC WM»««t< «pptom 



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bd^et ratfondl. "^ Uiun fo(gt mi ' 
D CG n D GBt golglic^^ ijt/ 

(i o, 9, e.) CG uGB. 2)em^ 



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- na<^{tnb C(|« GB, mttdnai 6(06 i^^Qteoi coinqi;nfit«a6<^ 
fptftttc^ ifl (10, 74. @.) BC <tne 2(p9tonte* , ^ , • * 
, SHuti fe? p 6B — r q GC,=5: D H, fo «|k ««*..o6iS«? 
t!itoj>ottto« (s^ ,4. 3uf. irnii 5i 19' ®0 Ulttgrte^Jt un^ 
jWt^cffeb^n^ ED J EF ^ p GB : g H, fofeli* (10; 
9. @^ GBftH,. S)emt)(t(^ poten}trt W GB utn M jPiua^ 

' tcAt ei(i<c >^t in {itige cbtmnenfttcofteln {iai^ H i^btt ti^ 

- @« ff9 bi« (maettom* /j^ 
iA(ne 9t4HonaUmie A< 

BC, CD, twl^e fi* ni*t« 
«&(c wo|( BC« BD/ me 

Itnb mac^e £:BC =:: p 
-^iPFG,«tt*aC:GIl 
=E=pFG:pQHifoift . 

FG ^..GH i= FH t« btitte SljwtoittN 

pFQ, AlfixFGMtiDnal, <ifc<<^(io, 9, eO AUFG. J(«« 
^ejf }jv<vtc» ^opottion fotgt p FG nP GH, unt FG M 
<aH» 2)«nma<& .01* FQ, QH/ wtii»n«I ^Ip§ in^otenj com* 
menfwj^W. SpI^Kc^ iji (10, 74. ®.yFH <ii8i SJpowntet 



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ft* . €iilb*« QfcflMHfC 



m^J^^ A&&^^M ^^lil^Mk 



>cm <Bldcb«t (5/ aa* F i   » ^ 

e.)E:CD=DA:n 



AU FG. golgliA tjinK^ „ ^ . ^ 

^€rGHllo<OFG^erA BJ.DXV 

iRwi fe? D FG — D GH = D I# fr «fr ««* *«^ i»V 
ttn ft0pottien im&dStil)€€nb (s/ 19* ®-) CB :BD = 
D FG : n I ; fotgfi^ (i o, 9. ©•) FG n I. SDmna* pw 
teti)itr (te FG urn hai Qudbvat einet i^t in 8&iige comment 
ftttabelen {inte I 66er bie GH ^ utib ti wat Don GH , FG, 
feine (er A in ihn^t commenfutoiel; fofgltc^ tfk FH bit 

btku 2(potoittc. 

©er 89* ®«t* JCufgabe. 

^ie titttt Upotctnt ju finben* 

•« ftp bie angcttonu a*. , 

wetie IRattonalfinie A, ^ 

iinb dne anbete ginie BG B i r - > gL 

n A. {Rimm icoev 3^1^^ 

fen/DF/F£,betfn®um^ ihli i • ^ 

iiwDE stt Wnepwnbep^ n 6 p tn ir 

>m bte eet^&ftnit Dm D^Fjo^S 

fiuobratjal^len ^abe , itnb mac^e DE:EF= Q BG:a CG ; 
fo ifl BG — . GC = BC bw t>ierte STpotome- 

ipeiinbaBGnA, dfo BG, forglicb auc& n BQratw 

ttal; fo iji <iu« obfgec ^toportton (lo, 6.®.) D BGnDCG^ 

dfo qCG, folfllicb ducb CG tationat; abet (16/ 9- ©•) 

BG u QC. SDemnacb f(nb BG, GC, rdtionat blog tn^otenj 

' commenfucabet ; folglicb ift (to, 74. 60 BC eine 2lpo^ 



pp«tor> iut6dt^unt> (5, 1 ^. ®.) DE ; DF = Q 86 itl 
H > f^(^ (i o, 9. 6.) BG D H.- SXmiuwft |wten|jct bie 
BGy urn idi timitat met t^c in S&Nge iiKomndiftiMftelm 
time H, 66er Die CG, tmb e« n>a« BGn A; ji^^ ^ BC 

bie «im< Sfppcomc 

« 

. ©U ffinfte 71«ptome 511 ftnbem 
^« fep bie ange; A, 



driie A, iinb erne an^ JB • -*^ 

ftere Kit je CG n A/ \r ^ ^^ -- 

me DE ju Maec Don D^FJ^E 

Bepben bie Serl^&ItntB bon JDuabratia^Ien f^aU, unb macbe 
FE:ED = D CG : D GB; fo <jt BG — GC = BC bie 
fi&nfte Slporoine^ 

SDenn ba CGn A , alfo CG, foljfic^ dU(!b n GQ, ration 
naf: fo'fotgt an* obiger proportion (16, 6. ®0 D CG r> 
n<JB, forgllcfr n GB , olfo au* GB rational j aber (10^ 
9. ®!) GB u CG. SDemna* <inb BG , GC , rational Wo§ 
in ^otenj commenfttrabet ; folflfictrift (lo, 74. 00 BC eine 

Slun fe9 D BG ~ D GC == n H, fo i|k au« obiger 

'Sroportton (5, 4. 3uf. 19. ®0 umadtci^tt unb 3Urtl^# 

ie^rcrtb ED : DF =z D BG : q H, folgli* BG U H*. 

S^enmacb potenjirt bie BG/ um ba< Cluabrat etner i^r ttt 

t&nge tncommenfurabelen Knie H^ &ber bie GC^ unb ci toat 

CG n A* goigficb tik BC bie f anfw 2(potoim. 

• '■  

S5er 91*. ®«i 3(uffla6e. 



\ 






nieA^ gtimm bre? ^*-^ — ^ "" — ^ 

gd^feit E, Be, CD, J V -, 

E:BC :^= D A t p . . -p^^I^J^^ 

FG,^u*BC:CD 

= D FG : Q GHj fo ift FQ ^ GH 5^;fH t)ie>(|«tt 

Kpotame* 

2)enn ati« ber erftert ^ropottlon.fofgt (10, $♦ ®.) D A a 
□ FG/ fo(gKc() QFG, alfo auc^FG rational; abet (10, 
9^ ®.) AuFG. ato^ ber jtoepten ^copottion fplfit (iq^ 
6. ®0 D FG n D GH ; folgfi*, weil FG rational , p GH, 
iitfp auc^ GH rational; aber (10, 9. ®0 FGwGH. JDetiu 
^Qc^ ftnb FG^ GHf rational b(o§ in $oten) cpmmcnfu(ab(I } 
folgli* iji (10, 74* @0 FH eine apotcmCt 

SRacb obigen bepben ^roportionen folc^t aUB belli (53et# 
^ert (5/ 32, ©0 E : CD 1;= D A ; p GH, fofgli* (i o, 9. eO 
AuGH; unb e« mt auc^ AuFG, Semnac^ ijt tpebeti 
FG noc^ QH ber A in Singe cpmtnenfurabeK 

• giun fep D FG — «. p GH =: p I , fo ijl au« bet itvep^ 
ten proportion iUt&cih1i)tent> (5/ 19* ©0 CB:BD :^ q 
FG : D 1/ fptfllicb (10, 9. ©.) FG u L JCemnac^ patent? 
|irt bie Fp/ ii^t \>ai £luabtat einer i^r in ^^nge incommeni 
furabelen Jinie I, fiber bie GH, tinb e« »ar t)pn FG, GH, 
ifein^ ber A in Jange comin?nf«P<*el j foljlic^ ift Ifli l>i^ 

tecb9te 2lpownic# 

^(nmerfttng* 

««li§tll(^aber An B 

<m* jeigen, bag ^ — ^ : —  

DOrsebacbte !(po^ 

tmn w\ mm n^^ titim JBe^e gefunbm tpetbea ttnnciu 



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^ifyim ^&ti^^ 



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fk^/ mem fbffte W #cile l^potem5?;ffti*enV^f5j^^ J^^^ 
WM (lo, 49. @.) bte ctfte S&momiafe AC, iettn ^r6§etci; 
gtatne AB'fe^^ m^ niac|)e BCsrBD; fi? ift AD ^fe erfrf 

©enn^letflnb AB,BC, ba« fjl, AB,BD/faflcnaf Wof 
in ^otaii commeitfuraiet; t4c AB pot^jtrt um t)a€^ Clitadtat ^ 
einer i^r in Bnge commenftirabeten tinie d&er bie BC, Wcis f 
It^ duc^ nbev t)ie ED; auc& ijt AB bee dngenemmencft fRciif 
tionaUinte in S&n^^ commeit^ta&eK ^mnac^ tft AD bi« 

9uf &^nlic()e tfrt ffnbet man ott6> bie f^mf ibtf^n 9p(^t»^ 
inettr n>enn imm iebf^^tal We 93momtale t>i^n beifi^kn Otbi 
mnci, njim(t(j(^ bie jme^te fBinomial^f^v Scfinbung its^p 
mkv^m a^f» «?, jiim 0cMttbe kgt. - . • 

©en unitt.eiiW3: atattqnoftiftie / CA, tin& bet erften 
tXtpotome^r AD^ ent^aUenen S^oum/AB,^ pot^niurt einc 

* Ifn bre erfte Srpotortiie AD- '^, ,-.J^. iP^^.fi 

ffig^ft^DCiy.fo finb (10^ 

2^7. @,>A(3r^^ GDrtatfonat 

^(o§ in $pte^) commenf\ita^ 

te( i auc^ if J bi? 9a«je A(j^ 

(^ CA 4 unb t)ic AG pot^ 

}itt um bd^ Stuabtdt einrt^ 

f^t in jfonge jpii|ntenfi|i^be^ 

len^ink&b^bifDG^ SSBirb^ 

iHin DQin e; ^aVbivt/m^ 

j(^n bei^ AG icfi fRsetangel 

APXF6 wittp^rfen^r tpefe 

^e6 bem D EG, pbcr | Q 

I^G^ dleic^ ifL unb ein i^uo^ 

brat juc (?c^an$unft ^,at ; fti 

jfnb (iQ,i8i*©0. l>ie AF^ 






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G, it(^ mit AC We Sinien 
£H,n GK^twcaM. SRoi 
<^ (3> 14. 90 bte i&iuibra« 
ieLM=Al, iinbNO=:* 
FK/ ^§ f>f9be (6^ a 6.0.) 
urn einet(«9 2)i<i96iu((( PR 

SHun ift }u 6f tofifen , b<i§ 
intedSidurLPMRtieLN 
ten iSUinn AB poteitjice/ unb 
(itte Sfpototne fe?. ' 

fG=nEG,feifi(6,i7. 

e.)AF:EG±=EG:FG, 

«bec(6,i.0.)AF:EG= 

AI:EK, linb EG:FG= 

EK}FK;folc»li*AI:EK= 

£K : FK. 1£)VKmi) \^ EK ^wiT^en AI unb FK, fedS ift 

|wifd^en LM unb NO/ bte tntttlece $ropocHonatf[&(be/ n>e& 

(^<l fltt<* (10, 54. Je^nf.) MN (|l; alfo MN=Eli. Slluit 

ifl (I, 37- ®) EK=DH, unb (i/ 43- ®.) MN = LO. 

So(g(i<b i|% UK r= @n»mon VXZ + NO. ^oldlid^ , weif 

•AK= LM + NO , ifi AB = ST = Q LN. iCemna* 

poten^itt LN beh fRauro AB. .^ ,. 

^tv^Nne. £>a nacb Obisew AF (^ FO, f» i^ (t Oy 1 6. ^) 
AG, otfe ottcb (10^ 13. ®.) biej^c (ommenfutabefe AC, Ut 
AF unb FG in f&nge eontmenfucabel ; folgHd^/ ba AC tatto« 
i<o^ou<b.AF, FG^alfo aucb (10, ao. ®.) AI, FK, cdHonoL 
Vfm wa? AI=LM, unb FK=NO. gol^liib finb LM,NO, 
ba« iftDLP/ dNP, unbba^t aut^ LP, PN, rational. 

Sa DErtEG, aifg DG bet DB unb GE in {ange com$ 
menfutabel; a6ec DG rational unb bee AC in 2inge in* 
eoimnenfutabcU fe finbDE/ EG, totionaf, ui^bn AC in 



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5^« 




1 



*is 



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' Wan gofslt*, n>eit-DH=i'EK==MN==LO> i(k fl#' , 
LO ineDial.' gftin n>ac NO totiwwtf. ^o^flK* ** LO v> 
NO; ttbe^^(6; t. ®.) LO:N0=:LP:PN, foldO« (lo, 
lo.SOLPuiN^ 2)einna* fln&, .LP/ PN; wttwnol Mpf 

in ^otcnj rttnmciifuwbel; folgli* Ift (lO/ 74. .^♦) *•• •«* 
0(ituin AB potenjitenbt LN tine 2lpoC9in^ 

1)«n unt ?t einct SRattenoIfinu ^ C A , unb bet jwe^tetf' 
^pwrome, AD, ent^aaetieniRaum,^/ f>Pten4irt »« «P« 
SRebiof<M>otomc.- 

Knfie jmetite Spotome 

AG, 'GD, rational bloS 
ill ^p^nj ^omtiient&rftbd ; : 
and^ ift bie a^gefigte DG 
n CA,, unb Die AG poten? 
jirt uni'tHi* SlMabcat einei? 
i^c In 2irt<je commenfttpabe^ 
len Jinic fiber bie DG. ®itb 
nun DG in ii Ijalbirt, unb 
ofie* WMC bepm ^ocigejrt 
®a^e conftruict: fo wirb, 
mt bafVIbft, bar<»ert;fan, ba§ 
LN 4n ber gigut LRMP 
»en SKaum AB potenjirt; 
ta&et nut no* iu bcroeifen 
Ift, baf. LN bie ecftc SSRe* 
^ Dteiapotome Ut^. 

2)a (lo, ^g, e.) AP n FG; affo AG O AF unb FQ; 
atet AG wtionat unb U AG: (t> pn& AP, PG, tattwiot 
utib U AC , folglicb . ( I o, 2 2 . ®-) AI , FK , mcbinU Siun 
tfk Al=:l:M , it9b KK sNO* $o(att4 ftnb LM, NO, 




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. til' ^tttnt co«ine«fttta6e(» 

!fcAl)ErfEG/offdDQ 
nDE'unb'EG; abet DG 
r^ AC{ fo jtnb DE,EG, tra# 
ttonaf unt n AC,' difb att# 
DH, EK, cjattonoT; folglic^, 
t>^\ EK=MNi=:LO> 

|»(it]3 ^^, ba^ Ijt NO," 
niebial. 'Sofgfit^) iftLOU'' 
NO ; a^ec LO : KO s= 

LP:PN; W9K<^LP,PN/ 

aKiifuMbel; afttVf wetl LO 
Kttiottaf> ottc^ LP X PH 

IDemn4(^ Ifi LN, toefc^e ben OtttttmAB t>»tetiiiKt^ (i©. 




^«n tttttet cinec 9tattonantnie, CA, ahb be^ bcttfctt 
»3tl50tohie, AD, ent^Ucncn 3t«um^ AB^ l>oteniirt bfe 
|t»et>te SOtebtolapotpntev 

art AD ffi^* f!(^ DO, fo firtft AG, GD, tdtiottdf Bfog 
irt !pottitj e^mmenfutdfcelj :au* i(l tt>e^ec AG itod^ GD be^ 
ongcttommerten tRationaHiitie , CA, in Eattge commenflirabd/ 
unb \\t AG pirtenjitt iim &d< SXyxi^w. Hnei; i^t in Sang^ 
Cdmmenfura5e(en Stnie fiber &ie GD« JSitb nan tt)ietet 
DG in E l^(S(Wrt., tttib atte4, n>ic 6i«ftclf, ^onftftiirt: f6 n>iid 
e&en fo ^mief«ni^ bag ;.N ia bet^ Sigiii; L&MP btn 9taiiti| 



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iu i&twtifen Hf^, td§ LH 
tie {tvepte fWe^iatapotonie • 
ftp. I . 

2)a (id, tS.^0 APh 
J-G, dfi^AloFK: fipi% 
»n(Ai=DLP, tinbFK 
=;aNP, ajK&Dl-Pr^ 
ONP; ta, iwilAFn, €"^ 
FG , an^ AG f\ AF uttfe 
FG: ab«cAG rdtionol tin^ 
U AC : fo fittfc AF, FG> ttt* 
ti'onal unb U AC } forgti^y, ' 
(lo, aa. ®.) hi, FK, me* 
tidl; M(«/tt>eU Al=a 
O LP tint) FK = D NP, ^ 
iji-ott* D LP,'tJ NP, atfo 
ou(& IJ*, NP, tnebiaJ. 

' 25d De'aEG, dlfij'DG n DE m\> fiG f j»6«t ©Gf<i*' 
tiendlunb U AC: fo ffnb 0E, EG, tatioiwl unbvJfA^if 
fol9fi<^DH,EK,ineDid. < o: 

SDd AGUGt), aitt AG A AF, unb GD(^ GEl fi> (|i 
(lo, 13.®.) AFUGE; dbct Aft'GEiir A1;EK, Uki 
iiib AI U EK ; Qbn EK = MN sr I.P X PN , ffilgKcST 
tl LP ^ LP X f N, f5lg«(^ <i«c^ LP U PN. 2>««jn<»<^,. 
fin? LP , PN , mttKi We§ in ^ottnj CDtntnenftttabrf/ trntV- 
wei( EK mimi , au(& LP X PN ibtiial ^(giic^ rfi LN^ 
fochj&e ben fRcaxth AB pottniitt, <io^ 76. ®0 ^tc JWCt'W 

tnebiotapototne* - : 

$)ertUtttec<ttte«9tat{oiiattirtie, CA, «nb bcr uieften 
%ii^tome, AD, ent^fteneo Staufii; AB, i^oteniirt Me Kei^ 



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«iiAPfftdefi^D6:f^ 
(HibAG, GD, taHonoIttot 
in ^ten} commenfuca^d; 
au(& ift AGnAC, unb bit 
AG potcnitct van tai Otto^ 
beat einet il^r in ^inge uu 
commenfurabden tinie fiber 
bte DG. Stacb |)a(bitung ^ 
.betDG in £/ ipib Doriget 
Confttttction , n>ttb mit wv 
^tt bmidftti, tai LN in b^ 
^tgiv LRMP ben SKaunt 
AB potenjice; ba^ecnocb itt » 
hmtiitn, bag LN bie flei^ 

2>a ^ier (lo, ig. ®.) 
AFUFG, aber (6^k®*) 
AF:FG=:AI:FK; foifl 
Cxo, !•. ®.) Ai UFK. ^IgHcb/ tt>«it AI = LM = D 
LP, iittb FK = NO = a NP, ift an* D LP up NP. 
JDemtuub f^nb LP, NP, in^Pten} tncommenfacabeL 
► 5Da AG Mtiwial nnb n AC> fo i^ (i o, 20. ®0 AK ra* 
ttonal; aberAK :^ D LP + Q NP, folfllicb D LP + Q 
NP rational 

. SD<» D6 u AC, unb bepbe rational ftnb , fo ift (10, 22. ©.) 
DK mebial; abet DK = a (LPXPN), foIgli4> 2 (LP 
XPN) mebial- 

. SDemna* ift LN, toe((^ ben IRatiia AB peteniict, ((o^ 
77» @0 We lletnere ^watiorwle. 

5)«W untec einet Olotion<iflm«/ CA, unb bee f&nftett 
^potome, AD; ent^ttenen ?Ka\xm, AB, poteniirt bie mit 
«inem Si(attona(('n m niebialed ©anje @(6<nbe. 



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<^ Cll> AG, GD, rational ^og 

.^oren) commenfurabd ; 

;^ ^^ ift GDn AC; unM)ic 

f |>otenjitt um ba^ Slucu' 

ifA^^^ dnec i^r,in, Wiige in^ 

^ Imenfurabden ftmt »fc€t 

u'/«^^HSD. 3lacb Doriger Soiu 

^ ^tion n>irt, tpie tyoc^et/ 

• ^t{>an , bafi LN in tec 

IP^ui: LRMP ben 9laum 

^ AB pdteniirt; ba^ec noc^ 

itt ben^fifen ift^ bag LN 

. tie^ mi ieinem 9tationa(en 

<tn mebiale«^ @<mie ^ebern 

*• ^0 ^iet (lo, 1$. ©0 



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AFuFG,.al>rt(6, 1.6.) ' .' 

• AF:FG=AI:FK; foi<iCio/io. e) AIuFT?/ go^ 

It<&, »eil AlrrpiLP/ u»t> FK=: tiNP, ift oui^n t? 

u O N P. ' ^cmnac^ {inD LP^ NP, in ^oten) incommesfi^ 

5J>a AG u GI), after GD n AC: fo Ift (ib, ij,®.) 
AG u AC. Siun («n& Afe, AC, wti<>noI., "golglic^ 1^ 
(io,a2. @.)AK,ro«»tai; folflli*, weU AK^qLF-j..q 
MP, OM* D LP -f^ D NP medial. ' "' . 



• <■ 



®a GB tationaf uab o AC; fo ifi (lo, ao. CO ,DK.ta* 
fwnal; fotgU*, »>fUDK= aCUPX^N)/ au<^ a (LP, 
X PN) fationah ' ...;.. r 

. 2)ettuuwj^ i|l LN# ttel% ^m fRaum AB pi^jitt , (^ o^ 

78* ®0 die mit txnm 2ianotialen em m^i4le9 



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i^mi Cftid. IS 9fl(^. 



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{Oft 97. ^«^^ $*^rfa|/ 
. ®,en untct etncc sKotiononWe, CA, unb ttt fc^^tttt 
Ti^tmt, AD. cnt^(t«mn SRaom, AB, pot^nsttt l>u m« 






-f mem ajlebiaUn dn meDiale* @anie ©eben&e 

anAl)fu9c(i*DG:(p 
^nbAG.^ GD, raHondJWog 
in ^otiiii <ommenfurabd ; 
<ui(^ ift ipetec AG noc() GD 
nAC; utib fcit AG ppteiu 
jirt itm l>a« Ciua^rat t inec 
i^v in San^c incommeuiiiciu 
feelen Jinie hbtv Die ^GD. 
8lac& ^oviget Sonfttuctioft 

tO^n, ^ag LN in bcr gigutf 
^LRMP *<«^ t^um AB p^d 
*tertjirt; baf)ec nur ntw^ ju 

fecrreifen i|t,.l>a§ LN bie 

^tt rtnnft tKetialcn m me? 

2>a ^i« (10, ,19. ®.) 

kJF :-^ff i= Al :FK5 fo i|l (10, 10. 6.) AIu'FK. 0h» 
ffif:Mif:aI^P~AI,un&ON=QNP:t=:F.K. goly j 

li(^' tTt a LPx:;DNP, iConna* Pnb LP, NP, in ^otcni " 
incommenfuto^I. 

' ^a 40, AC^ iatmal fcfoS in- ^otenj comraenftttaM 
<inb, to'jfk (10, aa. 6.) AK/ t»a« ijt Q LP + Q-NP, 

»a Ac/DG/ taticnol, aui^ ACUDG: .fo IjiDK, IHA 
iKt a" CLP>^P1S0, mefcid. ' ' / 

JDaAGuDG/ a6(!cAG:DG=AR:I)Ii; fd ifk AKU 
©K, fca« iji a LP + D NP w a (LPX PN> 




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. ^^ 6cm jtluat)ridte b^r 3(potom^/ A6, sleic^C/ an tW 
tier S^(ton(tntnk/ CD, (nt«3»orf(ne/ d((ctan^{, CE^ |itf 
• |ttt JBceite/. CF, t>ie',erpe Hpoton^y • , . »;0 

*^ an tie Sfpotome * a . ■» 

; AB fftd* <M> BG: . '  ; . ^ . :?— 

'• fo finb (♦o, 74. ®.) d • • 'X 'M 1 I4 



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feiifil in ^ottnj coiw ; ^ - 

menfxra&e^ 9tnCIj| . 
- ffiwctf* own tie • 
. SJtecwngfl/CHis 

q AG, ttnb IK == 
» tj"6B:' foijiCiC L ; 



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vpii,. W)«l «C£ cs: : . . 

b AB", (a, 7. 6.) FK.z= 2 (AGXGB). ^m fy>ib\», 
' FJL in M, 'unb jie^e but* M bet CD bie MN patattet: f» 
|(i (I, 3 $. ®.) FN = M4== AGX GB. Stun ift ittx6«( 
iveifen: * 

^.. Oiriiad^/.bafiX^F tt'ne tipotonw H /■ 

.. ' 5Dfl d AG 4- Q GB rational unb bee CK ^l^i^i f» tf| 
-«nc^ CK, bo« iji DCXCL, tojional ; .fofgfi* ^ »<il DC " ♦* 
vationdl, (lO/ 2 1. @.) ooc^ CL rational/ ui# n CD. ' ' • 

«;5Da<io> 22. eO 2 (AGX GB) nwbial finbtXr FK 

- «l<i4> : 'f«1|^ FK / ba« ijl DCXFL, mcbiif; fbt^lif^, l^eif .. 

I>G t:attOHa(/ (10/ « jk ®.) FL ratioftaf unb U DC . * 

2>a ^iema^ CK rational/ tqtb FK xaiixcA, a(f» CKV 
FK ; a6<t (6, 1. ®0 CK: FK = CU LF ^ fo iji (lo, i o. @.) t 
iCfcUllF,^ ,. . .. . . 



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LF, r«tiOQaI fttoi in . 
fjetrni cemincnfttca^ 
M;fo(9li*ijk(io*: 
' 74* 6.) CF dnt, 

nc f(9; 

8<^iif. 3.) AGX- ' . . ^ 5 

GB {Wifc^ a AG unb O G6 bie mtttfere ^jhrotwrtieiuf' 
Ha^: fo if^ itidfti auc^ MK jtotfcbeh Clf-unb IK, tad H^/ 
CH;MK5=MK:JK. gtun ifk CH : MK = GI : ML, 
ttnt>MK:lK=ML:lL. goJgUitilt CltML=MLjlL, 
folglUft (6, 17. @.) CIX11-=D*«L =r| n FL. 8fhm 
i^ D AG n D GB, ba« ifl, CH n IK'.ttbcc CH:lK=r 
01:JL, unbba^er (la, io.*€5r) ClnK,/ $o{gHct> (io> 
18^ @^ potcnjirt bie CL, inn ba^Cliiabrat einer ihc in ianr 
ge rotnmcnftttabeirn Unit, ubec bie FL, itnb cd loar CL n 

Op ; f olgli4»' ift CF bif etde apotbme. 



? • 



.^ad bem £iuaWate bet erjlen fDlebiofapotonie, AB/ 
u fiiei^e/ art finer OlationaKtnie, CD, enttborfmc Stecton^ 
^ii f C£, , \ox jur ^reite , CF, pit jt^ep tc 2lpotome* 

. ;^^\m <tfie a)tebia(apotDiiie, AB,^ fdgf |[c^ BG; . (^ ftn^ 
. Cio#.75* 0.) AG, QB^ mebial bfo§ in $otena c^i^rmenfttr. 
tabei; after AG ><G]S ift rational^ Sonflniirt. man luiiii , 
* a%< mie p^rl^/ fo ift jw ftepeifen; 



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Mai; abet DC tdf 

tionali fcT^t (ip^i 



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/* jTiDC. |)a CK mebiaW obcc FK rational, alfo CKUFK;, v 

iiib^,:i.@.idK:FK=:£LaF; fp ift (10, 10. 6,) 
J^ CL'uf-F» 2)emnac^ finb CL,^ lIF, cariQ|iar 5lo| in ^jjoi 
^ tenj.xDra^enfuiwW; j^aK<fr jft («p^ 74, ^,5 CF cine ' 

' - ID0 ^irt wjeWf^tSlX Ili'=F D ML = I Q FL, <Mt«( • 
* OAGnaQfi/ t»a«11i, CHnIK, alfo <m^ C^c\lV: * . 

fo ixitenifict'Cio, 1 8. &) Me LC urn ta€ Qtuatcot etnetr i^ ^ 
' in £&ng« commenfiivaixl^ iim i^er tie FL, unb d loctt^ 

^LoBC. §oi3li«-ifrCFJ>i<'5ti»evt<2rpCt^llieV ', . 



». 



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* ^ , ■■■'♦» 

^^ bem IChiabrafe ber ape^en' 9D^cbia[<fl>biomf/ * 
• AB, gfdc^, an etner , Station Allinie, CD/ enttDOtfle^, 
lie Slectoisel, CE, ^at jur ^xtiti/CF, bic britte 2(po^ ^ 



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4fo AB fi^lN^ 
BG/ fo fmb (lo, 

^6. 0.) AG, G^ I 

iiKWal 6(pfi in ^O' 

.ten} (ominei^uca^ 

M, and^ AGX 

^cuction i(t mnmn 
beB»ei(eni 

«rflItcb,txifCF I> 
<ine Xpotone fep. *" - 

J)a p AG + o GB , ft4l ifl CK, ba< {ft DCXCl,- 
meWal: fo ifl (lo, a?. ®.) CL cotiunal <u* u<DC. ^t 
«(AGXGB), baS t^ FK, b#« ijt DCXFL,.nrcWfll: 
fo \^ (10^23.-®.) FL raticnol unb U DC. 2>a AG^- 
GB ^ alfo AG u GB , ahti AG : GB =r n AG : AG X 
6B; fo ill □ AG u AG X GB. f!tcai ift (10, r6. 6.) 
D AG n D AG + OGB^'au* AGX GB n a (AGX 
GB). $ofs(t(^ ift (I o, 1 4. X 3. ®.")'n AG +,D GB U 
s (AGXGB), ba$ ifl CKuFK; Um, ««« CK:fK 
= CLtFL^ oxxtb CLuKL, JDwina* ftnb CL, FL, t» 
^xwA m% in $stens commenfurabrf, folglt* ijl (to,74.«5.) 
CF dne apotome. 

» : Snoevteits, baf CF bfebtitte XpotooR ff?." 

©a ^ifc wiebrt Cl X IL = i O FL, auift Q AG n 
D GB, bttj ift CH n */ a(fo O n tL: fo pt>tenjict (lo, 
1 8. ®0 bip CL urn lai Cluatwt cinej i^t if 85nge com* 
m<nfuM&efen «inic fi6et bic FE, ««b.e« mt iwbfc CL no<^ 
LF b«r CD cominenj^roM ; loJsli* ift jpF bie . ^ttte 

2fpctoftt^ 

 . ^ .. . - 

: 2>a3 bem ©.ijabwte bee ^cinern -ScwttonaU , AB^ 
$I«irf)e, an eiriec- OlationaUi^ie , CD , entn>orf«tt 



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gl«eaft^r> GE;^ .tot ^ 9$»^; cp/ hk^ioim ^36f9i 
tome. • . '^ , . 

«n AB ffi^e fk^ 
BG/ f^ fint) (lO/ 
77. ®.)AG,GB, 
in ^tfti) tRcotn« 
mtn^co^d; attl^ 

tit D AG + a , 

GB caittonat , abet- 

a(AGXGB)me» 

biat. di<id> tvtii 

0ec SdnfmicHott i(k 

vtmiutctoetfeits £> " H K HK 

©a a AG + D GB,. bo< i(i CK , M J Ifl DC X'CL, 
fotionatt f^tfk (10, 31. 6.) CL tatitind unb (ft BC; S>a 
a(AGXGB)y ba« iji FK, M iftDCXFL, awftwrf: 
f* ift (10, 23. 6.) FL rotioRaf n«t) U DC. 2to QAG-*. 
O GB ratioiurf, tbtt a CAGXGB) mental: fb ifb a AG 
4- D GB U a CA6X GB),. iai i(lt CK UFK; a^t CK 
:FK=:CL:FL, fol§(i(ft (10, 10. ®.) CLUFU JDaw 
na^ ftn^ CL, FL^ tation^i bltti kv ^tett$ cpmi;ilp|uMM H^ 
folgli* l<i CiQ/ 74.:©.) CF einc 2(potom«, 

5«MVUII6)l tai CF tne t>rej«e apotimtfr?^ ^ 

' jCa ^ier wJeliec CI XIL rr ^ Q* F^*/ outi^ D AG Kf 
D GR/ b«« tft CH ulK; <*er CH: IK= CI:3L, dfa 
CluIL; 0) potenjtrt (10, 19,^0 H^(CLttm.bdd;Oiia)^dt 
lejnec t^t in $&nse incommenfurabden {inie &6er tie FL, »h6 
e< loac CLaCB i ft{glt<ti iit-CF Dit vkrtc 2lpotottie*, 



' ©a* bem iCiuobrate bet mtt eirtem SKationafert^m me* 
biaUd ©anje ^bettben/ A6, gleic^; an eiriet fRationaU 



99^ 



&Kmmiimtt 



A 



B 



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CF, bie f&nfte7bi>mmt, 

BG: fo linb (lo, 
78. ®.) AG, GB, 
In yotetii incom« 
mntfaraM; aud^ 
ifiQAG+nGB 
in(bial,<i6ec3(AG 
XpB) wriWflL 
!Ra9 ooriget Sotu 
jetton i^niM^ (u 



: 







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i&cfiUd» ^ ^dg CF ettte SpeMoNs f(9* 
. 'JJ^CF /CG+O GB, biSift CK, ba« i(i DCXCL, 
ntbiaU (b # (lo, 33. 6.) CL tattbtiat unb uDC. S>a 
9 (AGXGB), ba« IjiFK, ba«ifiDCXFL, cationd: 
fb i^ (to, 21. <5.) FL mtionol «nb n DC. 2)a CK nte< 
tM, abn FK rational: fo ill CKuFK, folgttcb aut^ CL 
UFL. . 2>emnacb fmb CL, FL^ tattonot blo§ in -^oteii) 
coannenfucaM; fotgUc^ i^ (10, 74. ®.) CF ^nt Xpetome. 

- Stt^e^ens^ ba§ CF bte fdnf te Spotome f^. 

»a ^iet wfebec CI X IL = | Q FL, au* D AGu 
OG6, ba« tft CHUIK^ fotdIt(b aucb Clu fL: fo poten* 
SiH ((€>/ 19. 0.) bie CL 0m baf £]uabtat ctiwc i^ in Sto^e 
tncommenfitcabden {tnie dber bie Ft, tinb ei wmFLoCD; 

f0igii(b ifi CF bte filtifte 2(potome. 



1'. 



©er 103. 0ft|^ le^tfaf. , 

)Ddd bent Cluabtate bet mtt etnem !0?cbta(en (In me$ 
bioled ©anje ©efcetiben, AB, iUx<i)t, an eraer Stationotf 
i(inie> DC, cntworfene SlcctanBel, CE ^ feat iw 55ceite, 
CF, bte f€cl[)«e 2lpotome* " - 

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79. ®.) AG, GB, 
in potent income 
menfuMbel; mid^ 

i(tf»n>o^iaAG+ 
Q GB, al« a (AG 
>$GB) meWal, 
ynb D AG + a 

GBua(AGX 
GB). 8Ba4 oectacs ^ 

S)a D AG + D GB, ba« ift CK, tat ijl DCXCt, 
rntbial: fo i(l (40, 23* ©•) CL rational unb u DC 2)a 
a (AGXGB), !>a« iff FK, bae ift DCXFL, mebial: 
fo til ( I o, 2 3 ; ®0 FL rational uni u DC* SJa D A Ci + 
D GBX> 2 (AGXGB), ba« ift CKuFK: fo ift CL u 
FU ' Semnatt {tnb CL, FL, rational b(o§ in ^otenj c^n^ 
ttenfurabel; folglict) ift (10/74. @.) CF eine 2(pot6me*. 

^wevtette 1 ba§ CF bic fe*«tf Slpotomc fe^ 

2)a ^i«r wiebcr Cl X IL = | D FL, au* Q AGu 
CJ GB, ba« ift CH u CK, folgli* Q u IL; fo potenjirt 
(10, 19* @0'^<^ CL urn iai Cluaitat einer i^r in iimfj/t 
incommenfuraf)e(en Sinie &ber bie FL, ttnb e^ loac roeberCL 
itocb FL beir QD in Sange commenfurobd ; folglid^ ift CF 

©ec 104. ®o^« ie^rfa^. 

3rbe etnec 3(potome f AB, in 2dnge commcnfucaStfe 
£tnte, CD, tfl atic^ dne ^ipotomc/ unb &ei;> Orttnun^ 
na«^' bwfelbe. ^ . * 



Js 



\«rf?# 



99« « &Kii^i ^^(comtie 

CrfHIdl^. Ill AB . ^ — ' 

fige fi(» BE; fo m , %3^^ -^5 ^ 

(ie,74.«5.) AE^EB, ^ UP 

cational Mo§ m |^o^ •  » g  *^t 

commmfiirabrf. ^a^ 

d^ AB:CD=:BE:DF^ M dfo oiKfr (s, 12. 6.) AE:CF 

rr: ABrCD, folgfk^, fveS ABnCD, am^ BEnDF <p* 

AEnCF. 

2>a (s, 19- 6.) AE:CFr=BEjDF, iu* wrw«<bfrfe 
AE:BE=:CF:DF; frt^, wftf AEuBE.ottJ CFuDF, 
o(fe {tub CF, DF/catietial Uofi in ^ofetis mnmeiiftitabei 
foIg(i(& tft(io, 74* 60 CD cine 9p0tome«' 

Jbritte Spotome/ tad tft, potentirt in btr ^r^erfion A£:EB 
;=r: CF : FD, bie AE urn baSOuabrat einct tl^r in iin^t (om$ 
inenfurabelcn {inie uber bie EB , nnb ift enttoebec AE, obet » 
£B / obcr f eine con bepben bet angenommenen dtationoUinte 
in Songe CDnimenfurabel : f^ potensictCiO; 15- ©0 aut^ bie 
CF urn bai Qmbtat einer ifjt in tan^e commenfutabden Sinie 
Aber bie FD, unb e^ ift in eben ber Selge enttwber CF, obet 
FD, obet feinc oon bepben fol4>«c fRationottinie in Jinje com^ 
menfurabel ; f elglicb CD jugJeicb mit AB enttoeber bie tt^t, 
c*er jmcpte, obec bcitte ttpotome* SRan n>trb nuf i^nlid^t 
Slct bcwicfen, ba^ CD juglei4> mit AB entroeber bie timtf 
tber ffinftc, cbei* fecb^te SCpotcme fe^. ^ofaficb ffnb bie 9p»$ 
tomen AB, CD, bet Orbnung md^ immer biefclben* 

JDer 105* @o|. le^rfa$. 

. 3*be etner SDlebialapotome, AB, in ^inge eomm^fb 
4rabe(e £tnte; CD, \\l and) etue SDiebiofapotome, uttb bet 
.f)tbnung nad) bicfcfte* 

(Erfilicfe. an AB . ^ _ 

fufle ficb BE; fo (tub <^  .^ i? 

(lO/ 75. 76. @) AE, ^ c- . j^L j^ 

EB/ mebial b(o§ in ^0^ » *  » '  » 

ten} 



I« 



V 



' t€!^.c«9Witfifit^e(. fRoi^t matt nim ttiilec'AB : CB = 
BE:I>F. M oW.mi<fc|c A]E:EB==rCF:Fnift4 fo ftoft 
tiu(6 CF^ FD,^mebid( Uol in ^oten} tomme^ni6(( ; fotgUc^ 

^ire^rens. ^ «ii« tec jwpten fproi^ctien folgtt6, i.@» 
* finb 5.M-^>DAE : AEX KB— DC]?:GFXFD, 

^ fcffefi* retWJtd?f!hnAE:DCF=:AEXEBtCFX 
^tp Shintft ABnCD, ttnb AB:CD=AE:CF, fofg^. 

- It* AEACF, (ilfr att(^ D A»nDCF* ^(glkfr ifk huct> ^ 

^ AEXEK nCFXPO- ^\i nwn AB bie ecfte ebct §»c9te 

gfrbiaCopctiimer fo, \^ i\o, 75* 76* 60 AEXEB eiwpc^ 

,^cr ^rat^onar,;(^ei vi^iaL $o^ii* ift au* CF X FD in 

eben bet ^olge ehtmeber rdtiooal obet mtbial; fol^iicb ^B 

^ iugteid^ mil AB enin>cbec bie erflf obee bie ^nxpte |!R(^iafi 
apotpme* ^ . . ' - , 

{ • ®«t 'it)6. ^(y%: Ic^tffl^, 

\ Sebe bei- f^cinetn^attotwitteie/ AB, in Saiigc ctmittctir 
'futp6e(e £ttttt; CD, '■^ wAj bie Heinere 3<^tatii>naUinie« 

0« iep dl^, »ie ooc* V d «• 
her: to fmb AE, EB, <= ^-5 iS . 

fol|liC^ aut^ CF, FD, ^' » ■. jj -p 

, S>a AEiBB =*CF:FD, fo ift (6, aa. 6.) D AE jQ 

EB=;:DCF:DFD, folgli* ift (5/ J 8. «) tJetbUflfem 

aAE+nEB;a]^B=rnCF-^aFDrOFD> W«* 

.»ettt>edl(elt-0 AE + D EK: n CF h- D FD = aEB 

: 6 FD. . , . • . . 

' ^ dtutt t^ AB : CD 3=»EB : FD ; alfo, weil AB n CD , auc^ 
EB nED , olfe au* Q EB n D FD. Sof3«**ijit Q AE 4* 
QEBoDCF+aFD; \fi\^m, weU (lo, 77. ®.) Q AE 
•^h D £B Mttontl / att(& Q CF + Q FD cationoL . 



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2)« 



300 



^taUb't (BtmaA 



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EB=a€F4CFX 
FD/fotf^wcmrd^feit . 
D AE : D CF= AE ' 

><:eb:cfxfd. 

»m t» AE:CF=AB:CD/ «6crABntD^^af(b AEn ' 
CF, ^Kfeow^DAEnaCF. goCgfi^Kk AEXEBnEF 

ia4 ( lO/ 34> ®<) 2 (CFXFD) iKtMoIr, . Z>ainM^ t{k 
(lO/ 77.®.) CD>i( lIctatK ^rcattmote. 

iStitonbefetSettgrte. 3«be bet ffetnern 3<^<rtti>noft> 

A, in £&n9e commenfuraSefe £ttite/ ^/((l an(^ tie ^einere- 
3wattona(«. 

di ftp CD dne SRotionaainie, ' 

Mil «n Ui^tfben n A = CE = « ' • 

DC X tF <nt»otf<n, M tlfo % 

(10, loi. 6.) CF bie uictte apos V 

tomtifr/ att<bf<9FQi=DCX 
FHrrDB.  

2>a AnB/ alfo du6 D.A'nD 

B, J>a« ift CE n FG ; a6et CE ; FG 
= CFlFH; foifiaiiibCFnl'H; . 
abet CF W t)im( Upotome, -fofg; 
lic^ (tu<|> (10, 1^04. (S. ) FH tie 
•tette Upttcmt. *fRm hax Cf) jy 
fationat/ ttntBCXRHssoB. , 
9o(g(i(t> ift (i o, 95. ®.>B tie tltifim 3cratt»iwtl(« 

I  . I 

, JDe; io7» @i(»|. Ij^'tfa^ : r 

3^b^ bfr mit €in?m 9lattortofeii<m meblairt 0att|e 
©ebenbett/ ^B ^ in fiange commenfurabefc 2inie, CD, t^l 
ducf) tie mit eiitem 0tariona(en exit mtiiaUt ©an^t @e^ 
Unt>t. ^ , ^ ' > 




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tlAG+dEBmebiaC. . 

afK« 2 CAeX£-B) Mittood. '.Shm tetcb oof i^lriij^'e 9et 
(eniefto , .bafi CF ;FD =3 ASrfiB , la* D AE h- Q EE nt 
DCF+a5UX«lfi*«na<AixEB)na(eEXFa>. 
IpS olfft on* CF, FD, in ^»«fljMw:oramenfut4dri f»fe> fee* 
,rm D CF +QFD mehial, tflec«(CFX¥D>t<it4wial4(t 
, 55!«wiia*ifl;<ip.,78v)20 CD *te mit «iiiem 9miWMit<« dw 

(Cm a»i&ef tc'iSttweia. €« f<9 A. wa« Ab ; unb B, 

Hpit^ cp.,n)ar. .:._•:■,' •'_ •■ ■'■ ■•■ * •■ •'-■"■'■■• ' 

» Wl».a A =»<» 2* DC X'CF, Air 



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a i>a% al(o (10, lott. @.) CF tm'9*-' U ' ^ ^   ■— , 

' =:^ = DC><FH. 

, ti* a A na'B , l>a« % CI a 
F^:.fo «rt au4) iCFnFti, foI^H* 
Cio,;io4. @.) FH fcU fSnftt !lpo« -^ 
tome.- SRun w^t CDiwrional, unb  
;CD K FH =r-a B,, gilglicb i|t i 
(10, 9^.!©.) Bjfeie 4it einenf 3la' | 



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, 6?Weni. AB; in igii^ cpmn|c.nf}»«rf><U Swi*/ CD/' 'ft W<j^. 



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|«:(o|liiH*o»79.€!^ -- 
AE, £B,an fjotens ill* ^ 
co i ii m f w ftM ! < i t>c( ; att<(^fin>-~ 
D Afe + b EB mh 

, a (AEXEB)> l>e9^ mfe}a( ittib tiwommmFucofcel. ntm 
wit* a«f %Ii(^ «rt 6«5ief«, tiog CF, FD, ottc^ q^F 
+DFD/r »e<g<«u;^en a (dFXFDi, tw ^os^cgnionntm. 
wwmlwftttdftrf Pitt; fofglid) tte ecften in'^otenj incemmmfii*' 
tttM^ un&Me 6«9ben (eften oti^ mtii<A mi> auc& incomtnm< 

^ fiiMfelfii*. 2)«inMf« ifK«io, 79. (90 CD We mft einem 
9}«(ia(en ein mebiale^ ®cmie @e6eniK. 

, . , ; SJ«r 169. €Jfli, Icfetfa^.  

SBttb toon einem dit»tionaltn, BC, ein aKebtottd, BD/ 
i)»,4g9«n$mme« : > toitt tit ben SRejl, EC^ ^orenjifeenbe 
. tint btt bti^lbexL^nitlom^Mtni tntmitv im "Upotomfy 
eb(t:btt {(etnere 3t:»^onalr. ; . 

* ; C« f<9 FG tine 
fRationbninie/ unb ait 
becf(«6en BC=GH 
= GFXFH, be<« 
^d^en 6D=r<FK 
r= GFX^/ tnt* 
tsocHen, bd| f o(dIi(^ 

GH, tdtiond/ abet 

BD, aCfo '4u(^ F«, ^ D C G 

inebialit fo ifi (10, a i; O FH caHwiat, iiQb /^ta"; «»ec 
(id, aj. ®.) FI wrional unb U FG/ folgli* <io, ij. ®.) 
, FHuFf. S)einntt* (inb FH, Fi, rational b(of in fitwij 
<0«imenfwraW; folgtt* 1^ (lo, 74. @.) IH £Jn< KpptooK, 
on bfe ft#IF fftgt. - 9lail.pc4eniit!t bte Ffi, i6et bit W, 
entwfbec um iai Ciuabcat ein^ i^c in tinge cpmnwnfmabeicit 
t^ Am iat tian innmmmiwif>tl«t ^t^ 

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*~ ---" 



*♦ 



 



tome; fo{ali(t/ wefl FG tationckf, (ud^ 92.®.) Dic^eaMoilM'' 
KH, Da^iftEC, ^otenjirenbe einc 8Jpotcme, 

. 5ft taf Jtftevtt: fr ift, »e« FH nFG ift^lH tie tiettt* 
^0JU)^e4 fflslitj^t Wil FG rational, (lo, 95* @*>t,ir^ni 
^oiimKHf t>ai ift EC/^^otenjivcnbe tie.Bleincve 3i:r4a»*j 






?Btrb toon etnem SDlebiaUn, BC, ein 9lfltit>nate6, BD/ 
lij^jgcupmrnen: fo entfle^en 8^»«0 anftett 3^^<t(t6naUir 
mcri; cntwcbcc bte erjle SJlebiafopotome', obec bie mtc' 
eiit<m Stattonalen tin mebtole^ ^anje ©e^enbe* "' 

(|^ffl0 FG We a«^ . ' ']fr 

senimiHe^c Station 

iiallhiie/unb aUti miej ^^ [ JZ 

wt^cr lot^rtiirt: fo' 

folgt, l|a6(iO/23. 

©OiFH tationol tinb* 

uFG^-<ijkr(io,2i» ' 

@0 FFrational'iinb' 

nFG,fol(5(ic&,ba8 

(io/ij.SOFHu a1 

FL SJmna* (inb ^^ 

FH Fl, rational Wbfr ' ^ 

in ^tenj commtst^utabA, f^ffi^ ifit {io/74.f|;/)HIeine'' 

ai^ot^me, an He [idf IF ftt^t. Stun potcii)h» We FH, 6,ba btt *• 

Fi/eocwbet nmfaf.Duabrat tiner t|)r Ui Unit tommenfW ' 

caMen pbet iim \>ai tintt incommenfuraMen iim* s 1 

, 3<t ba« «^<if t fo iff, toelt Fi nFG 4ft, HI tie in>e^ 
8fpotoi»(e; fof^i^f weil FG rationol, <io, 93. &0}k ben : 
SHaum KH , ba« i^ EC , ^otetiiirenbe bie (r(h SK^iafap^^ 
tome; ' . ; * « 

31t ba« 5ivevte: fo ijk, toeiC FF n FG ift, HI tie ffinf^ 
teVpotome; foig(i(^, t9ei( FG tatiena(, (lo^ 96,^0 bie. 

: - , ' bf» 





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i04 



<Sii^'< ^tmmtt 



tionalm da nt^iofed @anie @e6(i^e. V ' . 

' SDBitb \>o« einem SKebiafen, BC, tin tocmfetSen income 
nitnfurabelcS 35lcbtgU«, BD, wegrgenommen : fp entfle^ 
l^en bie ftepbert ibrigen S^^^ttonalttnien ; entweber tit 
erjte ^ebiafapotDme; ober bie mtt tmem SRebiafen ein 
mebkiUd &an^z »®e6enbe. 

Sonftcutre toie'i^or^. 
|p»„ S&a BC, BD, 
olfo au* GH, FK, 
medial unb incom!^ 

ifl (6, !•©• unb lo, 
lo. @.) FH u FJ. 
SDeirth^i* finb FH, 
FT, ):att>na( blog in 
9oten) cominenfura^ 
brf;:'fo(8lic6 ifKio, 
74.60HietneJHpo:; 



F_I K 




G~lt 



.tomej, an bic fi* IF fiigt Shin poteniict bie FH, fiJec bie 
Fl , cntp>ebec urn ba« fituabtat einer i^r' in Jing^ comment 
fttt:abe(en obet urn ba$ einec incommenfurobefen iinU. 

:3f* bal^ahrjie : fo Ift / me« »eber PH mc^ Fin FG ifc 
HI bte Mm Stpotow; folglic^, n»ei( FG rationaf, (e<», 
94.^ 60 bie ben ^mm KH, ba« iji EC, V^tcnjimtbe; bie 
itDepte 9Rebi(ri^wtoMv 

3f^ba« 5weyte: fo ifr, weif feebec FH no^ Ff nFG 
ift, HI ^bie fecb«te apotome; fotgttcbv »e« FG talimal, 
iio, 97. ®0 bt> ben Staum KH, ba« ift EC, ^otettjimbe; 
bie mit* einem SO^ebialen etn mebiate^ ®anae 6^ebenbe* 






tDec 



"^tfyttti S8u«^. 



«of 




' ^ie Tlpotome, AB, ijl t>on *er SStttomiale mt(ts 

fic^ , t»a§ AB }u; 

me unb eine ^i^ 
ttomiaI(n>ace: fo 
fc9 bie fKational^ 
Kme DC; unb an 
be^fel^en DAB 

rrCE=CDX 
DE, enl»erf«tt 

SDa AB einc »Dotome, fo ifi Cio. 98- €5.) DE tie «»r{tf 
•poUMne. (gd f«9e 0^ a« biefdbe EF: fo fmb DF/ FE, 

vattonat blog in ^oten; CDOimenfutaM ; Me DF potenjict um 
ta&Ouabtat einer t^t in 2&nge commenfurabelen Sinie Abet 
We EF; unb e« ifi DFn CD* 

t>a niin AB aucb ein^e Sinomide: fo iji (to, 6i* ®ODE 
bie erjte S3inomta(f. @$ fep biefetbe bep G in i()ve SRames 
feri^dt; bog DG*er grb^ete fep: fo pnb DG, GE, rational 
IIo§ in ^oten( commenfurabel ; bie DG poteniict um iai 
Ouabtdt eitt^c i^r in £&gge C9mmenfucabe(en £inten vtbtt bit 
GE; unbe«iftDGnDC. 

©a ^iema* DGnDC, unb DFn DC: fo ifl (19, 
ta. ®.) DFnDG, folgli* aucb DFnFG; folglicb, weit 
DF rational, aucb ,FG rational- gerner folgt aui DFn 
FGt, bag, »eil DFuFE, aucb (lo, 13. ©;) FGuFE; 
foIsUc^/ totii F£ rational, FG, F£, taUonaf b(o§ in $o« 
ten) commenfurabeC finb. Stflglic^ t^ (10^ 74. (S.) JEG 
cine Vpotome ; ober nacb Cbigem EG rational : totld>et fft^ 
offenbar miberf^ricbt* 2)emnacb fann bie 3(potome nic^ )u^ 
^feicb eine S3inomia(e feyn, unb tfl afji) oon birfelben ttu 
fc^ieben. 

tut(i6'« drum. 15 «a4fr* )} 3u$ 






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- 3 « f ^ ^ / 

©ie Tipotome/ uitb bic auf fie foIgtHiben Sttattonat^ 
Imien; ftnb fon>o^I Wn *bei: SJlebiaflmie , oU auc^ boti 
cinanbec fettfl «ntet:fciE)teb«m 

•a)enn ba^ bem ' Qttabwte bet tWebidflinie glei<be /on 
eittet gitfttonallmie entwotfene .IRectanger ^at jut ©reite 
(to, a 3. ©0 eine ji^nec incommenfurabeic 3tatwnalHme > Hi 
bem Ouabtate fcec Slpotonte dbet gleic^e (lO, 98* ©0 We 
erfie Slpctcme; ba§ bem bet er|tett Splebialap^tpmc gleic^e 
(10/ 99* is.) bie jwe^te Stpotome; ba« bem bet jiDe^ten SRe? 
bicrfapotome flfeic^e (10, 100. 6.) t>ie ^^ritte Sfpotome; ia« 
bem bet fleinern 3cwtiotK>le gleicbe (ig/ iqi» 60 We x>\tttt 
UpotoiTie; ba« bet mit eiitem DlaWwwlen em mebfde* ©anje 
©ebenben gleicbe (i », 102* ©*) bie fftttfte apctome } \>ai ^tt 
tnit einemSRebwIea.ein mebidle* ®anje ©ebenbeh gleic^e (lo; 
103* 6.) bie fec^«te apbtome. 8?«*wnteifc^eiben jtcb olfo be^ 
fagte 5rratienallmieri ton bet ecjten, bal biefe jut 85reite 
cine atationaltinie , ton eindnbec felbfi dbet, baft jie ju ©tet^ 
ieti tlpotomen. t>on terfcbiebenen 0rbnungeg gebem ' Stun ift 
li(^, 112* 60.'^ett)iefen ; bag bie «pt>tome Don bet ©inomide 
btefcfcbiebett ift, be^gleidjen (10, 73. guf.)/ bag bie ©Ino^ 
mtale,. unb bie auf fte foJgenben 3ttatit)rtaHirtien un bet !We^ 
biale^ unb Don einanbet felbjl untetfcbiebcn (rnb* $)emnaeb 
finb bee ^ccdtionattinien bce^je^n an bee 3<^^^ «ttb folgen f^ 
auf einanbet: 

I. S5ie SRebiate^ tz^st.^. 
A 2)ietBinomiaie. 37*@* 
3* S5ie etjie aSimcbidle^ 38. 6v 
4* S)ie jwepte Simebiale* 39. @». 

5^ Sie gtogete 3f^*«ti^rt^I^» 40. ©• 
; ^ - ' 6.JDie 






8. SJieSpotome. 74. ©♦ 
9.^ 2)ie erp;e 3RebiaIa^ome» 75* 6» 
' io, SDie jtoe^te a»ct)lalap^otome» 76. ©• 
1 1. J)ie fkinece ^cwtionate- 77* ©. 
12* Z)i€ mit eitiem 9laiioita(en tin mtViaM ®anitJ3iu 
bente^ 78* @* 



; $>a8 bcm fouabtate einer fXationoHinie^ A, s(ei(^ 
<in «inct ©inoimole, BC, tnt»orferte IKectangel ^t jur 
' S5teite/ EF, tint Tlpottrnt^ bit mit bet SBinomiale t^on 
einerlep iJrbnung tfl; unb term Sftamcn ben P^ameti 
ttt ?8inomia(e commenfuraW.^ unb mit ifenett in times 
(ep 8Ser^aftntg ftnb. 



A. 



--^ 






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0. 



€r(iltcb. <S«f«9 

tie ©inomiale BC be? . 
D in i^ce tHamm C» 
ledfgt^.bag CU Dec 
^tb%ttt Stamc ' i^f 

XG; folgii*", »«l 
D A= BC X EF tjt, BDXG == BCXEF/ fofglifli 
(6, 16. 6.) CB : BD =: G : EF. Slun fe^, »eil CB > 
BD, <jlfo au* G>EF iji, G = kH. go(glj(^ tjl CB 
: BD =; EH : EF, foigUc^ (s, 17, 6.) genrennt CD :BD 

= FH ; EF. Ron f<p FH : FE =s: FI ; EI, t>*$ alfo; 
,1 U a 6/ 



3oS (£MVi ^(nnentc 

. (5, 1 a. e.) HI : FI 

=IF:IE. $iAm ^ **" ~ 

ijmi:FI=CD;DB; Ci- 4^ B 

e.)DCDnDDB, ^ ^ ' 

HI n D FI. 9}uit 

tMe HI : FI = 1F:1E, offo (6, ao. gof.) Q HI rDFI 
=r l^i : IE. golglt* ifi (lo, to. @.) HI n IE, folgfit^ 
(lo, 1 6. SOau* HEnEL 

5)0 D A :r= BD X G; olfb, »eif G — HE ift, QA 

rrHEXBD- fr «1^^ n>«f □ A toriond, m^ HEXBD 
tationaK SRun ift (4 o, 3 7. @0 6D rattona(» Soiglid^ ifi 
(10, 21. @0 iHict) HE rational un^nBD) fofgltcfr^ toeit 
HE n Ef , auct^ £1 tational unb n BD* 

$)a nac&OUiiem CD:BD=:FI:IE; fo tft/ todf £1 ta^ 
' tii>nal Oll^ n BD , ati6 FI rational imfe n CD ; fecnec/ toeiC 
(t o, 3 7. eo CD n- b6 , au* FI ^ IE* JDemnot^ fm> 
FI/ IE/ ratioimf i^(0B in ^oten) eommenfura^; folsli^ift 
(10; 74. @.) EF eine apotome^ beren 8iainett FI, IE, bet 
^inomiafe 6C Stamen, CD, BD^ commenfutabet unb mil 
i^nen in iki^tt S3er^&ftnt§ ftnb» 

5wevfen6v 3ii BC fcie ecfVe/ ober jwepte, obet tritte 

©inomiale, iai ift, potenjirt in >ec proportion CD:BD 
r=r Fi : JE> tie CD um ba< Duabrat etner t^ in Hitx^t 
commenfurabefcn Sinie uber tie BD , unb ift entmebcr CD 
pber BD; ober feine ton bepbcn bee angenommencii SXatto^ 
lyiHiftie in ihnit (ommenfurabe(: fo poten}irt aud^ tie FI 
6m ta$ £2uatcttt einer i^r in ian^t conimcnftirabelen {inie 
' fiber bie IE , wnb ed ift in cben ber golge entroeber FI, ebtt 
IR; obec Feine oon be^ben folcber fKatronaUinte in iktiQt 
commcnfurabel; fol^licb ift bie {(potome EF jugfeic^ mit 
bei; Qm^miftlen BC, oon be? erf^n, vUt im^m, ^bcr btit^ 

•  lot 



1 



I J 



l» 



 •  •*■ ■• . 

* iMt BC )U9(<i^ eon t>ec toieMm, obec fiinfMn^ ob<t fe((lt<(i 
' ^ dcbnuttd fep. Sbfflffi^ ^n^ t>i< SSmomiafe BC tu^ Vpotomf 
EF tet CcbmiRd nac^ tmmet bifi^^en. 

©a« bem 0uobtatt vmt 9lotiot«Ktttt</ A, gtetc^e <m 
<{net !Upotom<,BD, ent»otf«n< ^ectongel ^at jut IRwi* 
f«^ IH, eirte ®t«owt^, He mtt bet 7(i>otoroe bon etiwr« 
len Otbttung iff, unb beceii Olanttti ben Olameii be« 

3(poiome comweniuwW; Mnlj mtt i^nen in jUic^et SQit* 

4Cr(lK«b» Ittt bte Slpert* 
liie BD f uge (1* DC, ba| at* ^' ^ ' ' • 

fo (la, 74. @.) BC, CD, B--»^ '^ 

Mtional Woi in fJottnj (fom* t , ^ T ^ 

' Winfutabtl ftnb; audi) fe?k *' " ^ 

BC X G =;= D Ai Wgli** ^ *^ — '■ 

' Mtionol; fi>lgtJ4^/ toeil ^ 
nttorKtl ifi , ( j o, a i . ®.) <i«<^ G tationdt unb n BC. ©« 
BCXG = nA=:;BDXlH: foifi(6, i6.©.)CB:BD 
=1H:G. sftunfep, wcil BC>BD, olfo. duc^ IH> G 
ifl, 1E=»G, alfo «u(b lEnBC. S%(i«^ tjt CB : BD= 
IH : IE, fofgli* 3WtficK<^Wrt;> BC t CD =:iH,; HE? 
SIhin fep IH : HE = HF : FE. gol^fi* ifl (5, 1 9". ©-) 
IF:FH=IH:HE=BC:CD; folaJK^, iwUBCO-CD, 
<iu<&IF'^Fy. 



' 2)ano(t06idemIF:FHt=:JH:HE = HF:FE; ^ 

\ i(k:(6/ 26. 3Hf.) IF : FE = a.IF : Q FH? Wi*, »ftf 

' D IFnp FH ,^ au(^ IF nFE , foIftH* (i o, 1 6. 0.) aui^ 

FI nIE; abct'lE t;«tt»nrt! «nb n BC, folgKt^ ait(t> FI m* 

* ^nol unb n BC. 

U 3 2)0 



«. > 



1 



• \ 



* 

« 

«xi^rttecBCjCD=IF m 

ttH, difo xkttx>c(b)€lt -^'  " ^ I 

BC:IF=rCD:FH; fo ift, igu^if . |C 

loeil BC r\IF, au* CD o ^ E F H 

FH; u^b; »eil BC, CD, ^' ^ i— * 
tatiottal blo§ to ?|>otenj corh ^*"' — ' 

. snenfurabel (mb , and^ \F, 
FH « rawnal bid in ^oteii) commenftttdbeK 2)emiia(^ ifk 

I (lo, 37. @0 IH eine S^inomide I bewn SRamen IF FH. bet. 

'Spotomc b6 Stamen / BC, CD^^cogimeivfurabei^ uvlb mil 
tffnen in gtei^^ec i<kt^lmi§ yinb« 

^xvt^ms. «uf fbftt bie art, »je bepm b^tiyn ®a(je, 
l»itb bemiefen/ bd§ bte SSinomde IH mic bee 9potome HD 
Immi: »9n beifeiben Oi^nung (e9« 



Sebed unter einer Ttpofome; AB, unb etnet SBmo* 
tmale, CD, beren SRamen bep O^amen bet ^p4>to« 
file co,mmcnfucabfI unb preportionirt finb, mifyAtu 
tie £Rectan9e(; n>itb bon einec SHationaUinie 1 G/ pos 
tenjict. 

, anABf&gefi^BF, .41. «< 

unb ei fep CD bep E . -^ ^ 

in tbte Siamen {ecfegt/ C» 



S 



|>a8CEbec9c6tece3ia? ^^ 

tne: fo ftnb nacb ber ' 

Co wu«fe|un3 CE, ED, W '- • 

.ben Siomen AF, FB, !■  ^ ■■■,. , ,,■, 

commenfucabel/ unb CE *^ 

:ED= AF:FB, au« ABXCD=: Q G; dfo ju bdoe^ 
fen, bag G eine fRationaUinie fep* 



 



«i 



t 



\ 



Mnm IMh^ III 

9i f09 ettie JitdttpnaKtnte fi/ iwb M tee CSX N( Mi 
D H gleic^ tXectangd CD X K enti90«feii: fp ift (lo,^ 
113. ®0 IK ettie Sfpptome, beten Stamtn IL^ LjK, beis 
f&iniHntaleSRametiCEi; ED^ ^ommeitfuraMfinb/ ad4^ CE; 
: ED = IL : LKs Mg(ic& ^ toeit nac^ tee S3^fwt«fe4unfl 
CE;ED ^ AF : FB, ao* AF : FB 5=IL ; LK, fol«^ 
B*Deiwecbrrft'AF:lL=FB:I.K, fo(glict(S/ i9-®) 
AB : IK = AF : IL; folglic^, »eil AFnlL, w^ AB o 
IK. s|J\ijt i^ C$. 2^ ©0 AB:IK = CDXAB:CDX 
IK. golglicb ift CD X AB n CD XIK , ba« ifl Q H n 
Q G; fofgljic^/ »ei( p H tqtimo^, an6) p G^ olfo auc^ 
d^ ratfonat 

t>ifrau« e9gte6t fk& tie SOt^gfic^feit dne9 c«i0fia(m ttttct 

3l?i:atioaaIlinien jait^ajtenen SRcctangeW^ 



"5(u« einer aJlebioUinit, A , f6nnen unji^Hge ^ttath 
nafiitnten entjle^eri; Doelc^e nrit feinejr t^et ^or^er^e^en 

<S« fcp eine 3vatip^ ^ _ 

naISnieB,folgIict(io, *" 

39.®0AXBiq:a^ ^- 

tmal , C-^ 






/ 1. 



•«MH«WWMHnWMlMiM««Mrta*a««««^MWI 



gjun ^ A X B. XX 
nC:foiflCo? 



mm^ LJ W  |V »||. V* VI? ' • ^ 

fie 3trationaIfinie , abet mit tmtx btt Doc^etgel^ben eiiteiss 
f e9» ^ 2)enn f ein £iuabrat Irgenb einer teot^epge^enben gicfet 
tfoe SffebtdnifHe, mt <ui^ bea 0&Qen 6t bii /$^a usb 9*S 
ttd 103 et^etten 



/ / 



fis 



9mfji9immt 



B - 

C- 



qD: i^i^tmt 
kt D fine 3ccatto; 
iMlNnif/ nnb mit f(i« 
net bet Mc^sf^ens 
ten cititctep; ba tcin 
ilttobtot itgcnto einec tct Mc^ergc^cRbm bte ^tbnaOtKii 

Cfliebt. 

JDa fUk bkfe ®<((fiff( o^ne eiib« fiMtfe^int ia§m: f» 
9(^(t man, ba§ man ^etbDcc^ tins&^Iise ^ttotionaOiiiKii 
(t^oltm eonn, bte aOe bon b«n bet^se^nbni «e(((^ 
bm fmb. * 



I « 



< / 



a)ee 117. €J<»I» i<fe«faf 

3tt i'«b<m duabrate, ABCD, tjl bH $)ta8onat«, AC, 
bet @eite, AB, in 2&nde tncommenfucobef. 

. C< f(9/ tt>ettn (^ m6dfi(^/ 
AC n AB , m ^<Sf «Ifo AC, 
AB/ wie 3<i^((n Det^Iten. 
fi«fe Sahlen fepen EF, G, nnb 
(tDOt bW neinftm in fol(t>ec a3ec« 
^tnii, bat alfo EF : G = AC 
iAB; fe(gli(^, weilAOAB^ 
au<b "EF > G, mm EF 
ni(^tbieSin()(it, alfo einc 3a^(. 
IDa na4)'tbt3er ^jMropoctiwi aucb 
EF* :G' = a AC:aAB, 

obtt (i, 47. ®.) a AC = 

a D AB: fo ifr otnb EF» = 

«G% fo(8li4> EF% folafi«b .. 

(tj), 3). 6.) wt^ £F. (ine gerabe 3a^(/ »e((^ in H ^ 




E- 
G 



H— F 



; • . 

:tic|) ^rtmid^len )u eiMit^et fitb^ abet EF g<r«be ijl: fo fana 
nid^t otic^ G ^etdte fe 91! ; ijpetl fonft EF; G, ^n bee 3a()( 
}me9 ^emef en wScben ; mekbeJ ; n>ei( fte 9«mial^(en ^u ein;: 
onter finb; tmm6sit(^ ift 2)emna(^ ift G »ngerabe« 

»a EF in H ^dlfetrt, alfo EF = 3 EH ifi: fo' tfl (8, 
ii. ®0 EF»c=:4EH% folgli*; »ea a G^ =:EF^ war^ 
2 G« =4EH% foIglic^G* =a EH% folgli* G% folg^ 
lid^ (9/23* ®0 aticb G 0ecabe« SRun war na(b Obigcm U 
dttcb unget(ibe ; n)e(4)e$ itcb offenbot wtberfpric^t SDemna^i^ 
ifk e« unm6dlk^, bii§ ACn AB; folslic^ jfi ACuAB* 

^*fi anberer Betoets^ ©« Ci/ 47- ®0 D AC = 

2 D AB, fDlgliA.JKb D AC, D AB wie 2 gu i, alfo nitbt 
trie Ciuabrotitt^en ^et^oten: fo ijt (16^ 9. ©0 ACu AB. 



Ttnmerfung* 

|)at man jwe^ iJ^- a 
commenfurabele ginien , ' . * 

A , B , gef unben : fo lafs ^ • ' ' 

fen ficb aiK^ incommcm B'"   ^ 

futabele giguren finbem 

2)enn nimmt man )tDif4)en A tinb B bie mittfete ^ropoctto^ 
nollinie C: fo iji (6, 20* @.) A : B = §13* auf A : gig. 
duf C; e$ mbgen htmbiefe ^igurcn £iuabrare, oterat^bere 
&^n{tc^e getablinige Si^ttren, obet du(^ Sxeife mit ben2)ttrcb^ 
meffem, A, C, fepn; »eil, toie (12, 2. @.) betoiefen wew 
ten toirb , bie Sceife ftc^ mie bie Ou abtate tl^ret S)ur(tmef^ 
fer t^et^alfen* jOemnacb |>at xctOiXi aucb §tgtiren gefunben^ 
hie untec einanber incommenfurabet finb. $0(3(1^ iaffen 
fi(^: au<)> bergteic^en^ Sbi^ec finben. S)enn ^etlt man auf 
, .' . . Us obifle 



« > 



1 



I 



\ 



3t4 . e»it&b'»&mmi ^OfitaSM^ 

faim&cit ober ^^dta, Segrf ebft C^fmbet fepn: fo t>er^ 
fen fUb biefe me t^re Omnbfl&cj&eii, toefcM (ii/ 32« &. 
itnb 12/ s* 6* II* GO betoiefen n>erbeB totrb. Scmiia^ 
fmb bieje S6rpet commenfitrabef ober incommciirttrabcl, jr 

oac^bem e< fl^rc @ninbfl&(^ ftnb* 

# 

{)tetatt< etl^etttt bami; bai bie Gommenftirabifttit imb ^ 
CPmmenfucabtlitat nic^t nur bep 2int€n unb ^lac^ett^ fonbcm 



(imWi 



» . .« t. 



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«»5 



€ u f (i ^'1 € I e m e tt t e 



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e r f r a r tt ti g e tt. 

i; VinKorper i% waiiatt^e^ SBwtte unb ?iefe l^af, 

3* ©negcrabe fi^lhtc ijl auf eiwcr iCbrtt^ perpcnfetV 
fular; tt)enn fie ntit oUcn fte trcffenbcn, unb in 
folc^ct 66ene liegenbcn, jerabcn Sinien r?(i)te5CBms 
fetmact^t . "' 

4* @ttie iiCbene tfl auf tiitet i&otnt perpettbthttor^. 

tt>enn bte trt fcepbec 9cmetnfc^aftUcf)en ^urrfjfc^mtt 

in -ber eincn @bene unter red)ten 5B5mWn gf joge* 

nen getaben Sinien auf bet: anbern @6ene perpenbU 

' fulat (tnb» ' \ 

5. Stnet gi»4&en Ctme netgutig/gegen emeiCbetie 

ijl bet fpi^c 50Bi«W, ben fte mit ber burc^ bie feep^ 
ben 93unfte gejogenea geraben Sinte mac{)t^ in be^ 
ten einem fie fefbfl ^ in bent anbern ober , bet bo« 
finem t^tet; ^^unfte auf bie^ene gef&Ute $erpe»^ 
bifel bie gbene trifft* ' ' - ' 

6. iStner (Cbene Hetgung segeii eiite £bene i^ bee 

fpt|e ^nfe(; n>e(d)en ixoiXf gerobe £inien etn« 
fc^lte^ett^ bie in bepben (Sbenen on',bejg gemeini 
fd[)aftUc^en^ur^fSd^nitt iintet rec^ten ^inf e(n^ unb' 
%xo^i an etn(rle9^unftbcpben/ te^ogen n)erbem 

7* 3»«» 



I 

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J5i 







t ot pel it cb it Yvwf il *jaK 4nit} iS ki 

t«r/ t&ef::^^ c^ m aan'i^ ^oir jb finov ii Si? 
MIS ^\:rHe ynatmtuxrrlfm^ Ctm as fimr 
fi4l€r1ltB ofHmifeMB vcmiacB^rat cfecBDiSl^ 

|tf lit^fiS/ an (^mm^^mltit lu 

1 3. (Ein Ptiu$u 1(1 €tfi ^irpn-, bcgniiit 

tocrm 4n>€9 ^tum^ fcgeitd&cr licfvibe ffndi watb 

^ramim finb* 

s 4. (Eine lUigcl/ Spbaera , ift bcr ^itver, ivc(i^ nb 
fd^foffett mtrb ^ wmn tin J^fbfrcto fti^ nm fttimi 
utitmiidun t^urc^meifirr rtngditm tre^ 

15« !Dte Sire &rr linjlM ifl bic untmrr&ftf Ctme/ ttm' 
mi^ tn J^likcii i^bte^ morben tfl. 

xe.ldtt tnutelpmh Der 2Usge( tft eiiter(f9 mtt bent 

1 7. ^tt Dut^mefletr ber Kugel tfl jebe butd^ il^eit 

9Jtittflvnnh moitne unb an betfi>tn ®etteii ban 
bet Siu^iflhtijt Sesrattjte gerabe Einte. 

18. ®n 2^cgel/ conus, tjl ber^6rpet, wcfcfeer umfc^Ioff 

fm tbirb; »eiiii jtic^ em ud)tu>intliitt trianad/ in^ 

bem. 



^^ 



o 



®lf«3 95ttc^* 317 



,. bftn «ne frfher ttmbett tet^ 5pSiiiW Kegenbm 

®ettert tint^ernlrft fcleibf, ring*um bw^et* 3jl 

biefe unberriirfte @cije ebeh fo^^ gtog , obetfWner^ 
' , obec gt6^er, ai$ bie onbe« an bem rec^ten SDBtnfct 

licgenbe, ftc^ mit umbre^nbe ; fo ent jle^t im er jlen 

^otle ein recbttPtnEitget:, im ^mepten etn (iimipff 
' wmtltger ^ im britten ein jptQtx'tntltget ^egeL 
19, ®te 2(jcc ^e6 ]^egcl6 ijl bie unterrficfte (^eite, urn 

 welc^ bee ^riangel jjebre^et tvorben j|l. 
ao. I)ie'C5run^flacbe bee Kegele ijl bcr toon ber an^ 

bem (ic^ umbre^enben (Scire befc^riebene Siteii. 
21. Sin CvW>^&cJ^ ij^ ber 5^&?per, tDcIc^er umfc^Ioffen 

tt>irb; tt>enn fic^ dn ted[)ttt)tnKi9e6 ^Jorallelo^amm, 

inbem eine feiner (Bdun untoettdcf t bUibt, rtn^^um 
- brevet 
a a* ©ie Zkc b« €vKft^er6 ijl bie untoeirtiScfte ©eite, 

urn tt)e(d)e bo^ ^rallelogramm gebte^t motben if!. 
a J. Die (Bruitbfiadben Oee C^plirftJcre ftnb bie ^reife, 

n>e(c^e tomi belt be^ben eiminber gegent^bev tiegenben 
. um^ebt^^etefi &eitfn ^fc^iefren m>t:ben ftnb. 
a 4* Ztfyitlictoc Kegel unb Cyliftber ftnb, beren ^reti 

ben X>nt<^meffei;n ber ©rmtbfl&t^en inropottionitt 

finb* 
ss» (kinXOntfti, cubus , iji ein toon fed^S dteic^enOnoc? 

braten begtanjter ^6rpec 
St 6. (Sin (ErtraS^er i{l ein toon totet steic^en unb glci^^ 

feitigen "i.mn/^tn bestonjter ^5cper.' / ^ 
13 7« Sin <D(eae^t: ifi ein toon ac^t sletd^ti unb ^leic^^ 

^ feitigen ^tiangeln begwnjrer ^&rper^ ^ 

a 6* Sin 2>ot)!^ta€&er ifl 4in toon in>6(f gleid^en/ f (eic^fei^ 

tigen unb dleic^minfliden ^entogonen ^initee 

:R6rper, 
39^ Sm 3to(aSbet i{l ein toon jn)anji|^ sleic^en urtb 

gteid^feitigen l^riandeln UivhriiUt ^(rper. 






31S 



' <Esifiib'« fBiimmu 




fBon eifter ^ttahtn Sisite Krft iit<^ fin @l6(f 
iShait, tmt) em onbere^ iiibrr bcrfrttnu 

®»n rt mogfic^, fo ftp ABC 

6t&cf AB in etner (?6fitf , ta^ 0t&f 

BC ahtt hbtt berfrfben Hege. 8et^ 

(angett man ta^ Stucf in ber Sbt^ 

ne, A?>, bie D: fo (fatten 6ie ge^ 

tdten ftnim ABC, ABD, Jw aft^ 

fcbnitt AB gemein/ toe((^e« nictr miglcit tfL Z)emi jm^ 

^era^e {tnien (onnen nut in ^incm ^unfte tufanmifntrrffhi, 

tittt fatten %ani gnfammen. 2)emnott) Fdnn oin^ ntc^t Mt 

dnet ijerd^en Sinie m OtM in dntr iibm, m onbftrt ^ 

^eU^enlifgem 

gwep getabe ginien, AB^ CD^ hit etMitber fiBl|ti(t$ 
ben ^ tiegen in &nn ^bmti autfy |fbtr !lrmn«e( (iegt m 

. aHimm In EC, EB, ttrflie%sf 
ficbe qjunfte, F, G, m^ }iel^e 
FG/CB. 

, ® Are nun torn A ECB ein 
Ctucf EFG in eincr @bene, 
tai fibrige FC6G af^er &bet 
beifelben: fd wire auc& oon p 
ben gtra6en 8inien EC oberEB 
ein ©tiiof HF ober EG in folii^et @6ene, em <iftbece«PC 
cbcc GB fiber berfefben, n)el*e« ; ii, i. eo nnmbgU^ ijl 
-- a>emna* liegt ber ganje Jrtangel ECB in (gmec gbene, in 
»''ict)cr alfo Jtft, EC, folfllict> (xi, i. ©0 awc^ AB, CD, 




^(t 



y 




I 

^i^neitoit gwep (gBeiten, AB, BC, einanber; fo t^% 
6emcmfd[)aftli(|et 3>utcl)fc^nttt, BD, eine gtraDe £ime% 

fetne getatc ^nte: fo fep ton D 

ndifr B in bet @{>ene AB eine ge^* 
, raJe £inic DFB , unb in ber (S6e^ 

ne BC eine gewbe ~8inte DEB, 

^a§ aifo be^be einette? ©c&njeii 

If&tten, f olglicb einen 0taum BEDF 
' ^nftbtfffertr «^*e#,(i, la* 0.) nlc^t miflti*. JJemnac^ 

ftnb DFB, DEB, nicbt gerobe Sinien, tinb (kvA gleicben ©run? 

^M attx^ Mne anbere i?on D nd(b B geiogene tinten dufet 

DB f bjem gemonfcboftficben Ztetct^fcbnitte bee be^ben Sbenen^ 

^olglicb mu§ biefer eine gerabe Sinie fe^m 

(Sine gecabt £inte^ EF^ bte auf jwe^ efnantxt fi^tteis 
fchtbctt flctabm &'men/ AB, CD, tnbe»ett getneinf^afts' ^ e* 
tt^en ©utdE>fl^ni(tte, E, petpwibifutac fle^ft, ijl auf 
to«t burc^ biefe £tntett gelegten ^^bene )xt:t>enbihtiar. 

gRa*c EB bee EA , unb ED . 
t«i EC grritfe , unb jie^c butc^ ^ 

E in bee @bene ber AB anb 
CD wiHffi^li* We gttrobe «ime^^<^ // | \\ >^C 
GEH, jie^e au* AD, CB, befc '■ 
gleicben eon eiitetn in bet EF ^ 
frdiebid genommenen ^unfte F, 
tie FA, FG, FD; FB, FH, 



;i. 




fl 



- 3n bert AA AED, BRC, ijt AE=t:EB, ED=rEG, 
tmb (1,15.0.) AED = BEC. SoigUc^ iji ( i, 4V ®. ) 
AD = CB , unb DAE £:: SBC 

•  . . 5« 



I 




340 SidHiVt Gtonnite 

# 

3r ftm A A AGE, BHE, i(l 
^knwK^ DA£=£BC, mib (i, 
] 5. 0.) AEG =: 6EH, aw» 
i|^ AE = EB, So(dli4> ift (i, 
26. €5.) GE = EH, unb AG 
= BH. 

5n >f n A A FEA, FEB, ^ 
6(9 E xeAtt SDinfd, aucb t^ AE 
= EB, £F= EF. %ttdii^ ift 
(I, 4. 00 FArrFB. 

3n ten A A FED, FEC, {{k onf d((i<^ dn> 
= FC 

3ii bm AA FAD, FBC, ifi olfo^^tna* FA 
FD=FC. man mat atu^ na(& Ofrigrtn AD=:BC. S«ly 
li(^ ifl (I, 8. 00 FAD=FBC. 

3n feenAAFAG, FBH, ifk l^l«tiw* FAD: 
0tun war nac^ Cbigcm AG=:BH, nut FA=:F3. 
W«jfi(i/4.<50FG=FH. 

3n ten aaFEG, FEH, (nMi<^ ifi ^iernoA FG: 
«tt<t> ift FE bepttn sctnein. SRun »at ikh^ OMgm GE = 
EH. goIflH* iji (I, 8. 00 GEF^sHEF, folsfii^ EF 
auf GEH in E petpentifular. 

fluf h^nti^ «ct »tcb seteigt, ^& EF auf jeter (ink, 
tie toie GEH (n tec Qbene txt AB tint DC tucc^ E «(|o« 
«en ijt, pwptnbifurac fe^. %riiU4 tfk (ti, 3. 9,) EF ««f 
tiefec (Stent pecpcBtihiUic. 



FB 



'f • 



FBC 
FHj 



^bf au« etnem ^unf te, B, ou^gel^enbe ittaht «,u»«v 
BC, BD, BE, <iuf oeld^en in fo((^m gJunfte eine gccabe 
£(nte petpent)tfu(ac ift, ftnb in Sinei: €6ene. 

$S)&re tiefet nictt/ fo fepen, mnn ti in6^i4^, BD, Bl^ in 
BC atet fttec tec ®nintetenet SSivt nun tie <Stene &ut<t 

AB/ 



«iH*^3fett|t. 



391 




> 



eb^ite in eiitec gcrabenJinie^ BF, 

iiit( e^ itnb in bet barauf fte^enbeit 

<S6ene bie ge|:abfn Stnien AB^ BC^ 

BF. sjiun ift AB auf BD, BE, 

alfo 4i^f bet @cunbebene, folfttic^ 

(i I; 4. ©0 au* auf BF, perpen^ 

bifrtfai;, alfo ABF = 9l*; ober 

au* ABp = fk. golftli* wire ABF = ABC ; toeltbtt, H 

ABF, ABC in ®ner Sbene fmb, (i, 9. @0 unmoftli* ifki, 

Semna(jb ift 6C nicbt in finer anbern Hbcm,, ali BD, BE^ 

foribecn mxt \f)ntn in Q^inei: Sbene. 

3wei) auf be«fef6eit (gbene wrpenbtf ular fie^enbe gera 
be Sinien, AB, CD, finb parallel 

e« fe^en B, D, bit^unfc 
te, n)orin bie ^erpenbifef 
Me €fcnf treffem gre^e 
BO, errid^te in foid^ec 
<Bbcne auf BD in D ben 
^eiyenbif el DE , macbe DE 
1= aB, unb jiel^e BE, AE, 
AD. 

t>a AB auf bet @rt}nbebene perpenbif u(at , fo finb (i r , 
^ 3^ ($0 ABD, ABE, tecbte SEBinfeL au« eben bem @tunbe 
jtnb auA GDB, CDE, tecbte ®infe(. gjun ift ABrrDE, 
unb BD=:BD* gdglic^ iji (1,4- ® ) AQrrBE^ 2)d 
^[^ietnacbDE=:AB,ADrrBE,AE=rAE: foift(i,8*®-) 
EDArr ABb=:3l,; alfo ED auf DA pecpcnbiPuIat ; abet 
audi wf DB, DC. Solglii^ fmb (i i, 5* ©0 BD, DA, DC, - 
in @inet Sbcne, in welcbet (11, n. ©•) oucb AB ift &tuh 
finb APD, BDC, tec^u ©ii^feL gofijli* iO (»/ 25. ©*) 
AB bet CD^patoHeL 




X 




in^cp 9^raUetttnten/ AB, CD, inrbmbct, i(l mtt ben ^ 
foQeOUiien in etnerUp &tnt. 

fb fe9 fie fiber bcr i l 

ffbeneber^acaUelen; 

ti>ieEGF.2eseburc^ 

(ie eine @bene , mU c 

<be(ii; 3*©.) bit 

®iatnbebcne in einet 

geraben tinit £F fcbneibet, bie affo mit bet geraben fak 

EGF emen Svautn einfcb<ie§t, n>e((be< (i, 12* O.) mmip 

ficb i^* 2)emna(b i(^ bie getobe tinte itoQcben ben ^iAt% 

£; F; nicbt fiber ; fcnbern in berfelben 9beiie; in tPc(<|Kt Mr 

^arattettimen, AB, CD, ftnb. 

^|l t»Dn iwe9 ^oradeKtnun/ AB, CD^ bte eftu^ Al^ 
ottf trgenb etnec (Ibene perpenbtfufact fo tfl att<l|^ tM am 
^erc/ CD; auf birfe(6en (£bcne perpenbtfulav. 

<SI fepen B, D, bie ^unfte, 
ttortn bie f^atatteUinien bie Sbme 
ttcffen. 3ie()e BD : fo (tnb (i i^ 
7. ®.) AB, BD, DC/ in ©net 
@&ene. ^rric^te in bee ^runb« 
(bene ouf DB in D ben ^etpen; 
tifel DE; mdc^e DE= A6; unb 
IJKf^ BE/ AE/ AD. 

S7aAB auf ber@tunbebene petpenbifuIitC/ fi) i^Ct i, 3.9-) 
ABDc=ABE= 91. Unb »eil AB, CD, porolW fin^, (♦ 
ifiCi/29-0.)ABD + CDB=afR. giunifkABD=3t, 
fofgfic^ ift au<^ CDBs^ SR,, a(f9 CD auf DB petpenbifnlat. 

16a 




' J*   . ^ • 

/ • - ■^ 



Wtftt$^a^» /."Sit 



»tt ABi) =r EDB =: 3J. , ABsirDE, BD=:BD: fo . 
i(»(i,4^6.) ADspffi:. 2)a t^i«ma6> DE=ABy AD 
=£ Bg /AE = AE : fo i ji. (i , 8 . ®0 AB h :p ED <t . 0iu« 
ijt ABE = m. golglic^ tji oa* EDA = «R. , alfo ED auf 
DA perpcnDifufdc; aUt, twiIBDE=SR., auc^ ouf DB; . ,» 
folalic^ (I i^ 4« ®«> auf in @&ene turtt DB, DA; f olglii^ 
(li; 3. @0 M^ dttf DC; i»(M>e mit krm Smftset ADB 
in ©net (S(>eRe ift; weil fk nac^ Cfrisem nut aB^ BD; in 
limn @M( ift. S^rnnac^ ift CD auf D£ |>etpeiit)ifu(ar^ 
at>n nac^ £*i3ero aui^ ouf DB , folgli* (1 1, 4. ©.) ajif ^ , 
66ene t>uixft DE, D6; bad ifk; auf eintclep (S6ene mit AB. 

^it 9. ^«i fe^rfaf. 

©ie-gewben 2inien ^ AB, CD , »dc^e einor unb htt^ 
fribm ftewben £ime, EF,, mit bet fie hi(^t iii etner^ 
(e^Sbene (iegeti; )>ataSe{ ftnb, ftnb auc^ einattbct: PQf 
ralleL 

, SRimm in EF tojttfSd^ti 
tt<l^ einen $utif t 6/ etri(b^ 
teauf EFinG^ bi^i^e^ 
penbifel, GHmbetgbe^ 
tie burc^ EF, AB, unb 
GI in bet Sbene ^urc^ 
EF^ CD* 5Da ^iematb 

EF auf GH,' Gl, alfo (i i;4- ®0 <t«f ber @6ene,bur* GH, 
• ei, })erpenbifuJat, unb bet AB parallel tft : fo ifl (i ivSt ©♦) 
AB auf betfefben (Sbene pecpenbtf u(ar. 0?un tfl au< eben ben 
^^&nben aucb CD auf biefee @6ene peepenbtfa(ar« Solgii'c^ 
fttib (I i, 6. ®0 AB, CD, paeattefv . 

^n)«9 in b«tf4>(cbenett S6#nen Ke^cnbe SBtrtfet/ ABC/ 
DEF, bte toon porallelen Jlinten, AB^DE; BC, £F, etn* 




324 



SuHit)'« Sfemeote 









DE, BC 



F 

EF: 



«a*f AB = DE, BC=EF, mh 
jie^AD,CF, BE; AC, DF. 

Z)a AB, D£/ q\d6^ mb pataMi fo 
flnb (I, 33. @.) 0^* AD, BE, gtei* 
tinb patalleK Stm jlnb aud eben (m 
@r&nben CF, BE, glek^ nnb pacaOeL 

gDlgli* pnl> (11,9- ©• »nb i/ 1- ®-) 
AD/ CF^ pataM unb gletc^; fofgltcft 
(i/ 33. ©) ^w* AC, DF. 2)a ^ier* 
nac^ AC = DF, mi m6> Ofrigem AB: 
foift(i,8.@OABC = DEF. , 

Ttuf^ine gegebene Sbenc \>on etnem iiSer betfelben 96 

3" >t gegebenen Sbene ^4 .H 

gie^e miVX&fycUdt eine ge^abe 
?inieBC,unbfilfe(i,i2.@0 
auf fte ben ^ecpenbifel AD* 
3fr itun t>k AD auf ber geu 
g^^nen @bene iKcpenbifulat, 
fo ift ha^ SJetfonglc geleiflen 
3ft fie c« abcr n!c|)t, fo ec? 
ridS)<e in bee gegebenen (56ene 
(I; 11.6.) auf BC in p 
belt y ecpenbif d DE; unb f Jllc 
(i/ 12* 00 au« A auf DE ben ^etpenbifet AF: fo ifl bie? 
ftt bet Dedangte* 

©enn jre^t man (i, 3 1. @.) bur4) F bie GH bet BC pa* 
taOel: fo ift, toeil BC auf DE, DA; offo (1 1, 4-®-) <»«? bet 
epene but<3& DE, DA, perpenbifulac, (i 1, 8. @-) <Juc6 GH 
aaf biefet Sbene, folglicb (i i, 3* ®0 auc^ cuf Fa, tDctAe 
bie GH in F ttifft^ unb in ber (Sbcne butct^ DE, DA ijL 
©emnacb ift AF auf GH, petpen^if ular ; abec nac& OMgem' 
ou^ auf DE, folglicb (i i/ 4. ©•) auf bet (Sbeni buw^ GH# 
DE , alfo auf bet gegebenen 6r&ene» 




B 



J*- C 



y 



7 



}(uf etttet dcgeienen (S^ene aud einem in t^erfcfbett ^t^ 
gebenen ?)unfte, A, etnen ^eTpent)tW ju -erjric^teiL. 

giimm &6er ict (SUm irgen^ 
ernen»1>unft/ B, fiUe (i f ; 1 1. @0 . 
jDon t^m cfuf (ie (Sbene teit $er^ 
penbif el BC^ unti jic^e ( 1 , 3 1 . ®0 
tutct^ A mit £tC bte AD paraUel: 
fo tft (iefe (^v i^etlop^te ^ecpem 

!3Det!n ba AD| BQ paraKef^ itnb CB auf bet gege6enen 
tbfne petpenbifuliH? i^i fo ffl (llir 8^ ®0 au(^ AD «i^ bi<» 
fer @6ene perp^nft^ifulac* 

S>eif 13. 0<»|. ie^tfaf.- 

Tluf eincr S^ene fonnen ai\$ etnem ^Jwitfte, A, m i^r 
ntcf)C jtt>e9 ^erpcnt>tf e( on etncria) @eite erric^tet w^tben* 

S^fepen. menne^m&dltc^. in 

A tit ^epben ^etpent^^I AB< AC, 

duf ber @(>ene «n einecle^ @eite ec? 

ric^tet Xegt man nun but* (te ein^ 

(gbene: tofcfcneibet biefc (i i^ j.@.) 

'bie Orunbebene in finer gewben 

ginie, DAE, ^inb e^ finb AB, AC, 

AE, tn ^inet Sfrene, Slurt ftnb (u, 3. @.) BAE, CAE, 

re4>te ®inf el, n)eit AB^ AC^ ouf ber iSbcnc, in melc^ce AE ip, 

perp«nbifulac finb. SSolglid^ torn BAE = CAE, melc^e^ (1, 

9. 0.) unm6glid) ift. 2>emna(^ f6nnen nid^t AB, AC, jugteict^ 

mif berfelben @5ene in einerlep ^unfte A pet;penbifulav fepn. 

S)cr 14* @a^* iel^rfaf* 

.^&enen, CD, EF, ouf welc^en biefelbe gerabe Sinic; 
AB/r perpenbifu^r ifl; fipb parattejL 




'^ 



'I 



^ 



x 3 



!S&« 



' I 



I)< 



^uWi 9Ummt 




fit genusfam enoeitett ittTammeti/ ^nt) 
f(&ninen einanber (i i, 3. (S.) in einei; 
geraben {inte GN. SKmm in GH C^ 
cinm mdf&^tltc^en 9"^^ K , unb 
|te^ bte gembm ttnien RA^ KB, in 
ten tttotitmen tbenen CD, EF« 

SDa ABtittf EF, folgK^Ci i, 3 g.) 
M(& mtf BK petpenbifttbir : fo t^ 
ABKzrfR. Dion ijl aitd eben bm ®rttiAe ou(& BAK =9(.' 
Sol^licb n)&ten im A KAB ^mt) SBinf el tufammen (toep tect; 
ten d(et4/ n>e((t)ed (i/ 17. ®.>tittm6s(t(& ifk» 2)emna4 
fifinen bie Qbnsen CD> £F/ nie iufamm^Dtteffen/ tu^ fM 
f clgli* C 1 1 / 8- <J?0 ipa wttd* 

; ©ittb bie getaben gmien, tt>tt^e jwet^ SBinfrf tn befi 
fc^iebenen ^btmn^ ABC, DEF, etnfd)tie§«; parattel: jb 
ftnb bie ^benen, AC, DF, in Herteti biefe aBinlet ttesert, 

gille (i I/, 1 1* (S.) tjon B auf 
bie 5bene DF i^n ^erpenbiW 
BG.tinb jie^e (i, 3 i,6,>buwb 
G in fo((^er @bene mit ED bie 
GH, unb mit EF bie GI pataHcU 

SDa BG auf ber @&ene DF 
|)et?penbifulac/ fo ift (ii,3*Qt) 
BGH=sR»=BGL Slunift 
A6 bee ED, folglic^ amb (i i/ 
9;85 ) bejGH paraKel, olfo (i, 
39. @.) BGH+ABG = 2 91. gofstic^ t|l ABGr^gt) 
olfo GB ouf B A )>et)>enbiru(ai; ; obet dtt« eben ben @i^nbeR 
Ott^ auf BG; fotgli^ (i i/ 4« ®0 <^ttf bee (Sbene-AC* SRim 
ti% nacb Obigem GB avi6f auf bet Sbene DF perpenbifidAr. 
Solgfic^ Ihib (i 1/ 14« ®0 ^ie Sbenert AC/DF, pavafieU 



Br 





* '' 




, imm-maaitUn ^8«ie«, AB, CD, ©utc^ft^mtte^IF, 
G^ mtX etnet: ttitteit S6ene, EFGH, fmb iMtatteU 

®ite« EF^ GH, nk^t p«* 

tsM, f» tt^en (i( ienusfant 

wriittfiwt, <tt»4 t» 1/ jufom* 

own. ©a(H/ 1. 0.) tie ge* 
, t*b« Sinle fiFf , 9<m, «'(<>• <«»* 

fcet f aid* I / io tw Sbwe AB, 

uurib au« tenfelftett ®c&nlett bee 

^unft I in ttt! <ibm CD ijt: 

f» ttifen We Mbttm AB; CD, A 

aenudfon ettoettfcl 2uf^inwe% 

tB<i(^f iNOi Sbidtnomwaieii wv , 

feerfptic&t, 2)emiw*f6niietvEF, 
' GH, nit^t a«f bicfee @eite,. unb <»«« eften txn ©tfinbeft awft 

ttlt^t a»if t>(K cnt<je9.en8efett«i 6eite,, ittfammeotteffm, w^ 

' SnwpiSeW £tnien, ABy.CD, wecbeti toon pawKetm. 

3re^Ae,BD,DA,t»ni q. 
fcenen bie le|tete but^l N itt- O^^^ 
IK ge^et ; jie^e EN^ NF. 1 4 ^ 

Z>a (II, 16* ©0 bet 
ebeneENDB, 2>«e<bf*n»t« 
te, EN;j,BD/ mit bca patofc 
letcn <|beiHttlK, lM,pct< 
•wilelirnb: fi» i|i (A, 2. ®.) 
AEiEB=AN :ND. mm 
' ifl au,< eben betx @t6abetfc 
AN; ND = CFtFa 
SoJsK*^ i^ (5/ It. ®.) AE:EB=CF:FD. 

32 4 




S)(€ 



sis 



iiaflWi Sfmetlte 




• iSjl erne gerafee 2tnU, AR, aufttgcnb wttec ®6ene f>ep 
penbtfutar: fo fit* aUe burdj bi<£{itie gelegten ®6enat 
'OMf berfclben Sb«n? perpenbifular. 

lie DE willffi^rlic^ getegt/ ' 

toekbe (i i, 3v®^&«®i:un>^ 

elme iit.t>ec get^^en (init 

EC fcbneitne. Sluf £G fcp 

in ^ec Sbenei D b. tr^enb em 

^eipertbifel FG, bafiidfa 

GEE — 3t. gjun iji AB ^ 

jauf^ bcc ,® runbebenc ipccpen- ' ' ' 

hitnlav, alfo (i i, 3. @0 <tu* ABE=:3t. goIgK* ffnt^ (x, 

28- ®.) AB; FG, ^(jcaflel golflli* ijt (ii, 8. ®0 au<b 

FG; folglicb (II, 4. @0 auct) 6ie (l)ur(!(> AB getegite) @bent 

DE ^ fluf bee . ©vuntebenc pecpenbifttlar* 

©inb jwep etnanbet fc^neibenb* (£6etten/ AB, BC, <uif 
irffcnb ciner ©)ctie perpenbif ulat : fo i|l t^r 9emetnfcf)dfti5 
(i(f)er ^urc^f^nitt , BD , auf t?rfelbcn <S6ene atid[> pec^ 
peribifutdr* 

^aceDB nicfet auf bet @rttnb> 
efcene, dfo aucb nifbt auf DA^ 
DC, perpenbif ufd^ : fo fep auf 
DA in bee &bm AB.bieDE, 
unb auf be in ber gbene BC 
bie DF perpenbifutar^ . 2)em^ 
nacb mircn (11, 4* @) DE, 
DF', auf bee ©eunbebene pee^ 
penbifulae, welcbc^ (11, t3* ®.) titttttftgU^^ tfi* Sotglic^ 
fann ouf bee ©cunkbene feine anbeee 2inie|, aI8 DB, pec^ 
penbifttJae fepm 

SDer 




€trftrt'3$uc^. 



329 




Son b«9 eBwen SBmfeln, BAG, CAD, DAB, nxlc^^ 
ettttn f&cp«ttici>en ?6BmfeI,. A/ einf(f)ii<gfn/ ftrtb.j^bt 
, jn>f9 jufammcn 8c6^er/ flU bet l»u(tt<. 

•SmbbtffcbK9®mW9'«<^: ' ^ 

fft finb offcnbac jebc j»<9 ju* 
f«mmen gccget, ol« bet britte. 
®inb jte abet ungldcb : fo fe9 
BAG > BAD. SRacbe ba^et 
(1,83.®.) BAE=BAD, urtb 
AE = AD. 3<«^f ^"t* E 
We BEG , tt>e!(be AB, AC, in 
B, C, ((bneibety unb jic^e'DB, DC. 

2>a^icctw<b BAE=BAD, AE = AD, AB=AB:,fo 
at (1, 4. 6.) BE=BD. Siun iji (i, 20. 0.) iBD+DC 
>BE+EC. golgli* i(i (i/ 5- ®0 DC>EC; folglicb, 
tceUADrrAE, unb AG = AG, (i, 25. @.) DAO 
EAC; felglic^, Weil DAB = BAE, (1,4. @0 DAG-|. 
I)AB>BAC.^ ' 

SDer 31. ®a^. le^tfaf. 

' Sebct f &rpert{c|e ?0&tttfe( , A , wttb toon ebcnen 5Btn« 
f etn, BAG, CAD, DAB, wclc^c ittfommen fleiner oli bier 
ted|te ftnb, etngefcfjloffen. ^ 

SfHmrtiattf AB,AC,AD, 
fteliebige ^unfte, B, C, D, 
unb jie^e BC, CD, DB. 

2)a. bee ficpeclicbe SBin* 
td, B, toon ben beep ebcnen 
®infein,CBA, ABD, DBC, 
einnefcbloffen t»irb : ' fo ifi 
(10, 20; @.) CBA+ABD>DBC. Hu« eben ben ®riin« 
ten iji, be9m f6cpecli(ben 2Wnfel C, BGA+ACD>DCB, 
«nb be9m fitpetUc^en SBinfel D ,- CDA + ADB > BDC. 




■« 

/■ I 



IIP 



€ui(ib*< ^fiimite 




BCA + ACD + CDA + 
ADB > DBC + DCB + 
BDC, i»tin(inb.(r;j2.®0 
tie (e^t genanntcn ^repSSin^ 

tie rrft genannten fec&i ®m^ 

f<(> a fR. {Run (tnb (i, 32. ®0 biefe fec^« SBitiFel ne^ 
BAG + CAD + DAB jufammcn = 6 fS. %olili4> ift 
BAG + CAD + DAB< 4 9L «uf &^nli*e «ct witb oWi 
flet 6a| bemiefen ^ tDenn tin f 6rpec(i<|)e ®inf e( A auc^ oos 
mf^c aM i>re9 ebenen ia>infe(n dnaefc^ofttn ijt, 

©(iibfeon bre9 rtetten aBinfefo/ ABC^ DEF, GHF, 
febe jwep jufammen 9r6gttf\afe ber btttte, unb tie biefe 
^reo ^[nfef einfc^lie^cnbcn geraben £inten alle etnanbet 
l)(etc^ gemac^t ; fo lh$t fid) aui ttn bre^ geraben Stnteni 
aCj DF, GI, wcfd^e bie Snbpunf tc obgcboc^tet gleii^w 
Siniett berbinben , m "itiansj^l lo^r^eic^nch^ 




^ieti(l(i, 32. ©•> Wef )tt bewerfen, ba§ jebe jme^ bie* 
fee tirtlen, AC, DF> GI, aufammen grSfer, al« bie bdttt 
finb. ^ 

©inb mitt bie bce^ ebenen ®infe{ ABC, DEF, GHI, cm 
Mbet 8(etcb: fo finb (i, 4. ©.) auc^ bie 8(nien, AC,DF,GI, 
einanber gfeicb^} fdgUc^ ofenbac jjebe itoe? iufammeit gt^et/ 
d* bie bt?itte» 

(Sinb 



fiit tAn ungtefa^: fo (ege Ot '3- ®-) Aft Hl^n Ht 
cHien ®inf(( IHK =: ABC, niAC^e HK = HI, tmb )te^ 
GK, Kl. 

' tidttitmid^ ABC rs: IHK, unb AB = HI= BC =5 
HK: fo ift (1, 4. ®0 AC = IK. , 

J>a ABC + GHI, »a« ift GHK > DEF, unb GH ±= 
DE=HK= EF: fo ift (i, 24. ®0 GK>DF. sRun t(k 
(1,20., 0.) GI + IK , ba« ifl / GI + AC> GK. SolsU^f 
ifl nm fo mc^c GI +AC>DF. 

(girt ante wr SSewejd* 

9i fe9 t>on ben ittp tricot gletc^en ebetieti SBinfeCit ttt 
mt ABC,^ni*t neinec, a(« jebec bcc iibrigen DEF, fciHI: 
fo i(l (i, 24. ©0 tie ©eite AC nicj^t fleiner, cAi jeb^ bet 
ijbriflen DF, Gl, folgii* offenboc AC + DF>G1, tttt> 
AC + GI > DF } aJfo twc not^ ju kweifen / b<i§ au(^ DF + 
GI>Aa 





F G 
K 

Zmt (1/ 2 3 . ®0 an A6 to 6 ben muXtt ABKs GHI, 
motl^ BK = HI , unb ji^e AK, KC. 

2)a ^Ktna(i& ABK= GHI, unb AB = GH =r BK 3± 
HI: foiiKi,4.,®OAK=Gl. 

' 2>a E+H>ABCv abn H=ABK: fo ifl E>CBK, 

«bet CB=EF=rBK::=ED/ folgfi* (i/ 24. ®.) DF> 

CK. {Run if^ na<b Obigem GI = AK. ^otflltcb ift £>F + 

, Gl>CK+AK, abet (i, 20. @.).CK+AK>AC, fjjlg* 

«<^ nocb w«l «««&« DF+GI>AC. , - 



/ • 



f9« 



€utm'4 €kmmt 



2 < I n f a f 

Hat )iwo ^e^thtntn ungletc^cn getabm 2tnten , A6, 
KN, Mtt bencn AB>KN, rtnedcrotx^tme, NQ, {u 
fUbttif urn beten jC^uabrat txa iQuatfcat bcr AB bad 
OtKAmt bet KN Sbettriffr. 



N 



K 



N 




■Sef<^td6( dtor AB mm ^ibfttii, trage in benfrf6nt 
AC=NK, ttnb jit^c CB: fo ift NQ=:CB tie wriongte 

S<nn ba (3/ 31. €5.) ACB = 91., fo ift (i, 47. ©.) 
O AB = D AC + D CB = n NK + n NQ, loeilAC 
= NK, ttnb CB=NQ ijt ZxnwwK^ iji d AB > Q 
NK tim D NQ. 

« 

S)er 23. @a|. TfufgaSe. 

^C9 gesfSene eb<n« 50BtnW, ABC, DEF, GHI, bte 
iufaihmen fUinet 0(6 bt«c recite/ unb bon benen jebe 111x9 
jufammen gr^gcr aU bcr btitre ftnb, ju emem fbtpnlU 
c^ ^tnfe( jufammen ju flcOen. 

Ma^t AB,BC, 
ED,EF,HG,HI, 
ttmnbec $fd(b, 
unbjie^eAC,DF, 
Git fo {&gt (ilcb 
atii ben (extern 
bre9 gecaben. ?m 
nicn(ii;22.@.) 
ein Jcian^et Decs 

fep 




/ • 



N 



fe^'AKLM, fot<l§KL=:AC, LM=DPJMK=GJ 
{ft. 'SBefc^cfibe (4/ 5- ©0 m 6en aKLM einen Sxeii , f© 
f &Kt be(fen 9Rine(punf t N mmUv mnec^a(6 , oter aufiec^folfr 
• fcc« A KLM, o»er in einc feiner @eitem ^ie^^t man nun 
NK, NL, NM: (o ift t^ite gu beweifen, *a§ AB>NK^ 
tl^etbiUfieigen/ mit &er f>n:(angte f&rperlic^e SGBrnfe( ^c 
A KLM iu emc(^ten fe^* 

85en>ei8, bag AB>NK ift, weil AB toebet ebeii fo grof, 
noct) fieiner aid NK fe^n tarn. 

(Cr^Itcb* SBenn tej Jtteife« SHttetpunft N in dne tet 
6eU(fn LM- be« A KLM f«Ht. 

' - SBirc ^icc AB = NK , fo whti, toeil AB = DE = EF, 
ttitb NK = LN'rz NM ift, DE + EF = LM. 3ltMl 
ift LM = DK. golflli* tP&ce DE + EF=:DF, toeJc^e* 

.<f, 20. @.) unm6gli4> ift. 2)emna* ifi ni(()t ABrsNK. 
SEBoce AB< NK, fo giben obige @(t)fujfe DE+EF< DF, 
ti»«(<^(j (i/ 20. ®.) n»ct> me^c unm6slic^ ift. 2)emna(^ ifi 
i«(t)tAB<NK. . , 

^xoc^um, SD«ip N innet^aib M A KLM f attt. 




$[0&» ^ier aB :=: NK, fo to&se ouc^ BC =r NL, fttf$« 
(i«^/ »(i( atK^ AC = KL ift, (i, S. ®0 ABC :s KNL. 

Vim 



/ 









1 



tu tatSti 



AL -C 

A t 




«lai tMedhkB DGF = 
CHI=MNK. ;^ij;«»»a9e A£C + BEF + GHI= 
KSX-t-LNM-f-MNK; dfor Me tav Stprxa fitaM :i, 
f5'3iC) «H» tKc ae^iM #ci«, fa(g9(» «^ tetayo^ 
iiiM fPirftf- MMliiil till PtiiiiaVftfn, ioifie^AiL 
#R>, «iMM4t g»— lilt »■<» AB=X». 

®&(» AB<NK, frfev NO=AB, NP=BC, 
OP f<i««ra. ^ AB =BC, a«» NK=NL; f* it 
aK:=FL, f«l|fH» (6^ 2. eO Oatct KL iwnlrf, f«l§» 
Ik^ (I, :»9. 6.) Me A A NOP, NKL, glcMtmaOig, fal|* 
fii^ (6, 4« 0. M> 5/ 16, 6.) NK:NO= KL:OP, fals* 
fk^, IM« NK > NO, a«^ KL> OP; a»cc«,=AC, 
«if^ AC>OP. Am flMT AB=ON, mb BC=: NP. 
t0l§(fa^ ifl(i, 35* 0.) ABC>ONP. Sw it c6m fb w 
wMm0 MDEF>LNM, aab GHI>MNK. 90%* 
lk(> iK&tm ^ h%9 ®iiir(( ABC, DEF, GHJ^ tulmnaai 
ff{^ «tt Me bcf9 Oinfd «m ^ ^nft N, otfo 9c6ft(t, 
«tf tNee «((^, iPdkM ctoifaO< ><r JBoc(ni<f((«Rg loi^p 
AM!k^t. lD(iniM4>itm<^tAB<NK. 

IDr^eteitt* flBmn N «iii(t:^a(6 M aKLM f&ttt 

Oife ^i(r AB = NK = NL = BC; fo wate, todf 
««(() AC = LK (ft, (i, 8. ®0 ABC = LNK; a6ec oui 
gMd^m 0(An(m oiu^ GHIs KNM, fol«(i(^ LNM = 

ASC 



Cfffl^tBii^ 



til 




ABC -f GHI. gtnn i{t ABC + GHI > DEF. go(ga<^ 
LNM > DEF, ®a obct aw^ DE = LN = EF,s= NM, 
ttnb DF==LM: fo ifr (i, j.®.) LNM =;DEF; tveb 



jBlteAB<NK, fofe9NOscAB> NP=BC, m 
OP dciogen^ &<r (eiin, toif 6(901 itoe^tett Sade; cetoiti* 
li* ijt f l»a§ ABC > ONP. Sftun ft? NR =: NO = NP, 
unt OR geiogeti; fo ift aai e^n Mt @r«tiiteit QHt> 
ONfi. @(|e an NK (cn^iS^iii^ KNSrrABC, wtD 
KNT=GHI, i«a*eNS, NT, jebe bet NO gfcu^, m^ 
lie^e OS, OT, ST, 35a AB 2= ON =s BC =si NS , tint 
ABC=ONS: fb iff (1,^4. 0.) At, Hi ift KL, :;= OSw 
Mai eben b«n 9xiuiUn i^ anc^ KM=:OTs:GL 2Da ^tcn 
na^ LKsiO.5, KMsrOT, after POR, ^ai ift LKM> 
>'S0T : fo ift (i, 84. ®.) LM/ »aC ift DF, > St, foJg? 
fit^ (I, 25. €5.) DEF> SNT. {Run to«r SNTss ABC 
+ GHI. goldtt($ i^ DEF 5> ABC -f- GHI; toeI(6«i<( 
9$otrau€f(igunfl offenfta^r witctfpnc^t, ^emnoc^ i^ nic^t AB 
<NK. 



• . 



y 



3i^ 



^ttSHi&OHMt 




Sweatee t^etC 

2)a naC^ ttem o^fgrn Smdfe in atfen S&Uen AB > KN 
(jl: fo etrt(^te (ii/ 13. @0 auf tec ^cne M SteifM 
KLM in N ten ^^etpentifef NQ; unt nia(^ tenfettoi ft 
%W%, M (t 1/ «a. fe^nf.) a AB = aKN+ Q NQ i(^ 
nn» sic^ QK/ QL^ QM: fo ift frep Q tec oeciangte ^cpce 
(tc^e fSinfel. 

©enn NQ ifi auf Ut (56ene KLM, fbfglii^ (n, 3. «.) 
Aiif ten ttep ivuxm NL, NK, NM, petpcnWftilac. 2>o ^ 
jkac^ M N recite SBinfei fint, unt KN=NL, QN=: 
QN ifi: fo ifl (1/4. ®.) KQ=QL, o6« <iu« e6en bei 
©tfinten QM = QK, foIgKc^ QK =?: QL =r QM. 9* 
DAB=nKN + E]NQ, «nl>, weiJ QNK = 3t ^^ 

DQK = DKN + DNQs fo i|lnAB= DQK> dA 
AB=:QK = QLi=:QM. 

Da ^letrta* QK = AB, QL = BG, KL = AC : fi 
ijV (I, 8, ®.) KQL= ABC. aihm ijl du« e6en l>en ®tuiu 
J>en LQM=:DEF, unt MQK = GHI. - golglict) ifl 6«9 
Q-tic Mctonfltt f^cpetiic^c iG9inf((/ tPd(^en tic ten ^egebo 

nctt 



\ 



f^fifi fBa^, 



337 



nen thtmt JQjnMn ABC« DBF, (jiU, 0{(t ^en ffiinM KQL, 

fffiitb ein ^6rper, CDGH, tjon poroUelen <Bbmm U^ 
gtonjt: fo ftnb biefe ^arafle(09tamfne/ unb jebe jn>e;o'9e$ 
jem^ber fieftenbe, AC, GF; BG, CE; FB, AE, emanber 
9(etd[). . C^in Jo(d)er ^6rper ^ei^e paroUeleptpe^onf) 

IDd BG/ CE, pdtattel/ unb 
ton AC 9ef<&nitren merben: 
fo (tnb(ii,i6.e50AB,DC, 
paraUeL 9tm ftnb w^ BF/ /] 
AE, paraUel unb t>oa AC 0e^ 
fc^nitteny alfo (ii, 16*®.) 
AD, BC, patoUeL Soigli^ 
ift AC eiti ^rattclogtamtm 
8[af eben b(^ 8(ct n>icb bmitf 
fen/ {id§ aucb GF> f ^ner BG, 
C£/ unb FB/ A£, ^oralklogtamme finb* 

Sie^e in BG, CE, bie SJiagonalen AH, DR ©a AB 
tec DC, unb BH bee CF pacattel; fo ift (1 i,io^«0 ABP| 
=: DCR Slun ift (f, 34. @0 AB = DC, unb BH =i 
' CF. golglicb tft (1 , 4* ®.) A ABH r= A DCF, olfo auc^ 
a A ABH = a aDCF, folgli* (i, 34- ®0 BG=CE. 
Sluf a^nlicbe Krt tt>itb bemiefen, i)a^ ACzrGF, unb FB 
;=AEi(t 

^ttb eiti 9><irallelepipebott/ ABCD, bon eitrer Sbene, 
TEF; b^tt einanbec gegmfiber ftegenben €6enen, AH, DL, 
pataUel gefc^nttten: fo berba(ten ftc^ bie atgefc^nittenen 
.^&rper, AK, ID, »o|e ifere ©punbflac^en, AE, IC* . ' 

(Zutii^'l $iii9. IS ^A4tr. 3) Spet^ 




V 



}3> euHJD'j efementc 

S V H K P 3E g 



^1 -/I Yl flYI A 



Skrl^ngeK AL <utf bfijbai fijcilm; nimm &elif6tg bktc 
mtnilte. i-r, FQ, bit LI, uiit mOtt bdi/big Didi »> 
f(^itt(, AN, NU, bet AI, gltiiA; collaibe bie ^caftdof 
timm AR, RO, LY, YQ, brigld^ra bit S6cpa NH, 
OV, LX, PZ. 
.2)aIA = AN = N0: fo * (i, 36. S.) EA =rM 
= RO, unbEH=HR = RS, beSgltkbra (11, 34.6.) 
AH^ NV = OS. giun ftnb aui^ in ben birc^ Stbtpm 
KA, AV, VO, (11, 24. ®.) obigen Cbmen bif gegeniibn 
liegcnben fliei*. golglitb (Sub (n, 'o- *•) gebatSte bw* 
jtbtpn gleiii. Stun iinb aai (brn ben @tibibm naib bit 
bit; «brp<t lb , DP, PZ , jiti*. gdjli* ip OK oon AK 
«bin fp ijielfa*, ait OE ton AE; unb KQ ben ED tbtnfo 
biilfait, oW EQ bon IC. mm if, n>inn OE Z EQ, 
nuiti OKZ KQ. gtljli* i|l (5, 5. «•) AK : ID = 
AESIC. 

iDet a6. ©a?. aufjuBt. 
2(it tint gtgtbent gerabe ginii, AB, in etitcm ifym 
^unfte, Af tinin bem gtgtbinen, D^ glti(^n f6ipetni^ 
SBinM ju O'lltn. 

4ig micbt ba gigtbcne firpttlicbi SSinfil D, t>oft bo 

ibMRn SBinftIn EDC,EDF, FDC, begtSnit. gillt Ml 

tintm btlitbigen ^unftt F, bet Sinie DF, auf bie @btitl 

- bn,^ EC, -CC, bin fitpinbirel FC, bee bie ettrn in C 



1 • 



I I 



- mftci^ti^* 



/33'» 



\ 





8< (1/ aj. _ 
^OahABinB 

A lifli SBHin*^ 

ttl BAK = 

EpC, unb BAI=EDG; mat^e AI=DO; ewi*te (ii> 

li. @.) auf bee, @i>ene but^ BAK in 1 t)en t>evpcn&tfe( U^ 

ipatte IH = GF, unt> jie^ AHt tirllt bet Ibtpttlii^t WHa* 

2)nm tnac^t ma AB == DE, tinb^ }ie^t H6, IB, FE, 
GE: fb (hrt>, roeil VG ouf b<r @cu«beb^e petpcnbifufar, 
(f I, 3. @.) FGDi'FGfi, Kt^te SBmM, unb auS rtcri ben 
©rfinben <w*. HIA, HIB. » ; 

2)a AI==DG, AB=DE, «nb BAI=EDG: fo iji 
(1, 4. (S) BI=EG. sRun ijl att*.iH=GF, iinb e« (inb 
fee? I, G, recite ®infe(. gofglit^ tji (i, 4. ®0 Bti == EF.^ 
ffecnec ifi A! = DG , IH :ir GIF; au<6 fJitb 6f 9, i, G; ce<bte 
ffllnfeO dtfo (r,4. ©•> AH=DF. athin »at ouc^ AB=: 
DE. gorgfi* (r; 8. «.) BAH =rEDF. *■' 

^a^e AK=:DC, unb jie^e IK, HK, GC, tC ©« 
BAK = EDC , unb BAI = EDG : fo i|i lAK = GDC. 
sfturi ijt AI = DG , unb AK =:,DC, gol^li* ifi (i, 4. @.) 
m = GC. SRun Ift IH =t: GF, unb e« finb bep I^ Q^ 
recite ®inf<J. gofgli* (1,4. @.) HK = FC. gjun »«t 
cu(S> HA rr FD , unb AK = DC. Solglic^ iji (i, 4» ©.) 
HAKrrrFfiC. 

©cmna* ifi BAH = EDF, HAKrrrFDC, unb na^ 
Obigcm BAK = EDC. gotjlic^ ift bet f 6tpctlict»e »JBinf et ~ 
f>e9 A, ©eleven bic ben e6enen SBinPeln , EDF, FDC, EDC, 
glti<fytn 3BinW BAH, HAK, BAK, beatinjen, bem gegt* 
Iftmn thtpttU^m SSinM bep D dlei(^» 



V m 



3) a 



%>tt 



540, 



Snffib*« ekmmtt 





9cn mtt 0£9e6etten ^erolbnt £|ptte, AB, cut ^roQcfe 
IHfetofi itt Ik^tfihtnf ^oi bent segetotai, CD, o^jnlk^ 
i^/ ttnb mtt bemfeibctt erne il^nli^e £o0e ^L 

6te0eCii/26* 
0.)<ntAB^titA/ 

finctt fvtpcfiub^ 

i|k, tinb ton bm 
cftcoot aBinfeln 6AH = ECF, HAIrrFCG, tiiiMAB 
= GCE bt%ximix »ir^ g»a*e (6, 1 2. 60 EC : CG r:; 
BA:AI, atic^ C^:CF=IA:AH, M olfo (5, aa.S.) 

mi9 ^cm <8Uid9tn ift £C:CF=ba: ah. aSoKcnbc 

ba< ^atattdogmmm BH^ unb ba< ^dratteleptpebon AK; 
fo ifl biefrf ta< Drcfan^te* 

©etttt b* EC:CG = BA:AI, unb ECG =r B AI : ft 
fiir(6^4. ®0 BIrvEG; d^er autf eben ben 0ninbeii IH 
rv (3P, tinb HB ru FE» l^tmmi^ ftnb brey Sbnten be< 
9itpM AK brepen gleic^egenben Sbenen be« ftorper< CD 
ol^nii(^« SHun ftnb (i i, 24* @0 in bepben Sorpem ben g^ 
nannten (Sbenen einetf jeben bte benfe(ben gegenuber Itegen; 
ben (S&enen g(eic(i unb &^n(i(^* Sotglic^ ifi (ii, 9. (SO 
AK^jCD. 



I^lebei ^araUeMpebon / AB, tmcb bon etner (&httLti 
CDEF; bie in>e9 gcgeni^ber (tegenbe S6enen^ GP, AH, 
nad^ beren ^Diagooaten^ CF, DB/ fc^neibet^ ^Ihixu 

25« (f / 34* ®0 A CGF = A CBF, au(^ A DAE rst 
ADHE, beigfeicben (1I/24. ©0 CA=:BE, unb GE 
rsCH: fp ift (ii/ io« «0 ^al bon ^tti itdansefn GGF, 

/ s EDA| 



^(ftel lStt#. 



34t 





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l-*^^ T -  1 II 1 


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A 




i. 


A 






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EPA/ nub 6eit fki^ttefosram^ 
men G£^ A9> CE^ begv&nite 
Drtfma CGFEDA,x tern t>on 
ten Srtdn^eln FCB/ HED/ unb 
ben ^dvaOefdgtammen CH, ^ 

sBE, CE, tegviniten ^vifma I a-^ " ivH 

FCBHED, 9lei<^; folglic^ t)a« 
.^aroffieiepipeton AB t^^n ber 
(Jbene CDEF ^olbtrt 

93prafleCepii>eba , AH, HI^ toon glw^er ^6^e unb auf 
einerfep 0runbfl4c^e, AB; bei:f n duf bet ®ntnbfl^e fic^ 
l^nbe ©eitenUnten/ AF; AG, KL, LM, unb CD, CE, 
BH, BI, ftc^ in einf tie? geraben Siniett, FM, DI, enbigeii/ 
ftnb einanber 0lei(^« . ' 

2)aCH,CI, ^aroffe^ 
fogcamme finb : foiftd/ 
34. ©0 CB = DH = 
iii fo(g(i(^/ n^enn man 
EH megnimmt, DE =r 

HI, folglj* (c, 8. ®0 

i!iDEC=AHIB, unb 

(i,36.«0DG=:HM. 

Shin ift au< e6en ben 

©t&nben A AFG = H 

KLM, after auc^ CF=BL, iinb CG==BMt- gofgKt^ 

(It, lo^ «0 ftifma EFAC = ^rifma ILKB; folglic^, 

»entt ju bepben ber$6rper ABHG ^injufommt, AH=:AL 

©er 30. 0a|^ le^rfaf- 

gSaraOetepipeba, ABHF, ABIG, bon glei^et J^o^e unb 
duf einerlei^ ©runbpac^e, AB, betren auf bet ©mnbflac^e 
fle^ettbe@eitenlmien, AF, AG, CD, CE, unb KL, KM^ 
PH, BI, ft^ nic^t in einttfe^ getaben £iniert ettbi«en, 
fmb einanbet gUii^* ^ 

?) 3 ^^^' 




}4« 



'« 







Ml 9PCII ^cmhsm 

9€9^fB Mil gfcii^Ct 

M Mtfm «ii& ctftnt in rmfrifi^ seraboi fmiai FO,DQ, nft 
Me Gfitmttirien ke^ bntteii mb stDeplm in cinctir^ serotni 
J»ii€n,NE,OL gofglii^ tjk (i i, 29®) ABHF=ABQN, 
unb ABQN = ABiG ; fofglic^ ABHFzz: ABia 

©ft 3'- ^«l* lel^rfaf. 
^JawIIrfeptpeba, ABEC, CDFN, toon 8(etc^et^&^ unb 
aitf gktd^en 0runbfIa(^en, AB, CO/ ftnb ^inanber gleicfi* 

Tb\t mtf beti ®nfnbfl&((^en ftt^enben @eiknfimcti/ AG, HI, 
BE, KL; OP, DF, CH QR/ finb duf benfribm pecpcnDifii^ 
lar. SRun {tnb bie mnUX AKB/ CQD, enttoebec $(etc^ obec 




ttrfiUcb. 6inb bief< SBtnM und(ei#, ettoa AKB < 
CljD ; fo tertingere CQ na* S ^ tvage ( i^. as* (SO as QS 




^K 



,* 



343t 



in Q belt SfBiiiW SQtrr AKB, ma^eQS =AK, QT=: 

KB; DoUenbe ^ai ^arattelogramnirTS^ utib ta« f^aroQelc^ 
|>ii«ban TSZM. 

©a ^tCMiac^ QS=AK,tQT=KB, unb SQTrrr AKB: 
fc finb bie ^acdnefogramme TS^ HK^ gleic^ tint) &l^nlt4)^ ^a 
QSrrrAK, QRrrKL, unb biffe Jinlen re*te ©inPel ein* 
fc^(k§ea; fb ftnb bie ^at^ittefostamme QZ^ AL^ 9lei(^ itnb 
o^ntic^t t(ud sieic()en ©c&nben finb bte ^arattetogramme RT^ 
KE, g(eict) ttnb &^n(tc^. 2)emtta(( {tttb bre^^araOefostamme 

; l^« aScpert ZT brep ^draHelogtammen be« S6cper« , AE 
gleicb tinb i^nUcb/ fofglicb (ii* 24* @0 au^ bie biefen bte^ 
gtgett&ber fte^nbe; fDlgli* (i i^ lo* (g,) ZT=: AE. 

SBecIiitgete DQ, XT, bi« jie in a iufammenrteffen, ji^e 
bui*c^ S bet Da bie Sd ipataM ; i^erl&ngece OD , dS , h\i (ie 
iit p juf^mmen^treff en / unb ooHenbe bie S6cpec,Za,,Qe* 

3)a bie SocpecZa, ZT, atif bet gemeinfc^aftlicben @cunb4 
flacbe ZQ^ toelcbe bet @6ene ay parallel ifl, aff^ auc^ t)Oti 
gleicbec |)6l^e ftnb, unb il^ce ©eitenlinien Qa^ QT, Sd/ Sx; 
Rb, RM, Zf, Zy, (Scb in eineylep a^^^^ iimn ax, by, en^ 

^, feigen: foi|i(ii, a9.@0 ZarrZT. giun »at: nac^ Obi* 
gemZTzrAE* gotglkfe Za=AE. 

»<t(i/35-®0 ST=Sa; aber ST = AB=CD: fo 
tfl Sa=CD, folglicb (5/7* ®0 CD:DS=:Sa:DS; 

*| 5Da betr «6i:pet €« Don EQ pawKel mit CP unb Se ^e* 
f (tnitten toicb : foijiCii^as-©) CD:DS = CF:Qe. ©a 
anc& b^ S6cpet: ae t^on QZ pataUef mit De unb af gefcbni^ 
ten »it*: fo i^ (11, as* @0 Sa:DS=Za:Qe. JRtin tt>at 
na* iOblgem CD : DS = Sa : DS. golgli^^ ifl (5/ 11. 00 
CF : Qe s: Za : Qe , f olgrc* (5, 9* iSO QF= 2a. - sRun 
tpat nac^OWgemZarrAE.^ golglicb ift CFi=AE. 

SwevteitS. ©inbbieiffiinfitAKB, (^, gleitt^: fo. 
fc9n:CQ, DQv DetlSngect, bi« QS=AK, unb Qa=KB 
tft. SRun ift (I, 15. ©0 SQa=:CQD = AKB. gofg^ 
. licbtft^ wieDDvfyer, ewei^licb, bag (ii^^<>»@OAE=Za, 

« au4> bag ( 1 1, 2 5.%) CF= Za , \i(i% affo CF =: AE ift. 



© 4 



^we^ 






S44 eM/Cl eimau 

jBit atif Kn G K H S 

0nintp&(ten ftes 
^rnttn ®rittil(H 

nitn, AG, HK, , 

BE, ,LM; PQ, * 

CN,RS,DF,|in^ 

l»i(tn aHf J)enf((» ^ - 

ita tKipenbifuIdt. 

•JJOe (I I, 1 1. SO ei^ Iw qjunftm K, G, M, E; S, N, 
Q, F, ouf Me ettenen »er ©mnWlHcn AB, CD, bie deepens 
Kfel KO, OV, MX, tT; SI, Nb, QZ, Fa, unb Jitflt OT, 
Vje, TX,OVi a!, Zb, Za, W. 

IDa bie S&cpec, KX, SZ, anf gfeitben ©runbflicben lytl, 
NF, unbCDn^eidifn ^6I)Cil 1i"^ , unb tl)re @eitcnlinim pttt 
penbifulQc tmf ben @runb|TA(ten ftefjen ; fo finb fie nuib bein 
ctften Salle 9(er*. 3Jun iji KX = AE, unb SZ = CF, 
ftlsil* AE=:CF. 

S)et J2. gSo^. ie^tfaf _ 

9^raUeIeptpeba, AB, CD, «en gfeic^ei; ^&^e/ ber^lc 
IBI |i(^ wie %e 0runl)|li((|(n , AE , CK. 



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' '/r /I 


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SMitreibe (1,45. 6.) duf GF bai tPalaBelratomm FH 
=^ AF,, unb Boffenb? ben SStpet GI: fo i(l (ii^ 31, ®.) * 
AB=QI. 

Sa bee Sorpec CI eon DO pacatlel bee HI gef($nitten 
Kieb: fol;'i(ii,35.e.)QI:CD = FH:CF. Sun me 
AB=:Ql,»nb AE=fH. goljli4AB:CD=AE:CF. 

S>et 



€ifM%n^' 



S4S 



'Se^n(t<^e ^a:aO((«ptp«bo ^ AB , CD , ftnb in tec bve^^ 
Seriangcte AE, GE^ -I B_JM 



K 



S\p 




HE, 6i« EI=CF, EK 
= FM, EL = FQ i% 

jicomnt IK , unb bm Stbtt 
ptt lO; bf^(ei(t>en ba< 
ytttafielogromm GI/ unb 
<mf ben ^nmbfl&cben GI^ 
IK, bie S6tpec EN, KP, 
«on gleitbec |)6^e mit 
AB. 

3>a toegen bee Sfe^nlicbfeit bee Sthtpet AB, CD, bie SBitK 
f el AEG, CFM, alei* pnb, folglicb ott(bIEK=CFM j abec 
EI=CF, unb EK=rFM: fo ftnb (6. i. @.) IK, CM, 
gfeicb iinb &^n((<^. SRun {inb ouf eben ben ®c&nben IL, CQ, 
be^Tjfeicben b£, DF, ^{etcb unb i^niicb- 2)emna(b ftnb bee^ 
^eaKefegrftnmte ^e^ S6epeei lO, bce9 ^arattefogeamnieit 
be< ^6et>et« CD g(ei(b unb &()n(i4>, folgltcb (ii/ 24* ®0 
ou(^ bie biefen btepen ge^en&bee fte^enbe; foIgU(f> ftnb (ti, 
1 o, «.) 10, CD, ^fei(^ unb o&nlicb. 

2)0 ABroCD: fo i|l (ii, 9. 9. unb 6, i. @0 AE:CF 
=EG : FM = EH : FQ ; abet CF= EI, FM == EK, 
FQ=EL;fol9«* AE:EI=EG:EK=:EH:EL» 9hin 
ijt (6, 1,®.) AEjEI = AG:GI; EG:EK=:6I:IK; 
EHtELsc:PE:IL. gotgUcb ift AG: Gl = GI:lK=: 
PE : IL. sftun tfk (ix, 3a; @.) AG : GI = AB : ENi 
GI:IK=EN;PK; PEtIL = PKtIO. gotgK* ifi AR 
:EN=EN:PK=PK:IO; fofglic^ (s,ii. @.) AB:IO 
= 3 (AB : EN) ; obec AB : EN ^ AG : GI = AE': EI, 
f ofglicb AB : 10 = 3 (AE : EO. Slun mt 10 == CD, ut* 
EI = CF. golfltic^ ift AB : CD = 3 (AE iCF), 



^ S 



Stt* 






^ 



1:4* 



SuCI&'d ^emetite 



:gHer<ittl er^eflet; b(t§ i^on mev ptiq pteporti^tiiitftt g^ 
tdben Sinten t)ie etftejc^ juc jtoeptcn DetJ^altC/ wie bd$ f)a^ 
caUeiepipebon t>on ter erften }it bent tj^m hf)nlki^en unb t^a 
i§n(tc^ lif geoben ^arattelepipebon Don t>^r jmepten ; tDetf tie 
9kc^&itni§ ber erften unb ticttcn bet bv^fa^tn ^^altmi 
hex ecfien ttnb itoe^ten gfeic^ ijl. ^ 

©iftb ^J^raKelepipeba, AB, CD, einanber gfeid^: fo 
fmb i^re ®runbfla(^ett, AK^ CO; in umgefe^rter S8er^ 
fiUttiif ifyttt J^&^en. Unb ftnb bte 0cunbfIa(|en, AK, 
CO ; in umgefe^rter SSer^attni^ ber J5&^en : fo firtb bte 



AB, CD, etnanber flUic^. 
Stflcr Sat!. 



K 



H 



3J 




9JaraUe(cpipeba 

£ie dttf ben 
(JJcnnbflacbenAK, 
CO / fte^enben 
®(iten(inicn AG/ 
EF, KB, HI, unb 
CL, MN,J0D, 
PQ , (tnb auf bens' 
fttktn petpenbifu^ 
I^^ bag o(fo ^iet: bte |)6^en ber St6rper AG; CL; {!nb« 

3jt AB=CD, fo ifl AK:CO = CL:AG. 

^Ztfilidb, wenn bie ©runbft&c^en qUiify finb. ®d olfo 
AKrrCO, unb AB=CD: fo ifi auct> CLrrAG; toeU 
fonjt (i I, 3 1. ®.) AB; CD, ungleic^ wiren; gegen bie SBo«^ 
dudfc^un^, 2>emna(^ tft off enbar 4K : CO =r CL : AG* , 

^tt^e^tettS; n>enn bie @cunbfl&cb^n ung(ei(!b {tnb* <S< 
fep AK>CO: fo ift, n>ei(AB=rCD; auc^ CL>AG; 
mil fon^ AB^ CD; ni^t gfeicf^ fepn (6ttnten; gegen bte SBoc^ 



( 



■' ( 



'V^tt ®lt^ 



t«? 



\ 

^1 



mfM^tid. !Rd<:&e ^§CK CR.=: AG, ttnb NOttW* hi* 
fkttaddcpiiM^ CS. 

2)4 AB=CD, t> iHS, 7. C.) ABjCS == CDjC^ 
ghrn i^ (11,34.0.) AB:CS=AK:CO/ unfc (j 1,25.®.) 
CD:CS=:CQ:PR= (is, i. ®.) CL:CR. gotgli* ifl 
AK:CO=CL:CRi folgfic^, »«( CR=AG, auc^ AI9 
CLjrAG. 



, 3fl AK:GO=CL:AG/ fr i|i AB=CD. 

AK=CO, unbAK:CO=:CL:AG, foifiottc^CLrr 
AG, fo(8li<^ (I I, 3;. @.) AB =CD. , I 

. 5u>evtf no ^ wcnn tie @ninbfl&(6en uttdfeic^ jini;. @< 
fe9 AK> CO , f olflKc^ auc^ CL > AG. «W«(;^e Do^tt CR 
= AG , ttttb o&ttente bod $araUe(epipebon CS. 

2)a a(fo CRr=AG, fo et^&It nutn na<^ t(cS3ota«i« 
fe^ung AK:CO = CL:CR. sRun jfk (11,33.®.) AK 
:CO=AB:CS, «nl>(6, i.®.) CL:CR=CQjR^= 
( 1 1, 25. «.) CD : CS. golfllie^ ifl AB:CS =GIX!CS; 
f»ldli*C5/9.®.)AB=CD. 



<■ 



3»e9t<t S<»1^ 



Sifdttfben 

AK,CO,fte' 
^(<ii ®et« 
tenttnieiiAG/ 

EF,KB,HI, 

tinJ)Cl.,MN, 
0I),P(i,|int) 
ouf t>enfe(6en 
ni4>t perpentifttlat. . » 

S&tte (I (, 1 1. ®.) »on ben iptrnfteit G, F, I^ I, «nb ii9i> 
l^^ N; D, 0/ auf bit e^nen tec @«ui«bf{&(^enAK, CO, ¥<«« 





f4t 



fbO&tri ^(Mcnte 



J 





fie io Un 

V, S, R, ttttb 
a,b,z/X,iref^ 
fen* iDoOeii^ 
te bie^ovade^ 

Da ; ba bann 

(6, 4. dO bie thtpit BT urib AB, bi€ TG, unb Da, CD; 

tk aL }ut |)6^ ^aben* 

3jt AB=CD, foi(tAK:CO=aL:TG. 

'®a AB = CD, abec(ii, 30. ©0 AB = BT, unb CD 
trDa: fo ijl BTrirDa/fofglicb', nacb bem ecfken gaUe, 
TS:az=aL:TG. ^SRun ifi (ki/ 24. (SO TS = AK, 
unb az=CO. gbtgficb ijt AK:CO=aL:TG. 

3Jl^K:C0=aL: TG; foiftAB = CD. 

2>a (11, 24- ®0 AK=TS; dnb CO=az: fo et^ 
tnati nac^ bet Socattijfe^ung TS : az = aL : TG ^ f olgitcb^ 
nacb bem erften gallc, TB =Da* Stun ift (11, jo. €5.) 
TBr^AB, unb Da=CD. ^^ , , ^ ^ ' 



♦v/ 



v.^ 



5DBertett anf jwep gleic^e eSene 9BmW, BAC, fiDF^ 
tn%en @c^ettelpunften; A^D, g^wbe 2ittieii, AG, DL, 
fo aufijeflellt, ba^ ftc mit ben Stnten; welc^ gebac^te 503ini 
fer ein f^fiegen, gleic^e SGBinfel, BAG, EDL, unb Gac, 
LDF, ma^en; unb wetben bon tt)tUf%fic^en ^^unfteit 
in am\"9ejlellten 2inien , G, L, auf bie Sbenen bet juetfl 
aebac^tlen SGBinf el .^Jetpenbif el, GK, LM, gefiUt, bon ben 
ymfttUf K/ M/ abet, too btefe ^tpenbtW bie &entti 
treffen , \ nac^ obgebac^tm @<![>ette(punften, A, D, aerobe 

• I '  ' " £tAieti, 




Stwn, KA, MD, sejDgtn : fo ftfjlitgm ^e nttt »m oufi 

gtfltUteii Knttn 9l«ii)e ^mtet,IMC,:MI>L, (in. . . i 

!Ra*e AH = ' \ I 

H litr GK We H* ' 

pardUd, tt>el(^t alfo, < 

foiwe.GK, (n, 8.' 

e.) ailf ten IStxitt 

tac* BAC,, 6ie (ie 

in I tcljff, p«pen« 

»i(aliir i|t. SiOc 

fRnftml^ M,'anf ' 

»» 8illi>n AB, AC; „ : 

DE, DF, bic ¥(i|!aitiMIII, IC; ME, MF, nnb )ii^( Ni 

gcwibtn- Swim, HO, CB, BH S LF, FB, EL. 

. Sa HI auf iarWttve Hx^ BAG, alfo (ii, 3.^.) ottf 

ten Slntm lA, IB, IC, petpenbifulat ift, f» if| (i, A7» ®.) 

DHA=DHI+DIA, o6traIA = DIC + DCA; 

fol9li*nHA = nHt+DIC + aCA; Mali*, mtH 

DHl+aIC=aHO, ou* nHA=DHC+DCA, 

folgIi(& (I, 48- @.) HCA := JR. Siun ift aai tben ten 

(StSnbm l.FD=K. Solgli* ift HCA= LFD. Sun ift 

na* bet a5ocau«fc6»"i9 HAC = LDF, nut^ AH=f DL; 

JolilH* (ft (I, 2«. S.) AC = DF. 

■i)af<riietDAH = D AI+DlH, abetaAI = c( 
AB + D BI: fo ill n AH = n AB + a BI + D IH J 
fofjli*, l»ellDBl+bIH=DBH, ou* n AH = Q 
 AB+OBH, ftfjli* Cl, «. ®.) ABH = iX. 31m, ifi 
M< tfekben gtinben DEL = <K. S°<$Uit> ifi AEH =z  
DEL. Stun ifi nii(^ bee SoeauSfe^unfl BAH == EDL, (m4i ' 
AH=DL. gol8li*f|i(i,a6. e.) AB = DE. 

2>a^tecnae& AB^DE, AC^DF, unb na<t bet93oc> 
0««fil«»n8 SAC=.iiDF: fo id (i, 4. ®.) BC=EF, npb 
ACII=DF£; fol(li4, neil ICA = MFD =: 3!., oui* 

» , .  Ba 



tit 



iiMi'l dttntnu 




 Ba=rEFM. SJmi 

ift aai tht« UtL, 

ScinXn CBI'=: 

FEM.. £»¥><( (>> 

i!«.S.)Cl=FM. 
' Biim not AC = 

CF, un» ICA = 
,MFD. goljli** 

(i,4.S.) Al=i 

Do AIH, DMt, K*tt SBinM, «rfo O AHcr D AI,+ 
□ IH, nll^^DL=oDM + DMLi ate AHc=I>l-, 
olfe on* D AH = D DL: fo * O Al + D Ut = D 
BM+DMLi Suntoatooiotistm.O AI=:nDM. 
goljli* ifi D IH =!tl ML; olh <i«4 IH= Mt. 91m 
ftac no^ Obigm AI ^ DM, uRl) HA=DL. gslglii^ 
i|i Ci, 8. e.) HAI = LDM. 

; 3 1 f a |. . -= 

" SBinfeln ^AC^ EDF, in i(jcen ©cfcieitelpunften A, D, oufgr 
^Ulen c^ic^f n gecaben £tnim AH, DL, t^bii^e ^infel mi^ 
beneti Sinitn ntac^cn , jvelc^e'etilgeba^te Binfel emfi$lie§enj 
bie Don ^e^ UnbpuiiCtm ber aufgeftelltcn ^yiien H, L, atif 
^ie .^Sbenen bee SDinfel gffaKtCR ^evptnbifil/ . HI, LM, 
Sfeid^ fmb. 

@tnl) bre^ gctabe giniett, A, B, C, ptopotticnirt: |b 
ifl ba^ ^atalletepipebon a.\xi alien brepen, bem gteic^fn* 
ttgen 9)<iraUeIeptpeboti von bet mittleni/ B/ bai bcm a;« 
Pen 9lci(f)totnftig i%, gletc^. 

t« fe9 E ein pon ben bc«9 eftenen ®tnWrt/DEG, GEF 
FED/bcdcdiTitet F&irpnli(t>er!SMnrH, SKat^e jtbe ber Smkit, 



^fta fbw^. 



351 



s- 



I 



l- 





A»- 



wmmmmtmmm 



" ' t 



i*— t 



DE, GE, EF, ber B gleic^^ itnb tooD^abe ba« ^awfieleptpe^ 
t)i)fi EL S« fe? ferner bie KL bccA gfcic^; fteUe(i i/!26.@.> 
40 KL IP K einrtt b€m £ gleic^en i»on beaebenei SBinfedi 
MKN/ NKL, LKM/ begranjten fi^perii^en SBio&I; mac^ 
att<bKN;=6/ un^KM=:C^ ttnb 9e&€nbe ba$ ^avaUelcaK 

©a A : B = B : C ttub A = KL, Bic KN=EF=3 
EG=:ED, C=KM: fo iff KL:EF=:ED:KM; SRttil 
iit LKM=DEF. gofgli* ift (6, 14- ©0 bo^ ^araOele^ 
fltatnm ML=± t)F* ©a auf DEF, IKM, in E, K, ftlci^c 
Jmkn KN, EG, fo aufgcftettt ftnl), bag LKN=FEG, 
tinb MKN= DEQ: fo flnb (11, 35- 3wfO ^»^ ^«>« N, G, 
auf bie gbenen bet ffiinfel MKL, DEF, gcfAUten ^etpenbii 
W 8fei<&, «ffo b«j S6tpee KH, EF, t>qn 9lelcf)et: |)6^e^ SHuit 
-finb aud^ nac^ Obig^ i^re @cunbflicj)en ML, DF, gfeic^l 
SoIali*(ri,3i.@0KH=:EL 

®inb bier>9«rabe fimteit AB, CD, EF, GH, 0t:o|ot^ 
jtiontrt : fo pitb btc ton t^nen befc^rfebenen a^nlidjen unJ> 
.al^nlt^ fiegenben 95<^raUefepipeba , AI, CK, EL, GM^ 
oud[> propprttonirt* Unb jTfnb biet afenfi^e unb af^nlic^ 
ftegetibe^JatolIefepipeba ptopotttonitt : fo finb bie gcfc^ben 
ixmWf t^on bencn fw befc^ieben ftnb/ auc^ p^oportiomtt. 



, ; 



35* 






A 



j\m 



I 



C D 




f)a Alrv) 
CK, fo ift 

(11,33*®.) 
iU:OK = 

3(AB:CD). 

fbtt eben ten 

ec&ntfli ifk 

EJL: GM = 3 (EF : GH). 0hm tft ansntommcii^ AB : CD 

==EF: GH. go(d(t<^ ift Al:CK=EL: GM. 

?D« »ie»t (I I, 33. @.) AI.CK = 3 (AB:CD), (m^ 
E L : GM = 3 (EF : GH) , mb angenommen Al : CK =: 
:GM; fo ift AB:CD=EF:GH. 



f 

' . per 38* @a|. fe^.tfaf. 

• @1nt) jtret) Sbeneit, AB, CD, aiif ctnanber petpettbfe 
futer: fo trtfft ber aM etnem willfii^c{id)en ^unfte, E, 
t)<r cinen ^&^ne auf bk anbcre gefoUte ^^ctpenbifel beii 
gemeinfcf)aftftcl^en J)urcf)fc^nitt fccpbec gbenen, AD* 

$cafe folc^ec »perpenbifel nicfct c 
in AD/ fonbecn bie ^bene aB in 
gimm onbem ^unftc F, »ie EF: . 
fo fjtte(i, 10, ©0 in Dec (Sbene ^ 
AB aud F auf AD ben ^ecpen? 
Wl»el FG, toat^zt alfo (i 1,4. (SO V— ^B 

ouf ber Sbene CD pecpenbifulat 
ift* Bie^e EG. 2)ejnnacb wore FGE = SR^ , abet ou^ 
EF'firr: 91. golglicb^ wicen im A EFG jwcp ®inW = 
a 9l* / »el(&e« (i , 1 7. ©0 umnSglicb ift. golglic^ f ann bet 
au$ E buf bie @bene AB gef&Ote ^evpenbtfel ntc^t au|e? AD 
fatten, unb muf alfo AD trejfen*. 



l^tt 




\ 



I 



f « 




► 



ft«nt>cn Sbfttcn, AH, CF, 'eine« g3ar(iIIe(epipet)on , A^, 
unb tegt bucc^ bie J^albtrunciepunfrtv 1/ f^/ 'M, L, < ), M, 
P^ Q/ €b«mn, IM, NQ: fo fjalbirfti Jitc 15Hrcf)^nlf«fe 
(tnte fof«^ec ^benen, TR, unb Ui ^ralleleptpcbon '£ia> 
gonale^ DG, etnanber. 

RG: fo«jt, »dIDN,OE, 

= rOE. sRmi'tftDN=: 
OE,unbNT=TO. golg* 
I«<>ift(i,4.®.)DT=TE, 
AMc^ NTD=OTE, alfo 
(i, 14.®.) DTE eine getos 

betinif. a»* fll«*c ©'ffij'* 

^en i^ aift^ BR=RG/ unb 6RG cine gerabe fink. 

3)« CA bet DB foTOoM oti bee EG g(ei(* unb pataM tft J 
fo ifk ««4> (i 1/ 9. ®.) DB bee EG gCeid^ un^ pavaM. golg* 
Ikb finb (1/ 33. <^.) D^ GIB, g'feicb unb pavaM. 8cldli<> 
finb (I I, 7. ©0 DG, TR, in @inet tbene. , 

©a DE, BG, gleic^ unb parattd ftnb, md> DT±=TE, 
«nb BR = RG : fo ift DT = GR. SRun ift ou(^ ■.1.29. @.) 
TDS=SGR, unb (i, 15. @.) DST :;=RSG. gel<|l.(^ 
ifk (I, a6. @0 TS=SR, unb DS=SG, folfllj* finb »ev^ 
be 8inien, TR unb DG, in S ^dbirt. 

Stoct) gtctc^ ^o^e 93rifmen, AEBCFD, HGIMKL, 
*on midjen tai eine ein ^araUcfogMmm , AEFC, ba« 
<utb«re einen Stiangel GHI, beffen t^oppeltei ba« g)a* 
talleTogwmm ijl, juc GJrunbpodjt fyit, ftnb etnanbec, 

Qii((il^'« S(em. IS ^M*^ . 3 Vott' 



I / 



I » 



154 €uttib'd glementi dUfta I8u<6. 



> SSodenbe tie 
^pcaUelipipeba 

ed/go. 

itomt^ift/t)a§ 
tad $araUd(>^ 
gtomm AF=: 
2 A GHI, unD 
(I, 34. @0 HI 




H 



\g--i. 




\ 




^^■^ 


G 


C 


1 



M 



= a A GHI: , fo ift AF = HI; fo(^ 
fjnb, »e«a,u*bic|)6^en9Ui4>f[nl), (11, 31. ©0 We %i: 
toficlepipeba , ED, GO, unb olfo 'au4> beten ^UUa, 
niroll(t> bicqjrlfimn AEFCDB, 6HIMKL, cinonDcr fllei^. 



CEumo' 



:»■ 



US 



MMMI 



^ nf iit>'^ € 1 e m c ti t e 

. ttn^ ^tot pt ed t>on. om ^^em. 



-^e^nfi^e tii ^etfeij 6cfc^weSene ^oftjgottc, ABODE, 
FGHlK, toer^alten ftc^ tvie t>te Cluabrate Ut 'Jdwii^mi 
f«;r, BL, GM. 





gie^e BE, AL; GK, FM. 

2)a ttegen IklljnIlcWdt ^et ^olpgon* (6, i.®.) BAE ~ 
GFK, unt> BA : AE = GF .- FK ; fo finD (6, 6. 6.) (ie 
tlciangel ABE, FGK, gld^wtnHig, oifo AEB = FKG» 
«ttn ijk (3, ai. 0^) AEB = ALB, ant FKG rr FMG. 
gofaliiiji ALBrrFMG; abet (3,31.0.) BALssGPM 
r=r9(., folglic^ att(^ ABL==:FGM. IDemnac^ ftnb (ie 
Srianaci ABL, FGM, glci^winf Kg ; f ©(gti* ift (6, 4. ®i> 
BL : GMrrBA: GF; alfo au* 2 (BL : QM) = a (BA { GF). 
Sftun ifl (6, ao. 0.) 2 (BL:GM) = a BLt D GM,, un& 
a (BA: GF) = ABCDE : FGHjK. golglicfr i|l ABgDE 
4 FGHIK = a BL ; OGM. 

39 10« 



ts6 <£\mri Sitmwtt 

^tetfe, ABCD, ^FGH, terfealten <tc^ »ie bteiQuabra.' 
ti i^m ©urc^meffer, BD, FH. 




c ^ 

^  ®ace ni*t Q BD : Q FH ;= Sn ABCD : Sr. EFGH; 
fo fc9 D BD : D FH = «r. ABCD : R; fo tag bet gli* 
^entaum R entme^et ncinet o^ec di:6fiet aW bet ftrett 
EF6H fep. 

Srflet SaH- 

@« fe? SIa*e R < «c^ EFGH, unJ) Q BD'; Q FHs= 
9x. ABCD : R. 

8&ef*rei5e (4, 6* ©0 in ben Scei« EFGH ba« £luabra( 

EFGH ; fo ift biefeg gcoget al« bet ^aI6ftel«» 2)enn n>ec« 
. ben burcb bie ^unfte E, F, G, H, ©ecu^cung^Iinien gejoj 

gen: fo ift (i, 41. ®0 bad innece Siuabrat EFGH bie^Mf^ 
^le bed au§etn. . 9}ttn ift bet Steid fleinet afd bad &u§ece 

£luabtat Solglic^ tjt bad innere iDuabtat gt6§et aid bet 

^albfceid. 

, |)alt>ite bie »oaen EF, FG, GH, HE, in ben ^unftn 
I, K, L, M, unb jie^e El, IF, FK, KG, GL, LH, HM^ ME: 
:fo iMebet bet entftanbenen Sttiangel, JFE, KG'F^ LHG, 
MEH, grcget aid bie |>Qlfte bed ^teidabfcbnittd , ^ocin et 
, bcfinblicb ift» £)eim metben butcb bie ^unfte J, K, L^ M, 
IDeruf}vun^dtinicn gejogen, unb bie ^^arattdogramtne &bet 
EF, FG, GH, HE, t)ol^bet: fo ift jebet bet obgenonntea 
%xm\^i\ bie |)a(fte bed ^ara(Ie(ogtamnid# tpo.tin et beftnbiitb 



/ 

I 



3ti»^«< ^^> 



^ » 



-S57 



§th^et <At Me |)ilfte M juge^origen Scei j<i&f4>nitte$. 

SBitb beinnact) tit ^albma^ bn $ceiS6oge|t foctgefel^ 
unb be^ jebec Ixilbtcun^ obige Sonfhructton toieb^r^ob: fo. 
Neiben (lo, i. ®.) einmal ^eitobfcbnitte ; etwa bte auf 
bra Sinien £1/ IF^ FK u.. f. to. fibrig ^ toefcbe iufaminen f (eU 
nee finb , aii bee Uebecfi^ut be« Stcetfe< EFGH jibec Ut 
filh^ R. SoIgUi^ t{i bai fjintm^ tt^afttxie $0(99011 
EIFKGLHM>R. 

9ef((ceibe in 'ben Strci< ABCD ein bjefem et^dtenen $o« 
-l99one i^nlk^e* ^otwon ANBOCfDQ: fo i|i (12, i. @.) 
D BD : D FH = ^ofpg. ANB K. : ^0(99. EIF ic SRun 
loac ongenommen □ BD j O FH = St. ABCD : R. golg* 
Hcfr ijt «c, ABCD : R =; $0193. ANB ic. : ^193. EIF «. 
fiflnn ift offenbac Sr. ABCD > ^olpg. ANB jc. gofflfi* 
«ft (5> 14' @0 o«<^ R > ^l9iJ..EIF ic., mldfii b«m S3o« 
tigen, ba§ R<E1F ic. fe^, wibctfprictt. jDemnfl* ifi nic^t 
□ BD:dFH=:Sc.ABCD:R; tt>cnnR<Sc.EFGH. 

?(u« eben ben ©tfinben i(t auc^ ntc^t D FH : Q BD = 
Stt. EFGH : Z ,^ wenn bie glic^e Z <«c. ABCD. 

Sweatee §a(r, 

. @8 fet) SlHe R > »r. EFGH, unb D BD : DFH= 
.^r. ABCD ; R , [olgli* au(t> uingefe^tt p-FH : Q BD =r 
R : Sc. ABCD. 

€« fep It ; St. ABCD = Stt. EFGH : Z, fo b«§, »<U 
R>Sr. EFGH ijt, (5, 14. ®.) <»♦«* «tP. ABCD>Z fe». 
Sftun ift Angcnomroen a FM : a BD = R : Rt. ABCD. 
golgfi^ift a FH : n BD r= «c. EFGH:Z; »elt^«, U 
Z < $r. ABCD ift; na(t> bent ecften gaOe unmbglic^ ift. 
2)enMW(t ift ni(*t Q BD : Q FH = «c. ABCD : R) wenn 
K> St. EFGH, unb m^ bem erftenf galie oud^ ntc^t; wenn 
R < St. EFGH. ^olgU* ift Q BD .'Q FH = Sv. ABCD 
:«r.EFGH. 

3 3 ' ^'2)« 



338 



Sitfftb'l Sfemente 



• I 




, 3«t>* btepfcttige ^pramibe, ABCD , lh%t ftt^ tn jh«9 
fiiti^, rtnanbec fetSjI unt^ b«r gattjen a^nltcf)(/ bcepfeittdc 
^Dramibcn, unb in jwep glei^e ^Jftfttiw, wcfi^c ju« 
fammctj fltfcgcr 0(6 bte JQidfti ber gatiien ^Jptanttbe ftnb, 
gcrfegett. 

SDte ^runbjIMe b<t 

A BC , unb i^t ®ipfd D. 
|)albiteb«e8itn'«nAB,BC, 
CA; AD/DB, DC, i|t 
ben$unftenE,P;G;H/ 

EH, EG, GH, tpobuc* 

bfc bM9feitiae ^^tamibe -r. ~ ^ 

AEGHjfetnerbie?iniett "^ , ^, 

HI; IK^ KH, mobuccb tie brtpfeittg? ^pramibe HIKD ; enbi 
11* bie Jinien IF, FG, wobut* iai ^rifma EBFGHl «uf 
ber ©tunbfiacbc EBFG, urtb txii ^rifma GFCKHI auf b« 
©runb|li<b< FGC wt'jte^et. 

2)ag b{e be^ben bw^feitigen ^ptamiben , AEGH, HIKD, 
bwen ®j>i|en H, D, unb ®mnl>fl5(t>en AEG, HIK, einaiAm 
ijletcb unb i^nlicj) finb. ' 

©a Afc. = EB, unb AH=HD : fo ifi (6, a. @.) EH 
ber DB pofaOef; dtvec au< eben ben ^r&nt>en ou^ HI bee 
AB; olfo HfcBIeitt^atallelDgwmm, fclglitib d/ 54- ®.) 
HI=i=EB; affo, »eil EBc=AE, <nKb AE==HI. 3lutt 
. Ifl AHssrHD, unb (i, 39. ®.) EAH=IHD. ,goIdtt(b ' 
ifr (i, 4. «. «rtb 6, 4. ^;) A AEH^AHID, unb EH 
= M>. «tt« 9(ci(ben ©tfinben ifi A AHG ^ A HKD, 
»nbKD=GH. 

2)a ^ecmi(b HE terDI, unb HGbet KD, gfeicl! unb 
9maM iH: fo i|i (II, 10. ©.) £HG = IDK} fol8K<fr 

Ci, 



Qwiifm ^tK^. 



359 



(1, 4* ®. m% 6, 4- ©.) A EHG^IDK. Kit^^e^eii tm 
©cAnlxnifiAAEG^HIK. , 

2)emn<jc(> toetbe^i We -IptjMmiben AEGH,mKD; ten 
jifeic^ fotef^ glet(t)eit tittt) &t)n(ic^en Sbenen besr^hjt^ Dti^ ftti^ 

J)a§ gAaci^te ip^t^mibert, AEGH^ HIKD, aut^ ber $a«^ 

2)a HI ber AB parallel: fo ft»b (i, 39. ©J bk Sctan^el 

, ADB, HDI, 9lei*minHi9; f^lgfi* (6, 4- ®0 *^ ®«*en 

pro|>o«iom?i> f olglit^ (6, i. ©0 bie Swanget ADB, HDl^t 

n^nli<^« 3(u^ eben ben Qnsnbeti finb bie tvianqH BDC^^DIK^ 

imb ADC, DHK, i^n(i#. 

'  2)a BA b^ IH , utib AC bet HK pavaM ijl; fo ifl (i r> 
10. @.) BAC = 1HK, dud) (5, i5-®0 BA: AC=IH 
:HK; foIsJi* (6; 6. ©0 a ABCrvA^HIK. ' 

©emnacb ift (i i, 9. (S.) bie ^pramibe ABCD btc HIKD 
^ cf)tdid>f fofglicb aucb bet AEGH^ weil biefc nacfe bem et^ 
fen i^tik bet HIKP a^nlict^ ifk. 

S)ttttet ?^eif; 

5Da« bie Vtifinen, EBFGHI, GFCKHI, twl*e, tt)en» 
snon t^on bet ganjcn ^oeamibe obige bepbe (feme $9tamtben; 
' megniinmt; u6ttg:b{eiben,. einonbet gletc^ ftnb^ 

2)a BF = FC ^ f0 ift (I, 4 1* ©0 EBFG = 2 A GFC. 

Sftott f^btn geba<bte' ^tiftitin; n>etf ist bem etftcn bet @tttnb^ 

fiacbe EBGF, bie 8inie HI,, in bem jicepten bet Otunbflacbe 

GpC, bie ^acbe IKH gegenubet fiegt, gleic^^e |)6^e^- §0(4? 

' Ii(^ ^nb ^ i^ 40. ©0 biefe ^*ifmen gleicb. 

SStccter (S^eiL 
2)a§ 6<9fee ^mm, EBFGHI, GFCKHI, j«f(jmm«« 



54. 



3i«0« 



/ 



i6o 



€MVi Sememe 




fte&t erne ^wmibe tBFl, 
trren @cufibf[&d)e CBF, 
iinfe ®ptQe 1, unb ed tjt of# 
fenbar ^ri(ina EBFGHI 
>5ponEBFL gtunfinb 
tie ^pDramiben EBFI^ 
AEGh , ipetl fie ^n gtetc^ 

tief gleitben unb it)nlicben ^ 

®6enen be({tdini(t noftbeii; F # tl 

0tetA unb Ir^nlicb* ^ol0iS^ ifk Mma EBFGHI > 9or« 
AEGH. giun war qjrifma EBFGHlnr^rifwa FGCKHI, 
tinb tpt. AKGH =^^t. HIKD. goIgJt* iji Mtn« FGCKHI 
> «pi)r. HiKD. §<>l9li*' ift ^cifma EBFGHI + ^tifma 
GtCKHl > sp9r. AEOH + ^t. HIKD. 2)emna* ifl 
bie ganje ^pcamibe ABCD in jtoep utt^teicbe 2^ei(e det^eii!^ 
tooDon ber gi:66ete bie bet^ben ^tifmen^ bee (ieinete bte beps 
ben ^p^romiben ent^&lt $olg(t(Jb fmb bie bepben ^rtfmen 
tr6§er aU bie $&(fte bee ganjen ^^ramtbe. 

fffietben jwep bre^eitige ^pramiben bon gfetc^et J^&^^ 
ABCG, DEFH, in jmep filei^e^ etnanbee fefbfl unb bet 
ganjen i^Itcf)e, ^^pramiben unb tn jwep jsfetc^e 93nfhieil 
jerkgt, unb bie entj!onbenen ^ptamiben noieber auf eben 
bie 7(rt get^eilt, unb bie§ immer fo fort: fe ber^alten 
fic^ aUe ^rifmen in ber tinm ^otamibe ju t>tncn bon 
9tet€f)et UnhcHil in bet anbetn^ toit bie ®runbfl&c^ bet 
eirten, ABC, jut 0tunbf^[^e bet anbetit/ DEF^ 
©0 bie btt)^ 
ben ^9tami$ 
ben ABCG, 
Dh.FH;t>en 
8teicbet|)6fte 
finb : fo pub 
offenDat Me 





^wb^ti ^tK^, 



3<l 



>on Q, H, <mf Me ISbenen ABC, DEF, gt^SAun ^vptmttl 
^Uid^. 2)a tit f>erpentifef au< G mi t>\e Unit GC Cii> 
1 7. (S.) Don ben ^arattMebenen ARC , OLM ,^ in iM^jet 
Oet;^&Itiii§ gefc^nitten merben : fo toiti , totH ^C . loon ^e 
<S&€ne OLM in M ^atbivt ifl/ au4> gebac^ter fJecpenMM 
du< G t)on ber @bene OLM ^alMvt $(n6 ef>m ben/@run^ 
ten toirb aud) b^t; aU^H auf tie @6ene D£F gefattte ^etpen^ 
ttfel Don Itx (Sbene HTS ^albin* IRun finb ^etac^te ^er; 
penbtfe( ; f otstic^) tiuc^) i^te |)&if ten , gleic^. SoIgKct^ i^aiat 
We ^rifhwn KNCMLO, QVFSTR, gtei*e |)6^, unb t>et^ 
^alteh (id) ba|^t (11, ag* 32. ®.) wie i^e SNittnbflicben 
KNC, Q VR giun fint) bie ^crfmen in jebet bet ^otamibcn 
ABCG,DEFH,etnanbec9lei*, unbbaf)ei:Mm^IKNBLO: ^ 
f>rifm. KNCMLOzr^Pcifm-EPQVTR : ^cifm. QVFSTR ; , 
«lfo (5,i8-t6.@0 Mm* IKNBLO+Mm* KNCMLO 
:<Pvifm.EPQVTR+Mm.QVFSTR=:Mm*KNCNiLO 
l^xiima QVFSTR. gorglid) tjlAKNC: AQVFzr^m. 
IKNB LO + Mm. KNCtdLO : ^rifrn. EPQ VTR +^nfm^ 
QVFSTR. ' 

2)a BN=NC, t^n^ AK=: KC; folgfi* (6, a.eONS 
bet AB pacaflel: > ift (6, 4. @.) A ABC ru a KNC. Ku« 
«t><n ben ®tfm^»n i(t a DEF A) A QVF. S»un ijt BC=? 
a CN, unt>EF=2FV, ttnl> ba^cc BC : CN irr EF : FV. 
golali*i(i(6,a2.<S.)AABG:AKNC=ADEF:AQVF, 
alf« wtwecbfeltA ABC:aDEF=a KNC:aQVF= • 
^rifm. IKNBLO +^ri(in. KNCMLO : ^rifm. EPQVTR 
■f f)ctfm. QVFSTK, naUf itai pben Sewicfenen. 

J 

®erben nun bie entflanbene;n ffeiitecn ^pramiben OLMG/ 
RTSHjj eben |o jeclegt : fo t>erf)alten fid^ nac|) dbigen ©run* 
ten bie ©runbflacben OLM, RST, wiebie bepben^cifmen 
tn jebet bet be9ben obigen ^^tamiben. 9lun ift a OLM : a 
RST = A ABC:aDEF. golglicb ifi A ABC:ApEF=: 
twet ytifm. in ABCG : Dtec^rifm* in DEFG, 8tuf eben bie 
«tl wicb bet »e«ei8 in^^ ffit bie »ptifmen irtAiKO, pP'QR. 

.35 tttt^ . 



' I 



r 



/ * 
i 



3(» 



€uQ(b'0 €l(iti<tite 



Mib &6«f^|>t fiir «fie- fotgdile ($iii^ibiiis<n dob ifni^ 

^epfettige ^pramtben toon ^(etc^et: ^6^e^ A6CG, 
DEFH, toerl^alten fi(l[) wie i^te 6)i:unbf{&4<n / ABC, 
DEF. 

A 






F B 



©ire w*t A ABC : a DEF = ^9V. ABCG : ^pr. 
DEFH/ fo fco A ABC : A DEF = ^pr. ABCG : X, fo 
t)a§ bet 5t6rpec X cnnoebec fleinec cber gt6§ec M 99t* 
DEFHfe9- / - . 

(grfler galf. 

(8« fep «Drpec X < 5p9c. DEFH, unb A ABC : A DEF 
=£ ^9t, ABCG : X. 

^ecleae (12, 3. 00 bic^pt* DEFH in jwe? Weinece gtei^ 
^e einanber felbft unb bet ganjcn al^nlicbe ^pcdtniben ut\t> in 
jtt>e9 dieicbe ^cifmen ; bag alfo bie bepben ^rifmeii jufammen 
gcfcgec M bic |)ilfte bee ganjen ^pcamibe DEFH finb. 
JDiefe fteinecen ^pcamiben jede^e auf e6en bie Set , unb fo 
immec foct/ biS bu(io, i* ®.) duf ^pramibeh fommft, toeU 
^t tUmt ftnb, a(« ber Uebetfcbug bee ^pr. DEFH fiber 
ben ftirpet X. @« fepcn biefe ^^ramiben DPQR ; RTSH : 
fo finb bie in bee ^gx. DEFH ubrigen ^rifmen dt&get 

m X. 

2)ie anbere ^pramibe, ABCG, n^ej:be auf ebeii bie Set 
M<b gleid^er Stnja^f ieriegt : fo ijt ( 12, 4» @0 A ABC : a 
DEF £=; fxiim. in ABCG : ^rtfm- in DEFH. SRun ijk 



'^Whl^ti Sgut^. 



363 



<nrg<nonHnen'A'ABd:ACEFr=^9r. ABCG:X. ^diiW 
i|i ^or. ABtG : X = qjiiftn Jn ABCG:|>rifm. In DEFH. 
giun t|i ^9t. ABCG > ^tifm. in ABCG. golgli* ift (5, 
14. 0.) X>spcifm. in DEFH, mt^i im 83o«<»en, 
^clfm. in DEFH > X, »ibci-fpri(:^t 2)emna(& tft nic^t 
AABC:AD£Fr=:^9cam. ABCGrX, Wenn X<^9r'am. 
DEFH- au3 eben ben ©cunben ifk bu* nicfet A DEF : A 
ABg=V9C. DEFHtZ, wcnn Z<5|y9t. ABCG. , 

m f<9^> $9C. DEFH unb A ABC : a DEF=: ^pr. 
ABCG:X, firfglic^ avd} uingefc^rt A DEF : a ABCrrX- 

«« fep X : ^9c, ABCG=^9r. DEFH ; Z, alfo Z <' 
^. ABCG. S8un ift angenommcn a DEF : a ABC =: 
Xt ^9r. ABCG. ^0(9110 ift A DEF : a ABC = f yc. 
l^FH : Z ; nre((M nac() bem ecj^en §aUe unm6glu^ ift. 
3>emno* ift nj*t a ABC : a DEF = ^pt. ABCG : X, 
ti>enB X > ^r. DEFH , unb na^ bem etflen §atfc au(^ 
tmt, toem X < fpr. DEFH. golgHt^ iji a ABC j A 
DEF=^9C, ABCG:|J9c. DEFH: 

JDer 6. @a|. ie^rfaf. 

SBWfetttge gjpromtben toon glet^et ^hi^t, ABCDEL,' 
F^GHiKM/tet^attcn jtc^ wic i^te ©j;uiibff&4«n, ABCDE,, 
?GH1K. 





C D H^^^^^^^^ I 

S^eile biefe @tun^f[a*en in i^cc ?iiani?cl , ABC, ACD, 
ADE; FOH, FHl, FlK,.unb ftciie \>iviib<v iebem ileiangel 



etnc 






• ' 



1 



364 €iif(tb*d f&maiu 



tknt fHHMmf>« i»«n ^letd^^i^ nit ben ^ben )ttec(t §iba^: 
ten 99^'<MuNii tM>r. * 





D« (la, s. 0.) A ABC : ^ ACD = f pc. ABCL : ^ 

\AC1)L; it tft vetbuitben (S/ 18. ®0 ABCD : A ACD 

= gj9f. ABCDL : Vpr. ACDL. sRun ifi (n, 5. €5.) owl 

. A ACD : A ADE = ^pc. ACDL : ^c. ADEL. %iA^^ 

ift (5, 23. ®0 au» beiti ^Utcben ABCD : a ADE = 

' 99t;. ABCDL :^c. ADEL, f«lgU(^ (5, 18. ®.) 19erblllt> 

ten ABCDE : A ADE = ^c ABCDEL j ^pfc. ADEU 

9i\xi 0iei(&en €^rfinben t(t auc^ FGHIK : a FIK =r ^ 

FGHIKM :^pr. FIKM, folglic^ au4> umadU^ A FIK 

:FGHlK=r^9C. FiKM:V9t. FGHIKM. 

S5a A ADE : aFIK = ^pt. ADEL : ^pt. FIRM, uiA 
«a* OWfleoi ABCDE : a ADE = fjpr. ABCDEL u)^. 
ADEL; fo Ijt ofiB Dem (Bleicfcen ABCDE : a FlK = 
^pr. ABCDEL : ^or. FiMK; abtt auc^ noc^ 0(>tgem a 
FIK : FGHIK = sppt. FIKM : ^pi. FGHIKM ; folgli^ 
au6 &em (BUtcben ABCDE :FGHlK=:^pc ABCDEL 
: fJpt. FGHIKM. 

^ebcd btepfeitige ^ti^ma, ABCDEF, Ih^t^ in bw? 
dteic^c bttpfeitige ^^ptantiben jertedcn. . ^ 

3ie§« BD, EC, CD. 

SDa (11/ 13. Q.) ABED ein VaraKefodcamm , fo ijl 

(1/ a4> ®0 A ABD = A £DBi fo{dti<^ (li, 5« ®0 09t. 

ABDC 






?^i 



i6s 



ABDC r= VjPK. EDBC f tenn 6f9< 

£DBC mit ^pr, EBCD bi«fd6<. "' 

•goJflll* ijt ^pt. , ABDC = ^9v. 

EBO). 

. 5Da fetnft FCBE ein fJawflelo* 

ijtaimn, fb iji (i, 34« ®-) A EBC 

q>pt. EBCD = ^r. EQPD ; t>enn B 
^ep^ec ®$i|e 1^ D. fflan wat ^pr. 




Vpt. 



EBCb = ^ptr: ABDC. golgtit^ iji ^pc. ECFD 
ABCD. 

Z)rmna<(f'ifl N^jpttfoM ARCDEF in beep 0lei(5e btcpfrfv * 
ti^e ^pramtben ABDC, BECD, ECFD, get^eUt ooorttenl 

3 « f a I- - 
|>i(rda$ et^eOet / ta^ jebe ^pratntte bee tcitte $^i( einet 
f^rifma ton gleic^^et ^bf)e unb auf einerUp @irunbfl&d^c feo. 

XXnn Da ^pcamibe ABDC mit ^pc. CABD bkfeifte ifl} 
obcr ^r. ABDC =>f ^tifm. A^CDFE: fo ifV att(6 ^pr: 
CABD = I fJrifm. 4#CDFE. 

SSkt nun aui) ia$ ^dfma pielfdtis/ (» (&gt e< fid^ bo(^ 
V in IcMtet btepfettige icrkgen. 

TCe^nlic^e brepfcitige ^i)ca»niben, ABCG, DEFH, 
ftnt) in brer)fa(^er ^ec^aUntf i^c«t: ^ontotogen @eiten^ 

BC, £F. 

Sl^oHenbe tie ^a* 
cdQdepipeba BI , 
^N. Iba fjpcam. 
^BCG rv ^ptain. 
DEFH:foi(t(ii, 
9.(80BCA5=EFD, 

Aca = Dm, 





I. 




366 &t(i^i < ^OMfite 

BCG=:EFH;(m6 
BC:EF=:AC:DF 
=rGC:HF.$o(^ 

fi«tftr6,i.f.)CM 
fvFQ,CIrvFN, 
CL Aj FP. 9hto 

febctn ^araUelepipeton ben bit? gciuitmten S6cnen bte gt^en; 
S^ Hrgenbm glei^ unb &^i(b^ Si>(d(i4) tft (i i, 9. $.) 
BlroEN, foljli* (I I, 33. @0 BI; EN = 3 (BC: EF). 
0iun ift ein ^ifma bte i>(i(^ be$ $acaUe(epipebon^, bte f)9< 
ramtbe after bee britte ^^et( M ^rifma , alfo bte ^ptumite 
bee fe(b<te S^eU be« f^acoKefeptpebon^, »nb bailee ift (5, 
1 5 . ©0 BI : EN = ^t. ABCG : ^pr. DEFH. ^^^ 
ift au* V9r, ABCG ; ^. DJiFH = 3 (BC;EF). 

in ^tepf adl)ec Ser^&Itnig i^rec) ^omotogen i^eiten (tnb« 2>ens 
jerfestman (6^ 2o« ®0 bie &lgffilt({|^ tielfeitjgen ©ninbfto; 
c^en in gteic^ t>tele a^nlid^e ^Iriongd, alfo t)ie t)ielfettigen ^^ 
tamiben in bce^feitige: fo Der^&ft ftc^ cine bte^fetttge bet 
eincn iu einer brepfettig^n ])er anbecn/ t9ie aQe bvepfeitige ber 
einen ju alien btrepfeitigen bet anbecn^ bai i^, toie bit mt 
tielfeitige ^pramibe ju bet anbetn. ^a abet bte bce^feitigeQ 
^^mmiben in brepfacber 3$et^&(tnt§ il^cer ^otnoiogen (Seiten 
ftnb : fo finb e ^ au^ bie bielfeitigen ^pramiben. 



@tnb brepfeittge ^Jptamiben, ABCG, DEFH, tinm 
bet QUid): fo finb bie ©runbfISdE}en, ABC, DEF,iii unu 
flefe^mt ^er^iftnig bet J^&^en* Unb finb &ie.©ruttfe 
^ic^en, ABC, DEF^ in umaefe^rtet ^txiiUtm^ Ut J^i^ 

* l^en: 



/ 



d»6(f(ed S^n<^ 



J67 



• 



^n: fo jtitb hit $9camtben, ABQQf OEFH/ einanber 
Sotfenbc bk ^icaMtpip^a, BI/ £N^ tie mit tm 99^ 





>«« fep ^r. ABCG =rr ^pt. DEFH; fo ifr, tpeif BI = 
6 Vpr. ABCG, unb EN ==: 6 ^Dt. DEFH, aud^ BI = 
EN, foigli* (ii, 34. ®0 BK : EM == |>6l^e ton EN: 
|>6&e Don BI = ^6^e bn ^c. D^FH : .g>6^ tet. ^jlc^ 
ABCG. S?unljtBK:EM=rAABC:ADEF. ^ol^Iid^ 
ijl aucb A ABC : A DEF = $6^< Dec ^pc. DEFH : ^b^t 
Ut f pr. ABCG. I 

Qwcxfttt 2^etl. 

(8« fep A ABC : a DEF = ^H^t tec ^c. DEFH : Jf)5$e 
tec $pc. A BCG : fo tft , well A ABC : a DEF= BK : EM, 
au(t BK : EM = |>&^e oon EN : $6^e t>on BI; fofglic^^ 
(I I, 34. ®.) BI = EN. SRan iji BI = 6 ^c. ABCG, 
tint) EN =:* 6 ^pt. DEFR gofaUc^ ifi ^pc. ABCG = $pr. 
DEFH. 

I 

S)cr lo. @a|. lel&tfaf. 

Setec ^(9e( ifi bee trttte $^ei( etnetf (SpHnberS ^ toel^ 
c^ec mtt i^m gUtc^ ^6l^( unb ein(c((9 ©citnbfl^e/ 



, 4 
t « 




36f ett&Vi tfemtnte 

^ai 2)rr9fa(6e bed Xegeitf, 
fo» lo&re bet Sfltntft enm>e^ 
tec Aro§ec obet fUiret, Qi$ 
tai 2)re9f ac^e bed ^egeM* 

grfler galL . 

!Der Spfinber fep %th%tt 
m ta# 2)i*e9fa(^e bed ^^ 

S3ef(^i:ef&e in ben Sreid ^ bet bie ®runbfla(be bed e^tinberi 
«nb Segetd ifk , bad Duabtat ABCD , fo tft folcbed qthitt 
aid bie |)&ffte bed Sreifed. 9uf bad Ouabcat jtette ein nit 
bem Spdnbet gleic^ ^o^ed ^rifma: fo ift foM^ed itb^tt oH 
bie ^alfte bed SpUnberd* 

£)enn tDtrb aucb tim ben Sreid ein £laabtat befc^ben: 
fo 1ft bad innete bie |)alfte bti hv^ttn. 0lun oet^alten ^ 
Ike auf biefe^uabcate (iteftettten/ mit bem Sptinber gfeicb ^o< 
^en, ^tifnien mie i^te @^unbfl&cben. So(0ti(b i^ bod ^tifaia 
anf bem innem Xhtabrate bie |>&(fte bed^ ^rtfma auf beii 
augem* ^a nttn ber SoUnber Heinet ift, ali iai ^rifma auf 
bem att§em: (o ift bad ^rifma auf bem innern^ ABCD, 
%thiet old bif |)&(f te bed iSpiinberd. 

|)albice bie Sreidbogen, AB, BC, CD, DA , in E, F, G, 
H; unb t>eti)inbe bie ^tbintngdpunf re : fo ift jebet bet ba$ 
burcb entftanbenen Jriangel , »ie AEB , 9r6§et aid bie |)ilff 
te bed }uge56tigen ftreidabfcbnittd* ®te(It man baf^ auf 
|eben biefer $rionge( etn mit bem Splinbet ^(eicb ^o^e^ ^^ 
ma : fo ift jebed sr6§et ali bie |)&tfte bti iii9e^6rigen (Sptin^ 
betabfc^nittd, 

S)enn mm butc^ bie ^unfte , E :c mit AB k* ^ataXi^f 
linien jejogen , bie ^arallelogramme ooHenbet , unb auf bie*. 
fetben ^oraQefepipeba Don gleicbet ^hf)t mit bem Splinbcc 
gefreUt tt>etben: fo ffV jebed ^rifma auf ben %tangefai 
AEB K* bie ^dlfte eined foict^en ^ataMepipebondv noelcbed 

fltblet 



\ 



let aif tit ^^fte fre« ^(in(era{#mn«. 

fig tk>ie Dorset ^ tmb (orm^r fo ftttt fo fomtiit man (ta^ 
1.60 rrgefft) e»timrf duf Spitit^ni&felnftte, hk tuin^^ 
fcer Ue&etfc^u§ be< €p{fn»ec^ dbet ba^ S)te9f<ic&e t)ed ftegeti 
fihb. : 9d fe^en biefe bk Sbfc^mtte duf Afi^ EB )e«t fd i| 
&a« iSt^rige t^klfeitifttiJt:^ D^n ^^tt^ht^ mit Hm 9^ 
Itnbec auf htt ®futtb|li4e AE6 ic gttler a($'M SJre^d^ 
lbe« $ege(«. Sltttt ^ aa(& biefM t^dfi^ttide f^dfoia H^ tit^ 
focbe etnet ^pram^e / bit ditcefe^ 0tuiiib^&c^e tin9 f&pd^ 

b<t fif^ff aitf b^Qi ftrdfe ABCD« 2)a diet bt«f)^ ^tfiftle 
in Dem Jirgel ent^(iftett|^ i fo l^ (ie ffeiiter'dtt bet 9i0, 2)M|». 
iDib^rfpticOt dnanbft. St)ld(it^ fp ber S0itbe» ni^tgtigK 
a» ta« ^e9fa4)e be« ftegf M« ' / 

^r €9finber {<r9 fleinet aM ba^^Sre^fd^ M tegtd/ 

•e« €9lii*et«r 

$i€r fc9 mi ebet in ben &mi ein fiuabtdt ABGD hHtk^ 
httt: fo ifi Wefe« grS^er a» be« Steife* $4Cftc. iTuf *a« 
£uiabrat fe^ etne ^oramibe t)on einetle^ $6^e nrit bent f egd 
jief^eflt: fo ift biefe grffer dl« be« fte^et^ |)a(fte« 

JDenn wfrb, toie im etfttn gdtie / u« tett SeeW em flud* 
ttat bef<^rieben : fo if^ tdi imtere bie ^iAftt be^ on^ertt^ 
®etben nun iitif be^be ^iuabrdte ^tifmin oott gleic^eif |)6tre 
mit bem fteget sef^etit/ bie 0(b o(f^ (it/ 3^! ®.) toie if>c€ 
9ntnbf{&(ben oer^olteit: fo H^ bof tnnere ^iiftim bie |)ilfte 
Jbe« i&ttgent/ difo aniff t^i £irittel oon jenem bie ^fte be! 
Sbrittdtf t^oit bieferti/ bdd tft/ bie f^ptdimbe <tiif be# iifftenf 
fittobtate tie {)&ifte betf ^tomtb^ onf bem Attfeftt/ dhtu ifk 
feftaK/ toeii fie ben Heget tn^kt, ^iitt aii beif ftegef* 
Solftltcb if^ bie V^camibe auf bem titnetn Ouobt^ ABCD^ 
' tfiitttb'o Q^iem. li m4^ K 4 >i€ 



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— a 
V f 



,V!^ 



(futiib'^ &mmt 




tie 9iijt Urn Sit§A^ etSKc'q 

sunn ^d&ite tnan lok^er 
.-^i^ $miboQtn AB ac. / unb 
iM^ AE :c« , baS o(fp \dxt 
,^rtdii9c^ tt)k AElJ, groger 
4if< bee }a(|ef>&tige Srciteb^ 
i^tt i(t; ^cUe auf icben bte^ 
4er Xnangel AEB }c. ^^o^ 

tloibfQ iQtn eimr(fi) ^^6I)( mit ban S€gel ^ fo ift }tbt bttftlbct 

«i^&^ oM bie |>&^fe be« itt9ef)&n9en trei^abf^nittd. go^ 

^lum nan mit |)dtbtrttiis bet ^rd&bogcn, . unb bet nbri^ 

.^StnftrfKtipn fp f^n: fo. fommt man jile|t auf iSesdabfcbntt^ 

« |f>bk n^iner {iii.b /^ aj^, bet Uebecfcbug bej Segel^ ubec bn 

. biitten !^|ett be« C^linber^. 2)tefe Sbfc^nitte fcpf n bie uto 

vAE^ EB K. : fo ift bie nbric^e ^^ramibe auf t}ci @runbfia(^ 

«AEBF 2C uRb ia glettbet |)6()e mit beot Regel/ ^r&gcr aM 

Mr britte S^dt be^ efKnbettf* Stutt ift biefe ^ramibf Nr 

Ihrltte Sfteii bed ^rtfoia t>on eineriep $% uub ©runb^o^ 

mit bem e^Itnber. So(g(ict> ift bad ^$rifma auf bee QtuxAt 

iAdfi AEBF 2C. gcogif Mi bet ^Eplinbec auf bem ScctK 

4BCD^ mit bem ei einertep |)6()e ^at Siun ift t€ abet i« 

bem @9Unbei:ent^aIieit/aifofle4ner/ toelcbed einanber toibcrs 

fpticbt* ^ol^litif i^ bet Cpimbet nic^^t fleiner aid bad ^cep^^ 

facbc bed ftegeld; abet' nacb bem erflcn ^aH^ auct> m(^ 

gcoget; folgttcl^ ift bet kegel bet btitte ^^eil biefed 9^ 

liubetdl 



. ^^i, aud) (^(tO)^ AK, EM, toon df«t(^ :^^ 

IK, LM/ toer^olren ft(6 tvie il^re @i:unbtUc6en, ABCft 
EFGH. ' *7 



•^ 



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ma 



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%n 



®&te hizftt nU^tt f» f»hst ABCD : EFGH = Segil 
AK ; X/ ft to§ bet ft6rpet X tntto^^t Ketnet tbc(«4i;6fct 
aM be( JtegeC EM fepn m&fite. ', 




(S« fep ^ S((n>et X< JTesel EM, fi^ M ber Seget EM 
=rX + Z»itf. 

85ef(^reibe in Un Itteii EPGH bai Simbtat fiFGH: ft 
1ft fo(c^e« gr6fiet off be« J(reife» ^fte. Ctette auf btefe« 
Ciuabrae eine f^pr^nribe FM m qkitS^^f^t mit hem ftegeC 
EM: f0 ifl fdtcbe gr^^er q(< be^ ^e^e^ ^alfte. S&enn fie tj^ 
bie |)&lfte eitiee in gfeic^r ^5^ ouf bd^ hu%evt Qmhtat^^ 
fkeUtei) $9ramibe ^ tinb ber fteset fieiner M btefe IeQter<« 

$atbirt man nun lie 5ttet«bdgen EF, FG k^ confhrufet 
aSe< tDte be9m t^eyten Sa8f be« t)|Mi'9en ®ate»/ unb fi^et , 
(amit immet fott: fo femmt man (lO^ k ®0 auf ftegeiab^ ' 
fiibnitu, bie fteinet ali Z ftnb. $« feyn folc^e nun bte iibet 
HN »., fo i^ bte i6ctge f)9(ttmibe FM auf ber Ovunb^&i^ 
^e HNE it,, imb in slet<|er $^e mit bem ftegel £M 
ftr&§tcotfX» , 

SSef<(tetbe in ben ftrei< ABCD ein bem 9o(0dtnt HNE h^ 
&^n(t(be« unb A^nKtb ttegenbe< DRA it., un^ OeOe auf baf^ 
felbe etne ^pramtbe BK in.gteii^ec ^ifyt mit bem Segfl AIC 

2)a (6, «o; ®0 D AC : D EGss^tfpg. DRA : ^Ww* 
]MNE K*/ vnb (La^ I; OK) D AC:g£Qat«rfi< ABCD 

»a « :$(tei< 



' i 



/ 



sr'a 



^mt^i €(raMrte 





:«rei« EFGft; fo ift (5/ 1 1. ^).«t. ABCDtSTc. 5FGH 
= ^o(. DRA 2C. : ^L H>|£ ic 0hm mar anqtnvmm 
Srci* ABCD : St. EfGH =r Segel AK : Xj after ( n, 6.e) 
«PoI. DRA jc. : f>oL HNE :c. = ^or. BK : |>pr. EM. 
§c(g(i(^ ift Stegei AK;X = 99c. 6K : 99c. IM. SSun | 
ffgel AK>|^9c. BK, weH biefc in ioiem (M^(tet» i^ g# 
ii4> (5/ 14. 0.) ifl ouc^ X > $9c. FM; nMtct>e« brmOife 
geit/ t^c/FM >X, tDitxrfptic^t. $ol$lkt> t^ nit^t SM 
ABCD : »r. EFGH = Stgd AK : X, man X < $» 
gel EM. * 

tfuf o^nfic^e Krt toic^ bmit^ta, bag oik^ nic^t firdi 
EFGH : Stttii ABCD = Slegei EM: Y, tvcim Y < So 
flcl AK. - 

Sweater §alC. ' • 

^« fe9 X > JTcgcI EM, unb »t. ABCD: JtTi EFGHrr 
ftegel AK:X, a(fo au(^ umgefe^rt Xc. EFGH:ffr. ABCD 
= X : Segri- AK. 0lun fe? X : ST^gel AK i=; ftiegef EM : Y, 
»i) a!fo Y < «ege( EM ; fo ifr «cei# EFGH : Sit, ABCD 
==r^cgef EM : Y, n>e((^ na<b ttn» er^eiv gafle unm6gfi4i 
ift. iDemnac^ ift tricot ftr. ABCD : $r.>EFGH =; tegd 
AK:X, tvenn X>keg(I£M, mi nat^btm ec^ ^lle 
Quc^ ni4>t, mm X < Stt^A EM. $Ofl0ntt> ift 9r. ABCD 
: Sr. EKGH = ^egrf AK : ftegd EM. 

£>« nun ii2f to. (5.) ^plinbrr tveptnaf f» grof dl< 
ftr^el t>9a- (eif«(6(» .$)(^e~imb ^vmi^i^c ^, -f^i(^ 



< # 



^mhiftci i8u(^. 



173 



/ ' 



(f(^ n»ie bif fte^d oer^oftm: fo i^ oue^ Stt. ABCD : 5tc. 
EFGM = epL auf ABCD : C9(. ottf EFGH. 



^e^tc^e 5te9«(; otu^ Splinbec^ 6K^ FM, ftnb in 
brepfacfyet ©cc^&ttwigbet S)«r<^meffer, BD, FH, ifyca 
©runb^&c^en. 




. S®iw bicfe« mt, fo f<9 3 (BD : FH) = Stt^tl BK:N/ 
too Ut Stkpet N (teinec ot>n gc^c a($ Segel FM ijt 

f rflet? Salt, 

68 f<9 N < «egef FM ifr. 

SDttb ^tec dfie^ n>i;bec wit btpm wti^t^ ®a|e ju Sttfan^ 
be8 ecfien $a(Ie8 conftnitct: fo tt^hlt man au(& ^kc iu(e|t 
cine ^9l;anlt^( GM ^ beten <Spi§e M / unb @ntnbj{&(^e bai 
^ofpson EOF K. , unb tpei<^ gr6§et a(8 ber $6cpet: N tft. 

S9ef(bteibe mtn in ben Stcei8 ABCD ein bent ^o^on 
EOF K. &5nli(be< ASB }c., unb fteUe auf baffetbe eine^^s' 
ttimibe CK^ beten @pi|e K \% @ine @eite bee ^pramibe 
CK fe9 bee A KSB , unb eiiie @eite ber ^^tamibe GM bee '^ 
AMOF. 3ie^eB, LO. - 



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Ma 3 



Z<t 



r'4 




' / 



Sa Sfgef 6K <uSe$<f FM : f« t| Ci (/ >4. &) BD :FH 
S=1K:LM; «»(rBD:FH = BI:FL, fe(9ii4 L*1:FI= 
IKLM, aff» OmMd^t BI : K =^ FL : LM. Sb 
finft M I «R<^ L R«K SBisM, Ui* ifk, BK =FIJt 
So(«M(^ ifi (6, 6. eO ABiKrVAFLM. 

^ fctncr BI : IS =r FL : LO, m» Mgni Wfl^i<i<iif 
Ut fcbfgone, BiS = FLO: fo ifl (6, 6. &> a MS fV£ 
FLO. 

©« {w Cocigm BI : IK = FL : LM, oftft BI=B, 
lin)>FL=LO: foi{ii$:IK=:LO:LM. Stan it SIK= 
OLM = «. g0(d(K& t^ (6, 6. 6.) A KSi ro A MOL. 

JDaABlK^OAFLM, fofgii^ KB:BI = MF:Fl; 
unbABlSrvAFlO, f olgfi* BI : BS = FL : FO ; (bit 
<iti(6 (Ut0 bent (SUtidnn KB : BS =r MF :FO « olfo OW 
$tifef^t SB : KB = OF : MF. 

ItaAKSlruAMOL, fo(gIi($ KS : SI = MO : OU 
tint A BIS ^ A FLO , fof0fi(^ S( : SB = OL : OF; fo 4 
mie Dem (Bldcbeit KS : SB=:MO OF. stun Mot is 
i»oeSB:K6=rOF:MF. Sdflli^ tfk 008 ban €(kt^ 

KS:KB=MO:MF, 

. 2)«nna(^ fint tie ^dtni'tec Scioitdd KSB, MOF« pw 
pvttimM, $o(gU<ft ifk (6/ s. ®.) «i«^ A KSB (V^ MOF; 



». 



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K f 



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'3»&ffte« %!<#»' . 



37y 



fo(0li* (11,9. (?.) f^t. BSEMtfO^p. FLCfM; folgttj^ 
(12, 8. ®.) ?ijc. BISK : sppt. FLOM =s 3 (Bl:L^) =3: 
3(BD:FH). 

SDflrben nun oon otfen &6tt^en ^unften ^ct Umfceife 
• ABCD, EFGH, xia^ ben SRittelpunften jf, L^getabe ?ime» 
^((e^tn, unb auf bit babucc^ cntftanbescp {{fian$e( :^|}9C<NnU 
I>«n,'becen (Spt^tt K, M, Onb, ge^eUet: fo l&|t ^c^ cuS toi 
vigra ®canhen idten, baf bie SSecJ^&itnit )«be« iufamtnen$e<. 
X^n^QSn fkace^ f^ic^ec f^ycamibcn bo$ Scepfatbe b«i' 8et;« 
|&(ttttg BI)': FH (e9, ' bag folglit^ bie IBer^atthiife ofiei; bk|i>^ 
qjaase gki* ftnb. Solgft* ifi (5, 1 2 . <|.) ^c. B ISK : ^v. 
FLQtVfcr: dBc ^^. auf ABCD : flUcn f i)r. <iuf EFGH, 
tai i{l = gan^e fjpc. CK : ganjea ^tnr. GM. gofg(t<^ if^ 
3 (BD ;FH>= ^t. CK : ^XfX. 6M. SSun xo&x aogcitomf 
wen 3 (BD : FH) =r Segcl Bft : N. Solglicb ift Scgcl BK 
iJSl' = ^c. CK : qjpt. GM. Shirt r|i , »c« ber Segel bie 
^9t. umf(btie§t, ftegel BK > ^pc. CK. gofglic^ (5, 1 4. ®.) 
. if): Att(^ N > $9t. GM; toelc^ei bem O&igen, ^pr. GM 
^ M, »i6e5f|wi4>t. Sfemtt<|ic^ ifl ni<^ j (RD :.FH > ?= 
S(«ef BK-: N ,; xttm N< gegel FM ijl, ' , " , 

Kuf &^n(i(^e Sltt {eigt man, bofl <iu<^ ra(^ 3.CFH-.BD> 
= «e3eIFM:Z, »e«n Z < ^et BK#» 

m 

3t»e9.ter gail 

. ®« fe9 N, > ftegel FM, unb 3 (BD :FH) = «ege! 
BK : N , folgricb au* N : Sogel BK = 3 (FH: BD). . Sluw 
fep N : Seget BK = Seget FM: Z, »» djV (5, 14. ®.> 
Segel BK > Z ijt. SoIsK* ili 3 (FH : BD> =r ^egeC 
FM:Z« n>e^e$ ttit(jb bem etfien SaUe unmdglic^ ti^. Ibtxa* 
m^ ill ni<tt 3 (BD : FH) = ^eget BKsN,, »en»N> 
Stege( FM i^; unb nac^ bem eiften SaOe. <ui(& ni(^t/ toenn 
N < FM ift. $0^0^ 1^ 3 (BD : FH> = fte^el BK :««* 
ijelFM. ^ 

2>(t nun (13, 10.®.) St)(inbet.b£eptat f» gr»8 a($ 
$le3(( Mti bevfeibcn i^\^ unb @tm^fi&d^ ^ob, folglfc^ 

aa 4 ' ««ifr 



v' 



b. 



fU» «M( We 9*0 »«i^t(s; fo ift oikI^ Q^L BK : €9!. FM 
3(BD;FH). 



JDer ,13. €>a^ i«^«f«f 

SDirb et« CTpfinfcw/ AD, wn einer OJ^eite, HG, 
^n etnanbet gtgendbet (iegenbm ©runbffadjcn , AB, 
CP; pataM jefrf)nittent fo txrl^Itett fic^ bie a6jfe 

ft^nittenen e9(int«r/ BO, QV, m iV« ^««» 
II, IF, 



/ . 




HJeriansm (^ ^nbtrl # AD^ (li^ei EF^ auf 6i9>#ii 6(i^ 

t«K noeo K, L, tra0e auf £K etne b^fteMge fln)a(>l (er El 

d(ei(tf SMe EM, MK^ un( auf FL rttte Miebi^f «ttioV 

^ >er IF dM«e J^f FN, NL ; fege tuc4> Wf ^unfte M, K/ 

/ Jsf, tf f feenen^ t>en 0iiinbf[i(*en AB, CD, pawKel unb 0lci(fr, 

w^ i^ottwbe We «9lmbft/ PQ/ QB, DS, SX* 

f>4 ^|« etilinb«i!^ PQ, QB, BG< Mn d(ei(^((it>&^en, KM« 
ME/ SI( (i(^ (i3( 1 1, ®.) toi( i^te @cunbf(&(^(n t>er^a(t(n; 
>ief« a(c( glf^ {!nb$ fo {tnb oucb bte Cfplinbee iUi^, n&w 
m Vq^Qfi^ aa ao(0(l($ ilt KI wn EI eften f» 9ub 
f(Kb« toie ^(. PG 00m 6of, BG. !Cu$ benfdften. @c&nb«i 
ift IL oon IF (den fo t>i«(fa<& « toie ^91. GX ootn Sol* GD. 
fUm ift, I9«nn KI :^ II. « au« FG ^ GX. $o($Ii(» t(t 
j;e< 9. SO £MF = BG : GO. 






S(« 



» 







*i l^mn^. 



©~er f4, @a0. le^tfof? 






a77 



St«def / ABG, Cpi, tote ouc^ Sijltttbtc, BE, DF, ouf 




M«^^B«M^ 





I 

SerlAtt^ete IK ita6 M^ tnoi^e KM =HG/ imb (enfe 
Vit urn bie a^e K\f einen e^dntet; DL. 

IDa tie C^finbet BE, DL, Mn 9ki<^ |>^cr, kG, KM« 
|iA (12, 1 1. 6.) »te t^ce ^nmtfUk^en »et^(ten/ tiefe abec 
S(eic^ itnb; fo jtnb auc^ bie Spitnbec g(ei<^/ n^tn(ic(> BE =s 
DL« S)a tec SQhnber FM von bet SfreneCD ben ®Hinb« 
fl&beit pacallelgefi^nitteni^: fo t{t (i2/ 13. ®.) DL:DF 
=r MK: KI 8»un \% D'L=:BP, unt MKe=HG. %tA^ 
fi4>if»BE:DF=HG:KL 

Sa (12, TO. @0 bie S9(inber BE, DF> (tc^ »ie bie ftes 
ge( ABG, COl, m^alten: fo ift au^ Seael ABG : jtrg^rf 
CDI=HGjKI, 



@int) ^Reger, ACK, EGM, ober QJijfinber, AN, 
EO, einahbec gteicf): fo toer^olten fld^ bie ©cuhbpi* 
c^en, AC, EG, umgefc^rt wie^bie J^&^en, IK, LM» 
Uttb toer^dteit fJc^ bte ©runbfl^en umgefe^rt n>i< 
bie ^S^en: fo finb bie ^egel.fo »o^{/ a(« ouc^ bw. 
^^liobep 0(ei(i>, 



9(a 5 



. gf jl« 



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37t 



€ttmb'd CSfementt 




Bl I 



(g# fe9 SiK. AN=i69l. EO: fo jinb tie |>6^en IK, LM, 
<tit»ft)er g((i(^ obec ungtetc^. 

i&tfiUd^f wettn IK= LM, fo. ift (12/ ii. ©.) AN 
•:EO=rAC:EG; fotgli*, weit AN=:EO, au* AC = 
EG , foHm AC :EG = LM : IK, 

gnje^tene, wenn LM > IK,, fo ftD LP=1K. it^t 
burc^.P Nc ejfcene TR bro @runb|lMen pftMflrf^ unbbenft 
bic auf bet @t:unbfl5c(>e EG ben ^pHtibtt ER. 

SDaAN=EO, fo ift (s, 7. ©.) AN:ER=EO:ER. 
gRHnifi(i2,ii.@.)AN:ER = AC:EG,unb(ia,i3.6.) 

E0:ER=LM:LK SoJglic^iji AC:EG=LMLP= 
LM:IK. 

* / 

f »• 

Sweatee l^til 

@« fep AC : EG = LM : IK, fo ift na^ bet bocigen 
gonftcuction AC : EG=: LM ; LP. sRun ifl (12, 1 1 . ® ) 
ACtEG — ANiER, unb (la, 13. @.) LM: LP=:EO 
: ER. go!3K4> ift AN : ER = EO : ER , f ofsfict) (5, 9. @.) 
AN=EO. va V w^ 

2)a(fel6e gift au* (12, 10. (S.) »on ben Stegetn ACK, 
EGM; bog n&mUc^auct)l^iecAC:EG = LM:IK, toemi 
ACK=E6M, ttnbba§ACK=EGM, wenn AC:EG 
= LM : IK ifH. 



i 



)Det 



V 




» 

@^ fmb 5tt)ep cDttcentttfc{)c ^retfe, ABCD, EFGH, ge^ 
(^c6eli, n^ir foU in feen er^p^ern, ABCD, tin dlcic^fcttigefi 
5>of^on, \)0n jftaber ©eitertjafel, fcefd[)reibcn/ bod) fo,- 
ba| ^ol(^ti ben fkinern i^reifi nicf^ bet6fjre. ^ 

gk^e ben ©urd^mcjfcc 
BD, imb em4)te auf bcm^ 
feibeti in G ben ^ecpentifcl 
GA, mi Dedangete i^n natb 
C; foift(3,,i6.©0ACei^. 
ne fdtf&^xuniilmt bej SreU 
fe« EFGH. I^alfciti* ben 
«mfcei« BAI>, unb fa^cc 
mit biefec |)albictt«3 foct : fo 
fommft |u Xip, !• @0 itgmb etnmal auf cin (Stfirf ID, 
ba^ fleinet ift, ali AD. galle ou« 1 cuf BD ben ^erpenbi:? 
fclIK, teclangerc ibn hii L, unb ?ie^e ID, DL, ba benij 
Il^zrrDLi^ - . / ^ 

, 2)a IL ber AC pacattel iii, unb legtere ben SreiS becu^rt : 
fo btxhf)tt if}n IL nicbt, nccb t>te( iteniger betii^un i^n ID^ 
DL. > SEBetben nua in ben Sccid ABCD bee ID g(eid^e ge^ 
tabe £inten an einanb^c ^^ngenb eingetcagen: fo toicb iut 
ben gt66ern Sxdi m g(etcbfetfige$ $otpgon ton getabec 
®eitenta^l befct^cieben ^ xotl^fti ben f (einecn SreiS ni<i^t^ 
becu^^'^t 

\ 

©er 17* 0a|* 2(ufgabe. 

@S flnb jme^ concentrijcj^e ^ugelrt gegebett ; man foil 
irt bie grb^ere em ^otfebron befc^teiben, totl^nmit 
feiner Obetpic^e bie tkimu ^ugel nic^t berfi^te* 



€ott^ 



38^ 



9vt&V$ &mmt 




€onflructtoiu" 

Sine (Stent butc^ ten 9enieinf(t)dft(i(^en Wtttipuntt A 
/ *f<(netbe bte ftu^efn: fo billkt fte (iuf ter Obttflh^t \tiet btt 
ivfitn ftngefn einen ftreiS* ^enn ba (ti, i4» <§".) bie ftw^ 
gel botif^ Umbte^ung eineJ f)a(6fr,eifei urn feinen unioerrucften 
^utc^meffer ^ntftel^t/ fo toivb, mefcbe Sage 6er |)aI6fret^ onc^ 
^aben ma^, bie em>eitette @bcne beffelben attemcrf auf bet 
Obetflacbe ber ftugef einen ftteij bilben/ unb {mat einen Qvb^ 
tm, »eU ber JDurcfemeffet bee ftugel^ weldj^er emerfep mit 
bem be« i)a(bfteiH; alfo ofenbac andi> be^ beJ fttfeife^if^/ 
(j/ 15* ©0 gr6gec ift, ali alle in bem Sceife obec in ber Sn^ 
d^( S^SOgeite gecdbe (intern C^ fep nun duf ber gr66em $u$ 
0e( Oberfl&c^e ber iftret^ BCDE , unb auf ber Heinem ^ugef 
Obttfiiu^e jbec Sret« FGH ouf biefe S(rt aitfianben. B<^^ 
tiefe^ ®<bnitte^ SDurcl^meffer 6D/ CE/ perpenbifuUir auf ein^ 
anben S'^ ben 3r66ern ber be9ben concentrifc^en Sceife, 
JBCDE; befcbreibe (i2, i 6, ®0 ^in^ gWcbfeitige^ ^otpgon 
»on gerober Geitenja^I/ toelc^e^ ben fltinem Smi, FGH, 

. ' •. ni*e 

f. 



'. . . / 

■r 



ni^t bttufytt t>UUi ^ot^fioni Getten in Urn Qnabtamt^^ 
BE, fe^en BI, IK, KL, L£. 3ie^e lA, tin» Detl&ndere fie bit 
M. Scric^te auf ter ftrei^bene BCDE in A ten fkrpenbi^ 
fe( AN , ber bie £)berf{&cbe bet 8t6§ern Uuid. in N tteffe« 
^t^ AN, unb jeben bee bepben !Duccbme{fet BD, IM, (ege 
(Sbcnm: fo n>ei:ben biefe, nad|> itm 9€^^in^@efagten/ auf ber 
Sttj^l Oberfi&cbe au(fy grbgte Siretfe bilben ; be«en $&if ten fepen 
DNB, INM, welcbe, xoit AN , (i i, i8t ©0 auf ber HvtiU 
ebene BCDE per|>enbif ulat finb* ^ 

Sa bie iDuccbnieffec DB, IM, CE, flleidb Pnb, fo f!nb bit 
|)o!Wreife END, INM, BED, folglicb bie Ouabtonten BN, 
4N, BE, aucb flleicb* .2>a^er lafm {i(b bie ®eiten be< tpoly^ 
gen^, bie man in BE ein^etra^en f)at, autb in BN tinb IN 
eitttcagen. ©iefe fepen in BN bie ©eiten, BO, OP, QP, QN, 
unbinlN'bie@eiten,IR,RS, ST, TN. 3ie§eOR,PS, 
QT^: fo ift, »ie nac(?b^r )u betoeifen, jebe ber merfeitigen 
giguren/lBOR, KOtS, SPQT, au* (ii, a. @^ ber A 
NQT in ©nee 9btm. 

SDenfe bir t>on, ten ^unften, O, K P/ S, Q, T, n^O) beo 
$ugd 9)}ittelpunf te , A^ gerabe ^inieii geiogen: fo entflcgl 
jmifcben ben bepben £luabranten BN, IN, ein pp(9ebfifcbec 
^ocpee ani ^peamiben iufammcngefeit , ^ becen gemeinfcbaft^. 
liebe &pi%e A ift, unb Uvcn @runb{licben bie Sigureii 
IBOR, KOPS, SPQ r, NQT, ftnb. 

(Sonfttuirt man nun m Ouabcanten BE, auf feber b/c 
ibti^tn ®eiten IK, KL, L£, eben fo, tpie aufBI, in bet* 
beep ttlrigen Duobranten BC, CD, DE, ebeii fo, nrie in B£, 
unb in bet anbeen ^^aibfiigef toit in biefer: fo enifie^t in ber. 
gr&getn 9n%cl tin aui ^pcamtben Pon obgebocbter IBefc^af^ 
fen^it iufamtnengefeiS(<^^o(9ebron, ii^tUiti mit fetntr Obtp 
fl&cbe bie fieinete Kugel ni<bt bnn^xU 



/ 



2)<i§ yXt ber t>(nf((tig(n Siguurn IBd^R^ ROPS/ Sf QfT^ 
in Since d^m fep. 

Sftlir 



r- 



^ga 



®iti(b'0 iSktmrnt 




o«Je auf hit »cel«rtene BCDE, oud O, R, btc ^etpenWW 
OV, RX, li)el*c(ir,38.@0 6ie2)ur«fc^mtt«Hni«nBD, U^ 
ttcffcn, au(^ (ii» 6. ®.) paraHel finb, unb }ic^c VX. 

SDa bon ten gttic^en |)a{6fmfen END/ iNM, gidc^e S3o; 
gen BO/ IR, flfcgefcfenfttcn <inl>: fo ift (3, a i. @0 ABO = 
AIR. Sim finD &C9 V, X, recite SDinfcf , -auc^ ift OB = RI. 
golgltcb iji (I, 26, ®.) OV=RX, unb BV=IX. ' 
^ 2k»BA=rU/obecBV=rIX; fo ifl du* AV=:AX, 
felgfi*^ BV:VA=IX:XA, folgli^) (.6, 2. 0.) VX bet IB 
ifavaM. fStm wocen nact Obisem OV^, RX, pataUet unb 
g{ei(t. giXglt* (inb(i,33.©.)VX, RO, pawllelunb glei*. 
^iliii^ ift (1 1/ 9. (5.) au(^ RO bee IB pataM. @(>en fo 
toicb ^ewiefen/ ba§ SP btc RO^ unb TQ bee SP paral; 

let fe9. 

23a RO bet IB pat&M iji: fo ifl (n, 7. €5.) bic tierfei* 
Hi S>duc IBOR in ^inec @ljene. $(u« gteic^en @r&nben 
dittt i{t au(& jebe bet btpben ^Scigen vierfeitisen Sigunii 
ROPS, SPQT, in Sinee Sbene, 

S5e 



\ 






it 



muf&v^: '» ''««« 




f&<Sft)>tv fieinejH Stugel, ouf twk^ .5et^6§te Sttii FGH 

gatle auf bie tHetfeitide.4$(>(ne IBOR otH! tetr.ftugd ^it> 
teIpunt»c.A btti ^va^BiiM AZ r^.Wefe @&ene hi Z tteffc, 
«n^i«^e in bet <85ene bie geiiabf n iinitii BZ, ZI, ZR/ ZO, 
oaf iwl^e ba^ec (i i, 3. (S.) AZ pttpenfcifutoc ijt • ^olglic^ 
iji (i, 47. ®.) D ABjsrn AZ -hO ZB,.tint> d Ai = Q 
AZ + D Z '♦" Slwrt^ ift AB = Al, olfo au* Q AB = D AI; 
8ot9(i* ift DAZ + n^B=:DAZ + Q Zl, folgH^Q 
ZB=s:.nZI, otifo'ZB=Zl. Sftan-wltb auf a^na4>e Srt 
>e»i«fch, J>a| ik ?imen ZO, ZR, WJinien ZB, 21, jete 

meffet ZB befdS>ct«6cnec Scci« iow* bucaM/ 1^/ O, unt tile 
ticrfeitige ^tguc IBOR, tft in foh&m T^tei« 6ef*ciet>fn. 
, <Do IB > X V^, mi X V =r RO , f oIgli4> IB > KO 0. after 
IB = lii == b6: ^^an6^ IR To ^oof)! «l« BO > RO. 
^'oidU4> ift in tern nin IBO R (>ef(|)tie(ieitfnScd^ t>on t>ei{9te<95o# 
(gen IB, BO, IK, iait'^vb%et aii bcrRrdl&i^n QR;; fo^ii^ 
IZTB ein fhimpfw S^nto j fc(gli« (2, 1 2: (S.) D IB > 2 Q EZ. 
 gade air« bem ^unfte I «uf BD beo ^erpent>ifel la. 2>« 

BtXaDa, «nb (6, I. ©0 BD:Da=BDXBa:DaX 

aB ; fo ifl BD X B* < <i(fi^ X *^)' ^" •<*/ »<"" wait 
tne ID iiei)et , (6, 8'. «.) BD X'Ba := D IB , unt> Ba X 
i»B = D la.  ^ol^li* Hi a IB < 2 D la, .f«Igii<^, m\l 
. K(o.^ Dbi«cm a IB >'<i □ BZ ,> D la > D BZ. 

2ia fewer (i, 47. ^•) b BA = -BZ + Q ZA, «nt^ 
DlA=Dla+DAa; abev fiA 3? I A , olfoQ BA = a 
M:fo ift aBZ+nZAiala-l-a Aa. .Sftun »ac nat^ 
jOWgem D la >d BZ. Solgli* ift a AZ > U Aa^ affo A^ 
> Aa , fc«0l«^ noci> oieUBe^c AZ > AG. SRun ift AZ auf 
<incc ©eitcnfl^:^ beS ^otpcbconl, unk AQaiif betObccflclcfce 
Ut fleinecn »ufte(; p^cpenbifular. golglic^ bec«I)rt bie Obits 
^h'iit bci ^olpebron^ ntc^t bie Oberflat^e ber fieinemt Suijei. ' 

^nbe* 



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1 c^ * , 






I • 

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<9rti(^te anf AG in G ben V^cpenbifet GK, wiib |te^e AS» 
fHilftire benfDogcn BEfortsefi^t: fo 6(ei6eeinmafCio^t«6») 
«tn 6t&c( BI &brid^ X>ai nriner ift att eint^gen^ beffenee^ne 
GK v^u, foiglicb au|^ tie ^fcabc time BI< GK« ^d nut 
nocb t)em t6m(!tn>iefenenBZl ein (himpfer SBinfdi^ foIglutB 
>BZ: fr ifrumfo me^tGK>BZ, dfo<itt(bDQK>ClBZ» 
• !DdaAKr=:nAG + nGK,ttn&DAB^nBZ + 
O AZ, a,ber AKrsAB^alfoDAKrrQAB: fo if^DA^t 
+DGK:=rnBZ+nA2, Shitt tt>ar D BZ ^fQ 
So(dIu!^iftaAZ>a AG, aIfoAZ>AG. 

: tEDirt in eine anbm 5fuge(, B/ ein^ bem in bie Stugef A 
fcbtiefonen &^nlicbe</ ^olpebrbn bef<brie5en/fo,{tnb beQbe 
fpebra in brepfacbec^erb&Itnii bet S)uccbmefrer i^ret Stug 
S)cnn, n>erben bie ^ofpebra in g(ei(t> Die( sleictfteftige 
tiimiben }er(e^: fo finb biefe ^pcamiben h\)tA\i^, fofgi 
{12,1%, ®0 in btepfa^er SDe(^&Itni§ i^rer b^^n^I^sen ®ei 



^»Mft^5 55u4 



•38s 



;o(9(kb i^ jlpbej. Vaat glei^f^eVtger ^ptaptiben in ten bttjlbm 
tugeln, A,.B, in fcrepfacber 85er^altm# ber -^albmeffet , alfo 
ou* ber 25urdbn«cffer biefer.Rugeln* golglic^ftertyaften (ic^ 
ofle^pramiben in b^t Sugel A., ju dBen |)t)ramtben in Ut 
ffugd fi ,, mic cine l^pnimtbe in A ^ }u bet aleii&|]trl(i$tn in B« 
S)emnad> (inb .ducb bie ganjen ^ofpebira fn btcpfa^et $8cf ^&fl^ 
ni§ bcc 2>ttvc^mcffec btic Sugein* . • ' ^ 

^a4n, ABC, DEF, ftnb in iNrepfadjet SSer^ltntf 
i6m5)utc^meffer, BC, EF» 




f ft 



. &are bieg nicbt . fo ware 3 (BC : EF) = ftiigel ABC^ X, 
fo bag ber ^&rpet: X entmebet fleinec i>ber 0t6§er oii bt< Itu^ 
fletDEF fepn mfifte. 

grjlet Saa 

€«fe9X<«u3elDEF. 

@d fep eine mit bee Rugel DEF cdneentrtf(i&e Sfttgrf HGI 
—sX, IBefd^Veibe (12, 17. 0) in bie gr6iete tuget DElf 
ein ^olpebcon, beffen Obecflflcbe bie fleinere HGI nicfct be^ 
rfli^tt, tinb in ABC ein biefem iftnficbe* f^olpebton : fo ifr. 
Ci2/ 17.3UP Volpebr. ABC:ypl9ebr.DEF = 3(BCjEF); 
... SntU^'^ SUfn. 15 96(t^ir« IB 6 SRtw 



I-" 



I • 



486 ^vmi^tmmtt 3»Mfite<Su(^ 




ftun ift M^mmtn Susel ABC : ^gel GHI= 3 CBC : EF). 
golgiU^ ifi Stt0<(ABC:ftttselGHI.=|>o(i)d>r. ABCi^Miie* 
»con I)EF ^ foIdlU^, wet( Sugel ABO^ofpebc. ABC, oo^ 
jtu0e( 6HI > Vol9ebr. DEF. S)a a^c tie ftuset GEil wi 
Urn ^9\t^iton DEF etngef(t>(o|ren toitb, fo ift tie Sujtf 
GHI < ^otpebr. DEF, ndc^ed im S^otidcn wtteefpniH 
2)emmu^ ifk ni<^t 3 (BC: EF) =^ Sugd ABC : X, wnm X 
< Sugd DEF ijt 

Vttf &^n(i(^e Kct t»»b bewiefeti/ bdfi ouc^ nie^t Xugd 
DEF:Z=3 (EF;BC) fep, toetin Z<«useIABC ift 

(S« fc9 X>Sfii9ef DEF, unb 3 (BC : EF):r= Stugel ABC 
J X J f olgH* , ttena Sugd KLM =:: X. i|i , 3 (EF : BC) := 
Stuitl KLM : Sttdd ABC. 9iun fe^ Rugd KLM : Susrf 
ABCrz jtugd DEF : Z, too a(fo Jtugcl ABC > Z t(t. golj; 
Ud^ i^ 3 (EF:BC) =± Su^el DEF: Z, wcI4>e«/ toeU Z < 
5tiig(( ABC , nac^ betn ecften %afie tmmbs\id) \^. ^etntuc^ 
ifr m*t 3 (BC : EF) xi Sugel ABC : X , wcnn X > jfuga 
DEF, tinb nac^ bent ctften ^aQe au(t> nic^t, .toenit X<;jh«< 
fle( DEF tft So(d(i4> ifi 3 (BC : EF) = Stugel ABC : fim 
gdDKF^ ' 



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^■A^Hi«»B«MMM0ia»a 



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Un^ X)):(tte$ Don ten j^rpem* 



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©eV 1. €5a§. iefitfo|. 

AT), unb %cm qt6^ern %W^w!tXi, (<Q.f iufbn»tien§eK$te 
Sinie, CD, bau ffinffac^e Cuabtat fo(4«c^&lf^/ AD. ' 

. ©efcbceifce bee 8in{en, AB,,CD, 
£^ttab(dte, AE^ DF; cottj^tuice 
(wie a, 4. 0.) bie giguc in DF, 
unb veclingm FC bis G. 

©a AB nacb ftetigfr^roperti^ti 
gcfd>nitten, alfo (6, 3. ®.) AB 
: AC= AC:( B| foift(6, 17.®.) 
AB X CB = D AC. aiiun Ift 
ABXCB=:CE, unb D AC=2 
FH. goIgficbWCE— FH. , 

2><» AB=r 1 AD, abee AB=s 
AK, «nb ADrr AH; fb ijl AK 
rr a AH, foljjli*^ »«( (6, i. ©.) AK: AH:£:KC:CH; 
ou(b KC t= a CH. Shin Ift (t, 43. 6.) LH + HC r- 
fi CH. $o(dli£b J|i KC = LH -»- HC, abet no* OWjiem 
CE = FH, foJglid) (I, 2. @.) AE 2=r a AB = ©nomo« 
MNO. Slun ift AB =: a AD , difo (6; 30. gttf.) Q ABas 
4 a AD. geiflHtb- <fl ®nomojt MMO =r 4. □ AD"; fo(fl« 








Ii4>, »e«DH=rdADy (i, 4. @.)DF 

Sb a 



5QAD, ttfO 

AD 



-AD = f AB, «» DF = D CD = a (GA + AD) = 
D (CA -I- i AB) ijk. 

2)k ditol^^ H^ td« S^a^ren , iui(^ iD<(<(cm rami M 
Ckfiu^ oi^ {ugeffandni antiimat, tub toc(6 ^aran< 9Ci0f^ 
ne^geningen auf etwatf toa^ced jngef^anteiK^ fomnt. siie 

man ^ai Bugeftanbene ium @ninbe iegt, unb butd^ bie btmd 
^titiitam Soljcn }u tec golfltniat ol)(r ^c^efians ^ 0» 
fasten gefangt. 

SRun f<Q tk set<d>e Sinie AB 1> A C B 
in C m^ fttti^tt fJcopottion g<* «  « -i ■» 
f((>iiitt(ii, b<i| AC ia grifiete 
^9^lritt ft^, unb AD, M(|>&(fte tet AB/ i^c grrabe foct on: 
i^efirlt: f» fott bewiefen atetbav ba§ D CD = s O AD fie^. 
i) 2|tMlt^ €« f<9 «*ti9 , M D CD = 5 D AD. 
, 0lttni|i(2,4.®)DCD=nAC+DAD+2(AC 
X AD) gol3li(* ift O AC + D AD + a CAC X 
AD) =r 5 D AD; folgllct* iji (i, 3. @.) Q AC + 

3 (AC X AD) = 4 D AD. giun ifr BA == 2 AD, 
olfo 8 CADXAC) = BAXAC; au(t> ljt,n>eaAB 
in C na<^ ftetigec ^c«)pottion 9efct)ttitten, BA : AC = 
AC : CB , alfo AB X BC = Q AC. goJgli* ift B A 
XAC + ABXBC = 4DAD. 9?un ift (2, 2. @.) 
 BA X AC + AB XBC rr a AB. gpfafic^ 4 D AD 
rcQAB, mt\dfK«, t>a 2 AD;=;AB ifi, auc^inba 

'~ 2T ^mpcf^om 2)a a AB == 4 D AD ; at^et (z, 

2. ©0 a AB,.:=: Ba X AC + AB X BC : fo iji BA 

X-^P + A8X BC = 4 D AD. sRun ifl BA X 

AC,== 3 <AD X AC), «nl>;AB X BC = D AC 

gf i8li4»lD AC + 2 (AD X AC) = 4 D AD ; f olg* 

r • li* (I, a. ^.) D.AC+ D AD + 2 (AD X AC) = 

S a AD./aSun lit (2,4.0.) D AC+DAD-h 2(AD 

, , X AC) = g.DC. gol0fi4» ift D DC = ^ D AD, 

• baiiftQ(AC+|4©;s='5b|AB., _ 



X 



95'=*t«ni«f "«« 9«^«*>^ 2ime, AB, bdg ffinffbic^e itiua? 
brot ctne« i%et QlSfc^n^te, AC: fe ttirb bad ^opf^lte- 
fott^ed ^bfqnitM, CD, m B, nac^ flttiget ^wporfifttt 
g€fc|nttten, fo ba| ber trSgew ai6ji|mtt, CB, bet 0leff 
ei:fl^«&adjtet.2tme, AB, ijl., : :' 

HJ5«f*K«« ^c 8mi«n> AB, C2),, I, 
iCluabcat^ AF« CG ; ooUcnbe (im 

s^ A. •&. } bie '^SiK tti AFi ivrih 
vecl&ngece FB 6t$ E. 
.: SDa q AB:^ 5 a AC, baS i^ 
AF = 5 AH : "fo ift g^omoa 
MNp = 4 A H< Slun. ift DC 
=rra AC , a(fo ( 6, »o, 3»f- ) Q 
DC = 4 D AC. Mift/ CG=;; 

^ CG. . i 

. 2)4 DC =:^ 2 AQ, <»6w DC=: 
CK, unb AC=: CH: f© ijt CKc 
a BH; folgiic^^ mHUi +HB 



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a-iq«, frfsttifeJ^Brr 
2.HBift, LH.+HB 
KB. SHuh rbap ^pomon MNO .= CO; gorftH(i>ifk 
Ci, 3. ®.) HF= BQ ; aJSvi BG :d CD X n6. lodi CD 
~ DG ifk» «hb HF = D BC, foIiJitb'CDXDB = Q 
BC: foljli* (6* 17. <^0 CD ; BC ==BQ TDB. 'Jbmtta^ 
i^ CD'/ bad ifl 2 ACy na£^ ^it\%tt, f^ropettton in' B g«» 
f*intt«n; flU(^ ijl (fol^enbei; «e^nf?|),Ci)>BC, .f0(fllt(^ 
I|(;>DB» . ' ; . 



\ t 



©ag CD, bag ifl a AC, > BC feij, wttb fo Betettfen : 
©ire nicbt 2 AC> BC, fo-fcp, wenn e« mfcftlicb , BC 
= 2 AC> foIgK(4i QBC = 4 O AG,. fofgli# DBC + D 
AG2=5 QAC« Slutt t^ (mgetrommen D BA = s QAC* 
S»idli(b »*«e D BA == o BC HK AC, »«I4)e«. (a^ 4, 6.) 
tiQmidli<& ii^t ©e«i»a<& if^ nlcbt BC :^ 4 AC/ ,, , . 

»b 3 / Sla^s, 



' / 



I 



1§9 



fuHib'« t^iwcfifr 



Sth^m mm alftt BC> a AC an, fo lofttte ,ati« ii^tfy 
<tenjf(*)iffen.fol3en, M D AB < D CB + p AC mIh^ 

aAC>BCf«9o, 



> < 



/■ 



2tttmerfun0. 
(8« fe^en DA, AC, l>ic bepben ^ ^ 



A ; 



C B 



Wyf^nim tet ^etaitn ti^it DC; 

«tt<^ ftp AB'rr 2 iVI) , HrttrQ 

CD = 5 O AD: fo'foO bmitfen tt>^xt», M AB : AC = 

AC:CB, un^ AC>lCBff9. 

l) 26ta(v(t9.' Jlkctn ttif)me ati emiefeti an , tag AB 

. jAC^aC:CB, fo i$ (6, 17. ®.) '\B X BC = 

^« DAC ghinijr,»ift(AB=r2 AD,BAXAC= 

3 (DA X AC). go%lic(> ifi AB XBC 4- B A X AQ 

i»oe if! (a^ a. @.) p AB == D AC + 9 (DA X AC)? 

'. 0^? Q AJ= 4 AD, felgfhl) D AO+ 2 (DAX 

r. A.q)^ 4 a AD, Mall* D AC + aAD4- 2 (DA 

.X AC), ia« ifi ( i, 4. ®.) O CD/ = 5 Q aD, 

' ■«) (Compo0ioii: SJab CD==:'s'b ADj obwCa, 

, 4. 6.) o -P;=;:'d ad +' n AC -4- « cd a x aq- 

. Xo fft'O AD .+^ AC + 2 (DA X AC)= 5 p AD J 

. folgfi* D A< + a (DA X AQ == 4 O AD. Sim 

»f^ 2 (;pA X AC) :^ BA X.AC / ttftfc 4 Q AD == 

' D AB ='(2 A a. 0.) AB X BC + AB X AC 

'^§K* ifr AB X BC + /\B X AC = BA X AC + 

O AC, folgH(^ AB X BC = D AC, fofglt* AB 

: AC =c AC ; GB J mK Ml AB > AC, aud^ AC 

• ^ ^' CB. 

S3B{sb erne gctabc fitnte , AB, in C, na<^ fJettgtr ^r«» 
wrtien gef^nittcn: fe potenjirt t>te, aud bem ««iwni 
3lb)(|n{ttf, BC> unb bw ^iSIfte be$ jt^fein/ DC, )ufaiii« * 

mctu 



« y 



.1 







39^ 



< ' 




' SSefc^cdbe tec ^tnte AB« 
£tuat)i;4t A£/ unt i>9ttent< tie • 

Sa AC =2 DC, fo iji 
Q AC = 4 D DC , t><»« \% 
RS = 4 FG. Slun i|l (6, 
17. @0 ABXBC= a AC, 
U% iji, CE = RS, gotaficfe 
ift CE br 4 FG, 

SJaAD =DC, a(fo (r, 34. ®.) auc^ HK == KF-:^fj», 
iftQF=HL, fofgH* GK=^KL, to« iji, MN=rNE, 
folgfi* (1,36. @.> M'F=:FE, «Run ifi (i,. 43. ^.) MF 
= CG, golgll* t(^ CG = Ff), fo^Iic^, mm CN ^im. 
ivfommt, @nomo9 OPQ= CE, ot>e( nad^ 06i$m,, s= 
4.F,G; foJjK* DN = 5 FG. SRua Ijt DN==QDB, aw^ 
FG =;: D DC. Soljfic^ ift O DB :^ 5 Q DC , taS ift^ Q 

^c.+iAC):^5aiAa \ , , . .,: 

@« fepi AB tn C Boc^ ftetigec A B C J* ,' 
tPcopottioti gefc^nitfcn , AC tec ' '— — »-: — • — ~— • 
gr66cre 31bf(fenj«, unt CD =: f AC: fe fatt Jitwiefw »«t« 
t«n , tag D BD = s D CD.f«9. ., , ,/ ^ x; 

i) 2tii<»lfft6. SJlait «d)me oJ* cwicfcn «»,. t^fQJI]!^ 

= 5 a CD; fo> ift, »<il (2^ .6. @.) Q BI^^?? 4B- 

X ?C + CD, ouc^ AB X BC 5^ 4 D.CIV: 
gitin ift na* teta5«wtt«ff§iwa^^ AB X BC=,P)<VC, 

golflli* iji D AC = 4 D CD^ mli^^f. weil AC =2 
a CD ift, i» teif S^t fi» ift. ^ - ," . .' : ■, 

- si) ComHttton. ^ AC = * DQ. fi»ift D -40= 

; A QDC^ (^b(l^ («, ji7. e.>tq A€ sp AB.XBC, 
f oI«li<(^ ABX BC 3;: 4 D DC, f oJaJi^)- AB X SC + 
D DC, Kj* i|i (2, 6, @.) ID DB, = 5 a DC. 

''©t 4 ' ©<t 



39^ 



i&U«mtt 



SOBwb cine 9«obe 2mte, AB, iti C, nocf) flettgct ^m 
portion 0ef(^mtten : fo flnb bie be tjfef n iQuoorotc, bad b«t 
^onjen, AB, mb be« (Utnertt 2tbfd)«ttt6, c;ii, jufammeii 
bem btfl^fac^cn iCluabtote bed gr6^ctn 7tbfci>nitM/ AC^ 

S9efcbtri6e bee 2inie AB Ciua^ ' 
beat ADE6, tmb vollenbe &te 
Sigue. 

Do AB : AC =; AC : CB ; fo 
ifk ABXCB=a AC, ba«i^ 
AK'=HG. 

SE)aCi/43.®.) AF=:FE, 
fo ifr, nxnn CK ^injufoinmt/ 
AK=CE, foIgH* CE-f" AK 
=r a A,K = a H(3, w«tt na* Obigcm AK =? HG ift 
gjiiti tft CE + AK = @nomon lMN + CK. goJglr* ift 
^fiomon LMN -f. CK r= 2 HQ , folglicb ©nomon LMN 
+ CK + HG = 3 HG. giun tft ©noinon LMN + CK 
+ HG = AE+ C^ = D AB + a BO, unb HG = 
P AC. go^Kcb »fi Q AB + a BC = 3 D AC. - 




>ff^ » 



. . ^nmetfunj. 

9€ f<9 AB in C nacb fteHgec 
^copottum' gefubdit^^ > ba§ bee 
gti%te€m^niitAC fe^t fo fott 



A 



C 

■■f  ^ 



^ 



eri »e«b«n, bafa AB + Q BC = 3 Q AC fet>. 

■iy'Unal^fh; ' t>a a AB-f- o »C = 3 D AC , abet 

- -^4,7.@;jb AB +aBC=2(ABXBC) + a AC: 

fo iji a (aB X BC) + a AC = 3 D AC, folgttc^ 

«-CABXBC> 3= « a AC, fofgttcb AB X BC s= 

- ' t3 AC, t^e((M> ba AB ift C n<i(bMs<c ^eo^vtion 



3)C«ffl» 






i9i 



Ceinp«fietott» 25a AB: AC = AC:t3B, foljjlt* 
Ce, 17. 0.) ABXCB= D AC: fo ift a (ABX CB) 
= 2 D AC, folglid) 2 (AB X BC) + O AC = 
3 D AC. gjan ift (2, 7. ©.) 2 (ABX BC) + a 
AC = a AB + D BC. gol3«(^ ift Q AB + Q BC 
yn AC. 



:•/ ^er 5. @«|. .ie^tfaf. 

 SOBwb tiitc fiitatx Stnte, AB, in C, nad^ fledger ^ro« 
lection defc^mtteti/ unto t^c due bem 9,tb%ttn Hb^niM, 
AC, $(et(^e £tnte/ AD, getabe fort angefelt : fo ijl bte ju* 
fatnmend(fe|te Stnte, DB, in A, n«c^ flettger ^topotttoir 
dcfc^nitten; unb bet: ^tifttt ^bfc^nitt bie erjldebod^te 
ginie, AB. 

AB£liMbcatAE«tittb D 
OoUenbe bie gigutr. 

2ia AB : AC = , 
AfCtCB, fo ift (6, 
17.6.) ABXCB 
=:raAC/ M i^ 

C|: = CH;at>eKif 
43. @.) CH = DH, 

unbCE=HE,fola* 



B 



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H 


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-licb DH=HE; folgli*, toenn HB ^injufommt, DK = 
AE, bo« i|t, BD X DA = a AB, fdflK* (6, 17. ®.) 
BDtAB = ABiDA: unb, »eil BD>AB/ att(^ AB 
>DA. '■■.•■..'•,..■■ 

, Tlnmerfun^ 

' <?« .fe9 AB in C itdt^ jj A 

ftetfjer ' ^toportion ge^ ' - ^ 

fi*nltttti/ A<; > CB/ un* 



i4-^«i 






tec AB bie AD = AC gerabe fort «nfl<ft^|t : fo foil >«oleferi 
wejben/ bofi PB : BA = BA t AD fep. . 



\ \ 



%■ / 



}f4 Clip's ChMNtt 

I) 7k¥t0k ^ DB: 8A = BA: AD, «lcr-An= 
AC; (»titDB:BAzrBA:AC« f«iflkft(S/ X9.3b(0 
DB:DA = AB ^ A C il 

;BC, fi>lfltt(& (5, » ' ^* ' 

17.€.)BA:AD 

= AC:CB.' 9hnt tfk AD =r AC ^t^-tfift tjk 6A 

: AC =r AC : CB , tMC vcrau^gcfir^t tDutbc: 

3) ContpoftciOft. 2>a BA: ACr= AC: CB, dterAC 
2=:AD; fo t^BA:AD=AC:CB, fo^<u&(5» i8,&) 
BD:DA=BA:BC, fotsiiA (5, I9.3uf.) 6D:6A 
r= BA : AC. mm i^ AC = AD. Solglu^ ig BD 
: BA=: BA : AD, link BA > AD. 

^cb etne 9tattonatttitu, AB, m (^ tia<^ flefioer ^pro^ 
Krtioti gefd^nUten: fo t^ jfiitt 'M^tm, AC, CB, dm 
Tlpotome* 

a^rlangete BA 6i« D, ^^ ^ C B 

uttb mac^e AD z=: | AB : , « 1 

fotfl(i3/J©)DCD==: 

5 n AD. ©emnaet t^er^ftm fi* D CD, D DA/wiego^^ 

Irtt/ unb finb fdglict) Cio/6. @0 commenftitabeL Sftnii ^ 

DA = f AB tationof/ onb ba^er ou<b D DA. Soigful^ 

iil (to, 6. CO aucb a CD, alfo (iq^ 8. eO CD fdbft w^ 

tionaL 

' Sa {idb c6tt Ut Cluabrdte bee CD^ AD, nicbt mie £hra^ 
bratsd^ten t^er^aften: fo jtnb (lO; 9. (SO CD /AD, in i&m 
ge tncemmenfurobe(« Ibtmnad^ ftnb CD, AD, tationof blo§ 
in yoteit} commcnfntdbel ; fMfUc^ (lo^ 74^ (S.) AC doe 

®a AB in C tui^ ^^m ^toportioit gtfc^ttten^ al^ 
(6; 17- SO AB X BC = a AC i^: fo tjl (10, 98* eO 

CB bie erfkc Stpotome. 



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I" 



thwm^ti tei ISl»^< 



39S 




@tiit> ui etnet fSti'ffeitigeh ^tsuc t>on ^wS^ ^dtm, 
ABCDE; beep ^tnfe(^ jie m&sen auf ettianbec fo(0«n^ 

. Stflei: Sail. 

Setm tr(9 oof einanbet: 
fotgenbe ffiinfrt A, B, C, 

3iti>e AC, BE, 5D. 

©a In ben a A EAB, B 
ABC, na(b ber Spcaufc 
(S(|uns,A=zB, unb CBcf 
Ba?=AE: fo i(i (1,4.®.) 
ACdc^E, BCA=BJEA, 
ttnb ABE = CAB. »o 
^ietnat^ jm a AFfr, ABE =r CAB: f» {ft (i, 6. ®.> AE- 
=BF, unb »ot^ atu^ AC=BE> fpIgUcb (t» 3- ®.) FC< 
=FE. SlunifimbenAACFD,DFE^Ott*CDs=:DE,; 
«nb.FI> gemein. ^ofgfit^ -ifi (1,8. ®.) FCD == FED ; 
<*ec na* m^m. BCA .= AEB / . fa{3(i<b (i-^. ©0 BC^. 
:^ AED. IRun tft.d«<(> angen#mmen BCD = A =6.5 
8^^ tft AED = A zr B. Kuf a§n(i(^e Ktt wicb %m\itr ^ 
fen, ba§ CDE;=: A=;B fe9. gplgtic^ ift ABCDE d|n^. 

3»e9<et Sail. ,, 

tS)(nn b«e9 ni(^ mif einanbev folgenbe S9fatfe(, A, C, D, ; 
jfeicb finb. 

3k^ BD. 
. JDa in ben A A. ABE; BCD/ ao^ jbec SSonmlfietting, A , 
s=C, BA = BC, AE = CD: fo i(t (i, 4. 0.) BE::sBD, 
AEB=CDB, unb (i, 5. ®.) BED=BDE, ^fA^^ (1, 
a. ®.) AED = CDE. SRuo i^ du<^ an^fnommen CDE 
= A=C, Si?lg«cb ift AED = A = C. auf &^nli(be 
Kirt betoeifet man aucb , bag ABC = A == C; ^ol^Iiid^ ijt 
ABCDE 9(ei(^(9Uifiid. 



I 



1^6 ^m'i^ (mmtt 

"3n etnet fSnffdttgen ^fgur Vtn efci^en ^eifcn tmb 
tBinMtt, ABCDE, fcl)neibe« bkinnet^olb iwcpct <nif 
einanber fol9enben?ffiinffI, A, B, gejogenenXHagonafen, 
BE, AC, cinanbcr in fletisJc 5)t:opo«ton, unb bet gt&tete 
3lbfc^rtttt tjl bet @ctte,bet gigut-gfew^ • 

S5«f(^tei(>e (4* i4' ®.) 

«m bie S>dut einen SceU. 

" 2)« irt ben a A BAE , 

ABC, nacb "bit 856wu8< 

Ccgung A=B, EAi=AB 

= BC: fo ift (i/4»®.) 
BE = AC, unbBACrx 

ABE; fotgficb (i, 3a.,<g50 

AFE = 2 BAF, abet (6, 

^3. ®.) EAC = » BAC, 

fo(9«(:bEAC3=AFE,fo(3* 

Ikb (1 , 6. 6.) FE = E A== AB. . 

, Do EA=AB, fol^n* Ci/ 5- «.) AbE=:AEB, tAn 

«Kb OWgem ABE = BAF: fb ifr AEB == BAF, fotgfit^, 

baben AaASE, ABF, bet ®trtf« ABE gemein ilt, au* 

* BAE = AFB , f organs Wefe Jriangef (<fd(bw1nf lig. g«f 9* 
Ihl^ ifk (6, 4. «0 EB : BA = AB : BF, offo, »eil BA = 
EF/oirtb BE : EF=rEF : FB; we benn, weil BE> EF/ 
att4 £F>FB. Xxdindcb if^ bft Sriagonate BE in F na^ 
f^et |)to|^tion gt^^mtttn, unb bee |4t6f^te Sfbflcbmtt 
EF=AB. 

Kuf $^n(i(6e 9(et toitb betoiefrn, bdf au(& AC in F m<& 
fWtisee ^;»)$»i^h gcft^iiitten, unb bet gt&tete flbf(^ift^= 

>B ftp. 

^etben bit @etten/ CD, BC, einet fec^^fettigea itnb 
(iner jd^nfeUisen in btnfelben ^mi 6(f(j[)tteben<ti ^ifut 




< 




jDre9je^nte« I8«#. .397 

ifttclbe ^ an etnanb«t 9<fe$t: fo t{l tie QMit irnit, BD, 
M^ jfrt^tt ^rep.ettton 9«f(|>ntft«n, unt> b<c ^th$nt Tibf 
' fc^nitt bte @eite^ CD, bet fec^dfeittgen^idut. , 

atittelpunft E, {ie^eEB, 
£C^ ED/ unb o((linge»^ 
te BE f)t« A. 

2>a BC ^te Btitt bet 
(t^nfeitigen Siduc: fo ift 
©daen ACB = 5 85«>* 
jen BC, folgli^ S5oj 
^en AC = 4 S^o^n 
BG. 8llunifl(6,33.<S.) 
9es«t AC:l^gen BC 
=± AECtCEB. S^ofg* 
««^ ift au(^ ^C == 
4 GEB. 

2W (i, 5. ®.) EBC = ECB/ fo ifl (i, 32. «.) AEC 
= a ECB:. ©« C4, 1 5; (SO EC =s:.CD, f eljJj* (1,5.®.) 
CED = CDE: fb if^ (i, gav @0 JECB = a EDG; oto 
IUU& Ofeiaem AEC = a ECB , fo(gfi(^ AEC = 4 EDO. 
9^un ift na<() dfijatm oiu^ AEC = 4 C£B. §o(s(i4> fft 
EDC=CEB; folflli*^ baben A A BEG, «ED^ bee flBiiu 
(el EBD gemein ift, xuic^ BED = ECB, fo(git<b finb Mt^ 
Zv'mQtl 9tei(t>»inflig. ^otgiic^ ift (6, 4. @.) DB : BE sp 
£B:BC, olfo, tteilBE=CD, oucb BD:DC=DCrCB; 
too bann, iveil BD > DC , auc^ DC > CB i^. 2>eiiiiiq(^ 
i^_ BD in C na4) fletigec ^Jcoportion 0ef<t»ratten,.tt»b bcc 
flc6ge(e )(bfc^nitt DC bie ^eite bee fe4)^fetti$«ft $tguc. 

^er to. ©at. le^tfa|. 

^(e ©ette, Ap, einer in ben ^vni Ui^tiAtam fiinf* 
fettigen %\duv, ABCDE, potmjitt bte iQuabrdte bet @ei$ 
ten etnec in benfelben ^>ei< ^c^<j^enen fN^ifeitiden 
;ttnb ie^nfeiti0en.^9Utu \ 

Simm 



\ 



39t 



^aUb'i&mMt 




fffym b<«SKHir<9titt((pmA F, sk^ AF, mA ttOb^m 
pe bii G. 3i($e FB, fiii^ auf A6 ad» F bm fctptnMM 
¥H, talb vett&iigm il^ fri« K. Sw^ AK, KB; fiUk ouf AK 
<itt< F bcntpnixnbifd FL^ tinb ved&ngere i^n bi« M ; {ic^ KN. 

IDa M( ddfbfcrife ABCG, AEDG, gMt^, AMfr tit ^n 
ABC, AED, gt(i<^ finb: fo ftnb bit Sogm CG, DG, ^d((; 
fo(^i(b i^ CG tet 99%tn ffic Mr {(^nfeirige ^igue. 

!Da FH ouf AB perpMMfuIac unb AF = FB: f» $ 
AFK = KFP, «03en AK= e»sM KB, fofgU* AK aii4 
b(r 909m ffic bir jie^nfdride Sigut/ unb 2 ISogeii BK t= 
t^ootti AB =r 95ogen BC. 9lun ffl «u< gldd^em 9niitl( 
3»o9«nKM:=:eo9.AK=rS9oa.CG. ^9ii(btfk(i/2.0.) 
©ogtti BCGrraCogenBKM, Web (6/33.®.) GFB=: 
a BFM. fidun Ift, wril BF=:FA, df» (X/ 5. «0 ^ AB 
=1 ABF, «u(b C 1, 3 a. ©.) GFB =r 3 FAB. golgfi* * 
BFMsrFAB; fok|«(b/ ba ben A A ABF, BFN, bet®i»-. 
felABF gemeiti i|^, aH<^AFBs=BNF/ f9(0(i(^ biefe {danjtct 



1BiM9i<^tes Su<l^. 



^n 



|M0(i(t ($, 17. ®0 AB X BN :2: D FB. 
^ 2>A AL '=z LK, unb LN ^eiwHn unb pttpenbitatdtt ft 
ifk (1, 4. ®.) ¥N=;AN, anD LKN=r LAN = NBK; 
fol8«(^/ ta bctt A A.'AKB, AKN, JJet Sffitneel NAK gctneitt 
i^> auc& AKB = KNA; fi^sli4> t>t«fe Sciotidd s(ei(twfn6 
Jig. S^dli*' iji (6, 4. ®.) BA : KA = KA : AN , f olgJic^ 
(6, 1 7. «.) B A X AN =. n KA. gflun ijt i»or^et ecwie* 
fen, ABXBN = aFB. 8oI«It*ifiDFB + aKA= 
AB X BN +BA X AN = (a, a. @.) Q AB ; wo AB, 
FB^ KA; tie ®eiten ^ funf;/ itd^it unt se^nfeitigen gifu; 
tenjitib. ' . 

* 

,$)iC<Seite, AB, feet ffinffcittgen "^mh ABCDE, bte iri 
tmm ^tei«, beffeit ©urdjmeffer rational ijl, bef(^riebm 
»itb/' ifl bie flcitierc %ttM\t>mk. 

Siiram b« Sf eifei 3»it^ 

tefpunftF; jfe&iAF,BF, 

i^crfin^ere fte Did G, H ; 

^e^e AQ AD/ unb mac^'e 

FKr=|AF. 

' 2)a AF, BF, rational: 

fo ift FK, folgli* auc& 

BK tationaf. ©a bic 

l^alMteife ABCG^AEDG, 

0(eicb/ aiicb bie S3ogen 

ABC, AED, gfei^finb: 
fo flttb bie ©ogcn. CG, 

. GD, dfci4^/ fi^JflWcf) (3, 

317. 00 CALrrzDAL. Siun ift (3, !29* @0 AC 
Ap , unb AL gemeim golgli<;^ fitrb (i, 4, 00 be^ L tec^ 
te ®tttfe(, unb CD =: 2 CU .«u^ gleit^em @itmtcv<lmtj 
atict bep M tect^te ®infel, unb AC = ^ CM. g 
ift, ba ben^AALC^ AMF, ber lidinfel LAC gemein 



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^ ACt=rMFA. t>mf 
'm6i {tnt (iefe SnaitfKf 

(6, 4. @0 LC : CA = 
MF:FA,.fol9K* au* 
a LC : i CA = 2 MF 
:|FA = MF:JFA. 
SRun iji 2 LC=DC, 
|CA=CM,iFA= 
FK. 8o(3li*iftDC:CM 
= MF:FK, fol3(i(t>(5, 

1 8. @0 ©ctbun&eo DC 

+CM:CM=:MK:FK, , . 

folglict (6, 22. @0 D (DC-fCM) ; n CM = D MK:p 
FK. £ftun ift (1 3, g. @p DC bet gcigew SH)f*trttt bet bit 
@nbpunfte jtpepet jufamtnenftogeniben ^iten t>etbuibatbe%mi4 
^etigec ^ropoction gefc^nittenctt/ SHagonale AC, oucb it 
CM = I CA, alfo (i 3, I. @.) D (DC + CM) =i 5 D 
CM. SoIgU* ift D MK=: 5 D KF; foJgli*/ »«I KF, 
■ijlfo a KF, wtiondf, C 10, $. @.) ouc^ D MK, alfo MK, 
tatteiutl. V 

S5fl BF = 4 FK , fo ifi BK =: 5 FK , f olgli* (6, 20. 
Suf.) D BK = 25 D FK; abec na($ Obtgem □ MR = 
5 D^K, foJ8li(* D BK = 5 D MK. . SJemna* finb (io> 
9. 3uf.) BK,, KM, ^lof in $oten} commenfurobel ; folgtii^ 
ift (iq, 74. @.) MB (ine $(potome/ unb i^c f&gt fic^ bie 
MK an. 

®4 fe9 eipe <i,tt(x\n ginte N, bag D BK — Q KM = 
D N/ l>a« ift/ ba§ BK um ^o& lClu«bcat be.rN fiber bie 
KM potenjite. 2)a KF, FB, in S&nge commenftirabel Onl>: 
fo jinb €« aucb (10, 16. (S;5 KB, BF, abee <»u* BF, BH; 
folglicb (10, 12. @.) au* BK , BH. 2)a Q BK = s Q 
K'vl, bd« ift, D BK : KM = 1 : 5 ; fo ift (5, 19. guf.) D 
BK:D N = 5 : 4. golgli* finb (10, 9. ®.) KB , N, in 
tan^e incommenfucabet; folglt4) ift MB bie oiecte ^potome. 



1» 



!Q9t9ft|iiM ^ti#« 



I 



401 



flMtb AH gesogeii: f» flhib (6; 8* 60 bie A A ABH^ 
ABM^ 8fei<tmiiiltt9/ fol»li(& (^ 4* ®0 HB : BArriVS 
: BM, fdglkfe (6, 17. ©0 HB X BM = D AB. Oan 
tfk HB rational f after BM tie t>ierte 8ri>otPme. 3o(|Ik|^ ifk 
(lO; 95« @0 ABW Heinere ,3rtsattOfiale* , ^ 

« 

JDer 12. ®o|, Ic^tfaf. 

« 

^te@e{te, AB, etned in ben^reis Sejt^riefeetten gletd^* 
.((itigeit ^ttansieJd/ ABC; potenjict baO bre^fat^e Duqbcdt 

IRiiniii te< jteeife< SRife 
tdpunf t D; {ie^e AD; oerr 
I&ttgrre fte bii E, mi ^tt 
^e BE. 

iik:.fo i|^ tec S^ogen BEC 
^c titrtte; folglM^ bcc 9o> 
gen BE bee fecb^te $bei( b<« 
Umfmfe«; folglitb BE bie 
®(tte .bee fet^Sfetttgen §t« 

0UC; foi^ticb (4. i5>®0 

BE=DE. . ' 

J)a AE = 2 ED: fo ift (6, ao. 3ttf.) n AE =r 4 Q 
ED = 4 a BE. man ijt (3/ 3 1. ®.) ABE = «. , dfo 
(I; 47.®.) D AE = D AB + D BB. gofgli* ifk O AB 
+aBE=4DBE,f«lg(i(^DAB = 3aBE=jaD£, 
i»oD£==|AE. 




f 

2(iifga)>e« ®tt $etrae))er> totWi ftd^ t)Oii ctner 
gege^en ^itge( umfofTen (&|}t/ |u con|huirem 



V, 



^m*i 9km. 15 ^(^ 



U 



£<^r^ 



4PS 



fta^'i Skmmi 



/ 




€kllt (tiwi ton btefcc ^ugd tmifa|lmi ^etraebcc^. 

(f f(r9 bet %t%ti 
fcnm Sascf' 2)ur(b« 
aKffnr AS (6, 9. @.) 
fat C f» gefc^tutten; 
t«| AC r= 3 CB. 
e<Ccbtet6« &b(t A6 
bnii)a(6ftet«ADB; 
(Kicbte auf AB in C 
tai fktpcnbif d CD/ 
ttiib iic^ DA; OB., 
SBcfdbcctbe ntt CD 
uw dtwn bdiebi^ 
^tanft H dntn Sntt 
EFG/ itnb in benfe(« 
ben (4/ 3. @0 ben 
glcit^fcitidenAEFG/ 
)tc^EH,HF;HG. 

I0ccicbt<(ii/i3.@.> 
<utf betc^eidebcnein 
H ben ^tpenbtFef 
HK = AC, unb jif J 

^ KE, KF, KG: fo ift bee «fep<r, beffen @nftib(Ukfi( 
1>« A EFG, unb befen epitje K i|l, bul Mctanate Je» 

n»s»e^. 

II. S5et»€t« ber eonjlructiott. 

(Crfiltd^^ bag blefirt ^tpet ein SetMSbet (^9. . 

2>a (II, 3, @.) KH mit HE, HF, HG, cecbte ®hiW 
iBa<bt, on* be? C ein ee<^tec SDinfel unb AC= HK, 
CD = HE ift: fo ij) (I, 4, @.) DAcrKE. |(u< %W 







d^ drinbi^n f^ KF fpil^^f a» KG b(t AD $1ii4^ SMm 
lia(& ifl AD = KE rr KF=:f* Ka 

2)0 (fcfg^ntec 8e^iifa$) AB : BC rr Q AD j Q DC, 
ater AC r=r. 2 CB, dfo AB := 3 CB ift: fo i(i Q ADss 
3 DDC. SRuit ifiDCrrEH, ttn»(i3, la-COQFli 
— 3 D EH» goIgW* i(i a AD r^ D F£, alfo AD;^: F£. 
Shm todt AD auc^ lebec t>ec Stnten KE; KF; KG, ght^* 
Solflfic^ ftnb ^te otei; Snangd EFG, KEF^ KFG, KGE, 
_ sleict^feittg unb dteiit. g^Iglic^ ift (11,26. <S0 ter ODn (119 
fen !lriahi|te(n begr&nite A6rper etn ^etuacter. 

5a?evteiid, baft {tc^ biefe^ Setraebei: t)cn bet jKS^taieii 
Xttgef umfaifen faffe. 

©eije bet KH bU HL rrBC gerofte fort mt: fr ifk AB=^ 
KL. 2)a (6, g. 3uf0 AG : CD !t= CD : Cfi , aftec AC ir 
KHyCDrrHE, CSqpHL: fr> l|IKH:HEr=:EH:HL; 
fb(sti(&, loenii man EL }te^et, (6^ 6. 60 bet a KHE bos 
^ EHL gletc^winffig , a(fo KEL ein rcct^ter S^tnteL $o(gf 
Iit(^ gfl^et ein &bet; KL befd^nebenec ^Mwi burc^ K ®ttb 
nun btefet |)aibfrei< urn ben uni9en*&cften X)ttn6meiei; KL 
rtngtam gebrel^ct : fo m^S et au(^ burcb bft f>ttnfle F, G, 
0e^en,'n>eil ducbf »cnn FL, GL, gejogen merben, KFLy 
KGL; teAte ®infe( {inb, 3)emnacb fatten bte dcfpunfte be< 
SettiiSbetd E, F, G, K, in bre 0&etf(&4K bet ftugel, brnit 
SDutc^meiferKLsrAB i^ /. 

HI* ^ewets be6 2e(rfa|(«. 

S^ AB rr 2 CB, foIflHc^ AB ::= 3 CBi fo tft AB=( 
\ AC* Stun ifk (6, 8. 3uf. nnb 6, a*. SufO BA : AC 22 
DBA: DAD. golgli* ifl mftb D AB =: I O AD, »t 
A6 bec2)utrc&meiferbecfti^e( unb AD berSeite be< SeiM«f 

■8{M^ tf^ {tt ftcweifm/ M AB : BC ss Q AD t£3 DC (ft 

» - . 

5< a - . ti 



•'>. 






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^ii^'5 etownu 



CI tUibt lit unit 

fd ADB. 9tidndlbt let 
9me AC Ctoabrat EC, 
•at 9ttMbt lai yaraiie« 
U§tcaam FB. 

IDa Me a A DAB, 
DACskic&osnf.i^finb: A 
f0i|(6, 4€)BA:AD 
= DA : AC , f dgii^ 
(6, i7.e.)BAXAC 

= aAD. 

2)a (6, I. «.) AB 
: BC = EB : BF; <i6(C 
EB = BAXAC; «o> BF 
=r BAX AC : ACX CB ; 
= aAD, fol0fM^AB:6C 
ift(3, 3i.©.)ADB = fR., 
CD;CB; alfo ACXCB = 
= AD:aDC. 




= ACXCB: f« i^ AB;BC 

abet iui4> Obi^flir BA X AC 

= DAD:A€XCB. SiM 

ml (6, 8. 3uf.) AC : CD = 

D DC. golgU* ift AB : BC 



 2lttfg<»be. €m OftaSber, tt)efcf)c6 .(td^ t)on etnct 
it^ebtnen ^ugcf umfaffen lagt, ju conjlruircn. 

Hel^tfaQ. '^od Cmabrat bed ^tirc^mefferd etnet 
Stu0e(tjl toppeic fo gtog, a(d bad jQuabcat bee @eue 
eined bon btefer ^u^tl umfa^ten £)ftaeberd. 

I. ^onjlruction bti CittaSleti. 

di fe^ bee ACgcbeneit Su^ef 2>uc6nieffcc AB in C ^db 
bict. fl^efcbeeibe fiber aB ben |>albfreid ADB , txvi^te ouf 
AB in C ben ^erpenbifd CD, unb 8»e^e DB. SJun fep 
ein CluabrOt EFGH , bejfm ®eite = DB.' 3ie()e HF, 
£G^ bie (i4> in K fcbneiben. (Srticbte (ii, la. ® ) auf 
bee (Sbene £FGH in K ben ^eepenbiM KL, oetl&nsete 

if>ii 






% 



t>mi^tt$^9^. 



**s 




. t^n anf ber onbent (geite bet^bene nodb M^ linb moffrf KL 

\ foroo^l al« KM einec bcc Jiiiien KE, KF, KG, KH, glei*. 

gte^e t)on L fowo^ att ton M gerabe {iniea nacb £; F, Q^ 

H : fo ift bee baburt^ entftanbcite $6rpec ba$ tttUms/tt Ob 

tdebet* ^ ^ 

If* SBtwetd ber Sbnflrucftom 
£r(!Itc&/ brtg bet R6rper ein Oftafiber fe?* 
®a KE=KH, tmb EKH=:3l.: fo iji (i, 47. €J0 O 
. HE =3 a a HE, SHun tft aucb LK= KE ^ unb LKE == 
^ «. : dfo D EL = a D EK. ^olgHcb ifi D HE= D EL/ 
dfo HE =: EL ; abet m^ gfeicben @t&nben aucb LH :=: 
HE ; f ofglidb bet A ^^H gleicbfeitid, 9hin toirb <mf fi^iu 
licbe sat betotefen; bag bit SdangelLEF, LFG, Um, 
oucb gleict^feittci^ unb bem A LEH gletc^ ftnb; fo n>ie oucb 
Die oiet Sttan^jel ouf blrnfclben ©tunblinien EF^ FG, GH, 
HE, foelcbe i^te ^)>iQein M auf itx anbero ®eite bee <Sbene 
;EFSH '^aben. Sofefi* ift (i i , 2 7- @.) bie t^ott biefen Stj^ 
^fngeln begcanjte Slj0^t,ein Oftaebet. 

JwevtettB, bag fic^ bjefe* Oftaebet ton bet geftebenen 
iRugel umfaffen laffe* ^ " . t 

, €c 3 Sa 



40« 



'4MG(*< ^entente 




S>a LK =: KM =r KEt fo ge^et dit Un LM tx^^^ 
lenet {)al6Fret< tutcb £. $ce^e^ ftc^ nun tiefec ^ol^fteM 
urn ten tintxrtft^en Z)urd)nie1fer LM rinftdnm : fo gdl^et tt 
Wt tbitt ben @nml>en av<b tuc(6 F; G, H. 'S>(mnd(& fatt 
fm tie Stfpunfte t(# £)ftaSter^ in tie Obcrfl&i^ ter Sn« 
(H , teten ^cc^ts^fftr LM i^ S>iefei; ^ttccbmefFec a6a 

^enn b<i LK r= KM; KE getmin i^f tmt 6^ K t((6te 
8BinW fmb: f» tfk (i, 4, €50 Lt;=EM, atet (3, ji.0.) 
tEM = «R. ; ieiCiMib D LM = a D LE, fRm ijk (♦, 
«. 3uf. «, 6, ao. 3iifO AB :BC3:i O AB: ODB, alfo, nvi 
ABs=3BC« aa<^aABr=aaDB = 90LJX tQlf 
li<ft ift Q LM ^ Q ABi fo(gfi4 LM = AB. 

^ ebm 6et9J(feR loorb^, ^a§ p LM, = 3 Q Ut, 
«M^ tat LM = AB i(t; fo t|t a AB^ 3 D LE^ m 
AB t(« 2)itt«|^in(f(« tet S^(0 sdi) L£ tic Qcttc bc< Oh 

(ttCvCC6 IB* 



^«( 



I* 



« pi^i(^tti fSHM), 407 

JDer tj. ©af. 

aiifgdbe/ ©!wn?©fitfft, (<tnJ^w8t>«), mU 
<^er f!^ von etnec gcdc^enftt ^d^I umfxffemla^ti ^ 
conflcuttcn. 

Mr 

£e^cf(t9. S>a8 iCluabtat beS'lDut^meffecd ettttt; 
^d«{ t^ bre^mar fo jitfof ^7«{d>bad.0itabt:at.bei: @<it« 
tines &on biefa ^a<I umfditin ^S^ifef^. t 

ten, t)# AC = 2 CB, 
ober AB — 3 CB ift. 
©efcfcrciOe uber AB 
ten t)olfrfvei« AEtB, 
fcnc^te auf AB in C 
>en ^Pecpentifd CD, 

ein Ouabcdt EFGI^ 

bejfen . ©cite =^ pBi 

mictte(ii, I a. ©0 , 

auf teffcn Sbcnc itt 

ben^unften E,F^G, 

H, bie ^erpcnbifct 

EK,.FL, GM, HN, 

fceren jebcr = DB ; 

unb jicf)c KL/LM, 

MN-, NK, fi> tft FN bee ©crlangte ®Atfeh 

II* 35.ei»ei5 bet gonftructicm 
fErfiHcb ; taft FN etii SD$cfcI fep, ift io^kitfy a\a (i i/ 

Jhi^el ttmfaifen laffe^ 




40t 



Z>< EKmftet9ktf 
ae EFGH pecpci^ 
Mac t|^ folslM& vi 1/ 
3.e.)K£G=9L: 
f>^b(cift«rKG 

tfH!^QffefBf^ttMlfl# 

>«c^E. SaFGoitf- 
FL,FE.faisfi(&(2i, 
4. 6.) onf bet ^bo 
ae EFLK iKipoi^ 
fifat, fb(iiM» GFK 
='9l. : (• tt^ in 
^bn KG btfdttiant 
^(itbMt aad> Ht^ ' 
F, mh aai tbta tern 
^runbc otM^ bORlft 
4iOr fi6tige Sifpnnfte 

^4 benuKU^ m bar 06rrfU(^ bee Sngd/ b<c(n 2)tiri:^iiKfr(r 
KG ift , fifftnbett. Ziicfec abet i^ =± A6. 

2>enrt ba GFE=r<R.: unb GF = FE rr EK : fo ^ 
(i, 47. e.) D EG = a D EF = a a EK; fotgHc^ QEG 

+ a EK/ b<i« ifl n KG = 3 D EK = 3 O DB/ »e« 
£K = DB {ft atun t(t A6=; 3 BC, wtb (,6, g.3uf.. tinb 
6, ao. 3uf.) AB : BC = D AB : O DB, olfo Q AB = 
3 a DB. $olgli(& n AB = d KG , affo AB =Ka 

UL SBemetd bed £e^«|o|ed. 
JDa im wriflen ©eweife D GK = 3 n E3C, ttiib GK =r 
AB, olfo D GK r= n AB: fo iji D AB = 3 D EK; »o 
AB bet Z)uc(^meff(t bet StuQA, unb EK bte 6eUe M ^h* 
fe(« ift 

^er 16. 0<it» 

2(ttf94l>e* ©n 3fofaeber> »e(c^« ^(^ toon dmc 
Se^ebenen ^MQti umfaf|ttt (a^t; ju confhmcen. 







• V 



Vfm^^Pi^ 



4J» 



flit ^ofaSb^^d ift bte.K<ti^((t 2|n:atibn«(e. 



/ » 




I 



I. Coniltttttlpn t>e« 3!6fa«b<t«. 
«« f«9 in b«t gtgttc SRom. I. bet fiegebttwii Stugel ^c^ 
mcfiiec AB in C fo aef^nitten, bag AC = 4 CB, olfe AB 
±= 5 CB t(t »<febwlbe ibet AB ben fwlbfceK ADB , et> 
f ii^te flttf AB in C ben ^ftpenbif ^ CD , iinb |ie|e DB. 



X 
4 



k' 



iiii&'e Sftntiitt 




8hm fe9 in hn Sigut Stum. IC ttm ben fNittrfrttttft W ni 
JtrtM, l^ETen f)al&mtfre£ =:DB, Se(i:finib< in bcnfdiea bit 
. gleicb: tinb Mfiltist gigm EFQHK, Ijiillmt Me StgenEF, 
FQ, OH, HK, KE, in L, M, N, O, F, unb lit^e bie iinen 
ffic bie flleieb- unb finffeilige gigut LMNOP, be«fllci(6cn bit 
. iinien fib bie flteicfe: unb je^nfeitifle Sisut ELF .... KFE.. 
3nbtn?)unft«iE,F, G,H,K, enitjlt ouf bet Jtcei* 
,Me Me flaiienblM E(2, FK,tjS, HT, KV, nntJK jebn 

bw 



« 



berfettm rr D^ snb tte^e buttb if)tt fnbpunfte bie ftmcn 
furbie ftfeic^^ unb f&nffeitige gigui: QRSTV, l^«fileict>ctt N« 
f inien QL, LR, RM, MS, SN, NT, X0# O V, VF, PQ. ^ 
3m SKttdpunf re W crcic^e auf bee Swtfih^t fcea ^et* 
ptnbiM VfZ^hin liU Sts»t 3htoi* llK torfteUet, unb ixr^ 
I&n^ete f^n auf Ut anb'em ®cite bet Srdi^i^^r nac& Y, mas 
cbe WX bet Oettc bee fccb^feUigen/ XZ obec uttb WY'bcp 
®eite. bee ^el^nfeUi^ §tgut #ic^, itnb iief)e gerabe {tnien 
t>Dn Z nad) ben {G^infelpuirften bet gtguc QRST V> be^glei^ 
<&en Doti Y nac^ ben SDinfeipanften bet gisttt LMNOP ; 
fo ifl bd^ tKrfangte 3fofaebet conjltuat* . 

IL S5e»etg bet €oHf!ructipm 

' i$r(i(icb/ .ba§ biefet Sthtpw ein Sfofa^bet fep* 

2)a in Slum! II. bee Sigue EQ, FR/ anf einetJep Sbene 
(bee Srcjiflacbe) petpenbifulaL|^ fiJflficb (i i, 6. ©0 paeoflet ' 

taM unb gUi^ ; fo(^ic(^ ift <2R bie Gette einee m ben $eei< 
befcbricbenen gleic^? «nb f fiitf feWgen gifiur^ »eil EFfolcte^ ifn 
8Iu* 3lei(<^en ^eftnben finb auc^ bie ubrigeft ?inteit RS , ST^ 
TV, VQ , ©etten Ut gleicb* unb ffinffeitigen gtgue QRST V^ 

2)a EQ bee DB^ olfo M |teeife« |kjfbmeifee j^leic^ , f ofg* 
Jicf) bie ©eite bee fec^^fettigen gi^ne ift, EL obet bee je^n^ 
feitigen, tinb LEQ=fR,: fo ijl (13, lo. ©.) QL bieCei^ 
te bee funffeitigen gig^e, unb au« gleicben @eiinben LR* 
Slun t6at e« auib QR* golflli* i|t bee A QRL gleiifeitia* 
au^ebenben ©eunben finb cucj), bie ^eiangel RSM^ STN^ . 
TV0,yPQ,gIefi*feiti8- ' 

©a LR, RM, ML, auc^ bie ©cften^bee %Ui^f unb f&nf^ 
feitigen gigue (inb: fo ifl a LMRjgieic^feitig/ ?lu§ ebea 
ben ©efinben jinb auc& bie Seiangel MNS, NOT, OPV, 
PLQ, gUicbfeitig. 

3n sRunu III. bee giguc finb *bie ^ottjgone RSTVQ, 
uni^ LMNOP, t>oegefteQct ; toon teti gebactiten Jciangetn 
«bee bk/ beeen ©eunbUnien ST/ TV) VQ^ unb ©pi^eii 

N, 



- \ 






4»a 



B ^ 




N, O, P, pnb , UifAti^tn bit, bttcn (SninMinten NO, OP, 
tinb^pilmT, V,fin^ 

©a nun XW^ QE, ouf cintvlep (g6ene (bee 9tcxiflid>t) 
(etpenbifufor, atfo (ii/ 6. @0 parade!/ a6er auct gletc^ 
f<nb : fo finb (i, 33.00 du* WE, XQ, parallel unb gleic^; 
f0(g(t(i {(IXQ bie (Seite ber fecbsfeitiden Sigur/ n>ei( WE, 
• be# Sreife* f)albmeffer, foIc^eS ift. 9lun ift XZ bie &th 
U bet {ej^nfeitigen giflur/ unb QXZ=r:9t« gofgUcb t^ 

(13/ 



Ci3/ lo. (SO QZ bfe (Seite btt f&i#rl<|ett Sigur; au« gW^ 
d>^il @r&[U)en <ibev au^ VZ, mb na^ Obigem aii4) Q!^* 
^irid(i<$ ift A VQZ gteic^^itig. ^{fel{)« gilt auct^ ^n. t^m-^j 
Swangiin, bcteii ©fu^Kwn VT, TS, SR, RQ, finD, un&( 
teren ®pi$<^ Z i|L Uni) e6en fo toicb IbiefeS i^on ben ilrian^ 
gehi beipie(en, &ecen %utibiin(ien PO, OjN/ NM, ML, LP, 
(Infe ^ unfc beren ©piije Y ift ©mnacfr ift <i i> 2|9, S.) Ut 
conftm^te S5i;per ein 3'^faebe^ ^ , 

5tK>evceii6 , ba§ ficj^ biefe« 3' <>^^*^^^ ^^^^ ^^^ gegettnen 
ftugel umfaffen faffc. 

2)a in ter giguc 9Ium.nL WX bie (Seite bee fe(!^<feitigen 
gigur, ^Z aber bee je^nfeitigen : fo i|l (13/ 9*"@.) W2 iti* 
Xiia4> fiettgee proportion gefcbnitten, unt WX bee geogeee 
SJbfi^nitt, oIfoWZ:WXr=WX:XZ; d*erWX=WP,:t 
unb XZ = W Y, f ofgftc^ WZ : WP = WP : WY. Stm - 
ftnb PWZ, PWY, eec^Ke SBinfet, dfo, wenn man fZ 
jie^et, (6; 6. @0 bie 2ciangel.|pZ; PWY^ &^nH*. golg^ • 
It* ift (6, 8. @.) YPZ=:3l.iF8olgfi* ge^et (3, 31- ©0 
bee ubee YZ befcbriebene ^albfmi huv^ P* 

au« obiger proportion WZ: WX=WX:XZ, n^o WZ 
=r XY, unb WXrrXQ, folgt auc& XY:XQ=XQ:XZ. , 
gofglio^ iff, tocnn man QY sie^et, a«cb YQZ=5K, golg^ : 
lict geftct ber ubec YZ befcbriebcne ^albfmi au0 burcb Q^ ' 

2)re^et fi'ct) nun gebact^er |>afbfreitf um feinen unoerrucf^ 
ten 2)uvct^mcffcr YZ ring^um : fo ge^et er aui g(ei4)en ©run? 
ben aucb i^nvd) bie ubrigen @cfpunfte be« 3'^f*^^^^^/ ^^ 
dlfo in ter Oberfiacbe einer Suget finb, beren 5Dtt?cfrnieffer YZ 
\% ©refer, abet ift = AB. , 

©enn ba WZ nacb ftetiger fjroportiott in X gefc^nitten 
ift: fo ift, wenn man WX in a ^albirt, (13, 3* ©0 D Za 
= 50 aX. Sflun ift YZ = 2 Za , unb WX = 2 aX/. 
golgli* D YZ r= 5 D WX !5=: 5 D DB. Sun ift AB.=: 
5 BC, tinb (6, 8- unb 6, 20. guf.) AB:BC = D AB: Q 
BD, QlfoDAB^sQBD. golgJi4> ift Q YZ=:D AB, 
alfoYZ^AB. . 

IILaSe? 



4^4: > piSA'i Qteimntt 

BL JBt»tiS bed itf^t^cf^ti. 

* Iba htt Jltijd 2)ur(^me|rer tationot tft; ttnb frill £lda^ 
brat bem f&nffdcbeti Cludbrdte torn l^oli^meffet bed Stwfet 
EFGHK s(etcb ift: fo ift brr l^atbrneffet; foIgUcb ovfb brr 
SDurcbmciTer biefed ftrcifed rational; fo(§(i(^ (13^ 11. 6.) 
bie 6cite ber m fold>en Sret< bef(brfc6enen f&iiffeietgen ^ 
gtir; t)a« ift/ bte ®efte bed ^fofaebetd/ bie fleinere ^hmm 
tiotule* 

3 « f a ^- 

J^ieraud et^eUet; tag bad £!uabrat bed ^urcbmefferd to 
jtitgct gfcicb ^ bem fttnffad>en £lua^rate bed l^atbrnefferd 
bedjenigen Streifed; auf melcbem bad^ 3f^f<^^^^^ befcbuebcii 
«itb; ati<b< ba§ ber SDurc^mefer ber Sugel and einer @eite 
ber fecbdfettigen; unb {tvep Geiten ber {e^eitigeii gigue, 
bie bepbe in ben n&mli(ben Seeid befcbrieften (tnb/ ittfammcii^ 
fl*|tfev* 

SDer 17* ©af. 

2( u f g A b e^ ^in ^obef a^ber^ mclc^ed ftc^ bott etner 
^egebenen ^ugel umfaffen ia$t; ju conftrutren* 

it e^irfa^t S)te @ctte bed bon einer Jvugel umfaf^ 
tett ^obefaeberd tfi bie 3ipotome. 

I. C^onftructien bed !S)obefaSberd« 

Sl^on bem (i 3; 1 5. 0.) confhruttteit SB&rfel fe|e {Idcv 
<6eitenf{&(ten ABCD, CBEF, perpenbifuloc An nnavibetf 
^«(t«re i^M &tiun in tm fmttm G, H, K, L^ M; N; O; 
MnD jic&eGK,HL, MH,NO. «*iieil>e We NP, PO,HQ, 
nadf (tetiger proportion in im ^nnfteh R, S,T^ fo &a§ PR/ 
PS/ QT/ Die gtogecn Si&f4>nittf |tn». 3tt Wefen ^Punften et* 
ti(tte (1 1/ 13. 13.) auf ten ®eitent{&4^ te4 S^iitfell Auftet; 
^a(^ (efTdben i>ie f>erpen&ife( RV, SW, TX, matte Oe obit 
ten gt^ievn $l(>f(t>nttte» PR; ?S, QJ, ^In^, unt> jte^e tie 

Sinien 



Pmi»»iM feaij. 




tMm VB, BX, XC, CW, WV, »((«( in 8c«(t SSaii lit 
sen, gleti^e SOitiFd cinrt^lielra, unb^eine auf bee Seiteniinie 
beS ©fiefel* BC bcfettiebenc gteiit- unb filnffeitige giguc ein» 
fcbliefien. ffiitb nun ouf jebee ter jtuStf eeitenlinien tie* 
SB&cfel^ eben eine foltte StguC; ntie an ia BC, fiefitieieben; 
f« 6Uten biefe (i i, a8. @.) ba« Derlangte S)o&eF(i£&et. 

n. ^tmtii bet €onfltuction, 
£r(Ilicb, M VEXCW cine ftUit Meitlge Sign 
fl9i 8!imli«^ 

I. Sie i(( gldcbljitig, 

gieje BR, BS, BW. iDa KP in R nag (leHget i»rM 

pfletim gefebnitten, unb PR ber gei§ere a&f(initt ift: fo 

t(i(i3, 4-®JDPN+DNR = 3DPRj o6<ePN = 

NB, 111* PR=RV, fplglilt) QBN+qNR= 3 QRV. 

Kim 







Shu Id (1, 47- SO n BN+QNR=rD BR. S°1>IU if 
D BR= J D RV, foljll* D BR + D RV, tui i(i D BV, 
= 4 a RV, Wsli* (6, 10, 3uf.) BV = 3 RV. sRun i|i 
RS = 3 RP = a RV, alfo VW = 3 RV. S°lgli* * 
BV=r VW. jiuf a6nli«i let trIcC Mt eici^^cit C«u»n> 
flcn @nten itt gigur BVWCX bemicfcn. 
11. eie i|) in £iiMt (Cbotb 
.3i(6t Hut* P bm tinltn RV, SW, Wt PY ouf bet Jos 
gem ®(it( bti SBfirfel* pacaUef. 3'^&« man nun YH, 
HX: fo W YHX eint atrabt finie. iBtmi ta HQ in T 
nact fUtiget ^oportion gef(&nitKn, un6 QT Bft gc^grrt 
BbWnilt in : fo l(» HQ : QT = QT : TH ; abit HQ = 
HP, unt QT = TX'rz PY, Wjli* HP : PY =r TX 
: TH. 3iun1inl (i i, 6. S.) HP, TX, fomc^l, M FH, 
FY, iMnUtl: jme, mil r» nnf t» O^nt BD, M(fr, mil 



S&r«9i«(lM«> 9ti(^ 



$e <mf bcr 9btM BF pnixnbidrfat fnb. 50(9(16 M (^/ 

BVWCX/ in tocH^t tie ^attse YX i^, in ^im (Sbm. 

lit. eie ifl sfeid^t^neftg. 

]Da NP IUU& (krtiger ^copoctioti iit R'^efcNmn, tm( 
^R ber grSgere Kbfc^nttti fe i(i (i 3, 5« ®.) Nt» 4. PR : PM 

. = NP :PS. 9hiR i|k 'PR= PS, «lfo NP+PR = NS, 
atfo NS:NP=NP:PS. SofgOC^ ift MS na(t> fteti^rc ^ro* 
|>ortt«n iirP gefctnitten, nnb NP bn; 9r6ftece Sbfthitt, fo(g# 
Ii*(i3/i4.«0 DNS-».aSP=:3 QPN; «b«PN=a 
NB, nnb SP=r SW, fotglic^ Ql^S+D SW= 3 D Nl^ 
foJijit* ou($ D NB+ D NS +a SW = 4 D NB., Sbit 
i{k (I, 47« 6.) D NB -f D NS = D BS. Soi^fii^ t{^ Q 
BS + D SW, ba< if^ C '* 4?. ®.) D BW, = 4 Q Ni^ 

V fois(i«b ( 6, ao. 3ttf. ) BW = a NB t= BC dhin Im^ 
MCb be« fdtmiiti ecf^erem $^eilc, att<t6V£=BX, uri( 
VW=CX. 8of|(i<ttfk(i,«.e.)BVW::rBXC. Ify^ 
cb«n bie Ktt mitt bie eieic^^nt tn; SBinfel VWC, BXC, be* 
mkfttt, foJflli* iil (13, 7. ©.) BVWCX 9lei<t«>in«ig. 

5wev<<>^ ' M t*<^ ^'*^ Ziobefaibet von bee g^eb^^ 
nen Jtugd umfajfcn inffe. 

Q(£l&nd(ce YP in bal 3>tnet( be< ®ibf({< n<i(^ Z: f« 

tnfft(ti« 39- ^0 YZ bie 2iia0ona(e b« SB&tf(«> fo bat 

Mte eindnber in 2^ ^(biten. . ^oigii^ if): Z ber tRitte(pun(t 

•' bet ftttgd, bie ben SBfitfel umfait, nnb PZ bee ^olben ©eite 

»e« ®dcfe« PN gfeicb. Sie^VZ. 

3)0 NfS nd(b futistt ^eopottion gefc^nitteti/ nob NP 
tee gc6|ete «bf<tnitt ifr: fo i^ (13/4. ©0 D NS+QSP 
= 3 D NP. Shin ift NP = PZ, nnb PS =: YP, <A^ 
1<JS =r YZ , att<^ ifl SP = ^R , <rtfo SP = VY, $olflf 
iic^ ifk D YZ + a VY, bai ifi (i, 47. ©0 D VZ, sr. 
3 a NP. 0^ ifi; (i 3> 1 5, @.) ba< Quabtat bed !&ut(^ 
meff'eti'bet ftu0e( bem bee9fa<:ben £ludbrat( bee ®eite M 
IBixitfa^, olfe mdf iai Gualiai bed ^(bneffeed bent 

^nib'« Stem. 15 «&ib«r. ID b brrn< 



4U Suflib'i ^entente - 




'feiie^fdi^ £luabiate twr ^a^en ©cite NP qM^. ^tl^U 
iftVZ in Suflrf |>dlbmfff«t, Z tec gsittelpunft, unb lift 
't^unfit V in bet ftugdftacbe. 3fuf &f}nlicte 9(rt wirb betDicfni 
bat anftec V m6t jeber anbrte ©rfpurtft beS ©obefaawrt i» 
ter SugdfTac^e fep. ^oiQ\ii!fy tonb boS SJobtfaSbec oon Nt 
i^egfbeiien Sugel u'inf<)§t. 

i, , ^I. SSetoeis bea Se^tfoleg. 
. Sia NP na(^ fietigct ^cDpottioti tii R geftiiititten/ tut 
PR bet 0i:66ere a&f*mit ift: fe ift NP ; PK = PR : RN, 
fllfp.autfeCs, 15. ©.)« NP: 3PR=2PR:3 RN, tM* 
Jft, NO : RS =r RS : RN + SOi abtt NO > RS, dff 
jjuiib RS > RN + SO, folgli* ifl NO na*, Mfler ?rix 
portion gcfii&nittcn. unb RS bee gt&Ste 9fbf(t>nitt. 9Iui 
;ift bep SUflfl I)urd)meffec rational, mib (13,. 15. ©0 («" 
£lttabrat bem bresfacttrit Quabcute in ®eit< NO glcitt, 



m^ 



4«9 



'RSbte!t|)otome; d6eeRS:^VW, Wd^ M 2>obffaS^ 
»€C« «eite VW Ne J^ofome* 

- "^ Stt f A t^ * ^ 

^imui ttf^Utt, bdg bet dc6g^e Sbfi^itttt bee nd^ ftet 
ti^et proportion gif^nittenen 6eite be« ^if^li Me (^itl 
be« 5E)otefaebet« fe^* . V 

ISitfgabe^ t)|e43efteft begirt ben b&t|e)ide^enbett 
@a|^ betroc^tetett fftrtf ^brper ^u ftrtbem.  • 

. &e|^tr4Q; ^^itb ba«,tiuabrat- bee^I)ui^miifkt9 
titter ^ugel^ tbel^ei&fefe fittf ^rpet umfagt^ in^d^f 
gleid^e tfetle d^r^tift; fo HmmevrUpn mf hai £;m^ 
brat Be8 ttttaSbtH vict, Ui OfcaebeW. &reV^. .&« 
€OBi^pfete )ii>ev* ^SBoti btn le^beti dbtidfn tber^ Mt vm 
t>er ^u .{enett ^ itod^ ^tt einopber in x(M^t\4tt 93er^iit»i| 
^ futt) A ip: bie iSette b»« 3f ofa#bei:$ jiri^er ^ aid bie (Sei» 
be« DobeteeDec*. , 

^g ACS±CB, 
lin»ADs=2DB 
i,t Uebrt AB 
btfc^td&e bieit 
|>a(bf cdS ADB/ 
mi4>te auf AB 
inC,D,tiic!|>ce< 
pen6ifclCE,DF/ 
a%AF,FB/U» 



>. •*• 




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euffit'< €laiuiitt 



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pertiMi,fccf ' N 
in gt&firrt H» 
fitnitt ijt. S«T^ 
wt Rrit&tf auf 
AB»Almrtt< 

^ fotttnt btr 
AB gtfKt , unt 

HfitwiMifib 
ItolrtHaiifAB 

UK, nnt mute 
CL=CK,Ni| 

mfil LK = 9KCi|); nrl«l((nl>li«inf ABkLbolk 
, pmtlM LM, tiiit ilt^t BM : fa l« M< e<iR trt imii 
Nt« AF; MtVAtfelsBF; lic« 4XM»tn B£; M 
bttctnebcn BN ; ant M 3ee)ae&(» BM. 

n. %<»({« ttc SonfttutliDii. j 
erftlt*,NAD=: J DB.alfo AB = 3DB,im 
AD : DB = 3 : 1, ft if sutidWsttl* Cs, 19. 8.) I* j 
:AD=3;3,t«JI(i, BAnjAD. 91imiK6,l.e)' 
AAFBrVAAFD, alfo (6,ao.3ii(.2.)BA:AD=D*l 
: D AP. Solsliii ift an* D AB: Q AF =: 3 : a , »<• t 
- aAB=zlaAV;aUtAB HaSagHtMUmiffl,!*! 

ii*(i3, i3-eOAFwtas<itti»«t«i4aw«. . 

fZwentm, 6oAD=:i DB, alf6AB = 3l)B.>'' 
(6, t. «. u. 6, 30. aif. J.) AE:BD=:DAB!DF1,('» 
«u* O AB= 3 Q FB; aba AB ht Suftl BaiiH* 
fol«l» (13, 1 5. ®.) BF tit Sdtt t« l(lMtt«l^ 

CWtttJls, ta Mt 4S(itt ia tSMm FB in N M* (f 
tijft DtuOTrtim gtftdninm Ifl; )J IJI (, 3, 1,7. Juf.) » 
jrtjne Mfitiiun BN (I. @nu M £«Cit(iia<r<i. 1 

— vmi 



1bt(9¥^ntH 9ii#> 



4«» 



TOieaem, i* ac^^CB; dfi» ab s= 3 bc> «* ab 

; ^G =046: a BE; fo tfi aiu^ Q A]&=: aQMi tibtf 
AB bee ftugd 9u«^ttl<f(rf fvlfliKl {ifir I4> 0«) BE m 

^firtfteita, b« AG s: AB 35: a i^# (m« (^,4. 6.) 
f3A : AC =:; HK ; KC; fo ift «(f« HK s=: 3 KC, folgti^ 
C6, ao, e) D HK =5 4 OKC/ f«|«H<ft Q HK + DKG/ 
l>a« iji (1, 4?.^.) D HC, = 5 a KC5 «(« HC 5S.CB, 
«lfo D HG i; p CB « f olgtt* D CB :^ $ O KC W«« 
if% AB = a BG, tint LK sr a KG, dh aC;KC =5 AB 
: LK. goiglic^ ift atld^ a AB = 5 a LK^ f9lflU(6 i{^, mib 
AB %ec 2i)uv<;gm<(fec (e^ 9v^, LK tie'ScUe ^ f<«&«fddd<itl 
%iQwc in km $tdfe< in n>e(4^n M ^M<t^e^ ^efc^ne^n: 
,toitt. SRnn ijk AC =s CB, »n^ KG =r Ct, (rff? AK = LB>: 
alfo AB :^ LK + 9 LB; abec AB kc ftugf( iDucc&mefFec. 
goigli* (!nt» (T3< 16, guf.) LK« LB« We @<iten t»w in bm 
ftVytn $tei$ &ef(|)ci((^«n(n fe<^l((itigtn tin( ir^nfeiH^en Sifnir. 
J5<j nun KC 5^ Ct, atfo (3, 14, ®^.ML s; HK; «kt; 
MK = a KG ,:= KL. m MLsp KL; fix i^ au<t>vML liti 
^i^it Ut U^i^M^ea^iVii , a&ec LB bei; }(&n(eitt0en«h itnb 
MLB.=; 9?. 80198* ifr (l J, 16. ®.) MB ife 0«te b« 
fftnffHtigen ^tp? in obdeNtdt^tem Seeife, f^^ (( 3/ 16. ®.> 

. ^<^^ htn fe^pf%n t>e« 13, 14 «n^ 15. <S5<i§rt1(kD AB 
= I Q Af" = 2 q BE == 3 Q BF. m\i alfr a AB in fe*«: 
gkicfee J^eile get^eilt; f^ fummen IXi»on 4 auf QAF/j auf- 
□ BE, ^h a auf Q BF, bog 0o tie SSec^&lntifGe ^ ^teR 
Del 2<trae&a;«, OftagtKit^ tmt> fD&(fet9 taiioaal fd^. . 2>aft 
«6t( tie ^(iten t>ti ^f ofaSbec^ unt! ^iiefaakeS ttttttioiKr 
fbit^/ wett iene (i3; 1$. @.) We fieinere ^«tl»nfik« t^kfe. 

Umbtt, no^ ju ben: Wkq ecfi8<b«c^ v^^onok S^d^tni^, 
Z)a§ «to; M ^a^&itti ®eite BM gt^t; 4ii( b« Z)obef 
faSWte 6(tte BN fe9/ t»itb^uf fofgenbc 9tt beiviefen: 

^b .3 LS)4 



/ I 



4**- 



9ttSt>'i ^Umeaff 



9t 

« 



1. t»4''bte: 




FAB,' gW<^* 
tPtnflig {tnb : f» 

;BR=fiFjBA, 
3tt'f.a.)I>B:BA 

|feiJftr/^B:DB 
sa D BF : Q 
PB} abet; AE 
ait 3 'DB. folgj A" 
lMl>DBF=3 

D DB, 9lttn# AD = 2 DB, <#» D AD = 4 Q DB. 
SotgiM^ ifi □ Ap>a BF/ aJfo AD > BF. Stun tft AB = 
a B€, AD 3S aDB,.atfo BD = a CD, BC = 3 CD, miti 
%{fi O BC an 9 OCD = 5 O CK, foWi* CK, \xa H^ 
CL >CD mt> AL > Mi. Soffi|(i4> ij^um fo nk^t AL>M^ 
JKiui ifi^ »eifKL.bie <S^t Ux f^^eitkien gi^ur, ttR&KA= 
LB Me!®ette tier srQnftHiscn > (1329. @) Af.. nac(» Mscr 
f^ropottton in K gef4)nitrcn, unb K(:. ter gr6Scre ^Idf^^Ritb 
«tt<t) toar BF.nacI^ ftetNvec. proportion iq N gefc^nittcn, nii> 
5W |h<t,>(j?^ece ?l.bf(t^ntrt. 5?or3lict> i(t KL > BN, olf». 
»eilKt^MLVW ML>BN; abet (i, 19, 0.)BM 
>Mt* t«l8lt(t> urn f» me$t.BM>BN. 

• a £»«$ »aAD=aDB, fftlftADzsjDB:. 9hm 
P (6, JK'CO A FAB rvj A FBD, alfo AB : BD = DAB : Q 
BF» $0l9lt4^ iff O-AB = 3 Q BF; a6«> Q AB = 5 Q KL, 
f9f^ 5 OKbsp 3 O BF. 9hm filAO (felgeniiec le^tnfim) 
^ D BF >.6 BN. fofgfi^ ift O- KL > Q BN , a* 
KL > BNT^ «fwi! KL-cz LM« foifik^ LM > BN, oifi 
tnif<»tn(^QM>BN4 . 



* ♦< 



Se^n 



. ,-: \.1D»9i#»t<« S5»#;..- . ... 42.3 

- 2)a BN > NF, olfo FB >< BN,> BFX FN: fo tft 
, FB X BN + BF X FN > a ( BF X FN), mn ifi 
(a^ a. ®.) FB X BN + BFX FN = Q BF, mh wtit 
BF in N iHn$^fiett0ec~f»;Q)^o«tien'gef<^nittett/ (</ ty. <^.) 
BF X FN = D BN. Sofgttc^ ijt Q BF >' »>a BN| 
f olflli* 3 a BF > .6 D BN, . , .. 

Iter i^on gteie^en gleic^fUttgeit unb j^Ieic^i^infiig^eH^iduc^n ctap 

SBinfel (e^ Cerraeber8> aut^ loiei: M (Dttaebere/^ 
aud funf ted '^HofaSbetB* 9^c au^ fec^d oter me^^ 
jceircn g(eici^feitigeft l^riangf (n entftel^l (ii« 2i.0O fein 
f 6cpei:Uc&er Sffiinfd^ meil ict WHinUl tinci folc^en itttan^ 
geld =: I SR- , f olftli* feti)« feerfd&en = 4 9t / f fls^ 
lic& ficben uni) me^rfte > 4 fK. fiitb* 

ft* 8(u6 &ce9 Sitiabratett cntjle^f Wc f 6r)>er(t<^ ®infel be« 
X)Durfei&; ab^c au« ttct^, xotidi^t = 4 9t« M/ ent^ 
ftc^t (i I A 2 1. (SO fcin f Jrperii(i()et: SBWnfek 

3» !tu« btep igfeicjjfeitijjfn unb gkiclminfligen f SnffriHscn * 
giguten entftf^ ber fkperJic^e SEB^nfel be« 3Dot>e^a^^ 
bcr6; abet aud wee entjle^t (i i, 21. ®.) Wn f6rpet* 
Iict)er ®infcl; »eil (fofgcnbec ?elgn^) bee ©infel fbt 
c^er ffinff^itigea giguc =: i| 9l./ fo(jlJ<^ wet betfeb 
ben > 4 31* pnb* 

4« S(ud anbecn $i>(t)}onen \ft ed noc^ tpenigee m&^i^^. 
einen (it;pet(i4)^n SDinfel ju madden.. 



t 






SD&.4 *^%« 



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8 e ife n f a t. 

Sag bet SBinfet bet g(et(^n)mfftcieti stetc^^ uhb f&nf; 
feittften ^im = xf St, ifl^ n^itb «lfo bwiefim; 

Urn biife fftnffeitttegjfiit 
ABCD£ 6cf(btftl» cinen 

Stn«/ bfifm aXimlpimfr F, 
iinb jie^e bic Sititcn FA, FB# 
FC.FD, FE, todbtUi ^ 

bet ^igur b^lftit^* jDabte 

0tn(e( urn F r=: 4 9t«, imb 

gleicb ^nb: fo i(k jeb^, tote 

AFB^=:;f at., obet i — 

f cine< recbten ®inMl, 

fotslufrCi, 3 a. ©0 FAB+ ABFsr i| «.; flbet FAB = 

F6G, fofstkb mtcb FBCi^ABF/ ba« iil ABC=:: if 9t 




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Cfttftt^'^ 



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«»iii>«MWMMMMwiMi 



^Miii mM.r iii 



€ u f ( i b*l € f e m e It t e 



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^kq^ifuUi Sn<& 



5tdr]»«it 



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€rfletf ,S5u(§ j)on ben fdttf 5Cftt|>ttt!. 



<</Afiitl^e< Don ^ptMp ttdn (ieber fJrotarcftv t^tn dit)l iuu| 
8i(?(anbrten ^ i»dr an mMnm Skater tof gen bepbei: gemein; 
fcbdftttc&et 2tebe }iir fRat^^mattr tmpf^^tn, mb btatbtthie 
niet(ke Sett ^einetf $(uM^iilM tn ^ Umgange mit^tn }«#, 
SBS fte dnej Sage« te«Kpo(Ionitt< 64frift ibtv Kktg^i^wg 
beS in einede9 Stigd 6efd|)rie6enen SobefaSterl nnt 3^ ^fo^^ 
beilf/ unb betdt Setb&tnrife )u einan^r^ burcb^ingen; fift 
fcbteh ij^^nen bet SDcrttag Ui tfi^oUonin^ nic^t giin{ dc^tig sit 
fepn , unb fie fcbdefren ^^ mie mir meiti 93atei: gefagtsbot # ibtt 
fBecbefTetungen nieber. !R<i(b ber 3dt fkl mit )ebo(b dne an^ 
tete oom JCpodomnl betau^gegebene ®(bnf^t in bie ^inbet 
Vieitbe dne dcbtigie Sbiff&fung ber emabnten ^ufgabe entbSft/ 
teten Unterftt<ittng mit.ein duinc^ntettbe^ SSergnugm gen^&b^t 
bat jDd^ bom 3(poI(onittf b^^^ttigec^efcene SDerf fann jcboJL 
frtbfl tia(bfeben# ta eS ubetatt jn b<3f>^n t|^; boJ|emge afikv 
t»ai i^ nacibeC/ nnb/ fo t)iel i(b utt^eilett bacf , mit m6g« 
|i<bfUm $(ei^e/ batfibet oufgefc^t babe/ i^U icb SHi?/ n»ef 
gen Sbeinei: botj&glicben Sin^cbt in aHe fEDifFenfc^aften; b'e^ 
f^i^ert abet in bie @eometde/ att dnem funbigen S^eurtbd^, 

»b 5 let 



!■ ^ 



>. 



43A 



^aSb'i' &mitttt 



toifffti (Srtoattung ^ bag 2)u fomo^I au$ Sceuntf($aft f&r oiei^ 
lien Sater ^ oIS ou« SEBo^ttofiKen gej;eit mic^^ ^ Sf net^t fepn 

2)di^ e^ ifr Beit, ba§ ic^ meinc Sprrebe fc^Iie^e, unb jur 
©rfc^e felbft f ommr; . .i = 



< » 



,* ,^. 



< ' * ■i 



V *  * if 

3)n toom ?0iittefpuirfte, D, cineS^reife^ aiifbie@cite^ 
BC; etner in\tmUlHn M^mb^ncn f6itff!^igen Si$ui; 
SefaUte 93erpfnbifef/ DE, iff bic «!^a(fte bet ^tnie, bit 

eittec bacein bef(f)rfcbcnen jeljnfeittgen gigiir, befle^et* 

^tUt^ na<S> F, A , jic^e DC, 
CF, tnacbe EG f=r EF, unb' 

Sba tet ^ugeft BPC bet 
ffinfti il^cif t>e§ ganjeir Urn? 
ft;«ife«, bee §5ogcrt AC? etit 
ffalbf Ki« , anb tei' ^ogen FC 
rfe '^ilfte m ^aeni BFC 
jp; fo ift tJogctt ACF=* 
5 »O0, FC, fol8li(f> AG = 
4S09.FC. 3?wnift(6,33. 
^0 S5o3- AC : S5o3. FC == " ••' 
y^DC:FDC, gorgfid) t|t ADC=4Fl5C; «6ct (3, ao. ®.) 
?^DC= 2DFQ fofgllc^ 4 FDCrrsDFC, frtglic^ 2 PDC 
=;: DFC. 0iun i|t (i, 4. ®.) DFC =;: FGC. gofgft* i|k 
TFGCs: 2 FIJC , folglic^ (i, g. @. unh i, 32. &.} DG = 
GC; akc (i, 4. ©.) GC =r FC; fotglit^ DQ 5= FC. 
ghro iii GE==EF. golgli* tji DE=:EF4-FC, fofglK^, 
,»<nn PE ^injufoimnt, a DE=:DF+fC. 




% ^ 



fR»fWi^^#i<*6 



\ » 



i*^7^ 






Stccif^d auf tiie ®eite «inei tdtein befc^^cie&eneo .d(fl<;|^eit|gitni 

©neriep ^tfeis ^it bed 5)obefoet)er« ffiAffeitige, imb 
be6 3f«>ffl^'ber6 brenfeittge ^ig^r, wenn fofc^e ^hpn in 
cinerlfp ^ugel befrf)mben [itib* ' / ' ' ' ^ 

SHom 2(rt(}aite in feiner aSergleictjung . Ut fJnf Sitper/, 
tint) t>om 2fi^lIottma. in bli^jme^ten fTu^gabe fetnec 6(^tift ' 
li&«r Setgli^i^ung ^e$ S>£)befa€bei;# tmt Um ^hia&Ptt ji toit^ 
bcf)avtpt(t, ba§ fic(> bre Oberft&cbebe^ ^obefaebecd jut 0bet:$ 
fli<b« brt '5iftoft3>ei*0tt^fte, wie,ba« JDobefaCb^ jum^to^ 
fa€ber; n>ei( betLf crpenbtfef; bjcf ait« ber!Suge( 3Sitte(|»unfle( 
duf be«2)obefa^Wiunffeitiae unb bi^^f^fofdSbetd bre^fettigif 
SJguv gef^l >irb , b^cf^ Wf ®i^ abet tootteti ^iev bwi/ 
^emeif bcd'ioorgebac^ten @a$e|' gtbeny iKK^bbesi tm jv^^^nh 
ben ?e>nfa| ipecbeiijtaiaw*$eft^|^^ : i ..' - ;.; 

^ \ "' * . i t fifties a $•'•■'•' ' '-'" • "^ '"^ 

SBirb in eiiten itreie ettife ftl^ic^ \Mf ^f^tk^^mtfi 

AGI^HC, bcfc^riebea: fo fmbibte £Smtmif}m ®nUp: 

AC^ Mrtbeinec5DiagonaU/AB, juf«tfiti*en.bem*ffei|^? 

4)tn tiiKibrafe^ Jg^o^irfferp 0leic|* '' ' ' ' 

fillcaufbte@eite*ACben 
$ecpenbif rf- SJt\ tierlSttv^ 
flere bqffelben auf b^tn \ 
®eitw naeb -6 , E^ uixb V^ 
jiel^ebie AE: foiftbieifc 
bie <15eit^.bcc je^nfritig^ \ 

ijt a^f «o- 3uf0 D BE . 
=: 4 a DE. mKilft 




4zt' 



fflet^'i &tmntt 




□ BA+QAE. $0(s« 

m <f» a BA + a AE 

mm a D£ ^<>iu f ommt, 
DBA+QAE+pDE 

=: 5 Q I>E; Sittn ift 
(13, 10. (g5.)aAE + 

DDErrnAC. go(3» 

Ii4>iiiaAQ-|-t3ABi=: 

5 Q-DE. 



Sun (&fit fic& o6i«tv ffl^(fo« ^Ait^iw^ tOK fo^; 

««f«9ABb«!J)tt«^? 
«t<fF<c tiet ftugef/ in 

benftnbtCOEFQafto; 
6(« !E)ot>«fa<»et< ffittf« 
m^t, unb RLH M 

Siguc: ,foi{ltNft<liMt« 
icn, bag bepbe gigutw 
Don «net(e9 ftceif? gc« 
Uit tonttn , tbtt hai 
r = ^ f<9^ wenn r, f, bie 
^Ibmejpfc bet Sttelft 
f uc obgebatbte f finffeiHi! 

bebetlieik. 

3i^( in ber fti^ffct* 
tigen gi^uc bie Sihgof 
na(e DG; fo ift bte^ 

03/8.tr.i3/7.6.)b« 
®eit( bej in bie 9»$H 




•i 



befii(n«£ 



A •'* -" , . 

MtebSfimi flBftcflI«. Shaim eine ^mte finte MN (i^y b«f 
<io, 6i 3ttf,) a AB r= 5 D MN ffp. Sfun ifV (13, tSV ' 
3uf.) tx>« tluatcttt iet Stttt&mefiVtt AB ba^ giinffac^e dmh 
£)iuat)cate M {>a(6aie1fet« te^jenigen JtreiM/ oon bent 6(M 
SfofdStet befd^cic^en tolrb. -golBtu^ tjt fofc&ec ^atbineffcv 
Me MN. ®(^netbe (6; 30« ®.) bie MN na^^ ftettgec ^ttfn 
poctton in O, M MO tec groiece $[6fct>ttitt fep : fo i|^ (13^ 
5. u. 9. ®) MO tie ®cit« tec in tenfel^ Scei^ tefc^cietc« 
nenie^nfettigen ftigiur. 

t>a D AB :i= 5 d MN, unb (13, 15. «. 13, 17. 0.) . 
D AB = 3 D DG; fo ifi 3 D DG = 5 n A^N. ftun 
ijKi 3, 8. «. u. 14, 7. @.) DG : CG = MN : MO, olfo 
ottd) DQ :MI>J = CG: MO. gorglte^ i|i 3 a DG : 5 Q ' 
MN = 3 qCG: 5OM0, foifii^ 3 D CG =t 5 Q MO. • 
9hm ijt i»3, i6. u. to. 6.) 5 p KL2= 5 Q-MN ^f- 5 Q 
MO. gotglic^ ifl 5 d «L ±S 3 Q DG+3 Q Ca SlM 
ijl (Dotfie^enbec ^e^nfuff^ Q DQ + O CG a 5 C3 r, «lfr ' 
3 QDG + 3 a CG =: 15 □ n 8olg«4> <fi 5 Q KL=x 
15 Qr. ^ni^(,iifta.&.)UlS,Lsxi Q g^ 0^0513 
KL r= i^ a f. $«(sl«^ i(k 1$ Q r «: 15 Q g, foidii^ 



. > 



->- 



SBirb duf bie (SSeite, CD, eiiiet gWc^^ imb fSnffetttV 
flen gigur, ABGDE, t)om SRittelpunfte, F, Ui urn btcf^;: 
be befcl)r kbmen ^reife« ein 9)erpetibife(/ FG, gefSlter : fo 
tfl ba6 bpep^igfacj^^ utttet bit ©eitey CD, unb bem 93cc? 
pcnbtfel, FG; ent^aiteite Stectangel bet £)berf!Sc^e bed 
^Dbef^^'becd gfeic^* Unb n>trb auf bie @ette, BC, eitteS 
fiteid^feitigen ^riangefe, ABC, bem SKitteftJunfte, D, be« 
urn benfelbeit befcf)rte6enert ^reife« ein ^Jerpenbifef^ DE, 
gef^Ut: fj ifl baa bre^ftgfod^K mtet ber ©efte, BC, unb 
bem ^erpenbifel, T>E, enc^altene dCectonsel bee £)berii 



^ 



( *. 



430 



duHib'S ®em«it« 



*• ft M^ 



, gk^c CF, FD. t)a (i, 
41.®.) CDXFG,= 
^ACDF:foifl5CCDX » 
Fti) r= 10 A CDF,= "** 
2ABCDE,fol9li*3o(CD 
X FG) = I a ABCDE f= 

(II, 28. ($.)>e>;Oi>«fi«<*« 




.41. ®.) BC XDE =' 
stADBC: foift3(BCX 
DE) = 6 A DBC = 2 A 
ABC, fof9H*3o(BCX 
gDE> = 20 A ABC = 
(i 1 , 2 9. @.) in O&etflic^e 
><« 3fofae>ert. *^ 




'r 



- 3ttfaf 

'fieiiannten Slectang^l t>er^altert* 

f(ad)e bed Sf ofaSbetd /.. wie bte @eite b«« ^^rf((«, H^ 
jut (Seite bes 3tofoe&erd, D.C. 



IDct 



- / 



..i' 






4'3^ 




i*-* 



©rt «wl« ^m E fajfe We 
f&nffdtt^^ont tie ^re9fiHti0e §!« 
iluc b0^ in einec(<t ^ugel^e^ 
f6)w^entn l^tlttfaSini tmt>. 
3fofa€t(t4. Srase in benfeik 
*wi We @«tte-©C its Stian* 
gd^ unb bie^eite Ac bee ffinfi 
fettigitn Sipr. §&aeau$bcat £> 
9ltitttil|>Mnfte £ ouf DC , AQ 
We ^etp(fl*ifel EF, Z&,\ttfi 
J&n^ere EG 61$ B, «nb jie^e ^ 
BC, bie.6fiite Ut ^^ii^tij|f>n - ^ , H- 
gigur. ' ' •• .. • 

fSitfc, ttun-bk setoUe flnie, 'We ou« EB, BC, 6cj?e^e^ 
tia^ fiettgcc spropottion gef4>nitten:- ,ft> ifi (13, 9. ©,)• eb 
in 3c56itea6f(*hftt: •Shm ift (14/ 1. @,) 2 EG= EB-f 
•fiCj; ifiib <;r3, i*;®:)'i EF= BE; golgit* ^iji , toenn 
i EQna* ftetigw proportion gefc^inittm wirb, (13,9 e) 
•2 EF bee 9(mtfiii<i;^itu muriift, wcnn H noc^ ftetll 
«ec fJwpoptioh «ef4>nttteft tt>itb, (r^, 17. guf.) CA b^ 
gtggcte abf^mtt. §o(9«(^ ifl (14, 7. @.) h : CA' ==t 

3 EG : 9 EF= EQj-EF, folgli* (6,i6.(S0HX;EF 
i= CAXEG.' gHun ifi (6, i. ®.) H :CD= Hx:EI^ 
: CD XEF. Soi9ti4> 'fi H : CD = CAX EG • CD >5 

EF, *a« ifl, bie ®eife b«^ «0firfeK »cc^6ft fic(>" juc'Scite fi 
gfofuebert (14/ 3- 3^0 tbie bie Obetftac^ <>e« 2)obef a6bec^ 
jut ObetflSt^c be« SfofaSbert. 

 • . - ' ;- .1 

S)er ^. ea§. le^cfaf. 

.gpitb trgenb etneacrabe £inte, BC,, nad^.fittmmm 
potttoti 8clrf)nttten : fo Uttf^hlt fic^ bie ^tate, tt>ef(f>r&it 
Ouabrate bet gaitjen, BC, unb beS gtSge^n mdynim, 
CD, potcniitt, iu bet Unit, welc^e bieClMobt^re bee aan* 
jen, BC, unb ^fWnern lib^nm, DB^.potenjtrr, »ie< 
*te ©erte be« SEB6f ftfj, Gf iMr(S«we M SfpfaSbet^, E. 






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4S» 



fttfftb'^ ^mttdt 




p. 



«(ittCe,fa|(bt(fMfiriti« 
^ ant t>i( tRpfntige Sig«r 
Min (iactftf JtvsdbciiitcieF 

tm: t*^(i3^S*>.9v0-) 
»(r grifm IfefMttCD Ne 
0(it( b(( in tciifHb<H Stti$ 
tefdivMciKii ic^Rftitiiini^ 

jtic. <Nfe9(i3, 18-6.) 
Me ®eite M SfofbOct* E, 

flB&cfdiG;a(f9EI>ie®dt( 
»(f tnonsctt/ iMk F Me 6(fte tcr ia bcnfettM fttni k* 
f(!^(6<iKn fM{iRtt0(ii St0»*, tbtc F Mri^ (13, 17. 3sf.) 
^ «t6$err S6|(Mtt let oM^ (Mitt fwfmtiM 8((c|mitae> 
iKn ecite M SM((# G* 8taa Hk (i); 13. 6.) O £ = 
3 a CB, Wit(i3/ 4> 6.) □ CB + D 6D =r 3 O CD. 
^li(» i^Q £:aCBH-aBD = aCB:aCD= (14, 
7. @.) a 6:0 F; foiglkt tDCRvecbfcic nut p nig< fc |^ 
OG:nE=aF:DCB+aBD. 8hini|k(i3,io.6.) 
OF==OCB-fDDC. 8»l8«<tifiaG:aE=:aBC 
•t-aDC:aCB-f-aBD. «b<r fe iPie a BC -h a I>C in 
P CB + a BD / fo (t 4/ 7. $.)/ fMiw it9(nt> dne Mtne gc 
tate finie noc^ ^ett^er^pocttDn ^{^lAtun ifk, Ni finottot 
iet 0an)<a wit ta< tei gcigeren 9H<&mtt< {it tern Citrate 
t(t gotticn tint bent be< fleiitfceit 86f^nittl ^olalid^ vet^ilt 
(b^ att4» Me 6ette M ®utfctt E ja tec €eite bc< ^hfa9* 
beti G, me Me M CludM-at tec s<rajen tint taf te< 9c6§e» 
ten 8tf(tmttl Icgcnt euiec na<t ^ttgec ipcopoctiim dcfSttnitter 
sen ttnie pvceniicente fict ver^&It jti tet tod fiuotcat be* 
««n)cn unt tol tel flcinefeii itft^nittd petcnilMnten* 



^(( 



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.:^D«t^&ri>er bed ^ot)rfa$»eei »(t^(t jtd^ jtrat JtMi 

 t« SfcfaSbert* 

,2)0 (i4# 3. S.) dt^ >»if«^ ^ f&ttfr<mde mb t>\t (^ 

fUtld< Sigut ba in einetley Xn^d (tffii^ie&ttkn IbeHttaHbak 
«nb 3f ofa^tcC fofff n >' »btt gleUbe 5tnife duf 5«« Jtii9d|l&(t« 
g|^(6 t»eit oom SRittdptmfte fibft^n, mU We «i^ bemf<I6eii 
«uf bie 9b(n«i 0eb<i(bter Stce^ir i^iSm ^etpehbiM b<tm 
QKnelpwifte ntffeti'iinb ^<Kb 0nb : ftf fhib <tticb bk toimrHI^ 
trfpunfte b<c Jtnsef notb ben Stimlptittfttn }ue»f^ gcbatbltt 
Stttife fCiOftMten gerabni ^iticn pmmbifuldc mb ^kfdb* 
Sol^icb f^b bie ^oeomiben/ bie }uai d^nf<b<iftli(beii CBfpfd 
kn Witfdpimft bcc Sttt^H, |tt €«Mb(li4H^ii i)b(r iH fdflffefr 
li|« itBb bt<9fMlife ^igiic. b« t)«bt(a€bet^ mb 3ft>(k^^ 
lljobtn/ Mngfcicbec^ii^*^ mb tMt^dfteit jicb bo^ (i«f s* 
11. «. 6.) ttie (dec 0ituitb9&<b«ii. $e(giMb Mt^ fii|» cine 
f^tMMbe bcf !Dobcf«£bet» )ti cinec^omibf b«* 3fc^'e(«i^ 
l»ie bi( f&nfMtt|e|^i^ io bcc btcpfctttgcit; i^^vnfmm 
. iftcb Att<b IW&lf 1)9t<i(bibCrt bed ZMbrftt^bcM |ti {wM^^ls^ 
aibcn bc«>3f ofoSbct* ^ wic jweif f&nffcUigc gigHcrtt }« )itxMt« 
|i0 bcevfcitideit, ba« ifk^ bcc tbtp«t bc« SD«bcf4J%cc4 Mrbid 

^ ittitt fhvatt bti 3r«fiiSb(M/^ ipic btc 06ccfi&(bc bd |)0« 

b«ra^c« iiR 0bc(^&(b< b« 3if«fa£bccd, fofglNb tfiN^ Ct4^ 
4. e.) lotc bk ®cit( bc« IMffcM |ttc @<itt bed ^t f«4»crl 

IticR, AB^ 0£y bct^fclt f4 t»i( \ifit 0r&f«:it 3(bfMt<« 
Da C6/ if. ej ABXCB a tf » 

SSQAC/UtibDEXffiSS I * 

QOF^alfoABXCBiOAG j> «« m . 

asDE X FE : O OFj fd ifk •—5—-,^ 
(5^iJ'6.)4(ABXCB):aACs^4CD£XFJt>;QDf/ 

4NMi'« QlcRi. XI IMkb«». ^ tt . fblg* 



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#34 



iMSb'i eUmuiti 



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fo(#( Vtt}>ltKltk» 4 ^BX 

CB) -f^ a AC : D AC= 4 (DE 
><F£)+aDF:DbF.giutt j) 
i(t (a, 8. @.) 4 (ABXBC) + — 
pACriDCAB+BC)^ iin&4 (DEXEF)+aDF= 
C (DE + £F)." gotgli* ijt O (AB V BQ : Q AC = Q 
OpE+EF): DDF, foIgKc^ (6, as. @.) AB+BC:AC:=t 
'I)iE+EF:DF, folsit* Dctbun{>en AB+BC+aC:AC 
— DE + EF+DF:DF, bo« tft, a AB:AC=2DE;DF, 
'f oJdii* au* AB : AC = DE : DF, f olglM^ »etiped>Cfc 
ilB : DE = AC : DF. ^^ 

^ ®ir( f hte brfiebtge getabe {inre nadf fietiger ^ropottm 

.^rnijen urtb be« 9rfc§«n abf^nitt* prtenjiit, (u bee im, 
.i»Hdfz bte Oacibrdte ber gaUien tinb be^ fieiitem S(6fcbnittf 
, pem^tt , tptt bfe Obecfia<te fomo^J al8 ber 96rpet fert 2* 
befaSbei'^ }ut: O^fcfl^cbe fowol^f d($ bm Jlkper te« in bj«^ 
irlbe^ Sugel bif^cicbcnca ^fofdC'b^r;. 



MBBi*MMh*MI*«» 



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Ufl^ ^^iinfte* ©on ten :^ijf pern; 

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riUliteMii* 



^iit in ben fi^S ^uatutUn bii 
Jbiagenolcn AC, AE, CE, AG^ EG, 
GC : fo ffnb off^rtbat t)ti Stidttdd 
AEC, AG£, A'GC, CGE, glei** p^ 
f»'t(d> $»(g{i4> Hi C i I, 3 6. or. ) 
AEGG dn fettdS^t, uitb irt 
ben iSBftrfel &(^fcf)ck6m/ td frt« 
nc'dcfcn iiie.,<}(f<n M 8D&cf((* 

• • " . . ,. ^ 




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€tiflib'< 




^tttke Kf ttttaSbat 
C^riKii ill fem ^^ftfiiUB wLf 

^d^ {iriim HK, HL, 
EF.FG, ••(,»., vrf«e 

Mc iM^ 2rimssd# term X 

0nitiMim€ii FG^ GH^ HK, 

KP, itn» term 6|h<Kii E, 

h, (inb. ifeM^dlid. fiol^fu^ ifk (1 1, 37* 6.) bcr 9kpatL 

€tti OCUf^/ 911^ w M Sftfa2b€t btM^tbn, ta fnr 

C(fni tic aiim (or Scitai M Sctcactct* tccffcn. 

3ft ritint ectefrcfun 9EB6ffc(, AF, cm OMlbn jtfe 
fdE^retbctt^ 

Olimm (4/ 8* 60 tie g F 

<nitte tet Oudtratr K ^ L^ 

^antu mil imMf ^erotm 
ifimcti KL, LM/ KM, 
QM/ tf. f. m.: fcifttet 
It6rper^ KQ/ M j^crlongte 
OttaHbtt. ' 

jDchh jte^t matt tut^ 

snit Mn (Seiuit>te( Qitunb-^ 
f<&4^< AC <|^«irattet(mkfl 
PO, OT/£S,SP:fo<t«6 

tH^ f^tia^m ®cit|iv ^if<^ ^ 

SP; Wne iiNt ftiefd^e Jimf.DOj OT, ST, .^t unb •w' 
fd6e ginie BE, u. f, ». MMrnt. $0ldft« M <i «/ <«>' *;^ 
KOL; MTL, rectti fBtnfet* 9{ttn felt KO, OL, Jj-T^ 




'-n 



, ■> 



twf^ielNttt !B^, 



♦37 



TM > i^ ^MfkM hit tm^m diei^en m^ fO, OT^TS, 
il^D^ ott(& f i^as^c gteiift* golgli* tft ( i , 4* ®») KL =rl*M. 
Stett ftitb duftglpfle^eit ^n|b^ dtK^ t^t LK, KNy NM^ im)^ 
otte iteigrn fiitiieit ematiNr %kidl}. So(a^ {tti^ bk dt&t 
Smngef^r ^eren 0rutiMiiflen KL, LM, MN, NK, tin( deceit 

tec ftfrrpet RQ ein Otta^tv, unfr in (en SBuifef t^ri^en^ 
H fetne ecf en Ne fPlitte t»ei? Sl&^Kn M S&ffel^ Kefien. 

©er 4. 0a$t ItufgaSe, 

3" ^tn 9ege6eRe« C>fta8ber, AF, etnen ?©flrfel ju B*^ 
f^i^en* 

««fei>ABCDEeu ^ 

ne fccc fect)« wrfeiti^ 
gen ^ovomiben bei 
OftaSbetl' l^afWte 
biefet ^omibe 0ei^ 
tenlinien in M^ N/ O^ 
V, unb {ie|>e bie geva^? 
tenetnienMN>NO^ 
QP, EM, tt>el*e(ii 
4^190 einof^eid(eict^« 
twb (6, 2*®.)^n 
®dten M Qttdbrati 
(13. I4*0JHCDE 
poiraiiei fmb « f olstt^ 
(ri> lo, 6.) te^e 
fSiirfel einfd^Iie6en« 
©emna* Iji MNQP 

W Ouabcat |)iatfkce tie Seiten tiefe< fiuabtoH in 6^ H^ 
K, I, mt> jie^e GH, HK> KL, LG, tt>el*e (1, 4-«0 ein* 
, mUt g!eic6 fiiA/ unb, ba ^e C<i 3^*00 mtt MN« hiO, 
OP, VM, liAtfce re^te SBinfet m^n^ {i, 13* ®0 wt^te 
®ittfef einfiiltegen. S)eomd(^ ift GHKL etn £lu<ib¥4t: 
tikn f0# loie mit bee ^ramibe AB€D£ , imfo^ce mit ben 

€e J f6nf 




^;t 



4MI&*< 9Umatt 



fftnf Ouik^rdte^ (le ftem &iio)>rafe GHKL i^ldd^ imb, aA 
9itt itm men tS&tfd dnfi^lfrlai , trr Hi feoi ShaSbet hii 
f^rte^ tfi> N fettle Men >ie $1&<^ IM Of^tS^eri t»rfea«. 

3n eta ^de6ene< 3^^^^ ^^^ ^obefaSbec ^u (e^ 
(d^reiben, 

«« fc9 ABCDEF eine 
%tt )t96lf f&nffeitjjjen ^^ 
rotpiben M ^fofafber^* 

{Rimtii(4/4«<90/ ber in 
Weilrian^AFE,AFB:e. ' 
l^efi^riebenen S(rdfc 9litte(^ 
l>anf te G, H^ K, L, M, unb 
l^rbinbe biefe ^unfte mit 
jetabep Jinten: fo- ift 
GHKJLm dne finffdekje • 
gif^ttt t>oh gteM^en @dtcn 
linb 98infe(n. 

JDenn jie^ee man FG , FH; FK u. f. ». / tinb Detfon^ert 
fie:' f^ Mi>iten fk (4/ 4. <S0 bie 90infe( fte^ !F, fofslidb 
(ii 4» ©•) <^tt<t bje ©tunbliriien in N , ; P^ «• f* ». gie^ 
l^et nt«n nun We NO, OP; fo fJnb biefe (i, 4- 00 einom 
ber gld** Run i(t (i, 4* ®0 FN = FO = FP, unb 
(1, a6;0. unb 4. 4- ©0 FGz^FH =:FK. ^fA^m Pnb 
(6^ a. «.) QH, HK, mit NO, OP, p<jt?aHel, fofgft^) if* (6# 
4- ®0 NO;GH = 0P:HK; folgli*, miX NOrrOP, 
aucb GH s;: HK. 8fu6 e6cn ben ©runfccnifi HKzrKL n. f. », 
gofftfi^b ffr ble fftnffcitlge Jigup GHKLM ftldcbfeWg} obep 
ou<» gfdcbwinfffg, »df (n, 10. ©J QHK=NOP,HKL 
5=: OPQ tt. f* tt>., linb (i, 13- ®0 NOP :r=OPQ tt.f.tt>. 

ducb ifk h\^ gidutf in <Sinev Qbene« 2>enn dn ^ 
penbifd wn F auf bit (Sbcne bee %m ABCDE trifft i^ren 
Wlittdpunft, unb oDe Jinien t^^n bemfdben nacb N, O, P, 
Qi R# ma^en (iii 4« 60 mit geba^tem ^etpenbiM tecbte 

WiiH 




. 'ifflfnM S«^^ W^ mm *t«rd^ <3 ewe lKn*r ber Ht^ N 

aejogenen |»araUeI^ «nb tjon bem ^unfte, »o fie b?n $erpeiw 
Wf ei ttiffr ,' get abe ?inien hacft H , K , t ; M : fo mirb bJeft?. 
9^eti>enbire( i>eii beit ^awUeflimen in berJJcc^SltniS FNTcFS 
^FOtFH u, f. xt>. gepiiutten. " ^olglicfe itnb (6, a* ©.) 
Me 8imcn butcb G; H> u. f* ». bcrten^butdb N, O, «; C »♦ 
' powDel, nwd^en otfo mit beiit ^erpen^'fcl auc^ recite ®W!fc^ 
tinb finb fol^d^ (i 1/ 5» ®0 i« ®i^*t: Sfeene* 

V Sben fo, tt>fe mit ber^9r<!mlbe ABCDEF/ i>eiffaf)re mil 
\kn eiff &bifts^n;^iroui3)efi bef ^l^faebecd: fa et^itgr bit 
ITOI^ etif gfeicb^ tinb fitoffrttige^iiguven/ bie bee GHKUiif 
${eic^ fhib/ Ytnt^ mit il^ tift S>o6ef<^*b0? ejn^liefeti , baS it 
bo^ '3rofa«ber 4^lfi4ri^ett ift/ ba frine iSifen bie Slocben bt< 
3fofaebeW treffen/ > ^-'  r 



• J 



$Me 3a^t ber ^^ctten unb ®tfen b«t fiUnf ^drpet jd 
f tiben. '•...' 

<Erfirid)4 '*®fe 3a^I ber Seiten ju fittben^ rtiuftlpftdt^^ 
mn bie 3«&J *er ben S6rper einfcblieienben 'gjguren mit bA 
go^I i^rec @eitc«/ unb bitibice ba< ^vDbuct mit 3me^>. '- ' 

©cnn g. §• ba^ ^f^faSber tt>icb von jwanjfg ^ridngefn 
eingefdMoffen , unb jebec-Jdaiigef 'Dott buep ©eiten begrSnjt 
fcieji g&be fcc&jig @eiten; b^t>ort abet gefch jnwp unb jtbe^ 
hue eine @eite iti SorpecJ; Sofglicb ^at ba< 3fofa5ber nut: 
brepfig @eiten« 

5tt?e^itfti8*. 2>ie Bct^I bet @rfcn ju ftnben, muftiplidi* 
tnan bie 3ol)t bejc ben S6rpet einfci^ticgenben Siflwrcn niit bep 
3a^l ber SEBinfel in jeber gigifr, tjnb biwbite \>a% ^Ptobuct m% 
ber 3<>^l bet ©infel, bie eine @cfe eiofc^tieien* 

S^cjin J, S» ba$ 3fofagber n)irb oon jipanjig $tiafl|efn 
f ingefcbloffen / beren |ebcv beep SSlnfel ^at, ©ieg gie&t fe^bf 
jig ©infcl; bat?cn abet &blie§en funf eine #<fe be* S|^&rpec* 

@e 4 5Dec 



f 



449 SuKib'< ®etttttite 

XHe^ S2ei§uf^ett ber €Senett in ben f&nf ^t^m {« 
f{(tben. 

21 tt f r & f u tt ft. 

!Rd(^ tfttferm groten 8f^, 3^ft<>i^/ ivetben biefe Sfieb 
ll<tngtn aof f otgcnbe Xtt bef^immt : 

O^ftcb. ?m aUifcf fd^ndben {i(^ tie t^ mm^^ 
ben <S6eneii uiilec i^ect^ttn IjBtiif rfit , mt «n fi<t f l<it i|t 

^ Swevtettt. ^Jb ba« SftcttSbef M<^ite <iii« (^ <M« 

poirften hnrr Sdte ritie< ber etn^tegfnben Sdangdr ffii 

^« Stian8cl«|)6^e, Srdfe: fb fcbliefeR bHr tmi 2)ur«fi»iiitt* 

fuitfte bet be^^ctt fieeife iia^ lenm Cndbipunrtei gei^^jdtfn ^e^ 

tdben Knten ben nefucbten SReigungtfminfef etn* 

IDttrieiid. S&r ba« Of togber mac^ i^on bet ®eite einrt 
bet einfcbiiefiettben Stiangel bd^ Oiiobi^lr.^ )ie^e beffen %m 
jRote, befibtnt^ <iu< beeeti Qhibpunl^en/ mit M Sn^iirfl 
f^Wf Sf^if^ fo f(Wie§en bte t>om 2)ttt<bfcbnitt«|>unfie to 
bj^ben ftreife iia<b tenett ^nbmtnften ^etogenen getoben %n 
eineit SJinM ein , tpefebet ben gefu^ten 0let|un9 j^minfel i< 
jt»e9 ted^ren, SSinf ein etg&njt 
; X)ictcetia» g&t ba« 5fofo8ber befd&wifte 46et ber Ceite 
fine! bet einfcbiiejgenben iltiangei eine gfei^Jb' unb fttnffeitije 
S^gttt/ iie(^e barin eine Stag^nole, axx^ befd)reibe ant bernt 
(Snbptmften, mit t)e« $tiange(« ^6^e^ Stteife: fo f4i(ie§eR 
bie t>om ^utd^ritnitti^punfte bepbet ^reife Qoiib jenen @n^ 
jpunften gejogenen getaben ?mten einen fflinPel ein, »* 
(bet ben gefucbten SfJeigutig«toinfe( }u j»ep recbteti ffiinf* 
etginjt 

^dififtetie. Snt ba« SC^pbefaSbet jie^e in einer bee W 
feitigen gigurfn eine 2)iagon«le, befcbteibe au« beren tni^ 
punftcn^ mit beth att< i^cet SRitte ouf bie i^t pawK* 
Seite bet gigui? gefWten ^ecpenbifel, Sceife: fp f#^S^ 
bie torn I?utcbfcbmtttpnnfte bepbet Steife no(^ jenen €n^ 
pnnften ge)ogehen getaben flrtien etf«rn SDinfel eiit/ ioe(<(er 



i 



\ 




gat^ .aufgei&fet, ^ i^m (n S^en>ei^ toa febem ®tucf iv off en(>ai 
|tt fepn f^^ien, 2)amit a^^c Xnt 8egfbenen^t()^c«n einlcucbten^ 
Ms^en, mill vi^ &en @i:unb 9on einec je^cn i^aitlic() au« cim 
anbf ( fc6eii« 

S8 e t» e i «♦ 
C#Iklv C«ff9 ABCpdn p 

Smarter/ beffen ^run^a^t A^C, 
tinb @ipfel D ift. |>alt>ire bie tine 
Geitentime AD in £/ ttn^ {ie^e 
BE , EC 

5>a Afe=:BD, AE=fED, 
iinb BE gettiem; fo ijk (i* 8. ®0 
BED = BEA = at., alfo BE, 
ttiib gki^^e artife EC, aiif AD 
|Mtt)>ciitifu(ar» Ha ACr= 12 a E; 
fr ilia AC ==; 4 D AE. »uif ifi(i, 47- «t) D AC t:r 
DAfe-hDEC. §ttf««c>i(laAC:QECsi4:3;oicr 
ECr= EB, f(%(itt^ D BC < D BE + D EC $o(<|(k& tfl 
(2, 13. «0 BEC tin fpf^ SEKoW, dfe (ti, 6. ij >ff 
IRetgitns^teinfel t^ar <$5eneti M tettdJfbtr^^ 

!&kfer 8t(igufig«mitifet BEC tftg^e^tr, foeif'M ftian^ 
geM deit^ BC, un» ti^ ^)er|»ii»iM £6/ £0, gegebut ftn&j 
®€(teti mtn airf (en (Ini^unf tin bet 6eite BC itiit best ^er^ 
l^^tiiM BE ftrnfe b«f(ttieben, ^ie ^14^ in £ f^weS^tt: (9 
fct>iiegeti getab^ j^iniett voa i)fiii 2)itr(&fc&fi(iil|>ttfito £ ftacfl 
jeneit Sft^pMl^ll B^ C, ten S^eigBngdn^infrf bet ftbencit etft.^ 
SDd6' dibet; %tU4;>U ftreifV ft(^ in 'E fclttdfieti, ifl offnlkir« 
£)me ieDe Ut BE . EC , t{k > | BC. SKuit oSttm ftitifi, 
«»$ {fenj?n^t(ift«n rntt |BC Mc^riff^en, eindfAtrt Uxhi^ 
feit} mit eittem ^atbmeffcc < | BC befi(^i4im/ meOet: di^ 
atttec. teri^ien M(^ f4)^iben« 2)a aifp BE > | BC, fi0t 



44* 



<SuHib*< €lemetttt 




t^&lfte fe9 Ht 99^antibe, tereii 
®run6ffi(*e ABCD, linD ©rpfef 
£ ift. (Sine &et ©eiren AE fep 
(b F l^afbict, iinb BF, FD, ge^ 

ottf AE perpcnbif u(ar (tnb. ^ie^ 

^l^e BD. '2)a ABCD etnCaa^ ^ 

teal / unb beffen S)iagonak.BD 

i|i: fc ift a BD = 2 n DA. B C 

afJttii ift nat& SJorigem D DA 

:nDF.rr:4:3. go(gUc& ift nBD:DDF::^8:3} aM 

DF =r FB, fofglicj) D BD > D BF + n FD. ' golgIi<fr 

ifl (a; 1 2. 00 BFD eiit ftumpfer fflinW, fofglic^ (t i, 6.e.) 

tie @r9&tiimis be< Steidung^minfeK ber Sfrenen eiRrf Oftaci 

t<r< }tt imf) re4>ten ®inf e(n» n 

£)iefec SBinfel BFD tft segeben; tod( ^i SriangeK ®eiti 
AD / alfo D AD , alfo a\x6> beffen S^iagonole BD / unb bit 
^erpenbif el BF/ FD/ sege&en fitib. Slac^t man nun t>on bef 
€$eite AD ba^ ^uatrat, jie^et bie 2>iadona(e BD/ rnib bci 
f(breibt an^ becen @nb|)unf ten; mit bem ^(penbtM BE/ ^m< 
fC; welc^e ficb in F fc^aeiben: fo fc^liegen iit avti F nacb B 
unb D sejo^enen geraben finien btn SSinfd BFD / ^ ali bie 
Grgittiung M gefu(^ten SReigung^n^tnfeK (u jteep tecf^ten 
Sinfein; ein. a6c& ^iet et^eOet/ ba§ g^cbte ftteife fxdf in 
F fcbneibeu/ meil BF>|BD« ^ntt nacb obtgem Idetveift 
ijt D BD : D DF r=s 8 t 3, txnh (6, ao. ©♦) Q BD =3 
4. D I Bli , fplglicb BF> f BD* '- 

Z>riAen6* @$ fep ein $f)tH Ui ^hfisLBtti hit %9t(^ 
m\^c, beren @tunbfl&cbe bie iki(fyf unb f&nffettige gigut 
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et(dfteibt man nun fibet bet 0dfe EC bie sMcb-- nfib f ftiif^ 
fititise ^igut/ jie^et bie 9)ijX$mak BD/ unb befc^recBt anS 
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BG > I BDIfr, dnanbet in G f^iben: fo fi^Uegen bte 
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fiGD , M bie Stginjung beS gefn^ttn Sleigung^minf eld )« 
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^imettd. e# r<^9 ABCI^ baiS Ouobrat beJ SB&rfefi 
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